2016-2017学年人教A版必修四平面向量的实际背景及其基本概念 作业
人教A版高中数学必修四课时提升作业十五 2-1 平面向量的实际背景及基本概念1 含解析 精品
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课时提升作业(十五)平面向量的实际背景及基本概念(15分钟30分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.下列物理量：①力；②路程；③密度；④功.其中不是向量的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选 C.日常生活中，常用到两类量，一类量是只有大小而没有方向，如质量、路程、密度、温度、功等，这类量叫做数量，它是一个代数量，可以进行代数运算；另一类量是既有大小又有方向，如速度、位移、力、加速度等，这类量叫做向量.【补偿训练】下列说法中正确的个数是( )(1)身高是一个向量.(2)∠AOB的两条边都是向量.(3)物理学中的速度是向量.A.0B.1C.2D.3【解析】选B.(1)错误.身高是一个数量.(2)错误.∠AOB的两条边都是射线，不是向量.(3)正确.物理学中的速度是既有大小又有方向的量，是向量.2.如图，在四边形ABCD中，若错误！未找到引用源。
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，则图中相等的向量是( )A.错误！未找到引用源。
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B.错误！未找到引用源。
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【解析】选 D.因为错误！未找到引用源。
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，所以四边形ABCD是平行四边形，所以AC，BD互相平分，所以错误！未找到引用源。
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.【补偿训练】如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是( )A.|错误！未找到引用源。
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共线C.错误！未找到引用源。
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【解析】选C.由题目条件可知AB=EF，AB∥CD∥FG，CD=FG，但是∠DEH不一定等于∠BDC，故BD与EH不一定平行，所以A，B，D成立，C不一定成立.3.若|错误！未找到引用源。
高中数学必修四课时作业7：§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
§2.1平面向量的实际背景及基本概念学习目标1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．知识点一向量的概念思考1在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？[答案]面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向．思考2两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？[答案]数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．梳理向量与数量(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．知识点二向量的表示方法思考1向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？[答案]可以用一条有向线段表示．思考20的模是多少？0有方向吗？[答案]0的模为0，方向任意．思考3单位向量的模是多少？[答案]单位向量的模为1个单位．梳理(1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示．带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.(2)向量的字母表示：向量可以用字母a, b, c ，…表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用 a →， b →， c →)．(3)向量AB →的大小，也就是向量AB →的长度(或称模)，即有向线段AB →的长度，记作|AB →|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．知识点三 相等向量与共线向量思考1 已知A ，B 为平面上不同两点，那么向量AB →和向量BA →相等吗？它们共线吗？ [答案] 因为向量AB →和向量BA →方向不同，所以二者不相等．又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线．思考2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？[答案] 不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．思考3 若a ∥b ，b ∥c ，那么一定有a ∥c 吗？[答案] 不一定．因为当b ＝0时，a ，c 可以是任意向量． 梳理 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量． ①记法：向量a 平行于b ，记作a ∥b .②规定：零向量与任一向量平行．(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆．1．向量就是有向线段．( × )提示 向量可以用有向线段来表示，但并不能说向量就是有向线段． 2．如果|AB →|＞|CD →|，那么AB →＞CD →.( × )提示 向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．3．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b .( × )提示 a 与b 都是单位向量，则|a |＝|b |＝1，但a 与b 方向可能不同． 4．若a ＝b ，且a 与b 的起点相同，则终点也相同．( √ )提示 若a ＝b ，则a 与b 的大小和方向都相同，那么起点相同时，终点必相同． 5．零向量的大小为0，没有方向．( × )提示 任何向量都有方向，零向量的方向是任意的．类型一 向量的概念例1 下列说法正确的是( ) A ．向量AB →与向量BA →的长度相等B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C ．零向量都是相等的D ．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 [考点] 向量的概念 [题点] 向量的性质 [答案] A[解析] 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定；两个单位向量也可能反向，则不相等，故B ，C ，D 都错误，A 正确．故选A.反思与感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 跟踪训练1 下列说法中正确的是( )A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小 [考点] 向量的概念 [题点] 向量的性质 [答案] D[解析] 不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A ，B 不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C 不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D 正确．类型二 相等向量与共线向量例2 (1)下列说法正确的是________．(填序号) ①若a ≠b ，则a 一定不与b 共线；②若AB →＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ③在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ④若向量a 与任一向量b 平行，则a ＝0； ⑤若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . [考点] 相等向量与共线向量[题点] 相等向量与共线向量的性质与判定 [答案] ③④⑤[解析] ①两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a 与b 有共线的可能，故①不正确；②AB →＝DC →，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故②不正确；③在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，③正确；④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确；⑤a ＝b ，则|a |＝|b |且a 与b 方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |且b 与c 方向相同，则a 与c 方向相同且模相等，故a ＝c ，⑤正确；若b ＝0，由于a 的方向与c 的方向都是任意的，a ∥c 可能不成立，故⑥不正确．