高阶模糊差分方程动力学行为分析
数学的动力系统学
数学的动力系统学数学的动力系统学是数学的一个分支领域，它研究的是随时间发展的物理系统、经济系统、生物系统等的数学模型。
动力系统学的目标是揭示系统的行为规律以及稳定性质，并提供对复杂系统的预测和控制。
一、初步介绍动力系统学动力系统学的核心概念是“动力系统”。
动力系统由一组描述物体随时间演化的方程式组成，例如微分方程或离散方程。
这些方程式描述了系统在不同时间点上的状态以及状态之间的演变规律。
动力系统学主要关注以下几个方面：1. 稳定性与吸引子：研究系统是否在某些条件下能够趋向于一个稳定状态，或者在不同初值条件下是否能够收敛到相同的状态。
2. 周期解与周期性：探究系统是否存在周期解，即在某个时间间隔内重复出现的解。
3. 非线性动力学：研究无法简化为线性方程的动力系统，这类系统的行为可能更加复杂，包括混沌现象等。
4. 动力学传播：研究系统中信息、能量、物质等如何在空间中传递和分布。
二、数学模型与动力系统学的应用数学模型是动力系统学的基础。
研究者通过建立数学模型，可以对各种物理、经济、生物等系统进行分析和预测。
这些模型通常由一组微分方程或差分方程组成，根据具体领域的特点和问题的需求来选择合适的数学形式。
动力系统学在许多领域都有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 天体力学：研究行星、恒星、星系等天体的运动和演化规律，揭示宇宙的组织结构和动力学过程。
2. 经济学：探索经济系统中的各种因素之间的相互作用，预测市场走势和经济发展趋势。
3. 生物学：研究生物系统的动力学行为，如遗传变异、群体演化、生物钟等。
4. 大气科学：研究大气环流模式，预测天气和气候变化。
三、动力系统学的分支与发展动力系统学是一个既有理论基础又有实际应用的学科，在发展过程中衍生出了许多重要的分支领域。
1. 混沌动力学：混沌动力学研究非线性系统中的混沌现象。
混沌是指具有确定性规律但表现出随机性行为的系统。
2. 同步与控制：研究如何通过控制手段使动力系统达到期望的状态，并探索复杂系统中的同步现象。
差分方程简介
差分方程简介
汇报人：
contents
目录
• 差分方程的基本概念 • 差分方程的求解方法 • 差分方程的应用 • 差分方程的局限性 • 差分方程的发展历程与未来趋势 • 差分方程的实际案例分析
01
差分方程的基本概念
定义与例子
• 差分方程是描述离散序列变化的方程式。例如，考虑一个数列{an}，我们可以写出一个差分方程：a{n+1} = 2a_n + 3。
应用
经济学中的差分方程模型适用于预测经济指标的未来趋势 、政策效应分析等。然而，由于现实世界中的复杂性，该 模型可能不适用于所有经济情况。
THANKS
感谢观看
公式法
公式法的原理
01
通过差分方程的解的公式直接计算出解。公式法的步骤 Nhomakorabea02
根据差分方程的特点，寻找解的公式，然后代入初值计算出解
。
公式法的优缺点
03
公式法适用于某些特定类型的差分方程，但不适用于所有类型
的差分方程，需要具体问题具体分析。
计算机方法
计算机方法的原理
利用计算机强大的计算能力，通过编程等方法求解差分方程。
人群、感染人群和免疫人群之间的转换。这些因素都可以通过差分方程来描述 。 • 数学方程：常见的传染病模型如SIR模型，其差分方程为 S(t+1) = S(t) b*S(t)*I(t)/N(t), I(t+1) = I(t) + b*S(t)*I(t)/N(t) - d*I(t), R(t+1) = R(t) + d*I(t)，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示免疫人群，b表示感染率 ，d表示疾病死亡率。 • 应用：传染病模型适用于预测疾病的传播趋势、评估公共卫生干预措施的效果 等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有疾病传播情况 。
数学的微分方程与动力学
数学的微分方程与动力学微分方程（Differential Equations）是数学分析的重要分支，研究的是函数与其导数或微分之间的关系。
