量子力学复习资料

第一章知识点：

1. 黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体.

2. 处于某一温度 T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等

时，辐射达到热平衡状态。

3. 实验发现： 热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和

位置只与黑体的绝对温度 T 有关而与黑体的形状和材料无关。 4. 光电效应---光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现

5. 光电效应特点：1.临界频率ν0 只有当光的频率大于某一定值ν0时，才有光电子发射

出来.若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生.光的这一频率ν0称为临界频率。2.光电子的能量只是与照射光的频率有关，与光强无关，

光强只决定电子数目的多少 （爱因斯坦对光电效应的解释）3. 当入射光的频率大于ν

0时，不管光有多么的微

弱，只要光一照上，立即观察到光电子（10-9s ）

6. 光的波粒二象性：普朗克假定a.

原子的性能和谐振子一样，以给定的频率 ν 振荡;

b.

黑体只能以 E = h ν 为能量单位不连续的发射和吸收能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收能量.

7. 总结光子能量、动量关系式如下： 把光子的波动性和粒子性联系了起来

8.

波长增量 Δλ=λ′–λ 随散射角增大而增大.这一现象称为康普顿效应.

散射波的波长λ′总是比入射波波长长（λ′ >λ）且随散射角θ增大而增大。 9.波尔假定：1.原子具有能量不连续的定态的概念. 2.量子跃迁的概念. 10.德布罗意：

? 假定：与一定能量 E 和动量 p 的实物粒子相联系的波（他称之为“物质波”）

的频率和波长分别为：E = h ν ? ν= E/h ? P = h/λ ? λ= h/p ? 该关系称为de. Broglie 关系.

德布罗意波：ψ

de Broglie 关系：ν= E/h ?

ω = 2π ν= 2πE/h = E/ λ= h/p ?

k = 1/ = 2π /λ = p/

n k h k n n h n C h n C E p h E =

==?????=======πλπλνων22其中波长。称为电子的其中

Compton cm C m 100020104.222sin 2-?===? πλθ

λλ?

??

???-?=)(exp Et r p i A

第二章知识点：

1.

描写自由粒子的平面波波函数：

2. 在电子衍射实验中，照相底片上r 点附近衍射花样的强度 ~正比于该点附近感光点的数目， ~正比于该点附近出现的电子数目， ~正比于电子出现在 r 点附近的几 率.

3. |Ψ (r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近单位体积内的几率。

|Ψ (r ，t)|2的意义是：t 时刻，在r 点附近单位体积内找到粒子的概率。

4. 由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 Ψ (r, t) 和 C Ψ (r, t) 描述同一状态。这与经典波不同.经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应的波动能量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波动状态.经典波无归一化问题.

5.

∫∞|(A)-1/2Ψ (r , t )|2 d τ= 1 (A)-1/2 称为归一化因子.

注意：对归一化波函数仍有一个模为1的因子不定性.若Ψ (r , t )是归一化波函数，

那末，ei αΨ (r , t )也是归一化波函数（其中α是实数），与前者描述同一几 率波

6. 平面波 归一化

t=0 时的平面波

考虑一维积分若取 A12 2πη = 1，则 A1= [2πη]-1/2,

于是 三维情况：

注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。

7.态叠加原理：一般情况下，如果Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态，那末它们的线性叠加Ψ= C1

Ψ1 + C2Ψ2 也是该体系的一个可能状态.其中C1 和 C2 是复常数，这就是量子力学的态叠加原理.若Ψ1中测量A 为a1, Ψ2中测量A 为a2,那么在 Ψ态中测量A 值既可能是a1也可能是a2,具有不确定性，但有确定的权重.

8.

Ψ (r,t)是以坐标 r 为自变量的波函数，坐标空间波函数，坐标表象波函数；

C(p, t) 是以动量 p 为自变量的波函数，动量空间波函数，动量表象波函数； 二者描写同一量子状态.

9. 薛定谔方程（波动方程）

10.波函数的标准条件：有限性，连续性，单值性 11.

