一道第三届世界数学锦标赛团体赛试题的研究
历届国际数学竞赛试题
历届国际数学竞赛试题历届国际数学竞赛试题历届国际数学竞赛试题求证(21n 4)/(14n 3) 对每个自然数n都是最简分数。
2.√2；(b)A=1；(c)A=2。
3. a试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。
5.、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。
6.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。
2.√(12x))23.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。
5.求XY中点的轨迹；b.一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。
令V1 为圆锥的体积，V2 为圆柱的体积。
(a). 求证：V1不等于V2 ；(b). 求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。
7.设a、b是常数，解方程组x y z =a; x2 y2 z2 =b2; xy=z2并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？2.解方程cosx - sinx = 1, 其中n是一个自然数。
4. P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC 于E，PC交AB于F，求证AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。
5三个不共线的点A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C 在p的同一侧。
在p上任意取三个点A', B', C'，A'', B'', C''设分别是边AA', BB', CC'的中点，O是三角形A''B''C''的重心。
问，当A',B',C'变化时，O 的轨迹是什么？nn第4届IMO1.试找出满足下列不等式的所有实数x：√(3-x)- √(x 1) > 1/2.3.解方程cosxcos2x cos3x = 1。
首届(2010年)世界数学团体锦标赛·儿童组试题
能保 证 一 定存在 和 为 ２１ ０ Ｏ的 两 个
１． ２ １ 这 九 个 自然数 ２将 到 Ｏ
填 入 图 ３中 的 九 个 。 中 ， 个 数 每
图 １
只 用 一 次 ， 使 每 一 条 直 线 上 的 且
三 个 数 的 和 相 同 ，则 中 间 的 。
３ 算 式 １ ２ ３ ４ … ×２ ０ ×２ １ ． × × × × ０ ９ ０ ０的
１ ８
甲袋中的小球拿 出÷ 放入 乙袋后 ， 乙袋中的小球 比 ０
甲袋中的多 １ Ｏ个， 两袋 中共有 则 个算式 中不可能是质数 的是
（ （ Ａ） ＋ １）＋ 优 ．
２ ９
４
～ 一
～ 一
６ ｌ３ ２Ｏ
个小球． （ 写序号） ．
ｌ４ ２１
结 果 的 末 尾 ０的 个 数 是
４ 计算 ：２百 ． １ １＋ ２ ＋ ３ ＋ ４２ ０１ ０ １
５６ １ ＋ ７２ １ ＋ ９ １ ０
中的 数 是
， 应 的 每 一 条 对
．
图 ３
＋
直线 上 的三个 数 的和是
１ ． 棱 长 为 ６的 正 方 体 切 ３将
数 学 竞 赛
２ ｌ 年第 １ Ｏ １ 期
１ 数 字之 和 为 ５的 三位 数 中， 数 的个数 ． 质
是
．
— —
１ 若— — ．
一
—
—
＝ ＝＝
１ １
，
则 表 示 的数
２ 设 Ｔ表 示 前 一 位 队 友 传 来 的 答 案 ． 被 ． 能 Ｔ 除 余 ２ 被 ６ 余 Ｔ， ７除 余 ２的 最 大 的 三 位 ， 除 被
七年级数学竞赛 第4讲 带余除法
现有某种变换，将明文字母对应的自然数 x 变换为密文字母相应的自然数 x’：x→x’，x’为(3x +m)被 26
除所得余数与 1 之和 (1≤x≤26，1≤m≤26).