(2)如图所示，△ABC 的三边均不相等，E ，F ，D 分别是AC ，AB ，BC 的中点．①写出与EF →共线的向量； ②写出与EF →的模相等的向量； ③写出与EF →相等的向量． [考点] 相等向量与共线向量[题点] 几何图形中的相等向量与共线向量 解 ①因为E ，F 分别是AC ，AB 的中点， 所以EF ∥BC ，EF ＝12BC .又因为D 是BC 的中点，所以与EF →共线的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →. ②与EF →模相等的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. ③与EF →相等的向量有DB →与CD →.反思与感悟 相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． 跟踪训练2 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心．(1)与OA →的模相等的向量有多少个？(2)是否存在与OA →长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与OA →共线的向量有哪些？ [考点] 相等向量与共线向量[题点] 几何图形中的相等向量与共线向量解 (1)与OA →的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB )，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个．(2)存在．由正六边形的性质可知，BC ∥AO ∥EF ，所以与OA →的长度相等、方向相反的向量有AO →，OD →，FE →，BC →，共4个．(3)由(2)知，BC ∥OA ∥EF ，线段OD ，AD 与OA 在同一条直线上，所以与OA →共线的向量有BC →，CB →，EF →，FE →，AO →，OD →，DO →，AD →，DA →，共9个．类型三 向量的表示及应用例3 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点． (1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.[考点] 向量的表示方法 [题点] 向量的几何表示解 (1)向量AB →，BC →，CD →如图所示．(2)由题意，可知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线， ∵|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB ∥CD 且AB ＝CD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200 km.反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．跟踪训练3 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点的轨迹是什么？[考点]向量的表示方法[题点]向量的几何表示解(1)根据相等向量的定义，所作向量b与向量a平行，且长度相等(作图略)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为5的圆(作图略).1．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是()A．单位圆B．一段弧C．线段D．直线[考点]向量的表示方法[题点]向量的几何表示[答案] A2．下列结论正确的个数是()①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；②向量的模是一个正实数；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④若|a|>|b|，则a>b.A．0 B．1 C．2 D．3[考点]向量的概念[题点] 向量的性质[答案] B[解析] ①温度没有方向，所以不是向量，故①错；②向量的模也可以为0，故②错；④向量不可以比较大小，故④错；③若a ，b 中有一个为零向量，则a 与b 必共线，故a 与b 不共线，则应均为非零向量，故③对．3．设b 是a 的相反向量，则下列说法中一定错误的是______(填序号)．①a ∥b ；②a 与b 的长度相等；③a 是b 的相反向量；④a 与b 一定相等．[考点] 相等向量与共线向量[题点] 相等向量与共线向量的性质与判定[答案] ④4．如图所示，设O 是正方形ABCD 的中心，则下列结论正确的有________．(填序号)①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.[考点] 相等向量与共线向量[题点] 几何图形中的相等向量与共线向量[答案] ①②③[解析] AO →与OC →方向相同，长度相等，∴①正确；∵A ，O ，C 三点在一条直线上，∴AO →∥AC →，②正确；→与CD→共线，③正确；∵AB∥DC，∴AB→与BO→方向不同，∴二者不相等，④错误．AO1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.。
2016-2017年数学·人教A版必修4练习：2.3.1平面向量基
第二章 平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 平面向量基本定理A 级 基础巩固一、选择题1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2解析：B 中，因为6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)， 所以(6e 1－8e 2)∥(3e 1－4e 2)，所以3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底． 答案：B2．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定解析：因为a ＋b ＝3e 1－e 2，所以c ＝2(a ＋b )．所以a ＋b 与c 共线． 答案：B3．已知AD 是△ABC 的BC 边上的中线，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.12(a －b ) B ．－12(a －b )C ．－12(a ＋b )D.12(a ＋b ) 解析：如图所示，因为AE →＝AB →＋AC →＝2AD →， 所以AD →＝12(a ＋b )．答案：D4．已知A ，B ，D 三点共线，且对任一点C ，有CD →＝43CA →＋λCB →，则λ＝( )A.23B.13 C ．－13D ．－23解析：因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数t ，使AD →＝tAB →，则CD →－CA →＝t (CB →－CA →)，即CD →＝CA →＋t (CB →－CA →)＝(1－t )CA →＋tCB →，所以⎩⎨⎧1－t ＝43，t ＝λ，解之得λ＝－13.答案：C5．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →＝( ) A ．a ＋λ b B ．λ a ＋(1－λ)b C ．λ a ＋bD.11＋λ a ＋λ1＋λb 解析：因为OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋λPP 2→＝ OP 1→＋λ(OP 2→－OP →)＝OP 1→＋λOP 2→－λOP →， 所以(1＋λ)OP →＝OP 1→＋λOP 2→，所以OP →＝11＋λOP 1→＋λ1＋λOP 2→＝11＋λa ＋λ1＋λb .答案：D 二、填空题6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．解析：因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线， 因为(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.答案：37．如果3e 1＋4e 2＝a ，2e 1＋3e 2＝b ，其中a ，b 为已知向量，则e 1＝________，e 2＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3e 1＋4e 2，b ＝2e 1＋3e 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧e 1＝3a －4b ，e 2＝3b －2a .