量子力学基本假定：波函数完全描述粒子的状态 波函数随时间的演化遵从 Schr?dinger 方程

??????-?=ψ)(exp Et r p i A Et i p

Et r p i p e r Ae t r

--?Φ==ψ)(),(][x p i p x x e x

π21)(=Φ][2

/3]2[1)(r p i p e r

?=Φπ2

2

(,)[()](,)

2?(,)?i

r t V r r t t

H

r t H

Hamilton Hamilton μ

?ψ=-

?+ψ?=ψ式中是体系的算符，亦常称为量.

12.

定态波函数：

该方程称为定态 Schr?dinger 方程，ψ(r)也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻ψ(r,0)的定态波函数.

定态的性质：1. 定态-----E 具有确定值

2. 粒子在空间几率密度、几率流密度与时间无关

3.任何不显含t 的力学量平均值与t 无关

综上所述，当Ψ满足下列三个等价条件中的任一个时，Ψ就是定态波函数：

● Ψ描述的状态其能量有确定的值； ● Ψ满足定态Schr?dinger 方程； ● |Ψ|2 与 t 无关.

13.

能量本征值方程：将 改写成

常量 E 称为算符 H 的本征值；Ψ称为算符 H 的本征函数.

当体系处于能量算符本征函数所描写态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值

14.束缚态：对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，ψ = 0.这样的状态，称为束缚态 15.线性谐振子：

量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运

动的粒子. 16.线性谐振子能级为 n=0时称为零点能 17.

厄密多项式：

Hn(ξ) 的最高次幂是 n 其系数是 2n Hn(ξ)的最高次项是(2ξ)n.所以： 当 n=偶，则厄密多项式只含ξ的偶次项； 当 n=奇，则厄密多项式只含ξ的奇次项.

18. 透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数D = JD/JI

其物理意义是：描述贯穿到 x > a 的 III 区中的粒子在单位时间内流过垂直x 方向的单位面积的数目与入射粒子（在 x < 0 的I 区）在单位时间内流过垂直于x 方向单位面积的数目之比.

反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数R = JR/JI 19.

隧道效应 ：粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象

)()(]2[2

2r E r V ψψμ

=+?-空间波函数ψ(r)可由方

和具体问题ψ(r)应满足的边界条件得

Et i e

r t r -=ψ)(),(ψψ=ψ+?-E V ]2[2μ ψ=ψE H

? ,2,1,0)(21=+=n n E ω]exp[

]exp[)1()(22ξξξξ--=n n

n n d d H

第三章知识点

1.算符：a 线性算符?(c1ψ1+c2ψ2)= c1?ψ1+c2?ψ2

动量算符，单位算符是线性算符，开方算符、取复共轭就不是线性算符. 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符

b.算符之和：注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替. 很易证明线性算符

之和仍为线性算符.

c.算符之积:

一般来说算符之积不满足 交换律，即 ?? ≠ ?? d.对易关系：若?? ≠ ??，则称? 与 ? 不对易

量子力学中最基本的

对易关系.

坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易.

注意： 当? 与 ? 对易，? 与 ê 对易，不能推知 ? 与 ê 对易与否 若算符满足?? = - ??， 则称 ? 和 ?反对易.

e.逆算符：设?ψ= φ, 能够唯一的解出 ψ, 则可定义算符 ? 之逆 ?-1 为: ?-1 φ = ψ 注：投影算符就不存在逆

f.转置算符：

g.厄密共轭算符:

h.厄密算符

性质I: 两个厄密算符之和仍是厄密算符. 即若?+ = ?, ?+ = ?

则(?+?)+ = ?+ + ?+ = (?+?)

性质 II: 两个厄密算符之积一般不是厄密算符, 除非二算符对易. 因为

(? ?)+ = ?+ ?+ = ? ? ≠ ? ?仅当 [?, ?] = 0 成立时, (? ?)+ = ? ? 才成立. 2. 只有分立谱才能归一化为一，连续谱归一化为 δ 函数. 周期性边界条件是动量算符厄米性的要求.