已知运用此变换，明文 H 译为密文 T，则密文 QI(“启”的汉语拼音)的明文是字母
。
(深圳市“启智杯”数学思维能力竞赛题)
解题思路：阅读理解，先求出 m 的值，了解明文变换为密文的规则。
从盒中任取一些小球，把每一个小球都变成 7 个小球后放回盒中；如此进行，到某一时刻，魔术师停止取球
变魔术时，盒中球的总数可能是（ ）。
A．1990 个
B．1991 个
C．1992 个
D．1993 个
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
13．1898 年 6 月 9 日英国强迫清政府签约，将香港土地租借给英国 99 年。1997 年 7 月 1 日香港回归祖国，
有一列数 1，1，2，3，5，8，13，21，…，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是
著名的斐波那契数列，则这列数中的第 2014 个数被 7 除的余数为
。
(北京市竞赛题)
8．除以 8 和 9 都余 1 的所有三位数的和是（
A．6492
B．6565
C．7501
限(“五羊杯”竞赛题)有人
；若将此数保留 2010 个有效数字，则所得
新数的各位数字中 1 的个数是
。
（2）已知
1 7
=
0.a1a2a3
an
(其中 a1，a2，a3，…都是介于 0 和 9 之间的整数)，若小数点后连续 n
个数字之和 a1+a1+a3+…+an=2013，则 an=
世界奥林匹克数学竞赛试题(小学3-6年级)
三年级晋级赛一、填空题。
（每题5分，共60分）1、计算：8888×3333＋4444×3334= 。
2、如图，阴影部分是正方形（单位：厘米），那么长方形ABCD的周长是厘米。
3、三年级同学参加“元旦”节团体操表演，每横排人数同样多，每竖排人数也同样多。
小志的位置是从左数第10人，从右数第8人，从前数第9人，从后数是第7人。
参加表演的同学有人。
4、三年级（1）班有50名同学帮助班主任老师把20捆教科书搬到230米外的教室，每两个人抬一捆，大家轮流休息，平均每人抬米。
5、小泉做一道除数是一位数的除法时，误把除数9看成6，结果算出的商是7，余数是3。
你知道正确的结果是。
6、数一数，图中有个三角形。
7、欧欧、小美、小泉、奥斑马四人到一山上完成一个星期的勘察任务（7天），每人每天需要一瓶水，但他们只剩下10瓶水，而上山下山各需2天，山下的龙博士至少带瓶水上山，才正好解决缺水的困难。
8、有47名游客要渡河。
现在只有一条小船，每次只能载6人（无船工），每渡河一次需要2分钟。
那么，至少要花分钟才能渡完。
9、幼儿园将一批苹果分给大、中、小三个班，大班分得总个数的一半多20个，中班分得余下的一半少20个，最后把剩下的140个全部给了小班，那么这批苹果一共有个。
10、庆祝“元旦”，黑白团队用一根花丝带装饰屋前的大树。
若绕大树五圈则余下5米；若绕大树六圈则差1米。
那么，用这根花丝带绕大树两圈余米。
11、黑白团队在一个黑漆漆的山庙里点上了24支蜡烛。
突然一阵风吹灭了5支蜡烛；过了一会，又被吹灭了4支；这时奥斑马把窗子都关上，之后就再也没有蜡烛被吹灭。
那么，山庙里最后还剩下支蜡烛。
12、下表中，第一列是“多创放”，第二列是“思新飞”……，第2012列是。
二、解答题（每题10分，共40分） 1、小泉和小美各有一些动漫卡片。
小美的张数比小泉多17张，小泉的张数是小美的一半少2张。
小泉和小美共有多少张？2、欧欧和小泉练习写字，他们5分钟共写了690个字，现在他们两人同时写字，在相同的时间内欧欧写了632个，小泉写了472个；欧欧和小泉每分钟各写多少个字？3、动物园有一批水果，其中香蕉是桃子的3倍。
第4届世界数学团体锦标赛少年组试题
第4届世界数学团体锦标赛少年组试题
佚名
【期刊名称】《数理天地:初中版》
【年(卷),期】2022()11
【摘要】1.下面的公式可以计算某日是星期几:S=(x-1)+[x-1/4]-[x-1/100]+[x-1/400]+y,其中,x是年份,y是该年中从元旦起到这一天为止的天数,[x]表示不超过x 的最大整数.