答案：3a －4b 3b －2a8．已知e 1、e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λ e 2，要使a 、b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________________．解析：若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线．a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，由a ≠k b 即得λ≠4.答案：(－∞，4)∪(4，＋∞) 三、解答题9.如图所示，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)．求λ＋μ的值．解：如图所示，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC →＝OD →＋OE →.在直角△OCD 中，因为|OC →|＝23，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°，所以|OD →|＝4，|CD →|＝2，故OD →＝4OA →，OE →＝2OB →， 即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.10.如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →相交于点P ，用向量a ，b 表示OP →.解：因为OP →＝OM →＋MP →，OP →＝ON →＋NP →，设MP →＝mMB →，NP →＝nNA →，则OP →＝OM →＋mMB →＝13a ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －13a ＝13(1－m )a ＋mb . OP →＝ON →＋nNA →＝12b ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝12(1－n )b ＋n a .因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13（1－m ）＝n ，12（1－n ）＝m ，⇒n ＝15，m ＝25.所以OP →＝15a ＋25b .B 级 能力提升1．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列说法正确的是( )A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．对空间任意向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任意向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对解析：B 错，这样的a 只能与e 1，e 2在同一平面内，不能是空间任一向量；C 错，在平面α内任意向量都可表示为λ1e 1＋λ2e 2的形式，故λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内；D 错，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是有无数对．答案：A2．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，则AO →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，又AO →＝AM →＋MO →＝AM →＋λMN →＝AM →＋λ(AN →－AM →)＝ (1－λ)AM →＋λAN →＝1－λm a ＋λnb .根据平面向量基本定理得⎩⎨⎧1－λm ＝12，λn ＝12，消去λ得m ＋n ＝2.答案：23．如图所示，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB ，AC 于M ，N 两点，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →.试问：1x ＋1y是否为定值？解：设AB →＝a ，AC →＝b ，则AM →＝x a ，AN →＝y b ，AG →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)＝14(a ＋b )． 所以MG →＝AG →－AM →＝14(a ＋b )－x a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x a ＋14b ，MN →＝AN →－AM →＝y b －x a ＝－x a ＋y b .因为MG →与MN →共线，所以存在实数λ，使MG →＝λMN →.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x a ＋14b ＝λ(－x a ＋y b )＝－λx a ＋λy b .因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧14－x ＝－λx ，14＝λy .消去λ，得1x ＋1y ＝4，所以1x ＋1y 为定值．。
2016-2017学年高中数学人教A版必修4课件：2.1 平面向量的实际背景及基本概念
(2)平行向量： ①定义：方向 相同 或 相反 的非零向量叫做平行向量， 向量 a 与 b 平行，通常记作 a∥b . ②规定：零向量与任一向量平行，即对于任意的向量 a， 都有 0∥a . ③共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一直线 上，因此 平行向量 也叫做共线向量．
第十二页，编辑于星期五：十六点 七分。
[类题通法] 解决与向量概念有关问题的方法 解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方 向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限 制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是 方向没有Байду номын сангаас制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向 没有限制，长度是 0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓 住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．
第七页，编辑于星期五：十六点 七分。
2．向量的表示 (1)几何表示：向量可以用 有向线段 表示，此时有向线段 的方向就是向量的方向． (2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母 a，b，c，… 表示向量，书写时用→a ，→b ，→c ，…表示向量；也可以用表示 向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如 AB，CD.
的大小．
第六页，编辑于星期五：十六点 七分。
[导入新知] 1．有向线段 (1)有向线段是带有 方向 的线段，如图所 示，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它 的方向．以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作 AB . (2)有向线段包含三个要素： 起点 、方向、长度，知道了有 向线段的起点、长度和方向，它的终点就唯一确定．
2．1
平面向量的实际背景及基本概念
第一页，编辑于星期五：十六点 七分。
[提出问题] (1)民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等 地的航班．每次飞行都是民航客机的一次位移．由于飞行的距 离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移． (2)汽车向东北方向行驶了 60 km，行驶速度的大小为 120 km/h，方向是东北． (3)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用， 同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．
2016-2017年数学·人教A版必修4课件：2.1平面向量的实际背景及基本概念
第三十四页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
3．向量与数量的区别在于向量有方向而数量没有方 向；向量与向量模的区别在于向量的模是指向量的长度， 是数量，可以比较大小，但向量不能比较大小．
第二十八页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向 量相等，所以②正确；因为平行向量的方向可以相同且大 小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等， 即③错误；画出图形，可得A→B＝D→C，所以④正确；由共 线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相 同，所以⑤不正确．