微分方程在许多科学领域，尤其是在动力学（Dynamics）中扮演着重要的角色。
本文将探讨数学的微分方程与动力学的关系，揭示它们之间的密切联系。
一、微分方程的基础微分方程是描述物理、生物、经济等现象的最常用工具之一。
数学上，它可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程涉及一个或多个未知函数及其自变量的导数，而偏微分方程则涉及了多个自变量的导数。
微分方程提供了一种描述变化过程的数学语言，解它们可以揭示出物理系统的演化规律。
二、动力学的基本概念动力学关注系统随时间演化的规律，研究物体的运动以及与运动有关的力和能量的转化。
它是自然科学中的一个重要分支，涉及力学、物理学、生物学等多个领域。
动力学看似与微分方程没有直接联系，但实际上微分方程是研究动力学的主要工具之一。
三、微分方程与动力学的联系微分方程与动力学有着紧密的联系。
动力学问题通常可以通过建立微分方程来描述。
以经典力学为例，牛顿第二定律F=ma可以通过将加速度a与速度v和位移x的关系表示为v'=a、x'=v，构建出微分方程。
这个微分方程可以求解，得出物体的位置随时间的变化规律。
四、微分方程在动力学中的应用微分方程在动力学中被广泛应用。
在经济学中，微分方程可以用来描述市场供需关系的变化；在生物学中，微分方程可以用来描述生物种群的增长和衰减规律；在物理学中，微分方程可以用来描述电路中电流和电压的变化。
五、数值解法与动力学仿真微分方程通常难以直接求解，因此数值解法和动力学仿真成为解决微分方程问题的重要手段。
数值解法通过将微分方程转化为差分方程，离散化求解得到近似解；而动力学仿真则通过模拟系统的演化过程，得到系统的行为和发展趋势。
六、微分方程与混沌理论混沌理论是动力学的一个重要分支，研究的是非线性系统中表现出的复杂行为。
微分方程与差分方程简介
差分方程的分类
一阶差分方程
只包含一个差分的方程，如 (y(n+1) - y(n) = f(n))。
高阶差分方程
包含多个差分的方程，如 (y(n+2) - 2y(n+1) + y(n) = 0)。
线性差分方程
差分项之间线性关系的方程，如 (y(n+1) - y(n) = a + by(n))。
非线性差分方程
05
微分方程与差分方程的 稳定性分析
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性分析是一种判断动 态系统稳定性的方法，通过分析系统 状态的变化趋势，判断系统是否具有 稳定性。
李雅普诺夫第二方法通过构造一个正 定的李雅普诺夫函数，来研究非线性 系统的稳定性，这种方法适用于非线 性系统的稳定性分析。
线性稳定性分析
经济问题
描述市场供需关系、价格变动、经 济增长等。
03
02
工程问题
控制工程、航空航天、机械工程等 领域。
生物医学问题
描述生理过程、药物动力学、流行 病传播等。
04
02
差分方程简介
差分方程的定义
差分方程是描述离散变量变化规律的数学模型，通常表示为离散变量的函数及其差分之间的关系式。
它与微分方程类似，但时间或空间变量是离散的，而不是连续的。
微分方程与差分方程 简介
目 录
• 微分方程简介 • 差分方程简介 • 微分方程与差分方程的联系与区别 • 微分方程与差分方程的数值解法 • 微分方程与差分方程的稳定性分析
01
微分方程简介
微分方程的定义
1
微分方程是包含一个或多个未知函数的导数的方 程。
2
它描述了某一函数随时间或其他变量的变化规律。
动力学方程的求解方法与应用
动力学方程的求解方法与应用引言：动力学方程是描述物体运动规律的数学模型，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
本文将介绍动力学方程的求解方法及其在实际应用中的重要性。
一、常见的动力学方程求解方法1. 解析解法：解析解法是指通过数学方法直接求解动力学方程的解。
对于简单的动力学方程，如一阶线性常微分方程，可以通过分离变量、积分等方法求得解析解。
这种方法具有精确性和直观性，但对于复杂的动力学方程往往无法求得解析解。
2. 数值解法：数值解法是通过数值计算的方式求解动力学方程的解。
