2009级研究生《数值分析》试题
研究生数值分析试卷.docx
2005-2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）科目名称：数值分析学生所在院： _______ 学号： _________ 姓名： _______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、 （15分）设求方程12-3x + 2cosx = 0根的迭代法（1） 证明对0兀0 w /?,均有lim 林，其中T 为方程的根.kT8 （2） 此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论.二、 （12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的 收敛性。
x } + 2X 2 - 2X 3 = 1,v 兀］+ 兀2 +兀3 = _1，2兀］+ 2兀2 +兀3 = °・a 0、a 0 ,说明对任意实数。
工0,方程组AX=b 都是0 Q,非病态的。
（范数用||・|L ）四、（15分）已知y = f （x ）的数据如下:求/（%）的Hermite 插值多项式H 3 （%）,并给出截断误差/?（兀）=f （x ） - H 3 （x ）。
五、（10分）在某个低温过程屮，函数y 依赖丁•温度兀（°C ）的试验数据为已知经验公式的形式为『=仮+方兀2 ,试用最小二乘法求出a , b o 六、（12分）确定常数a, b 的值，使积分(2a 三、（8分）若矩阵A = 0J(a, /?) = !] [ax2取得最小值。
七、（14分）已知Legendre （勒让德）止交多项式厶（x ）有递推关系式:'L 曲（兀）=^77 心（兀）一 -—Ln-1（兀）（斤=1, 2,…）试确定两点的高斯一勒让德（G —L ）求积公式£ f （x ）djc = £ f\x ｝） + A 2 .f （兀2）的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分go ） = y （）儿+1 =儿+力（^心+-^2） k\=f （Xn ，yJ 忍=fg + h,y n +hk ｛）（1） 验证它是二阶方法； （2） 确定此单步法的绝对稳定域。
研究生数值分析试题
一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分)
1、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（
）
（1）调换方程位置； （2）选主元； （3）直接求解； （4）化简方程组。
⎛ 2 2 3⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞⎛2 2 3⎞
2、设矩阵
A
为初值迭代一步。
四、（12 分）应用牛顿法于方程
f (x) =
xn
−a
Байду номын сангаас
=
0和
f (x) =1−
a xn
= 0 ，分别导出求 n
a
的
迭代公式，并求极限 lim n a − xk+1 。 k→∞ ( n a − xk )2
五 、 （ 12 ） 方 程 x3 − 6 x − 8 = 0 在 x = 3 附 近 有 根 ， 把 方 程 写 成 三 种 不 同 的 等 价 形 式
零， A = LU 为 Doolitte 分解，则上三角矩阵 U 的上半带宽为
。
5、设对称正定矩阵
A
=
(aij
)∈
Rn×n , a11
≠
0
，经过一次
Gauss
消元得到形如
A
=
⎛ ⎜ ⎝
a11 0
∗⎞
A1
⎟ ⎠
的
矩阵，则 A1 是
矩阵。
三、（12 分）试用高斯列主元素法求解线性方程组
⎡ 1 3 −2 −4 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡3 ⎤
3、设矩阵 A ∈ Rn×n ， Q ∈ Rn×n ，且 QT Q = E ，则下列关系式不成立的是（
）
(1) A = AQ ；(2) QA = A ；(3) Qx = x ，其中 x ∈ Rn ；
中国计量大学数学分析2009年考研初试真题
8．设函数 f x 在 0, 上连续可导, 且 f 0 0.试求
lim 1 f
t t0
4 V
x2 y2 z2 dxdydz ,
其中积分区域为V : x2 y2 z2 t2 ．
9．讨论级数 1n sin x 的收敛性(包括条件收敛或绝对收敛)．
f x A, x 0 , .
《数学分析》试卷 第 1 页 共 2 页
3．判断函数项级数在所示区间上的一致收敛性:
1
n1
1 n1
x2 n
, x
,
;
2 s i nnx n1 n
, x
0 ,2
.