第二十二页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
归纳升华 1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确 定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． 2．注意事项：有向线段书写时要注意起点和终点的 不同；字母表示在书写时不要忘了字母上的箭头．
第二十三页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
[变式训练] 一架飞机从 A 点向西北飞行 200 km 到 达 B 点，再从 B 点向东飞行 100 2 km 到达 C 点，再从 C 点向东偏南 30°飞行 50 2 km 到达 D 点．问 D 点在 A 点的什么方向？D 点距 A 点多远？
第二章 平面向量
第一页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
2．1 平面向量的实际背景 及基本概念
第二页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
[学习目标] 1.理解向量的有关概念及向量的几何表 示(重点)． 2.理解共线向量、相等向量的概念(难点)． 3. 正确区分向量平行与直线平行(易错点、易混点)．
高中数学必修四课时作业2：§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
第二章 平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．1.1 向量的物理背景与概念 2．1.2 向量的几何表示 2．1.3 相等向量与共线向量一、基础达标 1．有下列说法：①若向量a 与向量b 不平行，则a 与b 方向一定不相同； ②若向量AB→，CD →满足|AB →|>CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →；③若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等且方向相同或相反； ④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行． 其中，正确说法的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] A[解析] 对于①，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a |＝|b |，只能说明a ，b 的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误；对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．2．下列说法正确的是( )A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小 [答案] D[解析] 向量不能比较大小，但是向量的模是实数，可以比较大小． 3．给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若AB→＝DC →，则四边形ABCD 是正方形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；⑤若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k . 其中不正确的命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] B[解析] 不正确的是①②③.4．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO→，BO →，OC →，OD →是( )A ．相等的向量B ．平行的向量C ．有相同起点的向量D ．模相等的向量 [答案] D[解析] 这四个向量的模相等．5．若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b | ②a ∥b ③|a |＞0 ④|b |＝±1，其中正确的是( )A ．①④B ．③C ．①②③D ．②③ [答案] B[解析] a 任一非零向量，故|a |＞0. 6．下列命题中，正确的是( )A ．|a |＝|b |⇒a ＝bB ．|a |＞|b |⇒a ＞bC ．a ＝b ⇒a ∥bD ．|a |＝0⇒a ＝0[答案] C[解析] 两向量相等，则两向量共线．7．如图，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA→.求证：DN→＝MB →.证明 ∵AB→＝DC →，∴|AB→|＝|CD →|且AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴|DA→|＝|CB →|，且DA ∥CB . 又∵DA→与CB →的方向相同， ∴CB→＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形， ∴CM →＝NA →.∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|， ∴|DN→|＝|MB →|. ∵DN ∥MB 且DN→与MB →的方向相同，∴DN →＝MB →.二、能力提升8．下列结论中，正确的是( )A ．2 010 cm 长的有向线段不可能表示单位向量B ．若O 是直线l 上的一点，单位长度已选定，则l 上有且仅有两个点A ，B ，使得OA→，OB →是单位向量 C ．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量 D ．一个从A 点向东走500米到达B 点，则向量AB →不能表示这个人从A 点到B 点的位移 [答案] B[解析] 一个单位长度取作2 010 cm 时，2 010 cm 长的有向线段刚好表示单位向量，故A 错误；B 正确；C 中两向量为平行向量；D 选项的AB →表示从点A 到点B 的位移．9.如图，已知四边形ABCD 为正方形，△CBE 为等腰直角三角形，回答下列问题：(1)图中与AB→共线的向量有____________； (2)图中与AB→相等的向量有____________；(3)图中与AB→模相等的向量有____________．[答案] (1)BA →，BE →，EB →，AE →，EA →，CD →，DC →(2)DC→，BE → (3)BA→，BE →，EB →，DC →，CD →，AD →，DA →，BC →，CB → 10．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD→|. 解 (1)向量AB→、BC →、CD →如图所示：(2)由题意，易知AB→与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，又|AB→|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綉CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AD→＝BC →，∴|AD |→＝|BC →|＝200 km. 11．一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向向前行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去．(1)按1∶100比例作图说明当α＝45°时，操作几次时赛车的位移为零； (2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？ 解 (1)如图所示，操作8次后，赛车的位移为零； (2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零，按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180°－α的正多边形，故有：n (180°－α)＝(n －2)180°. ∴即α＝360°n ，n 为不小于3的整数．12．如图平面图形中，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→.求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′； (2)AB →＝A ′B ′→，AC →＝A ′C ′→.证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→， ∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→. 又∵A 不在BB ′→上，∴AA ′∥BB ′. ∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形． ∴|AB →|＝|A ′B ′→|.