【总页数】15页(P33-47)
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.第2届世界数学团体锦标赛少年组试题
2.第3届世界数学团体锦标赛少年组试题
3.第6届世界数学团体锦标赛少年组试题
4.第5届世界数学团体锦标赛少年组试题
5.第3届世界数学团体锦标赛少年组试题
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
第三届全国大学生数学竞赛决赛试题（非数学类）+答案
第三届全国大学生数学竞赛决赛试题（非数学类）+答案第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类，2012）本试卷共2页，共6题。
全卷满分100分。
考试用时150分钟。
一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）计算下列各题（要求写出重要步骤）.(1) xx xx x x 222220sin cos sin lim -→解：x x x x x x 222220sin cos sin lim -→4222220cos sin lim x xx x x x x -+-=→2040)c o s 1)(cos 1(lim ))(sin (sin lim x x x x x x x x x x +-++-=→→221261?+?-=32=(2) [()]61311tan 21lim x e xx x x x +--++∞→解： [()]61311tan 21lim x e xx x xx +--++∞→ （令x t 1=）362201)t a n 21(l i m t t e t t t t t +--+=+→3620111)21(lim t t e t t t +-+-+=+→ 3201)21(l i m t e t tt -+=+→2206)22(lim te t t t t ++=+→+∞=(3) 设函数),(y x f 有二阶连续偏导数, 满足0222=+-yy y xy y x yy x f f f f f f f 且0≠y f ,),(z x y y =是由方程),(y x f z =所确定的函数. 求22xy解：依题意有，y 是函数，x 、z 是自变量。
将方程),(y x f z =两边同时对x 求导， x y ffyx+=0，则 yx f f x y-=??，于是 ()yx f f x x y -=??222)()(yyy yx x yxxx y f x yf f f x y f f f ??+-??+-=2)()(yyx yy yx x yx yxxx y f f f f f f f f f f f ----=3222yyyy xy y x yy x f f f f f f f f +--=0=(4) 求不定积分()dx e xx I x x 111+-+=?解：()dx e x x dx eI xx xx 12111++-+=?xx x x xdedx e 11+++=?()xx xe d 1+?=C xexx +=+1(5) 求曲面az y x =+22和222y x a z +-=)0(>a 所围立体的表面积解：联立az y x =+22，222y x a z +-=，解得两曲面的交线所在的平面为a z =，它将表面分为1S 与2S 两部分，它们在xoy 平面上的投影为222:a y x D ≤+，在1S 上 dxdy a y a x dS 2222441++=dxdy a y x a 2222)(4++=在2S 上 dxdy yx y y x x dS 2222221++++=dxdy 2= 则 d x d y ay x a S D )2)(4(2222+++=??22202024a r d r a r a d a πθπ+=?? )26155(2+-=a π 二、（本题13分）讨论dx xx x x220sin cos α+?∞+的敛散性，其中α是一个实常数. 解：记 xx x xx f 22sin cos )(α+=① 若0≤α，)1(2)(>?≥x xx f ；则dx x x x x 220sin cos α+?∞+发散② 若20≤<α，则11≤-α，而)1(2)(1≥?≥-x x x f α；所以dx xx x x220sin cos α+?∞+发散。
第三届数学创新思维能力大赛习题
第三届数学创新思维能力大赛一．根据下列数字的变化规律，推断出括号中应该填什么数？①.1,2,5,29，（）②.2,5,14,41,122,（），1094③2,21,1211,112112,21122112，（）④（7,8）（19,27）（37,64）（61,125）（（），216）⑤9,7,8,7,7,6,5,4,( ) ⑥1,2,3,8,5,26,7,48,( )( )二．在右面的4个图形中，只有一个是由左边的纸板折叠而成。
请你选出正确的一个①（）②（）③（）三．为什么110=n Sinx ？?616=VIP四．在下列每个数字之间加上一个基本的数学运算符号，使等式成立，可以运用括号。
