2019年上海高考数学·第一轮复习讲义 第17讲 数学归纳法与数列的极限
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题39 数列与数学归纳法
专题39 数列与数学归纳法【热点聚焦与扩展】数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性问题、归纳猜想证明等．本专题主要举例说明利用数学归纳法证明数列问题.1、数学归纳法适用的范围：关于正整数n 的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明2、第一数学归纳法：通过假设n k =成立，再结合其它条件去证1n k =+成立即可.证明的步骤如下： （1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N =≥∈成立，证明当1n k =+时，命题也成立 （3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ≥∈时，命题均成立 3、第一归纳法要注意的地方：（1）数学归纳法所证命题不一定从1n =开始成立，可从任意一个正整数0n 开始，此时归纳验证从0n n =开始（2）归纳假设中，要注意0k n ≥，保证递推的连续性（3）归纳假设中的n k =，命题成立，是证明1n k =+命题成立的重要条件.在证明的过程中要注意寻找1n k =+与n k =的联系4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设n k =命题成立时，可用的条件只有n k =，而不能默认其它n k ≤的时依然成立.第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设n k ≤，命题均成立，然后证明1n k =+命题成立.可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下： （1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N ≤≥∈成立，证明当1n k =+时，命题也成立 （3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ≥∈时，命题均成立.5.注意点：对于归纳猜想证明类问题，有三个易错点.一是归纳结论不正确；二是应用数学归纳法，确认n 的初始值n 0不准确；三是在第二步证明中，忽视应用归纳假设.【经典例题】例1.【2019届重庆市第一中学5月月考】已知为正项数列的前项和，，记数列的前项和为，则的最小值为______.【答案】【解析】分析：由题意首先求得，然后利用题意结合函数的性质确定最小值即可. 详解：由题意结合，以下用数学归纳法进行证明：当时，结论是成立的，假设当时，数列的通项公式为：，则，由题意可知：，结合假设有：，解得：，综上可得数列的通项公式是正确的.据此可知：，，利用等差数列前n项和公式可得：，则，结合对勾函数的性质可知，当或时，取得最小值，当时，当时，由于，据此可知的最小值为.点睛：本题的关键在于合理利用归纳推理得到数列的通项公式.归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．例2. 设S n为数列{a n}的前n项和，满足S n＝2a n－2 (n∈N*)（1）求的值，并由此猜想数列{a n}的通项公式a n；（2）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．【答案】（1）；（2）见解析.当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×a4－2，∴a4＝16.由此猜想：(n∈N*)．(2)证明：①当n＝1时，a1＝2，猜想成立．②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，猜想成立，即，那么n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝2a k＋1－2a k∴a k＋1=2a k，这表明n＝k＋1时，猜想成立，由①②知猜想成立．点睛：数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.例3．已知数列满足：，.（Ⅰ）试求数列，，的值；（Ⅱ）请猜想的通项公式，并运用数学归纳法证明之.【答案】（Ⅰ），，.（Ⅱ），证明见解析.由此猜想.下面用数学归纳法证明之：当时，，结论成立；假设时，结论成立，即有，则对于时，∴当时，结论成立.综上，可得对，成立点睛：运用数学归纳法证明数学问题的步骤及其需要注意的问题：1、第一步：归纳奠基（即验证时成立）；第二步：归纳递推（即假设时成立，验证时成立）；3、两个条件缺一不可，在验证时成立时一定要用到归纳假设时的结论，最后得到的形式应与前面的完全一致.例4.【2019届浙江省温州市高三9月一模】已知数列中，，（）．（1）求证：；（2）求证：是等差数列；（3）设，记数列的前项和为，求证：．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用数学归纳法可证明；（2）化简，由可得是等差数列；（3）由（2）可得，从而可得，先证明，利用放缩法及等比数列求和公式可证结论.（2）由，得，所以，即，即，所以，数列是等差数列．（3）由（2）知，，∴，因此，当时，，即时，，所以时，，显然，只需证明，即可．当时，．例5.