同理|AC →|＝|A ′C ′→|，|BC →|＝|B ′C ′→|. ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形， ∴AB →∥A ′B ′→，且|AB →|＝|A ′B ′→|. ∴AB →＝A ′B ′→.同理可证AC →＝A ′C ′→. 三、探究与创新13．在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ＝2，M 、N 分别为AB 和CD 的中点，在以A 、B 、C 、D 、M 、N 为起点和终点的所有向量中，回答下列问题：(1)与向量AD→相等的向量有哪些？向量AD →的相反向量有哪些？ (2)与向量AM→相等的向量有哪些？向量AM →的相反向量有哪些？(3)在模为2的向量中，相等的向量有几对？ (4)在模为1的向量中，相等的向量有几对？ 解 (1)与AD→相等的向量有：MN →，BC →；与向量AD→相反的向量有：DA →，NM →，CB →.(2)与AM→相等的向量有：MB →，DN →，NC →；与向量AM→相反的向量有：MA→，BM→，ND→，CN→.→与MC→，DM→与NB→，NA→与CM→，MD→(3)在模为2的向量中，相等的向量有：AN与BN→，共4对．→同向的有3对，与AD→(4)在模为1的向量中，相等的向量有18对．其中与AD反向的有3对，与AM→同向的有6对，与AM→反向的有6对，共18对.。
人教A版高中数学必修4课时作业15平面向量的实际背景及基本概念 Word版含答案
课时作业15 平面向量的实际背景及基本概念时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．在下列各命题中，属于真命题的有( )①物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量； ②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量； ③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量； ④坐标平面上的x 轴和y 轴都是向量． A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个解析：根据向量的有关概念，逐一判断．①根据作用力与反作用力的概念可知作用力与反作用力是一对共线向量；②温度只有大小没有方向，所以不是向量；③如图可知，是共线向量；④x 轴和y 轴只有方向，没有大小，所以不是向量．所以只有①③正确，故选A 项．答案：A2．设O 是等边△ABC 的中心，则向量AO →，OB →，OC →是( ) A ．有相同起点的向量B ．模相等的向量C．平行向量D．相等向量解析：显然，三个向量的起点是不同的，故A项错；显然它们也不平行，故C项错；同样，D项是错误的，故本题选B项．答案：B3．下列说法正确的个数是( )①若向量a，b共线，向量b，c共线，则a与c也共线；②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④若a＝b，b＝c，则a＝c.A．1 B．2C．3 D．4解析：由于零向量与任意向量都共线，故当b为零向量时，a，c 不一定共线，所以①不正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，故②不正确；向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则不妨设a为零向量，则a与b共线，与a与b不共线矛盾，故③正确；a ＝b，则a，b的长度相等且方向相同；b＝c，则b，c的长度相等且方向相同，所以a，c的长度相等且方向相同，故a＝c，④正确．答案：B4．若a为任一非零向量，b的模为1，下列各式：①|a|>|b|；②a ∥b；③|a|>0；④|b|＝±1.其中正确的是( )A．①④B．③C．①②③D．②③解析：①中，|a|的大小不能确定，故①错误；②中，两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向，故②错误；④中，向量的模是一个非负实数，故④错误；③正确．选B.答案：B 5.如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A.AB →＝OC →B.AB→∥DE → C ．|AD →|＝|BE →| D.AD→＝FC → 解析：由正六边形的性质可得AB→＝OC →，AB →∥DE →，|AD →|＝|BE →|，|AD→|＝|FC →|，显然AD →，FC →的方向不同，所以AD →≠FC →. 答案：D6．如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式成立的是( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP→＝PF → 解析：根据相等向量的定义，分析可得：A 中，AD→与BC →的方向不同，故AD→＝BC →错误；B 中，AC →与BD →的方向不同，故AC →＝BD →错误；C 中，PE→与PF →的方向相反，故PE →＝PF →错误；D 中，EP →与PF →的方向相同，且长度都等于线段EF 长度的一半，故EP→＝PF →正确． 答案：D二、填空题(每小题8分，共计24分)7．如图，四边形ABCD 为等腰梯形，向量AB →与DC →的关系是________．解析：体会模相等的两向量与相等向量的区别． 答案：|AB→|＝|DC →| 8．给出以下4个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；其中，能使a 与b 共线成立的是__________．解析：共线向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不涉及大小，由此可知①③④成立．答案：①③④ 9.如图所示，四边形ABCD 和BCEF 都是平行四边形． (1)写出与BC→相等的向量：______； (2)写出与BC→共线的向量：______. 解析：两个向量相等，要求这两个向量不仅长度相等，而且方向相同．平行向量是指方向相同或相反的向量．这样只要两个向量平行，就一定可以平移到同一条直线上，所以平行向量也是共线向量．答案：(1)FE→、AD → (2)FE →、AD →、EF →、DA →、CB → 三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．在图所示的坐标纸上，用直尺和圆规画出下列向量．(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在O 东偏北45°； (2)AB→，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°. 解：如图所示．11．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时它位于A点，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来；若它位于P点，则这只“马”有几种可能的走法？它能否走若干步从A点走到与它相邻的B点处？解：若开始时位于A点，则它的第一步有3种可能的走法；如图，若它位于P点，则有8种可能的走法；能从A点走到与它相邻的B点．12．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组→|＝ 5. 成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且|AC→；(1)画出所有的向量AC→|的最大值与最小值．(2)求|BC→如下图所示．解：(1)画出所有的向量AC(2)由(1)所画的图知，→|取得最小值12＋22＝5；①当点C位于点C1或C2时，|BC→|取得最大值42＋52＝41，②当点C位于点C5和C6时，|BC→|的最大值为41，最小值为 5.∴|BC。
高中人教A版数学必修4：第17课时 平面向量的实际背景及其基本概念 Word版含解析