3 4 5 6=137 8 9 10=12511 12 13 14=140五．火柴棍问题（努力发散你的思维哦！）①．下面的等式是由14根火柴组成的。
请你只移动其中一根火柴，使等式成立。
②．是不是觉得移动一根火柴太难了？不要灰心，下面你可以移动两根火柴，使下图的两个菱形变成一个菱形。
六．晚饭后，刚过七点，小明就开始做数独，一看表，时针与分针正好成一条直线。
做完数独再看表，还不到八点，而且分针与时针恰好重合。
那么，小明做数独用了多长时间？七．古时候，有兄弟二人甲乙，由于父亲死后的财产分配问题而起了争端，甲说乙得到的那一份财产更多，乙说甲得到的那份更多。
最终，二人找到县官，假如你就是那位县官，经调查你了解到父亲死后的财产约合30万，而且甲比较有钱，现有20万资产；乙相对贫穷，只有5万资产。
试抉择出一种使兄弟二人都满意的公正而合理的财产分配方案。
八．古老的密码第二次世界大战的时候，很多战事情报都是通过密码的方式发送的。
转换密码是一种很常见用的密码。
最早的转换加密出现在古罗马时期。
转换加密有这样一种方式：0~9的数字的组合来代替字母A~Z。
如果能知道它们是怎么代替的，就可以破解这个密码了。
已知这个等式是成立的：SEND+MORE=MONEY。
七年级数学竞赛 第3讲 数的整除性
第3讲数的整除性知能概述：对于整数a和不为零的整数b，总存在整数m，n使得a =b m+n (0≤n<b)，其中m称为商，n称为余数，特别地，当n=0时，即a= b m，便称a被b整除(也称a是b的倍数或b是a的约数)，记为b|a。
整除有以下基本性质：1．若a|b，a|c，则a|(b±c)；2．若a|b，b|c，则a|c；3．若a|bc，且(a，c) =1，则a|b，特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c：4．若b|a，c|a，且(b，c)=1，则bc|a．解整除有关问题常用到数的整除性常见特征：1．被2整除的数：个位数字是偶数；2．被5整除的数：个位数字是0或5；3．被4整除的数：未两位组成的数被4整除；被25整除的数，末两位组成的数被25整除；4．被8整除的数：末三位组成的数被8整除；被125整除的数，末三位组成的数被125整除；5．被3整除的数：数字和被3整除；6．被9整除的数：数字和被9整除；7．被11整除的数：奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除。
问题解决：例1．将四个数字1，2．3．4排成一个四位数，使得这个数是11的倍数，则这样得到的四位数共有______个。
(江西省竞赛题) 解题思路：依据被11整除数的特征先确定相关数的位置。
例2．已知a，b是正整数(a>b)，对于如下两个结论：①在a+b，ab，a−b这三个数中必有2的倍数：②在a +b，ab，a−b这三个数中必有3的倍数，其中（）。
A．只有①正确B．只有②正确C．①．②都正确D，①．②都不正确(江苏省竞赛题)解题思路：举例验证，或按剩余类讨论严格证明。
xy是72的倍数，求出所有符合条件的7位数．例3．已知7 位数12876(江苏省竞赛题)解题思路：因72=8×9，(8，9)= 1，故原数能被8，9整除，运用整数能被8，9整除的性质求出x，y的值。
例4．一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝数”。
七年级数学下册培优新帮手专题21从不同的方向看习题新版新人教版
21 从不同的方向看阅读与思考20世纪初，伟大的法国建筑家列·柯尔伯齐曾说：“我想，到目前为止，我们从没有生活在这样的几何时期，周围的一切都是几何学．”生活中蕴含着丰富的几何图形，圆的月亮，平的湖面，直的树干，造型奇特的建筑，不断移动、反转、放大缩小的电视画面……图形有的是立体的，有的是平面的，立体图形与平面图形之间的联系，从以下方面得以体现：1．立体图形的展开与折叠； 2．从各个角度观察立体图形； 3．用平面去截立体图形．观察归纳、操作实验、展开想象、推理论证是探索图形世界的基本方法． 例题与求解【例1】如图是一个正方体表面展开图，如果正方体相对的面上标注的值相等，那么x y ＝＿＿＿＿．（四川省中考试题）解题思路：展开与折叠是两个步骤相反的过程，从折叠还原成正方体入手．【例2】如图，是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个（四川省成都中考试题）888102x y 主视图左视图 俯视图解题思路：根据三视图和几何体的关系，分别确定该几何体的列数和每一列的层数． 【例3】由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图． （1）请你画出这个几何体的一种左视图；（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为n ，求n 的值．（贵州省贵阳市课改实验区中考试题）解题思路：本例可以在“脑子”中想象完成，也可以用实物摆一摆．