3. 根据球函数定义式可知对应一个λ值有(2 λ +1)个量子状态，这种现象称为简并，λ 的简

并度是 (2 λ +1)

4.

角动量算符的对易关系

z y x p p p p i x p p x ,,,0??????==-=-βαδαββααβαββα 0

????0????0????0??0??0??0??0??0??=-=-=-???=-=-???=-=-???=-=-z x x z y z z y x y y x y y x x z z x x z z y y p p p p p p p p p p p p z p p z z p p z y p p y y p p y x p p x x p p x ????**U U d U d U τψφτφψψφ=??

算符的转置算符定义为：式中和是两个任意函数.φψτφτψ?

?=+*)?(?*O d O

d O O O d O d ??*)?(?*==+?

?或φψτφτψz y x L i L L ?]?,?[ =Civita Levi L i L L ?]?,?[其意义如下：符号，称为合记之：-=εεαβγγ

αβγβα

5.中心库伦场中电子运动能级

由此可见，在粒子能量 小于零情况下（束缚态） 仅当粒子能量取 En 给出 的分立值时波函数才满 足有限性条件的要求。

6.库伦场中运动的电子能量小于零时的定态波函数

7.

本征值和本征函数

能级简并性n = nr+ λ + l λ = 0,1,2,... nr = 0,1,2,...

能量只与主量子数 n 有关，而本征函数与 n, λ, m 有关，故能级存在简并.

对于 E n 能级其简并度为： 即对能量本征值En 由 n2 个本征函数与之对应，也就是说有 n2 个 量子态的能量是 En 。n = 1 对应于能量最小态，称为基态能量， E1 =μZ2 e4 / 2 η2，相应基态波函数是 ψ100 = R10 Y00， 所以基态是非简并态. 8.

于是氢原子能级和相应的本征函数是：

9. 电离能：E ∞与电子基态能量之差-----E1 = -(μ e4 / 2 η2 )， 当 n → ∞ 时， E ∞ = 0，则电离能为： ε= E ∞- E1 = - E1 = μe4 / 2 η2 = 13.579 eV .

10. 当氢原子处于ψnlm(r,θ,?)时， 电子在(r,θ,?)点附近体积元 d τ = r2sin θ drd θd ? 内的几率

11.

角动量算符

12.

定理I ：体系任何状态ψ下，其厄密算符的平均值必为实数.

逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄密算符. 注：厄密算符平方的平均值一定大于等于零 定理2：厄密算符的本征值必为实

定理III ： 厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交

3,2,122

24

2=-

=∴n n e Z E n μ),()(),,(?θ?θψlm nl nlm Y r R r =l

m n l Y r R r n n e Z E lm nl nlm

n ±±±=-=????

?==-=,,2,1,01,,2,1,0)

,()(),,(,3,2,12224

2 ?θ?θψμ2

1

)12(n l n l =+∑

-=)

,()()(,3,2,12224

?θψμlm nl nlm n Y r R r n n

e E ==-= ?θθ?θψτ?θd drd r r d r W nlm nlm sin |),,(|),,(22=p

r L p r L ?? ?=→?=r d r L r L )(?)(ψψ=???

*)(???)(???)(???x

y y x i p y p x L z

x x z i p x p z L y z z y i p z p y L x

y z z x y y z x ??-??-=-=??-??-=-=??-??-=-= 三个分量：

13.正交归一函数系举例：线性谐振子能量本征函数，角动量算符本征函数，氢原子波函数 14. 量子力学基本假定III 告诉人们，在任意态ψ(r)中测量任一力学量 F ，所得的结果只能是由算符 F 的本征方程 解得的本征值λn 之一.

15.

当在 ψ 态中测量力学量 F 和 G 时，如果同时具有确定值，那么ψ 必是 二力学量共同本征函数.

16.

若两个力学量算符有一组共同完备 的本征函数系，则二算符对易.