4．证明函数 F y e xy2 dx 在 , 上连续. 0
f (xn y n )(xn1dx y n1dy) 0 ( n 正整数)．
L
7 ． 计 算 第 二 型 曲 面 积 分 ： J y(x z)dydz x2dzdx y2 xz dxdy ,
S
其中 S 是曲面
z 5 x2 y2 上 z 1 的部分,并取外侧．
n1
n
二、（共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分）
1．设 f x 在闭区间 a,b 上连续.证明在开区间 a,b 内至少存在一点 , 使
b
a
f
x
d x
f b . a
2．设函数 f 在 0, 上满足方程 f 2x f x, 且 lim f x A. 证明: x
中国计量学院 2009 年攻读硕士学位研究生入学试题
考试科目名称: 考试科目代码: 考 生 姓 名: 考 生 编 号:
2009年华中师范大学数学分析考研试题
x→a+
f ( x) 和 lim− f ( x) 也存在，则 f ( x) 在开区间
x →b
三、 （12 分）证明含参量反常积分
∫
+∞
0
xe− xy dy
在 [δ , +∞ ) 上一致收敛（其中 (δ > 0 ) ） ，在 ( 0, +∞ ) 上不一致收敛。 四、 （20 分） 设函数 f ( x) 在 [ 0,1] 上连续， 在 ( 0,1) 内可微， 且存在 M 使得 ∀x ∈ ( 0,1) ， xf ' ( x) − f ( x) （1）
2．计算二重积分 ∫ ∫
D
s in y d xd y y
x = 0 所围成的区域。
3．求曲线积分n ∫C
( x − 1)dy − ( y − 2)dx ，其中 C 是平面内任意 4( x − 1) 2 + ( y − 2) 2
一条不过点 (1, 2) 的正向简单光滑封闭曲线。 二、 （12 分）设函数 f ( x) 定义在开区间 (a, b) 内，若对任意 c ∈ (a, b) ， 都有 lim f ( x) 存在，且 lim x →c
< xM 2 ，证明：
>0，
f ( x) 在 ( 0,1) 内一致连续； x
（2） lim f ' ( x) 存在。
x → 0+
五、 （20 分）证明下面的结论： （1）若 f ( x) 在 [ 0,1] 上连续，则 l im n→ ∞
∫
Hale Waihona Puke 1 0xn
f ( x )dx = 0
。
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数值分析(研究生)试卷
华中科技大学研究生课程考试试卷课程名称：_______________________ 课程类别考核形式数值分析学生类别______________考试日期______________学生所在院系_______________ □公共课□专业课√□开卷□√闭卷2009.5.6学号__________________姓名__________________任课教师___________________ 一、填空题（每空2分，共20分） 1. 为避免有效数字的损失，应将,1,ln )1ln(>>-+x x x 改写为_____________。
2. 设其三阶差商,200720082009)(3++=x x x f =]3,2,1,0[f _____________，四阶差商____________。
=]4,3,2,1,0[f 3. 设是上带权b x x x +-=22)(?]1,0[1)(=x ρ的正交多项式，则=b ___________。
4. 对于常微分方程数值解，若某算法的局部截断误差为，则称该算法有_____________阶精度；显式欧拉法有____________阶精度。
)O(h1p+5. 设是的二重根。
*x 0)(=x f )(x f ′′在邻近连续，则用迭代公式________________*x 求此根的近似值所产生的序列至少具有二阶收敛性。
6. ，当a 满足条件___________时，A 可作LU 分解，当a 满足条件__________时，必有分解式，这种分解唯一吗？ _____________ ??????+=1221a A TL L A ?=二、（10分）函数在上有三阶连续导数，作一个不高于二次的多项式满足)(x f ],[10x x )(x P .)()(),()(),()(110000x f x P x f x p x f x P =′=′=证明其唯一性，并写出它的余项的表达式。
考研数学-2009年华南理工数学分析解答
2009年华南理工大学研究生入学考试数学分析试卷第八题解答01(10分)设函数()()()f x a bx a bx ϕϕ=+--，其中()x ϕ在x a =的某个小邻域内有定义且在该点处可导，求'(0)?f = 解：由导数的定义我们有：00000()(0)()()'(0)limlim(()())(()())lim ()()()()lim lim ()()'()'()2'()x x x x x f x f a bx a bx f x x a bx a a bx a x a bx a a bx a b b a bx a a bx a b a b a b a ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ→→→→→-+--==+----=+---=--+---=+=02(10分)设0x y π<<<，试证：sin 2cos sin 2cos y y y y x x x x ππ++>++。
证：设()sin 2cos (0)f x x x x x x ππ=++<<，则'()cos sin (0),''()sin (0)f x x x x x f x x x x πππ=-+<<=-<<于是''()0f x <，'()f x 严格单调递减，故'()'()0f x f π>=，因此()f x 严格单调递增，于是立即得到所要证的不等式。