从操作实验入手，从俯视图可推断左视图只能有两列，由主视图分析出俯视图每一列小正方形的块数情况是解本例的关键，而有序思考、分类讨论，则可避免重复与遗漏．【例4】如图是由若干个正方体形状木块堆成的，平放于桌面上．其中，上面正方体的下底面四个顶点恰是下面相邻正方体的上底面各边的中点，如果最下面的正方体的棱长为1，且这些正方体露在外面的面积和超过8，那么正方体的个数至少是多少？按此规律堆下去，这些正方体露在外面的面积和的最大值是多少？（江苏省常州市中考试题）解题思路：所有正方体侧面面积和再加上所有正方体上面露出的面积和，就是所求的面积．从简单入手，归纳规律．【例5】把一个正方体分割成49个小正方体（小正方体大小可以不等），请画图表示．（江城国际数学竞赛试题）解题思路：本例是一道图形分割问题，解答本例需要较强的空间想象能力和推理论证能力，需俯视图 主视图要把图形性质与计算恰当结合．【例6】建立模型18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题．（1）根据上面的多面体模型，完成表格中的空格：你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是＿＿＿＿．（2）—个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是＿＿＿．（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x y的值．解题思路：对于（1），通过观察、归纳发现V，F，E之间的关系，并迁移应用于解决（2），（3）．模型应用如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形个数．（浙江省宁波市中考试题改编）能力训练A级1．如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是＿＿＿．（山东省菏泽市中考试题）第3题图2．由几个相同的小正方体搭成的几何体的视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是＿＿＿＿．（湖北省武汉市中考试题）3．—个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为＿＿＿＿．（山东省烟台市中考试题）4．如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n 个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有＿＿（山东省青岛市中考试题）5．一个画家有14个边长为1m 的正方体，他在地面上把它们摆成如图的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂颜色的总面积为（ ）A ．19m 2B ．41m 2C ．33m 2D ．34m 2（山东省烟台市中考试题）6．一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（）A ．3B ．4C ．5D ．6左视图左视图图①图②图③654321第1题主视图左视图 俯视图第2题（河北省中考试题）7．从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积是（ ）A ．20B ．22C ．24D ．26（河北省中考试题）8．我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（ ）（2012年温州市中考试题）9．5个棱长为1的正方体组成如图的几何体．（1）该几何体的体积是＿＿＿＿（立方单位），表面积是＿＿＿＿（平方单位）； （2）画出该几何体的主视图和左视图．（广州市中考试题）正面A B C D甲主视方向 乙主视图俯视图10．用同样大小的正方体木块搭建的几何体，从正面看到的平面图形如图①所示，从上面看到的平面图形如图②所示．（1）如果搭建的几何体由9个小正方体木块构成，试画出从左面看这个几何体所得到的所有可能的平面图形．（2）这样的几何体最多可由几块小正方体构成？并在所用木块最多的情况下，画出从左面看到的所有可能的平面图形．（“创新杯”邀请赛试题）B 级1．如图，是一个正方体表面展开图，请在图中空格内填上适当的数，使这个正方体相对两个面上标注的数值相等．（《时代学习报》数学文化节试题）2．如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的块数为n，则n 的所有可能的取值之和为＿＿＿＿．（江苏省江阴市中考试题）3．如图是一个立方体的主视图、左视图和俯视图，图中单位为厘米，则立体图形的体积为＿＿＿＿立方厘米．主视图俯视图 aa -2-1a-图① 图②（“华罗庚金杯赛”试题）4．若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积超过7，则正方体的个数至少是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5（江苏省常州市中考试题）5．