已知函数()()2ln ,10bf x ax x f x=--= （1）若函数()f x 在1x =处切线斜率为0，'21111n n a f n a n +⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭，已知14a =，求证：22n a n ≥+ （2）在（1）的条件下，求证：1211121115n a a a +++<+++ 【答案】见解析下面用数学归纳法证明：22n a n ≥+ 当1n =时，1422a n =≥+成立 假设()n k k N*=∈成立，则1n k =+时()121k k k a a a k +=-+ 22k a k ≥+ ()()1222145212k a k k k +∴≥+⋅+=+>++ 1n k ∴=+时，不等式成立,22n n N a n *∴∀∈≥+（2）()212121n n n n n a a na a a n +=-+=-+由（1）可知22n a n ≥+ 121n n a a +∴≥+()11111121121n n n n a a a a ++∴+≥+⇒≤⋅++ 2112111111111212121n n n n a a a a ---∴≤⋅≤⋅≤≤⋅---+ 1211111111111122nn a a a a ⎡⎤⎛⎫∴+++<+++⎢⎥ ⎪++++⎝⎭⎢⎥⎣⎦1112121211152512n na ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅<-<⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 例6．【浙江省绍兴市2019届5月调测】已知数列中.（1）证明：；（2）设数列的前项和为，证明：．【答案】（1）见解析；（2）见解析详解：（1）数学归纳法：①当时，，，显然有.②假设当，结论成立，即，那么，，即，综上所述成立.（2）由（1）知：，，即，；点睛：解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件，综合函数与不等式的知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点．例7．【福建省南平市2019届5月检查】己知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数的最小值为-1，，数列满足，，记，表示不超过的最大整数．证明：．【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）见解析.详解：（Ⅰ）函数的定义域为.1、当时，，即在上为增函数；2、当时，令得，即在上为增函数；同理可得在上为减函数.（Ⅱ）有最小值为-1，由（Ⅰ）知函数的最小值点为，即，则，令，当时，，故在上是减函数所以当时∵，∴.（未证明，直接得出不扣分）则.由得，从而.∵，∴.猜想当时，.下面用数学归纳法证明猜想正确.1、当时，猜想正确.2、假设时，猜想正确.即时，.当时，有，由（Ⅰ）知是上的增函数，则，即，例8.已知函数，在原点处切线的斜率为，数列满足为常数且，．（1）求的解析式；（2）计算，并由此猜想出数列的通项公式；（3）用数学归纳法证明你的猜想．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．（2），则，，，由此猜想数列的通项公式应为．（3）①当时，猜想显然成立，②假设时，猜想成立，即，则当时，，即当时，猜想成立．由①②知，对一切正整数都成立．例9.已知数列是等差数列，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的通项 (其中且)记是数列的前项和，试比较与的大小，并证明你的结论.【答案】（1）；（2）当时，,当时，，证明见解析.详解：(1) 设数列{b n}的公差为d,由题意得,∴b n=3n－2 .(2)证明：由b n=3n－2知S n=log a(1+1)+log a(1+)+…+log a(1+)=log a ［(1+1)(1+)…(1+ )］而log a b n+1=log a,于是，比较S n 与log a b n+1 的大小比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小取n=1，有(1+1)=取n=2，有(1+1)(1+推测 (1+1)(1+) (1))＞(*)①当n=1时，已验证(*)式成立②假设n=k(k ≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞则当n=k+1时，,即当n=k+1时，(*)式成立由①②知，(*)式对任意正整数n 都成立 于是，当a ＞1时，S n ＞log a b n+1 ,当 0＜a ＜1时，S n ＜log a b n+1 .例10.【2019年浙江省高考模拟】已知数列{}n x 满足： 111,1n n x x x +==. 证明：当*n N ∈时， （1）10n n x x +<<； （2）11323n n n n x x x x ++-<； （3）122233n n n x --⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析由数列的递推式，以及（2）的结论可得1113110323n n x x +⎛⎫-≥-> ⎪⎝⎭，根据等比数列的通项公式即可证明232n n x -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，再结合已知可得11312n n n x x x ++=≤，即可证明不等式成立. 