线性代数章节测试题

线性代数章节测试题

班级 学号 姓名 成绩

一、填空题（每题2分，共20分）

1、排列7623451的逆序数是_______。

2、若122211211

=a a a a ，则=160

03032221

1211a a a a 。 3、 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 _________。

4、设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的基础解系含______个解。

5、设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1230120011

A ，则=*A 。 6、已知五阶行列式1

234532011

11111

21403

54321

=D ，则=++++4544434241A A A A A 。 7、已知n 阶矩阵A 、B 满足A B BA +=，则()1E B --=

8、111

35692536

= .

9、设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a ）线性相关，则a= .

10、设A =111111--⎛⎝ ⎫⎭⎪，B =112234--⎛⎝ ⎫⎭⎪，则A +2B = .

二、选择题（每小题2分，共10分）

1. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则( )

)(A ．s r = )(B ． s r ≤ )(C ．r s ≤ )(D ．r s <

2. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则A －5等于 ．

)(A (5)n D - )(B -5D )(C 5D )(D 1(5)n D --

3．设A 是m n ⨯矩阵，C 是n 阶可逆阵，满足B ＝AC. 若A 和B 的秩分别为A r 和B r ，则有( )

)(A ．A B r r > )(B ．A B r r < )(C ．A B r r = )(D ．以上都不正确

4. 设A 是m n ⨯矩阵，且()R A m n =<，则非齐次线性方程组A =x b ( )

)(A ．有无穷多解 )(B ．有唯一解 )(C ．无解 )(D ．无法判断解的情况

5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。

)(A AC AB = 则 C B = )(B 0=AB ,则0=A 或0=B

)(C T T T B A AB =)( )(D 22))((B A B A B A -=-+

三、计算题（每题10分,共60分）

1. 计算n 阶行列式

n x a a a

a x a a

D a a x a a a a x

=

2．设A 为三阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，且2

1=

A ，求*A A 2)3(1--.

3．求矩阵的逆

111211120A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

4. 讨论λ为何值时，非齐次线性方程组2

123123123

1x x x x x x x x x λλλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩

① 有唯一解； ②有无穷多解； ③无解。

5. 求下非齐次线性方程组的通解。

⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++=+++5221322431

43214321x x x x x x x x x x x

6、求下列向量组的秩和一个最大无关组．

123421234,1,3,5.2012αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

四、证明题（本题10分）

设η为b AX =()0≠b 的一个解，12,n r ξξξ- 为对应齐次线性方程组0=AX 的基础解系，证明12,,n r ξξξη- 线性无关。