第五章定积分及其应用解析

第五章 定积分及其应用

§1 定积分的概念与性质

目 的 要 求 ：理解定积分的概念和性质，能熟练的应用定积分的性质。 重 点 ：定积分的性质。 难 点 ：定积分的概念。 教 学 方 法 ：讲授法、练习法 教 学 手 段 ：板书 ,多媒体 教 参 ：《高等数学》同济大学版 教学环节及组织：

引入新课：定积分是微积分学中的一个重要概念，本章先从实际问题中引出定积分的概念，然后讨论定积分的计算方法。 新课讲授：

一、两个引例：1）曲边梯形的面积； 2）变速直线运动的路程。 二、定积分的定义

定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点

，

把区间[a,b]分成n 个小区间

，记

},......,,m ax {,,......2,1,211n i i i x x x n i x x x ∆∆∆==-=∆-λ在[i i x x ,1-]上任意取一点i ξ，作

和式：

)1.......()(1

i

n

i i

x f ∆∑=ξ

如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i ξ在[i i x x ,1-]怎样选取，只要0→λ有

→∆∑=i

n

i i

x

f 1

)(ξI （I 为一个确定的常数），则称极限I 是f(x)在[a,b]上的定积分，简称

积分，记做

⎰

b

a

dx x f )(即I=⎰b

a

dx x f )(其中f(x)为被积函数，f(x)dx 为积分表达式，a 为积

分下限，b 为积分上限，x 称为积分变量，[a,b]称为积分区间。 注：

1.由此定义，以上二例的结果可以表示为A=⎰

b

a

dx x f )(和S=⎰2

1

)(T T dt t v 。

2.由定义知道⎰b

a dx x f )(表示一个具体的数，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x 无关，即

⎰

b

a

dx x f )(=⎰b

a

du u f )(=⎰b

a

dt t f )(。

3.定义中的0→λ不能用∞→n 代替。

4.如果i

n

i i

x f Lim

∆∑=→1

)(ξλ存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b]

上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？ 以下给出两个充分条件。

定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。 定理3 设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。 三、定积分的几何意义

当f(x)≥0时，

⎰

b

a

dx x f )(表示曲边梯形的面积；当f(x)≤ 0时，⎰b

a

dx x f )(表示曲边

梯形的面积的负值；一般地，若f(x)在[a,b]上有正有负，则⎰

b

a

dx x f )(表示曲边梯形面积

的代数和。

四、定积分的性质

由定积分的定义知，

⎰

b

a

dx x f )(是当ab 时无意义，但为

了计算及应用的方便，特作两个规定： 1． a=b 时，⎰b

a dx x f )(=0

2． a>b 时，

⎰

b

a

dx x f )(=-⎰a

b dx x f )(

性质1：函数和差的定积分等于它的定积分的和差，即

⎰⎰⎰

±=±b

a

b a

b

a

dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([

性质2：常数因子可以外提（可以推广到n 个），即

⎰⎰=b

a

b

a

dx x f k dx x kf )()(

性质3：无论a,b,c 的位置如何，有

⎰⎰⎰

+=b

c

c

a

b a

dx x f dx x f dx x f )()()(

性质4：若f(x)1≡，则

a b dx x f b

a

-=⎰

)(

性质5：在[a,b]上，若f(x)≤g(x)，则()()b

b

a

a

f x dx

g x dx ≤⎰

⎰

性质6：

⎰⎰

≤b

a

b

a

dx x f dx x f )()(

性质7：设在[a,b]上，()M x f m ≤≤，则

()()()a b M dx x f a b m b

a -≤≤-⎰

性质8：（积分中值定理）若f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得

)()()(ξf a b dx x f b

a

-=⎰

例1 利用定积分几何意义，求定积分值

4

dx x 11

2π=

-⎰ 解：上式表示介于0x =, 1x =, 0y =, 2x 1y -=之间面积

例2（估计积分值） 证明 2

1x x 2dx 3

21

02

<-+<⎰ 证：2

221x 49x x 2⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--=-+在[]

1,0 上最大值为49，最小值为2 ∴ 21x x 213

22

≤

-+<

∴ 2

1x x 213

21

2

<-+<

⎰ 小结：通过这节课的学习，我们要理解定积分的概念和性质，能熟练的应用定积分的性质。

课 堂 交 流 ：

提问 ：定积分和不定积分的区别？ 评析 ：略。

讨论 ：学生自主进行。 练习 ：P91、习题5—1 。

课外作业及思考题 ：

课外作业：无 。

§2 牛顿—莱布尼兹公式

目 的 要 求 ：会求变上限定积分的导数，理解New —Leibniz 公式，能够运用这个公式求函数的定积分。

重 点 ： New —Leibniz 公式。 难 点 ：变上限定积分的导数。 教 学 方 法 ：讲授法、练习法 教 学 手 段 ：板书 ，多媒体 教 参 ：《高等数学》同济大学版 教学环节及组织：

复习巩固：