详解：（1）数学归纳法证明： 0n x > 当1n =时， 110x =>成立假设n k =时0k x >，成立，那么1n k =+时，假设10k x +≤，则110k k x x +=≤，矛盾 所以10k x +>，故0n x >得证所以111n n n x x x ++=>，故10n n x x +<< （2）由11n n x x +=得1196n n n n x x x x ++-+ (2111646n n n x x x +++=++-设()(2646(0)f x x x x x =++->则 ()'24f x x =251492248⎫=+-⎪⎭（3）由（2）得1113110323n n x x +⎛⎫-≥-> ⎪⎝⎭，则113n x -≥ 1211133322n n x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以232n n x -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭()1102x x ≤≥，1112n x +≤，所以11312n n n x x x ++=≤，故123n n x x +≥ 所以123n n x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以122233n n n x --⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【精选精练】1．用数学归纳法证明“”时，由时等式成立推证时，左边应增加的项为__________ .【答案】点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为______________．【答案】【解析】试题分析：由题意得：“金鱼”图需要火柴棒的根数依次构成一个等差数列，首项为8，公差为6，因此第n项为 x+kw3．已知数列中，且.（1）求，，；（2）根据（1）的结果猜想出的一个通项公式，并用数学归纳法进行证明；（3）若，且，求.【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）.（2）由此猜想.下面用数学归纳法加以证明：①当时，由（1）知成立；②假设，结论成立，即成立.则当时，有，即即时，结论也成立；由①②可知，的通项公式为.（3）由（2）知，. 4．已知数列的前项和为，且满足，.（1）计算，，，根据计算结果，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）计算，，，根据计算结果，猜想. （2）用数学归纳法证明猜想的结论.由此猜想，（2）下面用数学归纳法证明，①当时，显然成立，②假设当时猜想成立，即，由题意得，∴，∴，∴当时猜想也成立，由①和②，可知猜想成立，即.点睛：（1）在利用数学归纳法证明数学问题时，一定要注意利用前面的时的假设，否则就是伪数学归纳法，是错误的.（2）看到或，要注意联想到项和公式解题.5．已知数列满足，.（1）计算，，，根据计算结果，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.由此猜想；（2）下面用数学归纳法证明，①当时，显然成立，②假设当时猜想成立，即，由题意得，∴当时猜想也成立；由①和②，可知猜想成立，即.6．已知数列满足且.（1）计算、、的值，由此猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法对你的结论进行证明．【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由,，将代入上式计算出、、的值，根据共同规律猜想即可；（2）对于，用数学归纳法证明即可.①当时，证即当时，结论也成立，由①②得，数列的通项公式为.7．在数列中，，，，，．（）计算，，的值．（）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【答案】（1），，；（2），证明见解析.（）由（）可猜想：，证明：当时，，等式成立，假设时，等式成立，即，则当时，，即当时，等式也成立，综上所述，对任意自然数，．8．已知数列数列{a n }的通项公式an ＝(－1)n(2n －1)(n ∈N *)，S n 为其前n 项和． (1)求S 1，S 2，S 3，S 4的值；(2)猜想S n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 【答案】(1)S 1＝－1，S 2＝2，S 3＝－3，S 4＝4；(2)答案见解析. 【解析】试题分析：(Ⅰ)根据()()121nn a n =--，代入1,2,3,4n =计算，可求1234,,,S S S S 的值；(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想n S 的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明，检验1n =时等式成立，假设n k =时命题成立，证明1n k =+时命题也成立即可.试题解析：(1)依题意可得S 1＝－1，S 2＝－1＋3＝2，S 3＝－1＋3－5＝－3，S 4＝－1＋3－5＋7＝4； (2)猜想：Sn ＝(－1)n·n.证明：①当n ＝1时，猜想显然成立；②假设当n ＝k 时，猜想成立，即Sk ＝(－1)k·k，那么当n ＝k ＋1时，Sk ＋1＝(－1)k·k＋ak ＋1＝(－1)k·k＋(－1)k ＋1(2k ＋1)＝(－1)k ＋1·(k ＋1)．即n ＝k ＋1时，猜想也成立． 故由①和②可知，猜想成立.【方法点睛】本题考查归纳推理以及数学归纳法的应用，属于中档题.由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.通过不完全归纳法发现的规律，用数学归纳法加以证明才能应用. 9．设0t >， ()txf x t x=+，令11a =， ()1n n a f a +=， n N +∈. （1）写出2a ， 3a ， 4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的结论.【答案】(1)a 1＝1，a 2＝1t t +，a 3＝222t t t +；a 4＝3323t t t +，猜想a n ＝()1121n n n t t n t ---+- （n ∈N +）；(2)证明见解析.