1.何表示．212．向量可以用有向线段AB →表示，也可用字母表示，印刷中用黑体小写字母a ，b ，c ，…表示，书写时，可以用带箭头的小写字母a →，b →，c →，…表示．3．表示向量的有向线段的长度，叫向量的模，模为零的向量叫零向量；模为1的向量叫单位向量．4．模相等、方向相同的向量叫相等向量；方向相同或相反的两个向量叫平行向量，也一、选择题1．给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度．其中是向量的有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个答案：A解析：速度、位移、力、加速度，这4个物理量是向量，它们都有方向和大小．2．已知D 为平行四边形ABPC 两条对角线的交点，则|PD →||AD →|的值为( ) A.12 B.13C ．1D ．2答案：C解析：因为四边形ABPC 是平行四边形，D 为对角线BC 与AP 的交点，所以D 为P A的中点，所以|PD →||AD →|的值为1. 3．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a |>|b |，则a >bD ．单位向量的长度为1答案：D解析：A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．4．如图，在⊙O 中，向量OB →、OC →、AO →是( )A ．有相同起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等的向量答案：C5．下列命题正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ＝bB ．若a ≠b ，则|a |≠|b |C ．若|a |＝|b |，则a 与b 可能共线D ．若|a |≠|b |，则a 一定不与b 共线答案：C解析：因为向量既有大小又有方向，只有方向相同、大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A 错误．两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B 错误．不论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，C 正确，D 错误．6．给出下列四个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；③设a 0是单位向量，若a ∥a 0，且|a |＝1，则a ＝a 0；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .其中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C解析：①不正确．两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②正确．根据向量相等的定义判定．③不正确．a 与a 0均是单位向量，a ＝a 0或a ＝－a 0.④不正确．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ，b 同向．二、填空题7．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 是________．答案：梯形8．给出下列四个条件：(1)a ＝b ；(2)|a |＝|b |；(3)a 与b 方向相反；(4)|a |＝0或|b |＝0.其中能使a ∥b 成立的条件是________．答案：(1)(3)(4)解析：若a ＝b ，则a 与b 大小相等且方向相同，所以a ∥b ；若|a |＝|b |，则a 与b 的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a ∥b ；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a 与b 方向相反，则有a ∥b ；零向量与任意向量平行，所以若|a |＝0或|b |＝0，则a ∥b . 9.如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则(1)与AO →相等的向量有________；(2)与AO →共线的向量有________；(3)与AO →模相等的向量有________个．答案：(1)BC →，OD →，FE →；(2)BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，EF →，OA →，AD →，DA →；(3)23解析：根据向量的相关概念，可得(1)与AO →相等的向量有BC →，OD →，FE →；(2)与AO →共线的向量有BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，EF →，OA →，AD →，DA →；(3)正六边形的每一条边和每一条中心与顶点连成的线段，长度与AO →的模都相等，这样的线段共有12条，再注意到方向，共24个向量，除去AO →本身，满足条件的向量有23个．三、解答题10．已知在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，求AD →与BC →分别满足什么条件时，四边形ABCD满足下列情况．(1)四边形ABCD 是等腰梯形；(2)四边形ABCD 是平行四边形．解：(1)|AD →|＝|BC →|，且AD →与BC →不平行．∵AB →∥CD →，∴四边形ABCD 为梯形或平行四边形．若四边形ABCD 为等腰梯形，则|AD →|＝|BC →|，同时两向量不共线．(2)AD →＝BC →(或AD →∥BC →)．若AD →＝BC →，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD 为平行四边形．11．一架飞机向北飞行了300 km ，然后又向西飞行了300 km.(1)飞机飞行的路程是多少？(2)两次飞行结束后，飞机在出发地的什么方位？距离出发地多远？(保留根号)解：(1)300＋300＝600(km)，飞机飞行的路程是600 km.(2)两次飞行结束后，飞机在出发地的西北方向(或北偏西45°)，距离出发地300 2 km.12．如图所示的4×5的矩形(每个小方格都是正方形)，与AB →相等，并且要求向量的起点和终点都在方格的顶点处的向量可以作出________个．答案：3 13．如图，已知正比例函数y ＝x 的图象m 与直线n 平行，A ⎝⎛⎭⎫0，－22、B (x ，y )是直线n 上的两点，问：(1)x 、y 为何值时，AB →＝0?(2)x 、y 为何值时，AB →为单位向量？解：(1)已知点B (x ，y )是直线n 上的动点，要使得AB →＝0，必须且只需点B (x ，y )与A 重合，于是x ＝0，y ＝－22，即当x ＝0，y ＝－22时，AB →＝0. (2)如图，要使得AB →是单位向量，必须且只需|AB →|＝1.由已知m ∥n 且A ⎝⎛⎭⎫0，－22， ∴点B 1的坐标是⎝⎛⎭⎫22，0. 在Rt △AOB 1中，有|AB 1→|2＝|OA →|2＋|OB 1→|2＝1.上式表明，向量AB 1→是单位向量，同理可得，当点B 2的坐标是⎝⎛⎭⎫－22，－2时，向量AB 2→也是单位向量． 综上，有当x ＝22，y ＝0或x ＝－22，y ＝－2时，AB →为单位向量．。
高中数学必修四课时作业3：§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
一、基础过关1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程．其中是向量的有() A．2个B．3个C．4个D．5个[答案] C[解析]②③④⑤是向量．2．下列说法中正确的个数是()①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等．A．0 B．1 C．2 D．3[答案] D3．给出下列三个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是正方形． 其中不正确的命题的个数为( ) A ．2个 B ．3个 C ．0个 D ．1个 [答案] B4．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →是( ) A ．相等的向量 B ．平行的向量 C ．有相同起点的向量 D ．模相等的向量 [答案] D[解析] 这四个向量的模相等．5．若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式： ①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1，其中正确的是( ) A ．①④ B ．③ C ．①②③ D ．②③ [答案] B[解析] a 为任一非零向量，故|a |＞0.6.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →[答案] D[解析] 由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →模相等且方向相同， ∴EP →＝PF →.7.如图，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →. 求证：DN →＝MB →.证明 ∵AB →＝DC →， ∴|AB →|＝|CD →|且AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB . 又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形， ∴CM →＝NA →.∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|， ∴|DN →|＝|MB →|.∵DN ∥MB 且DN →与MB →的方向相同，∴DN →＝MB →. 二、能力提升8．以下命题：①|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量．其中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] C9．已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，则|BD →|＝________. [答案] 2 3[解析] 易知AC ⊥BD ，且∠ABD ＝30°，设AC 与BD 交于点O ，则AO ＝12AB ＝1.