由若干个单位立方体组成一个较大的立方体，然后把这个大立方体的某些面涂上油漆，油漆干后，把大立方体拆开成单位立方体，发现有45个单位立方体上任何一面都没有漆，那么大立方体被涂过油漆的面数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（“创新杯”邀请赛试题）6．小明把棱长为4的正方体分割成了29个棱长为整数的小正方体，则其中棱长为1的小正方体的个数是（ ）A ．22B ．23C ．24D ．25（浙江省竞赛试题）7．墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走多少个小正方体？主视图左视图左视图（江苏省竞赛试题）8．一个长方体纸盒的长、宽、高分别是a ，b ，c （a ＞b ＞c ）厘米．如图，将它展开成平面图，那么这个平面图的周长最小是多少厘米？最大是多少厘米？（江苏省竞赛试题）9．王老师将底面半径为20厘米、高为35厘米的圆柱形容器中的果汁全部倒入如图所示的杯子中，若杯口直径为20厘米，杯底直径为10厘米，杯高为12厘米，杯身长13厘米，问果汁可以倒满多少杯？（世界数学团体锦标赛试题）10．一个边长为5厘米的正方体，它是由125个边长为1厘米的小正方体组成的．.P 为上底面ABCD 的中心，如果挖去（如图）的阴影部分为四棱锥，剩下的部分还包括多少个完整的棱长是1厘米的小正方体？（深圳市“启智杯”数学思维能力竞赛试题）右面 （水平线）正面① ② ⑦ ⑥ ④⑤③ a bc 10121320专题21 从不同的方向看例1 14 提示：2x ＝8，y ＝10，x ＋y ＝14． 例2 D例3 (1)左视图有以下5种情形：(2)n ＝8，9，10，11．例4正方体个数至少为4个．正方体露在外面的面积和的最大值为9． 提示:最下面正方体1个面的面积是1，侧面露出的面积和是4，每相邻两个正方体中上面的1个正方体每个面的面积都正好是其下面正方体1个面面积的12，所有正方体侧面面积之和加上所有正方体的上面露出的面积和(正好是最下面正方体上底面的面积1)即是这些正方体露在外面的面积和．如：2个正方体露出的面积和是4＋42＋1＝7，3个正方体露出的面积和是4＋42＋44＋1＝8，4个正方体露出的面积和是4＋42＋44＋48＋1＝812，5个正方体露出的面积和是4＋42＋44＋48＋416＋1＝834，6个正方体露出的面积和是4＋42＋44＋48＋416＋432＋1＝878，…… 故随着小正方体木块的增加，其外露的面积之和都不会超过9．例5为方便起见，设正方体的棱长为6个单位，首先不能切出棱长为5的立方体，否则不可能分割成49个小正方体．设切出棱长为1的正方体有a 个，棱长为2的正方体有b 个，如果能切出1个棱长为4的正方体，则有⎩⎨⎧a ＋8b ＋64＝216a ＋b ＝49－1，解之得b ＝1467．不合题意，所以切不出棱长为4的正方体．设切出棱长为1的正方体有a 个，棱长为2的正方体有b 个，棱长为3的正方体有c 个， 则⎩⎨⎧a ＋8b ＋27c ＝216a ＋b ＋c ＝49，解得a ＝36，b ＝9，c ＝4，故可分割棱长分别为1，2，3的正方体各有36个，9个，4个，分法如图所示．例6(1)6 6 V ＋F －E ＝2 (2)20 (3)这个多面体的面数为x ＋y ，棱数为24×32＝36条．根据V ＋F －E ＝2，可得24＋(x ＋y )－36＝2，∴x ＋y ＝24． 模型应用设足球表面的正五边形有x 个，正六边形有y 个，总面数F 为x ＋y 个．因为一条棱连着两个面，所以球表面的棱数E 为12(5x ＋6y )，又因为一个顶点上有三条棱，一条棱上有两个顶点，所以顶点数V ＝12(5x ＋6y )·23＝13(5x ＋6y )．由欧拉公式V ＋F －E ＝2得(x ＋y )＋13(5x ＋6y )－12×(5x ＋6y )＝2,解得x ＝12．所以正五边形只要12个．又根据每个正五边形周围连着5个正六边形，每个正六边形又连着3个正五边形，所以六边形个数5x3＝20，即需20个正六边形． A 级1．6 2．5 3．8 4．4(2n －1) 5．C 6．B 7．C 8．B 9(1)5 22 (2)略 10．(1)(2)11块．B 级1．上空格填12，下空格填2 2．38 3．2π 4．B5．D 提示:设大立方体的棱长为n ，n >3，若n ＝6，即使6个面都油漆过，未油漆的单位立方体也有43＝64个>45，故n ＝4或5．除掉已漆的单位立方体后，剩下未漆的构成一个长方体，设其长、宽、高分别为a ，b ，c ，abc ＝45，只能是3×3×5＝45，故n ＝5．6．C 提示:若分割出棱长为3的正方体，则棱长为3的正方体只能有1个，余下的均是棱长为1的正方体，共37个不满足要求．设棱长为2的正方体有x 个，棱长为1的正方体有y 个，则⎩⎨⎧x ＋y ＝298x ＋y ＝64，得⎩⎨⎧x ＝5y ＝24．7．有不同的搬法．为保证“影子不变”，可依如下原则操作：在每一行和每一列中，除保留一摞最高的不动以外，该行(列)的其余各摞都搬成只剩最下面的一个小正方体．