常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法通过将时间和空间离散化，将动力学方程转化为差分方程或差分方程组，然后使用迭代计算的方式逼近真实解。
数值解法具有适用范围广、计算速度快的优点，但精度相对较低。
3. 近似解法：近似解法是通过对动力学方程进行适当的简化和近似，得到近似的解析解。
常见的近似解法包括级数展开法、平均场理论等。
这些方法在一定的假设条件下，可以得到简化后的动力学方程，从而得到近似解。
近似解法具有计算简便、可解释性强的特点，但在某些情况下可能会引入较大的误差。
二、动力学方程求解方法的应用1. 物理学领域：在物理学中，动力学方程的求解方法广泛应用于描述物体的运动规律。
例如，牛顿第二定律可以通过动力学方程求解方法得到物体的加速度、速度和位移随时间的变化规律。
这对于研究物体的运动特性、力学性质等具有重要意义。
2. 工程学领域：在工程学中，动力学方程的求解方法被广泛应用于控制系统、机械振动、电路分析等领域。
例如，控制系统中的状态方程可以通过动力学方程求解方法得到系统的稳定性、响应速度等性能指标。
这对于设计和优化控制系统具有重要意义。
3. 生物学领域：在生物学中，动力学方程的求解方法被广泛应用于描述生物体的生长、代谢、传播等过程。
例如，生物体的生长模型可以通过动力学方程求解方法得到生物体的生长速率、饱和状态等信息。
这对于研究生物体的生物学特性、生态系统的稳定性等具有重要意义。
差分方程求解
差分方程求解什么是差分方程差分方程是离散时间系统模型中常用的数学工具之一。
它描述了在不同时间点上，系统状态之间的关系，其中系统状态是离散的。
差分方程在许多科学领域都有应用，如物理学、工程学和经济学等。
差分方程可以看作是微分方程在离散时间上的等效形式。
微分方程描述了连续时间系统的动态行为，而差分方程描述了离散时间系统的动态行为。
差分方程通常通过递推关系来表示系统状态之间的转移。
差分方程的一般形式差分方程的一般形式可以表示为：x[n+1] = f(x[n], x[n-1], ..., x[n-k])其中，x[n]表示系统在时间点n的状态，f表示系统状态之间的转移函数，k表示系统的阶数。
差分方程的求解方法1. 递推法递推法是一种直接求解差分方程的方法。
通过已知初始条件x[0], x[1], ..., x[k]，可以逐步递推得到系统在任意时间点上的状态。
递推法的步骤如下：1.根据初始条件，求得x[k+1]；2.迭代计算，依次求得x[k+2], x[k+3], ...。
递推法的优点是简单易用，并且不需要求解复杂的代数方程。
但它的缺点是只能求得系统的局部解，无法得到整个系统的行为。
2. 特征根法特征根法是一种求解差分方程的解析方法。
通过求解差分方程的特征方程，可以得到系统的特征根，进而得到系统的解析解。
特征根法的步骤如下：1.将差分方程转化为对应的特征方程；2.求解特征方程，得到系统的特征根；3.根据特征根的性质，推导得到系统的解析解。
特征根法的优点是能够得到系统的全局解，对于高阶差分方程尤为适用。
但它的缺点是求解过程较为繁琐，需要具备一定的数学知识。
差分方程的应用举例差分方程在许多科学领域都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用举例：1. 自然科学中的应用在物理学和工程学等领域中，差分方程常用于描述动态系统的行为。
例如，可以用差分方程描述弹簧振子的运动过程、电路中电流的变化等。
2. 经济学中的应用在经济学中，差分方程常用于描述经济系统的演化过程。
差分及其性质课件
差分的可导性
定义
如果函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内 可导，那么称 $f'(x)$ 为 $f(x)$ 的导 数。
性质
差分函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内的 导数等于函数在区间内任意子区间的 端点取值的导数值之差，即 $f'(x) = \frac{d}{dx}f(a) - \frac{d}{dx}f(b)$。
差分方程
差分方程的定义
差分方程的概念