试题解析： （1）∵a 1＝1， ∴a 2＝f （a 1）＝f （1）＝1tt +， a 3＝f （a 2）＝222t t t +；a 4＝f （a 3）＝3323t t t+， 猜想a n ＝()1121n n n t t n t ---+- （n ∈N +）；（2）证明：①易知，n ＝1时，猜想正确.②假设n ＝k 时猜想正确，即a k ＝()1121k k k t t k t---+-，则a k ＋1＝f （a k ）＝kk t a t a ⋅+=()()11211121=1k k k k k k k k k t t t k t t t t kt t t k t -------⋅+-+++-.这说明n ＝k ＋1时猜想正确.由①②知，对于任何n ∈N +，都有a n ＝()1121n n n t t n t ---+-.点睛：数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．10.【2017浙江，22】已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n+1+ln(1+x n+1)（*∈N n ）． 证明：当*∈N n 时， （Ⅰ）0＜x n+1＜x n ； （Ⅱ）2x n+1− x n ≤12n n x x +； （Ⅲ）112n +≤x n ≤212n +．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析． 【解析】（Ⅱ）由111)1ln(+++>++=n n n n x x x x 得2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++【名师点睛】本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题．本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥，利用函数的单调性证明不等式；（3）由递推关系证明． 11．【2019届浙江省名校协作体高三上学期联考】已知无穷数列{}n a 的首项112a =， *1111,2n n n a n N a a +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）证明： 01n a <<； （Ⅱ） 记()211n n nn n a a b a a ++-=， n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：对任意正整数n ， 310n T <. 【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.【解析】试题分析; （I ）运用数学归纳法推理论证， （Ⅱ）由已知12211n n n a a a +=>+，即1n n a a +>，可得数列{}n a 为递增数列. 又1111112n n n n n a a a a a +⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ 112n n a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为递减数列，试题解析：（Ⅰ）证明：①当1n =时显然成立； ②假设当n k = ()*k N ∈时不等式成立，即01k a <<， 那么当1n k =+时，11112k k k a a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ > 1·12=，所以101k a +<<， 即1n k =+时不等式也成立.综合①②可知， 01n a <<对任意*n N ∈成立. （Ⅱ）12211n n n a a a +=>+，即1n n a a +>，所以数列{}n a 为递增数列. 又1111112n n n n n a a a a a +⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ 112n n a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为递减数列， 所以111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭也为递减数列， 所以当2n ≥时， 111n n a a +- 22112a a ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭154245⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 940=所以当2n ≥时， ()211n n nn n a a b a a ++-== ()()11111940n n n n nn a a a a a a +++⎛⎫--<- ⎪⎝⎭当1n =时， 11934010n T T b ===<，成立； 当2n ≥时， 12n n T b b b =+++ < ()()()32431994040n n a a a a a a +⎡⎤+-+-++-⎣⎦()12994040n a a +=+- ()2999942731140404040510010a ⎛⎫<+-=+-=< ⎪⎝⎭ 综上，对任意正整数n ， 310n T <12．已知，.（1）若，求的值；（2）若，求的值；（3）若是展开式中所有无理项的二项式系数和，数列是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明:.【答案】（1）. （2）165.（3）见解析.所以.（3）因为，所以要得无理项，必为奇数，所以，要证明，只要证明，用数学归纳法证明如下：（Ⅰ）当时，左边=右边，当时，，∴时，不等式成立.综合（Ⅰ）（Ⅱ）可知对一切均成立.∴不等式成立 .点睛：本题主要考查二项式定理的应用、初等函数求导公式以及数学归纳法证明不等式，属于难题.利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证时结论成立；（2）假设时结论正确，证明时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.。