如图所示，20个方格中的数字，表示5行6列共20摞中在搬完以后最终留下的正方体个数．照这样，各行可搬个数累计为27，即最多可搬走27个小正方体．8．要使平面展开图的周长最小，剪开的七条棱长就要尽量小，因此要先剪开四条髙(因为c 最小)，再剪开一条长a 厘米的棱(否则，不能展开成平面图)，最后再剪开两条宽b 厘米的棱(如图中所表示的①〜⑦这七条棱)．由此可得图甲，这时最小周长是c ×8＋b ×4＋a ×2＝2a ＋4b ＋8c 厘米．图甲 图乙 要使平面展开图的周长最大，剪开的七条棱长就要尽量大，因此要先剪开四条最长的棱(长a )，再剪开两条次长的棱(宽b )，最后剪开一条最短的棱(高c )，即得图乙，这时最大周长是a ×8＋b ×4＋c ×2＝8a ＋4b ＋2c 厘米．9．如图，由题意知AB ＝12，CD ＝13，AC ＝12，BD ＝13，过点D 作DE 垂直于AB 于点E ，则DE ＝12，于是Rt △BDE 中BE ＝5．延长AC ，BD 交于F ，则由CD :AB ＝5:10＝1:2知CF =12，AF =24于是一个杯子的容积等于两个圆锥的体积之差，即22311102451270033V cm p p p =贩-贩= 而大容器内果汁的体积是23512700cm p p 创=所以果汁可以倒满1400070020p p ?杯。
2016-2017世界少年奥林匹克数学竞赛(四川区)选拔赛三年级决赛试题
第1页, 共2页 第2页, 共2页学校 年级 班级 姓名考号 联系电话密 封 线 内 不 得 答 题2016-2017 世界少年奥林匹克数学竞赛（四川区）选拔赛三 年 级 决 赛 试 题考试须知：本卷满分120分，考试时间90分钟；共14题。
考试期间，请严格遵守考试纪律；预祝各位考生取得优异成绩！一、填空题.（每题6分，共60分）1. 找规律填数：(1) 1，2，4，7，11，16， ，29，37。
(2) 2，8，5，20，11，44，23，92， 。
2. 用○、★、△代表三个数，相同图形代表相同的数，不同图形代表不同的数。
已知：○＋○＋○＋○＋○＝30 ,★＋★＋★＋★＝16 ,○＋★＋△＋△＋△＝25。
那么：△＝ 。
3. 同学们采集植物标本，六年级采集了120件，比五年级的2倍少12件。
五年级采集了 件。
4. 笑笑上学时乘车，回家时步行，在路上一共花25分钟；往返都坐车，只需10分钟。
如果往 返都步行，则需要 分钟。
5. 如右图，每个乒乓球重 克。
6. 如下图，标出的数字表示某边长，单位是厘米，图形中两个阴影长方形的周长之和是厘米。
7. 如上图，每个小正方形的边长都是10米。
某人沿线段从A 点到B点，不许走重复路，他最多能走 米。
8. 三年级同学参加“六一”节团体操表演，每横排人数同样多，每竖排人数也同样多。
淘气的位置是从左数第7人，从右数第8人，从前数第9人，从后数是第10人。
参加表演的同学 有 人。
9. 如右图，共有 个不同的三角形。
10. 小李，小王，小赵分别是海员、飞行员、运动员。
已知：（1）小李从未坐过船；（2）海员年龄最大；（3）小赵不是年龄最大的，他经常与飞行员散步。
则 是海员， 是飞行员， 是运动员。
二、简答题.(每题12分,共36分)11. 树懒和狐狸比赛打字，树懒每分钟能打5个字，狐狸每分钟打的字比树懒的3倍还多30个字。
（一）狐狸每分钟打多少个字? （二）有一篇课文长达 750 个字，树懒先打了一会就去休息了，狐狸接着打完，一共用了70分钟。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一道第三届世界数学锦标赛团体赛试题的研究
朱继红
戴志祥
浙江省绍兴市高级中学 （３１２０００）
题目 已知α，β，Υ∈（０，π／２），且ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β
＋ ｓｉｎ２Υ＝１，求ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＋ｓｉｎΥ／ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＋ｃｏｓΥ的最大值．
＠＠ 这是一道第三届世界数学锦标赛（青年组）团
体赛的第８题，本文先给出问题的解，然后从一题多
变的角度给出问题的多种变式，给同学们参考．
一道国家队训练题的简证与姊妹不等式
王恒亮李一淳
广东省珠海市实验中学 （５１９０９０）
笔者近日在教学中遇到如下一道问题：
（２００３年ＩＭＯ中国国家队训练题）设ｘ，ｙ，ｚ≥
０，ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝１，求证：１≤ｘ／１＋ｙｚ＋ｙ／１＋ｚｘ＋ｚ／１＋ｘｙ
≤（２）．
＠＠ 该问题的证明确实有一定的难度，虽说其证明
方法有多种，但都比较繁琐，不易上手！本文在此给
出对上述问题的一种简单证法，同时对该问题作了
进一步探究，得到一个与其极为类似的姊妹不等式．
为书写方便，对于ｘ，ｙ，ｚ，我们记循环式∑ｘ＝ｘ＋ｙ
＋ｚ，其他类似．