差分方程是描述离散序列变化的 偏微分方程，其中自变量和未知
数都是离散的序列。
差分方程的表示
差分方程通常用递推关系式表示 ，即通过已知的离散序列值推导
出未知的序列值。
差分方程的类型
根据未知数的不同，差分方程可 以分为线性差分方程和非线性差 分方程；根据自变量的不同，差 分方程可以分为常系数差分方程
差分在物理上的应用
01
02
03
量子力学
在量子力学中，差分可以 用于描述粒子的位置和动 量，从而研究波函数的性 质和演化。
电磁学
在电磁学中，差分可以用 于模拟电磁波的传播和散 射，从而研究电磁波的干 涉和衍射等现象。
流体动力学
在流体动力学中，差分可 以用于模拟流体的运动和 波动，从而研究流体的稳 定性和湍流等现象。
差分的扩展应用
数值微分
在实际应用中，由于很多函数的导数难以求解，人们经常使 用差分来近似数值微分，即用$\Delta y$和$\Delta x$的比 值近似代替函数在某点的导数。
偏微分方程
对于多元函数，也可以使用差分来近似偏微分方程的解。
差分的发展趋势
差分算法的优化
随着计算机技术的发展，人们正在寻 找更有效的差分算法，以提高计算效 率和精度。
群体行为演化的动力学模型构建与分析
群体行为演化的动力学模型构建与分析引言：群体行为是指一群个体在一定时间和空间范围内进行的集体活动，这些活动可以包括社会互动、协作行为、信息传播等。
群体行为的演化对于理解集体智慧、社会动态和群体协作等现象具有重要意义。
动力学模型是一种描述和分析群体行为演化的有力工具，通过构建和研究模型可以揭示群体行为背后的机制和规律。
一、群体行为的动力学模型构建1. 个体行为模型个体行为是构建群体行为模型的基础。
个体行为模型可以基于理性行为、遗传算法、机器学习等方法进行构建。
其中，理性行为模型常用于描述个体在特定目标下的决策过程，遗传算法和机器学习方法则常用于模拟个体通过学习与适应不断演化的行为。
2. 群体交互模型群体交互模型描述了个体之间的互动和信息传播过程。
传统的群体交互模型包括邻近效应模型、随机模型和门限模型等。
近年来，基于复杂网络的群体交互模型逐渐兴起。
这些模型考虑个体之间的关联网络结构，能够更准确地描述真实世界中群体行为的演化。
3. 群体演化模型群体演化模型是将个体行为模型和群体交互模型结合在一起，描述群体行为的演化过程。
群体演化模型可以使用微分方程、差分方程、智能算法等方法进行建模。
其中，微分方程模型常用于描述连续时间内群体行为的动态变化，差分方程模型常用于离散时间内群体行为的模拟。
二、群体行为的动力学模型分析1. 稳定性分析稳定性分析是对动力学模型进行的一项基本任务。
通过稳定性分析，可以判断模型系统的稳定性，即系统是否会趋向于某种稳定状态。
常用的稳定性分析方法有线性稳定性分析、时延稳定性分析和非线性稳定性分析等。
2. 动力学行为分析动力学行为分析旨在研究群体行为模型中的动态特征、变化规律和演化趋势。
动力学行为分析可以通过数值模拟、仿真实验和理论分析等方法进行。
通过分析群体行为模型的动力学行为，可以揭示群体行为的复杂性、临界性和自组织性等重要特征。
3. 影响因素分析影响因素分析是对群体行为模型中影响行为演化的重要因素进行分析。
系统动力学模型的构建与分析方法
系统动力学模型的构建与分析方法系统动力学是一种研究复杂系统行为的方法，通过建立数学模型来描述系统的结构和动态变化规律。
本文将介绍系统动力学模型的构建与分析方法，以帮助读者更好地理解和应用这一方法。
一、系统动力学模型的构建方法1. 确定研究对象：首先需要明确研究的系统对象，可以是自然生态系统、经济系统、社会系统等。
确定研究对象后，进一步明确系统的边界和要素。
2. 构建系统结构图：根据研究对象的特点和要素之间的相互关系，绘制系统结构图。
结构图应包括系统的各个要素以及它们之间的关系，可以使用流程图、框图等形式进行表示。
3. 确定系统变量和参数：根据系统结构图，确定系统的变量和参数。
变量是描述系统状态和行为的因素，如人口数量、资源利用率等；参数是影响系统动态变化的常数或函数，如增长率、捕食率等。
4. 建立动力学方程：根据系统结构图和确定的变量和参数，建立动力学方程。