03(10分)设0,0x y >>，求2(,)(4)f x y x y x y =--的极值。
解：22322(,)(4)4f x y x y x y x y x y x y =--=--，求偏导数得：222322222(,)832(832)0(,)42(42)0(,)862(,)2(,)(,)834x y xx yy xy yx f x y xy x y xy xy x y f x y x x x y x x y f x y y xy y f x y x f x y f x y x x xy=--=--==--=--==--=-==--注意到0,0x y >>，即得到二元一次方程组8320420x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得极值点为21x y =⎧⎨=⎩，于是(2,1)(2,1)64((2,1))320(2,1)(2,1)48xx xy yx yy f f H f f --===>--，故由(2,1)60xx f =-<知点（2，1）是极大值点，极大值为4.04（10分）设2arctan(1)()(1cos )xu du t dtf x x x +=-⎰⎰，求0lim ()?x f x →=解：22()()arctan(1),'()2arctan(1),()(1cos )xug u dug u t dt g u u u f x x x =+=+=-⎰⎰，于是2200020()()()'()lim ()limlimlimlim 3(1cos )3222arctan(1)22lim arctan133346xxx x x x x x g u dug u dug x g x f x x x x x xx x x x ππ→→→→→→====-+===⨯=⎰⎰05（10分）计算?Cxdy ydx -=⎰其中C 为椭圆()222(32)1x y x y +++=，方向为逆时针方向。
中山大学考研数学分析2009年真题及答案
中山大学2009年数学分析真题题目一、（每小题6分，共48分） （1） 求lim x→∞(x −x 2ln (1+1x ));（2）求∫1−lnx ln 2xdx ;（3） {x =cos(t 2)y =∫sinuu du t 20,求dydx; （4） 求∫|x −a |e x dx 1−1,|a |<1;（5） 设z =uv +sint,u =e t ,v =cost,求dzdt ;（6） u =φ(x +ψ(y )), 其中φ,ψ二阶可微，x,y 为自变量，求d 2u ;（7） 求级数∑cos nx ∞n=1在收敛域上的和函数;（8）判断级数∑1n1+1n∞n=1的敛散性.二、将区间[1，2]做n 等分。
分点为1=x 0<⋯<x n =2，求lim n→∞√x 1x 2…x n n 。
三、计算I =∫(x+y )dx+(y−x)dyx 2+y 2L,其中L 是从点A （-1，0）到点B （1，0）的一条不经过原点的光滑曲线:y =f (x ),x =[−1,1],且当xϵ(−1,1)时,f(x)>0。
四、计算∬x 2dydz +y 2dzdx +z 2dxdy S ,其中S 为曲面x 2+y 2=z 2介于平面z =0和z =h(h >0)之间的部分取下侧。
五、设f (x)在(1,+∞)上连续，f ′′(x)≤0，f (1)=2，f ′(1)=−3，证明f (x)=0在(1,+∞)上有且仅有一个实根。
六、设函数f (x)在（−∞,+∞）上连续，试证：对一切x 满足f (2x )=f(x)e x 的充要条件是f (x )=f(0)e x 。
七、求椭球面x 2a 2+y 2b 2+z 2c 2=1在第一卦限部分的切平面与三坐标平面围成的四面体的最小体积。
八、讨论级数∑cos(π2lnn)n∞n=1的敛散性。
参考答案一、 （1） lim x→∞(x −x 2ln (1+1x ))=lim x→∞x 2[1x −ln (1+1x )]=12limx→∞x 2x 2=12.（2）∫1−lnx ln 2xdx =∫1−y y 2de y=∫e y (1−y)y 2dy =∫e y (y −1)d 1y =(y−1)e yy−∫d (y−1)e yy=−e y y +C =−x lnx+C .（3） dy dx =dy dt dx dt=2tsint 2t 2−2tsint 2=−1t2.（4）∫|x −a |e x dx 1−1=∫(a −x)e x dx a −1+∫(x −a )e x dx =(a +1−x)e x |−1a 1a +(x −a −1)e x |a 1=2e a −(a +2)e−1−ae . （5） z =uv +sint,u =e t ,v =cost ，故z =e t cost +sint,dz dt=e t (cost −sint )+cost .（6）u =φ(x +ψ(y ))，φ,ψ二阶可微，故du =φ′(x +ψ(y ))[dx +ψ′(y)dy]d 2u =dφ′(x +ψ(y ))[dx +ψ′(y )dy]+φ′(x +ψ(y ))d [dx +ψ′(y )dy]=φ′′(x +ψ(y ))[dx +ψ′(y )dy]2+φ′(x +ψ(y ))ψ′′(y )(dy)2（7） ∑cos n x ∞n=1=cosx 1−cosx ，其收敛域为{x ||cosx |<1}={x|x ≠kπ,kϵZ}。
研究生数值分析练习题答案
------------------------------------------------ 装 ---------------------------------订 ---------------------------------线 ------------------------------------------------装 订 线 左 侧 不 要 书 写 内 容允许使用计算器一、 填空题 （本大题共10小题，每小题 2分，共 20分）1. 若2.71828x e == ，取近似值* 2.7180x =，则*x 具有 4 位有效数字。
