2015-2016学年福建省莆田二十五中高二(下)期中数学试卷(文科)

2015-2016学年福建省莆田二十五中高二（下）期中数学试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设i是虚数单位，若复数a-（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A.-3B.-1C.1D.3【答案】D【解析】解：∵=（a-3）-i是纯虚数，∴a-3=0，解得a=3．故选D．利用复数的运算法则把a-（a∈R）可以化为（a-3）-i，再利用纯虚数的定义即可得到a．熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键．2.在121个学生中，一年级有25人，二年级有36人，三年级有60个，现抽取容量为20的样本．用系统抽样法：先随机去掉一人，再从剩余人员中抽取容量为20的样本，整个过程中每个体被抽取到的概率是（）A. B.C. D.不能确定，与去掉的人有【答案】C【解析】解：由题意可得，在系统抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，都等于，故选：C．在系统抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，都等于样本容量除以总体个数得到的数值．本题主要考查系统抽样的特点，等可能事件的概率，属于基础题．3.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（）A.恰有1名男生与恰有2名女生B.至少有1名男生与全是男生C.至少有1名男生与至少有1名女生D.至少有1名男生与全是女生【答案】A【解析】解：A中的两个事件符合要求，它们是互斥且不对立的两个事件；B中的两个事件之间是包含关系，故不符合要求；C中的两个事件都包含了一名男生一名女生这个事件，故不互斥；D中的两个事件是对立的，故不符合要求．故选A互斥事件是两个事件不包括共同的事件，对立事件首先是互斥事件，再就是两个事件的和事件是全集，由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案．本题考查互斥事件与对立事件，解题的关键是理解两个事件的定义及两事件之间的关系．属于基本概念型题．4.以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②对于两个相关随机变量x，y而言，点P（，）在其回归直线上；③在回归直线方程=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位；④两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于1；其中真命题为（）A.①④B.②④C.①③D.②③【答案】D【解析】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，故①不正确，②对于两个相关随机变量x，y而言，点P（，）在其回归直线上，正确；③在回归直线方程=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位，正确．④两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0，故不正确．故选：D．对4个选项分别进行判断，即可得出结论．本题以命题的真假判断为载体，考查了抽样方法，相关系数，回归分析，独立性检验等知识点，难度不大，属于基础题．5.下列说法中正确的是（）A.数据5，4，4，3，5，2的众数是4B.一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C.数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D.频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数【答案】C【解析】解：∵A中众数有两个4和5，∴A是错误的，B中说法错误，因为一组数据的标准差是这组事件的方差的平方根，C可以根据所给的数据，看出第二组是由第一组乘以2得到的，前一组的方差是后一组的四分之一，标准差是一半，正确，D频率分步直方图中各个小正方形的面积是各组相应的频率，故选C．这种问题考查的内容比较散，需要挨个检验，A中众数有两个4和5，又因为一组数据的标准差是这组事件的方差的平方根，C可以根据所给的数据，看出第二组是由第一组乘以2得到的，前一组的方差是后一组的四分之一，标准差是一半，频率分步直方图中各个小正方形的面积是各组相应的频率．本题主要考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．6.在区间[-3，5]上随机取一个实数a，则使函数f（x）=x2+2ax+4无零点的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由已知区间[-3，5]长度为8，使函数f（x）=x2+2ax+4无零点，即判别式△=4a2-16＜0，解得-2＜a＜2，即（-2，2），区间长度为4，由几何概型的公式得使函数f（x）=x2+2ax+4无零点的概率是；故选：B．本题属于几何概型，只要求出区间长度以及满足条件的区间长度，由几何概型公式解答．本题考查了几何概型的运用；关键是明确几何测度，利用公式解答7.若x1，x2，x3，…，x n的平均数为，则x1+a，x2+a，…，x n+a的平均数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：x1，x2，x3，…，x n的平均数为，∴=（x1+x2+…+x n）；∴x1+a，x2+a，…，x n+a的平均数为（x1+a+x2+a+…+x n+a）=（x1+x2+x3+…+x n）+a=+a．故选：A．根据平均数的定义，利用x1，x2，x3，…，x n的平均数表示出x1+a，x2+a，…，x n+a的平均数即可．本题考查了平均数的定义与计算问题，是基础题目．8.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k值是（）A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】解：执行程序框图，有k=1，S=0满足条件S＜100，S=2，K=2；满足条件S＜100，S=6，K=3；满足条件S＜100，S=14，K=4；满足条件S＜100，S=30，K=5；满足条件S＜100，S=62，K=6；满足条件S＜100，S=126，K=7；不满足条件S＜100，输出K的值为7．故选：C．执行程序框图，写出每次循环得到的S，k的值，当S=126，K=7时不满足条件S＜100，输出K的值为7．本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．9.