在Rt △ABO中，易得|BO →|＝3，∴|BD →|＝2|BO →|＝2 3.10．某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向按东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点． (1)作出向量AB →，BC →，CD →. (2)求AD →的模．解 (1)作出向量AB →，BC →，CD →如图所示：(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋(10)2＝55(米)．所以|AD →|＝55米．11.一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD →，DC →，CB →，AB →； (2)求B 地相对于A 地的位置向量． 解(1)向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示． (2)由题意知AD →＝BC →，∴AD 綊BC ，则四边形ABCD 为平行四边形，∴AB →＝DC →，则B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东60°，6千米”． 12.如图，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→.求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′； (2)AB →＝A ′B ′→，AC →＝A ′C ′→. 证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→， ∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→. 又∵A 不在BB ′→上，∴AA ′∥BB ′. ∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形． ∴|AB →|＝|A ′B ′→|.同理|AC →|＝|A ′C ′→|，|BC →|＝|B ′C ′→|. ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形， ∴AB →∥A ′B ′→，且|AB →|＝|A ′B ′→|. ∴AB →＝A ′B ′→.同理可证AC →＝A ′C ′→. 三、探究与拓展13.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是两对角线AC ，BD 的交点，设点集S ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{MN →|M ，N ∈S ，且M ，N 不重合}，试求集合T 中元素的个数．→，解由题意知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即AB→，AD→，AO→；BA→，BC→，BD→，BO→；CA→，CB→，CD→，CO→；DA→，DB→，DC→，DO→；OA→，OB→，AC→，OD→.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即AB→＝DC→，AD→＝BC→，DA→＝CB→，OC→＝CD→，AO→＝OC→，OA→＝CO→，DO→＝OB→，OD→＝BO→.BA∵集合中元素具有互异性，∴集合T中的元素共有12个．。
2016-2017学年高一数学人教A版必修四练习：第二章 平面向量2.2.2 Word版含解析
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在三角形ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，则AB →＝( )A ．a －bB ．b －aC ．a ＋bD ．－a －b解析： AB →＝CB →－CA →＝－BC →－CA →＝－a －b .答案： D2．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝1，则|BC →－AC →|的值为( )A ．0B ．1C .3D ．2解析： |BC →－AC →|＝|BC →＋CA →|＝|BA →|＝1.答案： B3．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )A .EF →＝OF →＋OE →B .EF →＝OF →－OE →C .EF →＝－OF →＋OE →D .EF →＝－OF →－OE →解析： EF →＝EO →＋OF →＝OF →－OE →＝EO →－FO →＝－OE →－FO →.故选B .答案： B4．已知一点O 到▱ABCD 的3个顶点A ，B ，C 的向量分别是a ，b ，c ，则向量OD →等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．a －b －c解析： 如图，点O 到平行四边形的三个顶点A ，B ，C 的向量分别是a ，b ，c ，结合图形有OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a －b ＋c .答案： B二、填空题(每小题5分，共15分)5．下列四个等式：①a ＋b ＝b ＋a ；②－(－a )＝a ；③AB →＋BC →＋CA →＝0；④a ＋(－a )＝0，其中正确的是________(填序号)．解析： 由向量的运算律及相反向量的性质可知①②④是正确的，③符合向量的加法法则，也是正确的．答案： ①②③④6．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________． 解析： 若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，∴|a ＋b |＝0，又a ＝－b ，∴|a |＝|－b |＝1，∵a 与－b 共线，∴|a －b |＝2.答案： 0 27．在△ABC 中，D 是BC 的中点，设AB →＝c ，AC →＝b ，BD →＝a ，AD →＝d ，则d －a ＝________，d ＋a ＝________．解析： 根据题意画出图形，如下图，d －a ＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →＝c ；d ＋a ＝AD →＋BD →＝AD →＋DC →＝AC →＝b .答案： c b三、解答题(每小题10分，共20分)8．化简：(1)MN →－MP →＋NQ →－PQ →；(2)BD →＋DC →＋AB →－AC →.解析： (1)MN →－MP →＋NQ →－PQ →＝(MN →＋NQ →)－(MP →＋PQ →)＝MQ →－MQ →＝0.(2)BD →＋DC →＋AB →－AC →＝(BD →＋DC →)＋(AB →－AC →) ＝BC →＋CB →＝0.9．如图，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →；(2)用b ，c 表示DB →；(3)用a ，b ，e 表示EC →；(4)用d ，c 表示EC →.解析： 由图可知AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e .(1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a .(2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e .(4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .。
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第17课时 平面向量的实际背景及其基本概念
课时目标
1.通过物理、几何模型的探究，了解向量的实际背景．掌握向量的有关概念及向量的几
何表示．
2．掌握相等向量与共线向量的概念．
识记强化
1．既有大小，又有方向的量叫向量．
2．向量可以用有向线段AB→表示，也可用字母表示，印刷中用黑体小写字母a，b，c，…
表示，书写时，可以用带箭头的小写字母a→，b→，c→，…表示．
3．表示向量的有向线段的长度，叫向量的模，模为零的向量叫零向量；模为1的向量
叫单位向量．
4．模相等、方向相同的向量叫相等向量；方向相同或相反的两个向量叫平行向量，也
叫共线向量．规定零向量与任何向量共线．
课时作业
一、选择题
1．给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度．其
中是向量的有( )
A．4个 B．5个
C．6个 D．7个
答案：A
解析：速度、位移、力、加速度，这4个物理量是向量，它们都有方向和大小．
2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则|PD→||AD→|的值为( )
A.12 B.13
C．1 D．2
答案：C
解析：因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA
的中点，所以|PD→||AD→|的值为1.