如果两个力学量算符对易，则此二算符 有组成完备系的共同的本征函数.

一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易.

17.

为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集.

18．不确定关系

坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小，另一就越大. 零点能就是测不准关系所要求的最小能量

n

n n F φλφ=????????=?.,,)2(1)(?,?,?2/3z y x r p i p z y x p p p e r p p p 同时有确定值：共同完备本征函数系：两两对易；动量算符：

πψ??

???+=.,)1(,),()()(?,?,?2

2 m l l E Y r R r L L H n lm nl nlm z 同时有确定值：共同完备本征函数系：两两对易；氢原子中：??ψ?????????±===Φ=).,1,0(,,221)(?,2??222 m m I

m E e L I L H m im m z z 同时有确定值：共同完备本征函数系：相互对易；定轴转子：?π

??????????++=???±±===.,)1(,2)1(,1,0,2,1,0),(?,?,2??2222

m l l I l l E l m l Y L L I L H l lm z 同时有确定值：共同完备本征函数系：两两对易；空间转子：??4)()?()?(222k G F ≥???

第四章知识点：

1. 表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象.

2.

|Ψ(x,t)| 2d x 测量粒子的位置所得结果在 x → x + d x 范围内的几率. |C(p,t)| 2 d p 测量粒子的动量所得结果在 p → p + d p 范围内的几率. Ψ(x,t) 与 C(p,t) 一 一 对应，描述同一状态.

Ψ(x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数； 而 C(p,t) 就是该状态在动量表象中的波函数.

同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同， 波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态。

3.

若Ψ(x,t) 描写的态是具有确定动量 p ′的自由粒子态，即：

则相应动量表象中的波函数

所以，在动量表象中，具有确定动量p ’的粒 子的波函数是以动量 p 为变量的δ- 函数. 换言之，动量本征函 数在自身表象中是一个δ函数.

4. 算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就是算符的本征值。

力学量算符在自身表象中的形式 5. |ψ> 和 <ψ|的关系：

1）在同一确定表象中，各分量互为复共轭；

2）由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相加； 3）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为一复数 6.

X 表象描述与 Dirac 符号

μψ2)(),(2

/p E e x t x p t iE p p '=

=ψ'-''

dx t x x t p C p ),()(*),(ψ=?

ψ)(/p p e t iE p '-='-δ

)()(?x u Q x u Q n

n n =1)(|)(|1),(),()()(?),(?)(|),(**>=ψψ<>=<=ψψ=?->ψψ?

?t t Q Q dx t x t x dx x u x u F i r F t t x mn

n m mn n m δδ本征函数归一化算符波函数 **

n *()()()|()

||1()()()

||1()()()

q q n n n n n

q q u x u x dx q q q q q q Q Q u x u x x x q dq q u x u x dq x x δδδδ''''''''''''=-<>=-''><==-''><==-?

∑∑?

?

正交归一性本征函数封闭性>=<=>>==>Φ>=ψΦ=ψ?

ψψψψψλψλψψ|?|?||?)()()?,(?)(|?)(|),()?,(?),(*F F dx F F F r r p r F t F

t t x p x F t x x 平均值本征方程公式 >ψ>=ψψ?-=ψ??->=<=?

)(|?)(|),(),(?),(|?|?*t H t dt d i t r i r H t r t i S n F m F dx F F mn n m mn 方程矩阵元ψψ

7.

证

8.

厄密共轭规则:1）把全部次序整个颠倒 2）作如下代换：

常量 C C* < | 左矢 右矢 | >

| > < |

例

9.

用狄拉克符号表示波函数归一化条件<ψn |ψn > = 1

10.

粒子湮灭算符 粒子产生算符

振子基态的基矢

11.

占有数表象：以 |n > 为基矢的表象称为占有数表象

12. N 的意义：

13. 么正矩阵条件：S+ S = S S+ → S+ = S-1 14.