在样本的频率分布直方图中，一共有n个小矩形，若中间某一个小矩形的面积等于其余n-1个小矩形面积和的0.25，且样本容量为160，则中间该组的频数是（）A.32 B.20 C.40 D.25【答案】A【解析】解：由题意中间一个小矩形的面积等于其余（n-1）个小矩形面积之和的0.25，可得出中间小矩形的面积是总面积的，即中间一组的频率是，又样本容量为160∴中间一组的频数是160×=32故选A．根据中间一个小矩形的面积等于其余（n-1）个小矩形面积之和的0.25，可得出中间小矩形的面积是总面积的，即中间一组的频率是，再乘以样本容量，可求出所求．本题主要考查了频率分布直方图，小矩形的面积与频率的对应设解题的关键，属于基础题．10.在区间[0，4]上随机取两个实数x，y，使得x+2y≤8的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意，在区间[0，4]上随机取两个实数x，y，对应的区域的面积为16．在区间[0，4]内随机取两个实数x，y，则x+2y≤8对应的面积为，所以事件x+2y≤8的概率为．故选：D．分别求出在[0，4]上随机取两个实数x，y，x+2y≤8对应的区域，利用面积之比求解即可．本题考查几何概型知识、二元一次不等式表示的平面区域等，属基本运算的考查．11.若如图所示的程序框图输出的S是126，则条件①可以为（）A.n≤5B.n≤6C.n≤7D.n≤8【答案】B【解析】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+22+…+2n的值，由于S=2+22+…+26=126，故①中应填n≤6．故选：B．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+22+…+2n的值，结合输出的S是126，即可得到退出循环的条件．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．12.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则log2X Y=1的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：∵log2X Y=1∴Y=2X，满足条件的X、Y有3对而骰子朝上的点数X、Y共有36对∴概率为=故选C．先转化出X、Y之间的关系，计算出各种情况的概率，然后比较即可．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.某中学共有学生2000人，其中高一年级学生共有650人，现从全校学生中随机抽取1人，抽到高二年级学生的概率是0.40，估计该校高三年级学生共有______ 人．【答案】550【解析】解：∵在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级学生的概率是0.40，∴则高二学生人数为0.40×2000=800人，则高三人数为2000-650-800=550人，故答案为：550．根据在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级学生的概率是0.40，先求出高二学生的人数，即可求出高三学生人数．本题主要考查频率、频率和总数的关系应用问题，是基础题目．14.将高三（1）班参加体检的36名学生，编号为：1，2，3，…，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是______ ．【答案】15【解析】解：样本间距为36÷4=9，则另外一个编号为6+9=15，故答案为：15．根据系统抽样的定义，求出样本间隔即可．本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．15.抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点，已知P（A）=，P（B）=，则出现奇数点或2点的概率是______ ．【答案】【解析】解：由题意知抛掷一粒骰子出现奇数和出现2点是互斥事件，∵P（A）=，P（B）=，∴出现奇数点或2点的概率根据互斥事件的概率公式得到P=P（A）+P（B）=+=，故答案为：由题意知抛掷一粒骰子出现奇数和出现2点是互斥事件，又根据两个事件的概率，根据互斥事件的概率之和得到出现奇数点或2点的概率．本题考查互斥事件的概率，解题的关键是看清两个事件的互斥关系，再根据互斥事件的概率公式得到结果，是一个基础题．16.向平面区域{（x，y）|x2+y2≤1}内随机投入一点，则该点落在区域内的概率等于______ ．【答案】【解析】解：平面区域{（x，y）|x2+y2≤1}的面积为π，该点落在区域内的面积为=，∴该点落在区域内的概率为．故答案为：．平面区域{（x，y）|x2+y2≤1}的面积为π，该点落在区域内的面积为=，即可求出该点落在区域内的概率．本题考查几何概型，考查学生的计算能力，正确求出面积是关键．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.某种产品的广告费用支出x（千元）与销售额y（10万元）之间有如下的对应数据：（Ⅰ）请画出上表数据的散点图；（Ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出销售额y关于费用支出x的线性回归方程．（III）当广告费用支出1万元时，预测一下该商品的销售额为多少万元？（参考值：2×3+4×4+5×6+6×5+8×7=138，22+42+52+62+82=145）【答案】解：（I）根据表中所给的五对数据，得到五个有序数对，在平面直角坐标系中画出点，得到散点图．（II）∵==5，==5，2×3+4×4+5×6+6×5+8×7=138，22+42+52+62+82=145∴b==0.65∴a=-b=5-0.65×5=1.75∴回归直线方程为y=0.65x+1.75（III）当x=10时，预报y的值为y=10×0.65+1.75=8.25．即销售额为82.5万元【解析】（I）根据表中所给的五对数据，得到五个有序数对，在平面直角坐标系中画出点，得到散点图．（II）先做出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，再做出a的值，协会粗线性回归方程．（III）把所给的x的值代入线性回归方程，求出y的值，这里的y的值是一个预报值，或者说是一个估计值．本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是看出这组变量是线性相关的，进而正确运算求出线性回归方程的系数，本题是一个基础题．18.已知a，b为实数，i为虚数单位，且满足a+bi=（1+2i）（3-i）+．（1）求实数a，b的值；（2）若复数z=（m-a）+（m-b）i在复平面所对应的点在直线y=2x上，求实数m的值．【答案】解：（1）∵a+bi=（1+2i）（3-i）+=3-i+6i+2+=5+6i，∴a=5，b=6；（2）∵z=（m-a）+（m-b）i=（m-5）+（m-6）i对应的点（m-5，m-6）在直线y=2x 上，∴m-6=2（m-5），解得m=4．