北京四中2020—2021学年初二上期中考试数学试题及答案

第6题图

D

C

B

A

北京四中2020

—2021学年初二上期中考试数学试题

及答案

（考试时刻：100分钟 满分：120分）

姓名： 班级： 成绩: ____________

一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）

A. B. C. D.

2.把多项式24a a -分解因式，结果正确的是（ ）

A. ()4a a -

B. (2)(2)a a +-

C. (2)(2)a a a +-

D. 2(2)4a -- 3.分式有意义，则x 的取值范畴是（ ）

A ． x ≠1

B ． x =1

C ． x ≠﹣1

D ． x =﹣1

4. 点A （2,3）关于y 轴成轴对称的点的坐标是（ ） A ．（3,-2） B ．（-2, 3） C ．（-2,-3） D ．（2,-3）

5. 在△ABC 和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一个，不能．．

使△ABC ≌△A′B′C′一定成立的是（ ）． A ．AC =A′C ′ B ．BC=B ′C ′ C ．∠B=∠B ′ D ．∠C=∠C ′ 6. 下列各式中，正确的是（ ）．

A ．

1a b b ab b ++= B ．22

x y x y

-++=-

C ． 231

93

x x x -=-- D ．222()x y x y x y x y --=++ 7.等腰三角形的两边长分别为3和6，则那个等腰三角形的周长为（ ） A ． 12

B ． 15

C ． 12或15

D ． 18

8.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是AC 边上的高， 则∠DBC 的度数是（ ）

A．18° B．24° C．30° D．36°

第8题图9.如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直截了当撞入袋中，那么击打白球时，

必须保证∠1的度数为（）

A．30° B．45° C．60°D．75°

10.如图，∠BAC=130°，若

MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（）A．50° B．75° C．80° D．105°

第9题图第10题图

二、填空题（本题共20分，每小题2分）

11.已知某种植物花粉的直径为35000纳米，即0.000035米，把0.000035用科

学记数法表示为 _____________________.

12. 分解因式：=

+

-3

6

32x

x．

13．运算：=

-

+

-

-

-|3

|

)1

2

(

)

2

1

(0

1__ ____．

14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD

平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E．若DE=1cm，

则BC =_______ cm．第14题图

15.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=_____度．

第15题图第16题图第18题图

16.如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，

BC＝10cm，则ΔOMN的周长＝______cm．

D

C

B

A

17. 已知113x y -=，则代数式21422x xy y

x xy y

----= .

18. 如图ABC ?中，AD 平分BAC ∠，4=AB ，2=AC ，且ABD ?的面积为3，

则ACD ?的面积为 。

19．如图，MN 是正方形ABCD 的一条对称轴，点P 是直线MN 上的一个动点，当

PC+PD 最小时，∠PC D=_________°．

20.如图所示，长方形ABCD 中，AB=4，

E 是折线段A —D —C 上的一

个动点（点E 与点A 不重合），点P 是点A 关于BE 的对称点．在点E 运动的过程中，能使△PCB 为等腰三角形．．．．．

的点E 的位置共有 个．

第19题图 第20题图 三、解答题

分解因式（每题4分，共8分）.

21. )2(9)2(22m y m x -+- 22. 2224)1(x x -+

运算（每题4分，共8分）

23. 43

392)3(b ab

a b a b

?÷-. 24. 21211x

x x -++.

A

B C

D

E

P

D

A

M

N

B

C

P

25.（本题5分）先化简，再求值：121112

++÷??

? ??

+-a a a a ，其中13-=a ．

26.（本题5分）解方程：238

111

x x x +-=--．

27.（本题5分）已知：如图，AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠DAE ＝∠BAC ．

求证：BD ＝CE ．

28．列分式方程解应用题：（本题5分）

甲、乙两名学生练习运算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时刻相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字．问：甲、乙两人每分钟各打多少字？

29. （本题6分）小明在做课本中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板别处去了，你有什么方法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．

（1）请写出这种做法的理由；

（2）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图3）：①以P为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b，PC于点A，D；②连结AD并延长交直线a于点B，请直截了当写出图3中所有与∠PAB相等的角；

（3）请在图3画板内作出“直线a ，b 所成的跑到画板别处去的角”的平分线（画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹． 30.（本题8分）

（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线l 通过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE ＝BD ＋CE ． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线l 上，且∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE ＝BD ＋CE 是否成立？如成立；请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是直线l 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，求证：DF=EF ．

D

A

E

l

B

C

B

C

D

A

E

l

F

B

C

D

A

E l

图（1）

图（2）

图（3）

附加题（满分20分，计入总分）

1.（本题4分）已知:2a b -= ，2240a a +-=， 则b

a 2

11++=__ __.