动力学方程描述了系统中各个变量之间的相互作用和变化规律，通常采用微分方程或差分方程的形式进行表示。
5. 确定初始条件和边界条件：为了模拟系统的动态变化过程，需要确定初始条件和边界条件。
初始条件是系统在时间初始点的状态，边界条件是系统与外部环境的交互条件。
6. 进行模型验证和修正：建立模型后，需要对模型进行验证和修正。
可以通过与实际观测数据进行比较，或者与其他已有模型进行对比来评估模型的准确性和可靠性。
二、系统动力学模型的分析方法1. 稳态分析：稳态分析用于研究系统在长时间运行后的稳定状态。
可以通过求解动力学方程的稳态解，或者通过模拟系统在不同参数条件下的稳态行为来进行分析。
2. 动态分析：动态分析用于研究系统的瞬态和周期性行为。
可以通过数值模拟或解析方法求解动力学方程，观察系统的动态变化过程，并分析系统的稳定性、周期性和混沌性等特征。
3. 敏感性分析：敏感性分析用于研究系统对参数变化的响应程度。
可以通过改变某个参数的值，观察系统的响应变化，评估参数对系统行为的影响程度，进而优化系统的设计和管理。
时域中常用的数学模型
时域中常用的数学模型1.引言1.1 概述概述部分的内容可以按照以下方式编写：概述一节将介绍时域中常用的数学模型。
时域是指针对信号的时序特性进行建模和分析的领域，它关注信号随时间的变化过程。
在许多实际问题中，我们需要利用数学模型来描述和分析信号在时域上的行为。
通过建立适当的数学模型，我们可以深入理解信号的特点和规律，为问题的解决提供依据。
本文将主要介绍两种常用的时域数学模型。
第一种模型是XXX模型，它在解决问题时广泛应用于XXX领域。
XXX模型基于XXX原理，通过XXX方式来描述信号在时域上的变化。
该模型具有XXX的特点，可以有效地描述XXX的过程和行为。
第二种模型是XXX模型，它是XXX领域的一种主要数学工具。
XXX模型通过XXX方法来描述信号在时域上的演化过程，具有XXX的特点和优势。
本文的主要目的是介绍这两种常用的数学模型，深入探讨它们的原理和应用。
通过对这些模型的学习和理解，我们可以更好地应用它们解决实际问题。
此外，本文还将对这两种模型进行比较和分析，探讨它们的优劣和适用范围。
最后，本文将给出一些结论和展望，以期对读者更好地理解和应用时域中常用的数学模型提供帮助。
在下一节中，我们将重点介绍数学模型1。
通过对数学模型1的详细分析，我们将深入了解它的原理、特点和应用。
请继续阅读下一节，以获取更多有关数学模型1的内容。
以上便是概述部分的内容。
这部分主要对整篇文章进行开场引言，介绍文章将要讨论的内容和目的，为读者打下阅读的基础。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：1.2 文章结构本文将按照以下结构来介绍时域中常用的数学模型。
2. 正文2.1 数学模型12.2 数学模型2在正文部分，我们将详细介绍两个时域中常用的数学模型。
通过对每个数学模型的原理、应用场景以及解决问题的方法进行分析和说明，读者将能够深入了解数学模型在时域中的作用和应用。
3. 结论3.1 总结3.2 展望结论部分将对本文的主要内容进行总结，并展望未来时域中数学模型的发展趋势和研究方向。
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2019年7月第43卷第4期安徽大学学报(自然科学版)JournalofAnhuiUniversity(NaturalScienceEdition)July2019Vol.43No.4
doi:10.3969/j.issn.1000-2162.2019.04.003
收稿日期:2018-12-16基金项目:国家自然科学基金资助项目(11761018)
作者简介:张千宏(1971-),男,湖南邵阳人,贵州财经大学教授,博士,E-mail:zqianhong68@163.com.
高阶模糊差分方程动力学行为分析张千宏1,林府标1,钟筱莺2(1.贵州财经大学数学统计学院,贵州贵阳550025;2.贵州财经大学图书馆,贵州贵阳550025)
摘 要:研究一类高阶模糊非线性差分方程正解的存在性、正平衡解的存在性及解的渐近行为,系统中参数及初始值都是正模糊数,最后给出数值例子验证所得结论的正确性.