【解析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由复数相等的条件得答案；（2）求出z的坐标，代入已知直线求得m值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．19.哈三中某兴趣小组为了调查高中生的数学成绩是否与物理成绩有关系，在高二年级随机调查了50名学生，调查结果表明：在数学成绩较好的25人中有18人物理成绩好，另外7人物理成绩一般；在数学成绩一般的25人中有6人物理成绩好，另外19人物理成绩一般．（Ⅰ）试根据以上数据完成以下2×2列联表，并运用独立性检验思想，指出是否有（Ⅱ）现将4名数学成绩好且物理成绩也好的学生分别编号为1，2，3，4，将4名数学成绩好但物理成绩一般的学生也分别编号1，2，3，4，从这两组学生中各任选1人进行学习交流，求被选取的2名学生编号之和不大于5的概率．附：．【答案】解：（Ⅰ）2≈11.53＞10.828故有99.9%把握认为高中生的数学成绩与物理成绩有关系．（Ⅱ）试验发生包含的事件数是4×4=16种结果，从这两组学生中各任选1人进行学习交流，求被选取的2名学生编号之和不大于5，可以列举出共有（1，1），（1，2）（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（4，1）共有10种结果，故被选取的2名学生编号之和不大于5的概率为．【解析】（Ⅰ）根据所给数据，得出2×2列联表，求出K2，与临界值比较，即可得出结论，（Ⅱ）一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是4×4=25种结果，满足条件的事件是可以通过列举得到结果，根据概率公式计算即可本题考查独立性检验的应用和等可能事件的概率，本题解题的关键是正确理解观测值对应的概率的意义．20.某校高三（1）班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求高三（1）班全体女生的人数；（2）求分数在[80，90）之间的女生人数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；（3）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析女学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100）之间的概率．【答案】解：（1）由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2．由频率分布直方图知：分数在[50，60）之间的频率为0.008×10=0.08．∴全班人数为=25人．（2）∵分数在[80，90）之间的人数为25-2-7-10-2=4人∴分数在[80，90）之间的频率为=0.16，∴频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为=0.016．（3）将[80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4；[90，100]之间的2个分数编号为5，6．则在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个．至少有一个在[90，100]之间的基本事件有（1，5）（1，6）（2，5）（2，6）（3，5）（3，6）（4，5）（4，6）（5，6）共9个，∴至少有一份分数在[90，100]之间的概率是．【解析】（1）根据条件所给的茎叶图看出分数在[50，60）之间的频数，由频率分布直方图看出分数在[50，60）之间的频率，根据频率、频数和样本容量之间的关系解出样本容量．（2）算出分数在[80，90）之间的人数，算出分数在[80，90）之间的频率，根据小矩形的面积是这一段数据的频率，做出矩形的高．（3）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件可以通过列举得到结果数，看出满足条件的事件数，根据古典概型公式得到结果．这是一个统计综合题，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中．21.在直角坐标系x O y中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（-2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．【答案】解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x-3）2+（y+4）2=4．（2分），x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ-3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2-6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分）（2）点M（x，y）到直线AB：x-y+2=0的距离为（7分）△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为（10分）【解析】（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数θ，得到普通方程．通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圆C的极坐标方程．（2）求出点M（x，y）到直线AB：x-y+2=0的距离，表示出△ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM面积的最大值．本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．22.在平面直角坐标系x O y中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆C相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．【答案】解：（1）直线l的参数方程为，即．…（5分）（2）圆C的参数方程化为普通方程为x2+y2=4，把直线代入x2+y2=4，可得，∴，t1•t2=-2，则点P到A，B 两点的距离之积为2．…（10分）【解析】（1）由题意可得直线l的参数方程为，化简可得结果．（2）圆C的参数方程化为普通方程，把直线的参数方程代入x2+y2=4化简，利用根与系数的关系求得t1•t2的值，即可得到点P到A，B 两点的距离之积为2．本题考查直线和圆的参数方程，参数方程与普通方程之间的转化，以及直线参数方程中参数的几何意义，求出t1•t2=-2，是解题的关键．。