2.（本题4分）已知：x y z

b c a c a b a b c

==

+-+-+-，则()()()b c x c a y a b z -+-+- 的值为 .

3.（本题12分）等腰Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点A 、点B 分别是x 轴、y 轴两个动点，直角边AC 交x 轴于点D ，斜边BC 交y 轴于点E 。 （1）如图（1），若A(0，1)，B(2，0)，求C 点的坐标；（4分）

（2）如图（2）， 当等腰Rt △ABC 运动到使点D 恰为AC 中点时，连接DE ，

求证：∠ADB=∠CDE ；（4分）

（3）如图（3），在等腰Rt △ABC 不断运动的过程中，若满足BD 始终是∠ABC 的平分线，试探究：线段OA 、OD 、BD 三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由。（4分）

参考答案及评分标准： 一、选择题：

1.A

2.A

3. A

4. B

5. B

6. D

7. B

8. A

9. C 10. C 二、填空题：

11. -5103.5? 12. 2

）1（3-x 13. 4 14. 3

15. 15 16. 10 17. 4 18. 1.5 19. 45 20. 4 三、解答题

21. (m-2)(x-3y)(x+3y) 22. 22)1()1(+-x x 23. ab

21-

24.

x

-11 25.解：原式=1

211112

++÷??? ??+-++a a a a a a =

1

21112

++÷+-+a a a

a a =()a

a a a 2

11+?+ =1+a ----------------------------4分

当13-=a 时，原式=3113=+-．------------5分 26.解：2(3)(1)81x x x ++-=- ………………………………1分 224381x x x ++-=- …………………………………2分 44x = …………………………………3分 1x = ………………………………………4分

经检验：1x =是原方程的增根，因此原方程无解 ……………5分 27.证）SAS （ADB AEC ???

28.解：设乙每分钟打x 个字，则甲每分钟打（x+5）个字，-------1分 由题意得，

=

，------------3分

解得：x=45，--------------------4分

经检验：x=45是原方程的解，且符合题意．-------5分答：甲每人每分钟打50个字，乙每分钟打45个字．29.解：（1）两直线平行，同位角相等；---1分

（2）∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1，---------4分

（3）如图，作线段AB的垂直平分线EF，

则EF是所求作的图形．-----------6分

30.解：（1）∵BD⊥l，CE⊥l，

∴∠BDA=∠AEC=90°

又∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠CAE=∠ABD

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴BD=AE，AD=CE，

∵DE=AD+AE，

∴DE=CE+BD；-----------------------2分

（2）成立

∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，

∴∠CAE=∠ABD，

在△ADB和△CEA中，

，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE=BD，AD=CE，

∴BD+CE=AE+AD=DE；-------------------5分（3）由（2）知，△ADB≌△CAE，

BD=EA，∠DBA=∠CAE，

∵△ABF和△ACF均为等边三角形，

∴∠ABF=∠CAF=60°，

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，

∴∠DBF=∠FAE，

∵BF=AF

在△DBF和△EAF中，

，

∴△DBF≌△EAF（SAS），

∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，

∴△DEF为等边三角形．

∴DF=EF．-----------------------------8分

附加题：

1.-2

2.0

3.（1）如图,过点C作CF⊥y轴于点F

则△ACF≌△ABO(AAS),

∴CF=OA=1,AF=OB=2

∴OF=1

∴C(－1,－1)；

（2）如图,过点C作CG⊥AC交y轴于点G

则△ACG≌△ABD(ASA)

∴CG=AD=CD,∠ADB=∠G

∵∠DCE=∠GCE=45°

∴△DCE≌△GCE(SAS)

∴∠CDE=∠G

∴∠ADB=∠CDE；

(3) 如图,在OB上截取OH=OD,连接AH 由对称性得AD=AH,∠ADH=∠AHD

∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO

∴∠AEC=∠BHA

又∵AB=AC ∠CAE=∠ABH

∴△ACE≌△BAH(AAS)

∴AE=BH=2OA

∵DH=2OD

∴BD=2(OA +OD)