关键词:模糊差分方程;平衡点;有界性;持久性;渐近稳定性中图分类号:O175.7 文献标志码:A 文章编号:1000-2162(2019)04-0017-07
Dynamicalbehaviorofhigh-orderfuzzydifferenceequationZHANGQianhong1,LINFubiao1,ZHONGXiaoying2
(1.SchoolofMathematicsandStatistics,GuizhouUniversityofFinanceandEconomics,Guiyang550025,China;2.Library,GuizhouUniversityofFinanceandEconomics,Guiyang550025,China)
Abstract:Thispaperstudiedtheexistenceofpositivesolutionandpositiveequilibrium,asymptoticbehaviorofthepositivesolutionsofahigh-orderfuzzynonlineardifferenceequation,wheretheparametersandinitialvaluesofequationwerepositivefuzzynumbers.Finally,anillustrativeexamplewasgiventoverifyresultsobtained.Keywords:fuzzydifferenceequation;equilibriumpoint;boundedness;persistence;
asymptoticstability
差分方程以离散系统及微分方程与时滞微分方程的数值解形式出现,其在经济学、生态学、计算机科学、控制工程等方面有许多重要的应用[1-6].科研工作者得到了一些非线性差分方程振动性、周期性及有界性的成果,类似的结论推广到了两个非线性差分方程系统[7-11].
不确定性在许多应用领域是非常重要的研究内容,针对现实问题建立模型时,系统参数或初始值含有模糊不确定性.经典的确定性问题建模,因为系统的状态变量、模型的系统参数、初始条件不确定等因素经常会导致模型的模糊不确定性.在建立数学模型时,模糊集理论是处理模型中不确定性的强有力的工具.特别地,模糊差分方程是动力系统建模的一种重要方法.模糊差分方程是一类特殊的差分方程,方程中的常数或初始值为模糊数,它的解表现为模糊数数列.在分析事物内在的不确定现象时,应用模糊差分方程来处理是非常重要的.最近,学者们对模糊差分方程的研究兴趣与日俱增[12-24].文献[16]运用
模糊差分方程模型,研究了金融领域中货币的价值随时间变化情况.文献[19]研究了下列模糊差分方程
xn+1=A+xnxn-m,n=0,1,2,…,m∈
{1,2,…},其中:A与初始值x-m,x-m+1,…,x0是正模糊数.论文进一步研究下列高阶模糊差分方程xn+1=A+xn∑ki=0xn-i,n=0
,1,2,…,(1)
其中:A与初始值x-k,x-k+1,…,x0为正模糊数.首先给出一些基本定义[13,15].定义1 A为模糊数,如果A:R→
[0,1]满足(i)~(iv):
(i)A是正规的,即存在x∈R,使得A(x)=1;(ii)A是模糊凸的,即对所有的t∈[0,1]和x1,x2∈R,使得
A(tx1+(1-t)x2)≥min{A(x1),A(x2
)};
(iii)A为上半连续的;
(iv)A的支撑suppA=∪α∈(0,1][A]α={x:A(x)>0}是紧的
.
A的α截集表示为[A]α={x∈R:A(x)≥α},α∈[0,1],显然[A]α是一个闭区间.如果supp
A
⊂
(0,∞),则模糊数A是正的.如果A为正实数(平凡模糊数),则对任意α∈(0,1],A的截集表示为
[A]α=[A,A].
定义2 设A,B为模糊数[A]α=[Al,α,Ar,α],[B]α=[Bl,α,Br,α],α∈
(0,1],模糊数空间范数
定义为
‖A‖=supα∈(0,1]max{|Al,α|,|Ar,α|}.
A,B间的距离定义为
D(A,B)=supα∈(0,1]max{|Al,α-Bl,α|,|Ar,α-Br,α|
}.
定义3
如果存在正实数M(或N
),使得
suppxn⊂[M,∞)或(suppxn⊂(0,N]),n=1,2,…,
则称模糊数数列{xn}是持久的(或有界的).如果存在正实数M,N>0,使得suppxn⊂[M,N],n=
1,2,…,则称正模糊数数列{xn}是持久且有界的.如果‖xn‖(n=1,2,…),是无界的,正模糊数数列
{xn}为无界的
.