2.为了提高数值计算精度，应将8格式进行计算。
3.已知n=3时牛顿—柯特斯系数(3)(3)(3)012133,,888C C C ===，那么(3)3C =18 。
4.设3()1f x x x =+-，则函数的四阶差商[0,1,2,3,4]f = 0 。
5. 用牛顿迭代法解方程0x x e --=在0.5x =附近的近似实根的牛顿迭代格式为)1,0(e 1e )()(1=+--='-=--+n x x x f x f x x nnx x n n n n n n6. 对给定的剖分01:n a x x x b ∆=<<<= ，当()s x 满足条件 ()s x 在[a,b]有2阶连续导数且在每个子区间上是个3次多项式 时是三次样条函数。
7．用最小二乘法拟合三点()()()0,1,1,3,2,2A B C 的直线是1322y x =+。
8.向量序列()211cos ,sin ,3Tk k x e k k k k -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 的极限向量为()0,1,3T9.求积公式 10311()()(1)434f x dx f f ≈+⎰的代数精度为 2 。
10.若绝对误差限为31102-⨯，那么近似数0.03600有 2 位有效数字二、单项选择题（本大题共5小题，每小题 2 分，共 10分）1. 已知实验数据555521111(,)(1,2,3,4,5),15,31,55,105.5,k k k k kk k k k k k x y k x y x x y =========∑∑∑∑其中则用最小二乘法求近似公式01y a a x =+的法方程为（ C ）A 0101153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩B 0101515551531105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩C 0101515311555105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩ D0101531153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩ 2． 以下矩阵是严格对角占优矩阵的是（ B ）A 3210141011410012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ B 2100131013610113-⎛⎫⎪--⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭C 5210113121410012-⎛⎫⎪--⎪ ⎪⎪⎝⎭D 4211141021411315⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭3.已知两种递推公式11(1)35(1,2,,20)31(2)(20,,1)55n n n n I nI n I I n n n--=-==-= 则在数值计算过程中（ C ）。
浙江大学2009年数学分析考研试题
b > 0，c > 0 )上点 p(x, y, z) 处的切平面的距离。求第一类曲面积分 ∫∫ ds 。 ∑ f (x, y, z)
四、（ 分）设 在 上连续，且 。证明： 。 20
f (x) [a,b]
min f (x) = 1
x∈[ a ,b ]
∫b
lim(
dx
1
)n =1
n→∞ a ( f (x))n
证明： 。 ∫b | cos f (x)dx |≤
2
a
f ′(b)
浙江大学 2009 年数学分析试题 一、 计算（每小题 10 分，共 40 分）
（ ） ， ∫ 1
a2
cos2
1 x+
b2
sin 2
x
dx(ab
≠
0)
（2） lim
∫ x t2
e 2 cos tdt − x
0
，
x→0 (ex −1)2 (1− cos2 x) arctan x
（ ） ， ∫+∞ ln x 3 0 1+ x2 dx
（ ） ，其中 4 ∫∫ (x + y)sgn(x − y)dxdy
D = [0,1]×[0,1]
D
二、（15
分）如果
f
(x)
在
x0
的某邻域内可导，且
lim
x → x0
f ′(x) x − x0
=
1 2
。证明
f
(x)
在点
x0
处取
极小值。
三、（15 分）设 f (x, y, z) 表示从原点 O(0,0,0) 到椭球面 ∑ ： x2 + y2 + z2 =1( a > 0 ， a2 b2 c2
西北大学2009年数学分析硕士学位研究生试题及答案
x 2
f ( x) . x
x 解：令 f ( x) f ( ) ( x) x 2 x x x x x x 则 f ( x) f ( ) ( x) x f ( ) ( ) ( x) x x ( x) ( ) … 2 4 2 2 2 2 x x x n ( n ) f ( n 1 ) 2 2 2
1, 当x为有理数 解析： （ⅰ）当取函数 f ( x) 时，函数 f ( x) 1 . 1, 当x为无理数
显然，此时函数 f ( x) 可积，但函数 f ( x) 不可积； （ⅱ）当取函数 f ( x) x, x 1,1 时，函数 f ( x) x , x 1,1 . 显然，此时函数 f ( x) 与函数 f ( x) 都在 1,1 上可积. 4. 级数 (1) n 1
因为 lim
n
an 1 an
1 n n 1 lim lim 1 n n n 1 n 1 1 (1) n (1) n 1 1 ，即其收敛区间为 1,1 .