3．下列说法正确的是( )
A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行
B．终点相同的两个向量不共线
C．若|a|>|b|，则a>b
D．单位向量的长度为1
答案：D
解析：A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两
向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不
可以比较大小．
4．如图，在⊙O中，向量OB→、OC→、AO→是( )
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
答案：C
5．下列命题正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若a≠b，则|a|≠|b|
C．若|a|＝|b|，则a与b可能共线
D．若|a|≠|b|，则a一定不与b共线
答案：C
解析：因为向量既有大小又有方向，只有方向相同、大小(长度)相等的两个向量才相等，
因此A错误．两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误．不论两个向量的模是否
相等，这两个向量都可能共线，C正确，D错误．
6．给出下列四个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若a＝b，b＝c，则a＝c；
③设a0是单位向量，若a∥a0，且|a|＝1，则a＝a0；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中假命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
解析：①不正确．两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两个向量相等，不
一定有相同的起点和终点．
②正确．根据向量相等的定义判定．
③不正确．a与a0均是单位向量，a＝a0或a＝－a0.
④不正确．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a，b同向．
二、填空题
7．在四边形ABCD中，AB→∥CD→，|AB→|≠|CD→|，则四边形ABCD是________．
答案：梯形
8．给出下列四个条件：(1)a＝b；(2)|a|＝|b|；(3)a与b方向相反；(4)|a|＝0或|b|＝0.其中
能使a∥b成立的条件是________．
答案：(1)(3)(4)
解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大
小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此
若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.
9.
如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则
(1)与AO→相等的向量有________；
(2)与AO→共线的向量有________；
(3)与AO→模相等的向量有________个．
答案：(1)BC→，OD→，FE→；(2)BC→，OD→，FE→，CB→，DO→，EF→，OA→，AD→，DA→；(3)23
解析：根据向量的相关概念，可得(1)与AO→相等的向量有BC→，OD→，FE→；(2)与AO→共线的
向量有BC→，OD→，FE→，CB→，DO→，EF→，OA→，AD→，DA→；(3)正六边形的每一条边和每一条中
心与顶点连成的线段，长度与AO→的模都相等，这样的线段共有12条，再注意到方向，共
24个向量，除去AO→本身，满足条件的向量有23个．
三、解答题
10．已知在四边形ABCD中，AB→∥CD→，求AD→与BC→分别满足什么条件时，四边形ABCD
满足下列情况．
(1)四边形ABCD是等腰梯形；
(2)四边形ABCD是平行四边形．
解：(1)|AD→|＝|BC→|，且AD→与BC→不平行．
∵AB→∥CD→，∴四边形ABCD为梯形或平行四边形．若四边形ABCD为等腰梯形，则|AD
→
|＝|BC→|，同时两向量不共线．
(2)AD→＝BC→(或AD→∥BC→)．
若AD→＝BC→，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD为平行四边形．
11．一架飞机向北飞行了300 km，然后又向西飞行了300 km.
(1)飞机飞行的路程是多少？
(2)两次飞行结束后，飞机在出发地的什么方位？距离出发地多远？(保留根号)
解：(1)300＋300＝600(km)，飞机飞行的路程是600 km.
(2)两次飞行结束后，飞机在出发地的西北方向(或北偏西45°)，距离出发地3002 km.
能力提升
12．如图所示的4×5的矩形(每个小方格都是正方形)，与AB→相等，并且要求向量的起
点和终点都在方格的顶点处的向量可以作出________个．
答案：3
13．如图，已知正比例函数y＝x的图象m与直线n平行，A0，－22、B(x，y)是直线
n上的两点，问：
(1)x、y为何值时，AB→＝0?
(2)x、y为何值时，AB→为单位向量？
解：(1)已知点B(x，y)是直线n上的动点，要使得AB→＝0，必须且只需点B(x，y)与A重
合，于是x＝0，y＝－22，即当x＝0，y＝－22时，AB→＝0.
(2)
如图，要使得AB→是单位向量，必须且只需|AB→|＝1.由已知m∥n且A0，－22，
∴点B1的坐标是22，0.
在Rt△AOB1中，有|AB1→|2＝|OA→|2＋|OB1→|2＝1.
上式表明，向量AB1→是单位向量，同理可得，
当点B2的坐标是－22，－2时，向量AB2→也是单位向量．
综上，有当x＝22，y＝0或x＝－22，y＝－2时，AB→为单位向量．