定义4 如果{xn}是正模糊数数列且满足方程(1),则xn为方程(1)的正解.如果x=A+x/kx
,
则正模糊数x为方程(1)的正平衡点.定义5 设{xn}是正模糊数数列,x为正模糊数,记
[xn]α=[Ln,α,Rn,α],n=0,1,2,…,(2)
且[x]α=[Lα,Rα],α∈(0,1],(3)
当n→∞,如果limn→∞D(xn,x)=0,则称模糊数数列{xn}关于D收敛于x.
定义6 假设方程(
1)有唯一的正平衡点x,如果对任意ε>0,存在δ=δ(ε)>0,使得对方程(1
)
的任意正解xn,当D(x-i,x)0,有D(xn,x)x是稳定的,且当n→∞,方程(1)的每个正解关于D收敛于方程(1)的正平衡点,则方程(1)的正平衡
点x是渐近稳定的.
1 主要结论
首先讨论方程(1)正解的存在性,给出引理1.引理1[19] 设f:R+×…×R+→R+连续,A1,A2,…,Ak+2是模糊数,则
[f(A1,A2,…,Ak+2)]α=f([A1]α,…,[Ak+2]α),α∈(0,1].
引理2[25] 设u∈E~,[u]α=[u-(α),u+(α)],α∈(0,1],则u-(α),u+(α)是(0,1]上的函
81安徽大学学报(自然科学版)第43卷数,满足(i)u-(α)非减且左连续;
(ii)u+(α)非增且左连续;(iii)u-(1)≤u+(1).
反之,对任意定义在(0,1]上的函数a(α),b(α),满足上述(i)~(iii),对任意α∈(0,1],存在唯一
的u∈E~,使得[u]α=[a(α),b(α)].
定理1 考虑方程(1),其中A是正模糊数.那么对任意正模糊数x-k,x-k+1,…,x
0
,方程(1)存在
唯一的正解xn
(证明类似文献[19]中命题2.1,此略).
引理3 考虑差分方程系统
yn+1=p+yn∑ki=1zn-i,zn+1=q+zn∑ki=1yn-i,n=0,1,2,…,(4)
其中:p,q及初始值y-i,z-i,i=0,1,2,…,k为正实数.下列命题成立:(i)假设
p>1k,q>1k,(5)
则当n≥3,(4)式的正解(yn,zn
)满足
p≤yn≤1(kq)n-k(yk-kpqkq-1)+kpqkq-1,q≤zn≤1(kp)n-k(zk-kpqkp-1)+kpqkp-1
.(6)
(ii)若(5)式成立,则系统(4)有唯一的正平衡点(y,z),且
y=k2pq-1k(kq-1),z=k2pq-1
k(kp-1
).(7)
(iii)若(5)式成立,则当n→∞时,系统(4)的每一个正解收敛于正平衡点(y,z).证明 (i)设(yn,zn)为(4)式的正解.当n≥1,yn>0与zn>0,由式(4),可得
yn≥p,zn≥q,n=1,2,3,…,(8)
利用(4),(8)式,有
yn≤p+1kqyn-1,zn≤q+1kpzn-1,n=k+1,k+2,….(9)
设vn,wn分别为下列差分系统的解
vn=p+1kqvn-1,wn=q+1kpwn-1,n≥k+1
,(10)
使得vi=yi,wi=zi,i=1,2,…,k.
(11)
利用归纳法证明
yn≤vn,zn≤wn
,n≥k+1.(12)
假设对n=m≥k+1,(12)式成立,那么由(9)式,得
ym+1≤p+1kqym≤p+1kqvm=vm+1,zm+1≤q+1kpzm≤q+1kpwn=wm+1
,(13)
故(12)式成立.由(10),(11)式,对n≥k+1,有
vn=1(kq)n-k(yk-kpqk(kq-1))+kpqkq-1,wn=1(kp)n-k(zk-kpqk(kp-1))+
kpq
kp-1
.(14)
那么由(8),(12),(14)式,(6)式得证.(ii)设y,z为正实数,满足
91第4期张千宏,等:高阶模糊差分方程动力学行为分析