所以该幂级数的收敛半径为 R
故该幂级数在 1,1 内内闭一致收敛 5. 若函数 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处沿任意方向的方向导数都存在，则（C） A. f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续 B. f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微 C. f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ) 都存在 D. f x ( x, y ), f y ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续 解析： （ⅰ） 二元函数在一点可微是其方向导数存在的充分条件而不是必要条件； （ⅱ） 二元函数在一点连续既不是其方向导数存在的必要条件也不是其方向导数 存在的充分条件； （ⅲ） f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ) 分别表示函数 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处沿 x 轴正向， y 轴 正向的方向导数. 二． 解答题： （本题共 60 分，每小题 10 分）
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T1( k )
0.638071
T2( k )
T3( k )
0.636614 0.636625
四、 （8 分）下表给出已知数据 ( xi , yi ), i 0,1, 2,3, 4 及部分均差
xi
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80
yi
0.1995 0.3965 0.5881 0.7721 0.9461
一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差
1.043841 1.086957 1.149425
0.073631 0.071884 0.174492
补上表中未算出的均差，然后写出四次牛顿插值多项式；
10 a 0 五、 （7 分）设 A b 10 b , det( A) 0 ，用 a , b 表示解方程组 Ax d 的雅可比迭代法收敛的充分必要 0 a 5
张耀明 总分
x3 x2 0 x 1 5． S ( x) 3 是以 0，1，2 为节点的三次样条函数，则 b=____, c=_____ 2 2 x bx cx 1 1 x 2
6．若 f ( x) 2x 6 x 1 ，则 f [1,2,3,4,5,6,7] =( 7. 设 A 是 n 阶对称矩阵，则 A 2 =_______ 8．求方程 x f ( x) 根的牛顿迭代格式是________________ 9．设 l k ( x) （ k 0,1,, n ）是给定节点 xk （ k 0,1,, n ）的拉格朗日基函数，则 l k ( x) =______ k 0 1 1 10．设矩阵 A 2 3 ，矩阵 A 的范数 A 2 =___________ 二、 （1） （8 分）设有某实验数据如下图所示，试按照最小二乘法求一次多项式拟合下图中的数据。 x y 1.36 14.094 1.73 16.844 1.95 18.475 2.28 20.963
第 2 页
七、 （10 分）利用三角分解方法解线性方程组
x1 2 x3 3 x4 1 2 x1 x2 3 x3 5 3 x 2 x 2 x 1 2 3 1
八． （10 分）方程 x 3 x 2 1 0 在[1.4, 1.6]内有一根，若将方程写成如下不同的等价形式：
山东理工大学 《数值分析》 试题解答
班级： 适用范围 学年学期 题号 得分 一、填空题（每小题 2 分，共 20 分） 1．1．设 x* 的相对误差是 ，则 3 x 的相对误差是________ 2．为提高数值计算精度，当正数 x 充分大时，应将 ln( x 2 1 x) 改写为________ 3．具有 n+1 个节点的牛顿—柯特斯公式的代数精度至少是_____阶，而高斯公式至少是_______阶 4．已知 f ( x) ax 2 与 g ( x) x 在区间 [0,1] 上带权 ( x) 1 正交，则 a=__________. 一 姓名： 硕士研究生 09~10 上期 二 学号： 考试性质 出题日期 三 考试 09/12/10 四 五 （A）卷 考试形式 命题教师 六 七 共 3 页 闭卷 第 1 页 考试时间 张瑞 八 装订线 100 分钟
条件. 六、 （1） （7 分）利用四阶龙格-库塔（Runge-Kutta）方法求初值问题
y x y y(0) 0
的数值解，取 h 0.2 ，写出迭代格式，并计算两步（保留 5 位小数）. （2） （8 分）选取参数 a , b ，使下述形式的 RK 公式为二阶公式
yn 1 yn hK2 K1 f ( xn , yn ) K f ( x ah, y hbK ) n n 1 2
2 （1） x 3 1 x 2 ，对应的迭代格式 x n 1 3 1 x n
（2） x 2
1 ，对应的迭代格式 xn1 x 1
1 xn 1
试确定上述迭代格式的敛散性。
第 3 页
n
)
（2） （7 分）在区间[0 ,1]上求函数
f ( x) e x 的一次最佳平方逼近多项式
第 1 页 三、(1)（7 分） 确定形如 f ( x)dx A0 f (0) A1 f (1) A2 f (3)求积公式中的待定参数，使其代数精 0 度尽可能高，并指出其代数精度。 （2） （8 分）用 Romberg 积分公式计算某定积分时给出了如下表的部分数据，写出 Romberg 积分公 式，补上表中未写出的数据.