么正变换不改变厄密矩阵的厄密性

1]?,?[=+a a 2211

??????[,]),()2a a x p x p i i αα+?=-+??2

2211????,2x p x p i i ααα??=-+????222221111

????????{[,][,][,][,]}2x x x p p x p p i i i i ααααα

=+--221????{[,][,]}2x p p x i αα=-2

21{2}2i i αα=1=+F F ???[||||]C u F v φψ+<>><*|?|||C u F v >

<><+φψ>->=1||?n n n a >++>=+1|1|?n n n a 00|?>=a

>

>=+n a a n N |??|?>-=+1|?n n a >+-=n n n |1)1(>=n n |???????

? ??= 0300000200

00010a ???

????? ??=+ 00300

000200000100000a

一、填空题

1、光的粒子性是由 、 和 三个实验最终确定的。

2、波函数模的平方2

(,)r t ψ表示的物理意义是 。

3、描写定态的波函数一定具有 形式。

4、隧道效应是由于粒子具有 性质而表现出来的量子效应。

5、厄米算符的本征函数具有 、 和 等性质。

6、氢原子能级简并的原因是 。

7、完成下列对易关系：??[,]x y

p = ，[,]z y L L = ，2

[,]L Lz = 。

8、球谐函数(,)lm Y θ?是算符 和 共同的本征函数，相应的本征值分别为 和 。

9、自旋算符的矩阵表达式为：x S = 、y S = 、

z S = 。

二、选择题

1、正负电子对湮灭时产生两个光子，光子的最大波长为 （ ） A 、0.0240

A ，

B 、0.240

A ， C 、0.00240

A ， D 、无法确定。 2、验证电子具有波动性的实验是（ ）

A 、戴维逊―革末实验，

B 、斯特恩－盖拉赫实验，

C 、夫兰克－赫兹实验，

D 、斯塔克效应实验。 3、在波函数的统计解释中，正确的说法是（ ） A 、(,)r t ψ表示粒子出现的概率，

B 、2

(,)r t ψ表示t 时刻粒子在空间r 处出现的概率密度， C 、2(,)r t ψ表示t 时刻粒子在空间r 处出现的概率， D 、(,)r t ψ表示t 时刻粒子在空间r 处出现的概率密度。 4、在任意态中测量力学量F 一次，会得到 （ ）

A 、?F

的某一本征值， B 、?F 的本征值之和，

C 、F 的平均值，

D 、F 的一切本征值

5、下列体系中能级间隔随量子数增大而增大的是（ ） A 、线性谐振子，B 、一维无限深势阱， C 、氢原子，D 、氦原子

6

、若氢原子处于状态111

1021112()()(,)()(,)r R r Y r Y θ?θ?-ψ=则有确定值的

力学量是 （ ）

A 、体系的能量，

B 、角动量的平方2

L ， C 、角动量的z 轴分量z L ，D 、角动量的x 轴分量x L

三、计算题

1、设粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为：

sin()0()0

0,i Et

A x e

x a x a x x a π?-?≤≤?=??<>? ，

求（1）归一化波函数；（2）几率密度；（3）粒子在何处几率最大，最大几率为多少？

2

、设氢原子处于状态211021111(,,)()(,)()(,)22

r R r Y R r Y θ?θ?θ?-ψ=

-，求氢原子能量、角动量平方、角动量z 分量的可能值及其相应的几率，并求各量 的平均值。

几率为1

几率为1

可能值 相应的几率 m ＝0 0 1/4

m ＝－1 3/4

3、已知在2

L 和z L 的共同表象中，算符x L 的矩阵为010*******x L ??

?

= ? ???

，求其本征值和归一化的本征函数。

44222228s s

n e e E E n μμ--===428s e E μ-=222(1)2L l l =+=22

2L =z L m

=-133

0()444

z L =?

+-=-

4、证明?z

S 的本征态12

()z s χ和 12

()z s χ-都不是?y S 的本征态。

书上每章的小结请大家认真阅读，作业题也请认真理解。 此复习资料仅供参考希望大家取得好成绩。