沪教版(上海)数学高二上册-7.7 数列极限的运算法则 课件 精选课件
评析：这是一个求待定常数的极 限逆向问题，一般都是从求极限
入手建立关于 a, b 的方程组求
解
课堂练习2：
已知lim n
an2 cn bn2 c
2,
求
lim
n
an2 c cn2 an
lim bn c 3, n cn a
例3、计算lnim（ n12
+
4 n2
+
7 n2
能胜，以其无以易之。天长地久。天地所以能长且久者，以其不自生，故能长生。是以圣人後其身而身先；外其身而身存。非以其无故能成其私。譬道之在天
所以能为百谷王者，以其善下之，故能为百谷王。是以圣人欲上民，必以言下之；欲先民，必以身後之。是以圣人处上而民不重，处前而民不害。是以天下乐
，能了解别人心灵活动的人永远不必为自己的前途担心。志当存高远。绳锯木断，水滴石穿让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧！锲而舍之，朽木
没有天生的信心，只有不断培养的信心。路曼曼其修远兮，吾将上下而求索天行健，君子以自强不息。会当凌绝顶，一览众山小。丈夫志四海，万里犹比邻。
美言不信。善者不辩，辩者不善。知者不博，博者不知。挫其锐，解其纷，和其光，同其尘，是谓“玄同”。故不可得而亲，不可得而疏；不可得而利，不可
1) 2
(2)设
lim
n
an2 4n2
bn 5n
1 1
1 b
,
求a b
3
lim（
n
1 n2 +1
+
2 n2 +1
+
3 n2 +1
+...+
n） n2 +1
(4) lim 1-2+3-4+...+(2n-1)-2n
数列的极限 (沪教版高二上册 )精品PPT教学课件
0.9
向上、向左、向下的顺序，每次前进的距离为
0.8
前一次距离的一半。这样无限下去，求该质点到
0.7
达的极限位置。
0.6
0.5
P3
P2
0.4
P4
0.3
0.2
0.1
O
0.2
0.4
0.6
0.8
P1 1
1.2
1.4
0.7
0.6
P3
P2
0.5
0.4
P4
0.3
0.2
0.10Βιβλιοθήκη 20.40.60.8
P1 1
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演讲者：蒝味的薇笑巨蟹
A
A1
A3
D
A4
B4
A2
B3
B2
B
B1
C
例4：在直角坐标系中，一个质点从原点出发
沿 x轴 向 右 前 进1个 单 位 到 点 P1， 接 着 向 上 前 进
1 2
个 单 位 到 P2， 再 向 左 前 进
1 4
个 单 位 到 P3， 再 向
下前进
1 8
个 单 位 到 P4； 以 后 的 前 进 方 向 按 向 右 、
引例2: 由于空气的阻力，因此某一类钟的钟 摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆 动弧的长度的95%，假设其第一次摆动弧 的长度为40cm，求它在停止前所有摆动 的弧的长度和。(请用一个式子来表示求 解的问题)
(上海)数学高二上册-7.7 数列的极限(一) 课件
[举例]
数列an
5, 7,
1 n 1000 n N* 的极限是什么？
n 1001
【问题四】有极限的数列中每一项值的大小有什么变化规律？
（请学生举例说明）递增；递减；摆动；恒定。
【问题五】数列极限的值可否有两个或更多？
[举例] 数列{0,1,0,1,...0,1,...}的极限是什么？
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3.例题讲解
【问题一】有穷数列是否有极限？
[举例]
数列{1, 1 , 1 ,... 1 }的极限是什么？ 2 3 10
【问题二】“无限趋近”能否用“越来越接近”替代？
[举例]
数列{1, 1 , 1 ,...1 ,...}越来越接近 0.01,则该数列的极限为 0.01是否正确？ 23 n
【问题三】改变数列前面有限项的值，该数列的极限是否改变？
(2) lim 1 0 n n
(3) lim C C（C为常数） n
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4.应用举例——(2)列表判断
例3.
已知数列{an}的通项公式是
an
2n 1， n
填表并判断该数列是否有极限。
n 1 2 3 … 10 … 100 … 1000 … an |an-2|
结合“|an-A|无限趋近于零”与“an无限趋近于A” 的意义相同，来判断数列的极限是否存在。
7.7 数列的极限（一）
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割圆术
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1.新课引入
数列的极限
身边的“极限”
历史上的“极限”
（1）极限运动 （2）液体浓度 （3）文学作品
（1）一尺之锤 （2）割圆术 （3）穷竭法
2.新知构建——(1)观察分析
观察以下数列在n无限增大时的变化趋势：
（1）
2019年上海高考·高三数学 第一轮复习
高三“三角函数”专题的复习分析与指导一、“三角函数”专题内容分析（一）“三角函数”专题知识体系的梳理 1、地位与价值在教学中，三角函数是描述周期现象的重要数学模型，它具有十分重要的地位，由于其思考性、方法性、技巧性和目的性都较强，对于提高学生数学素养，培养学生思维能力都有很重要的作用。
从三角函数的起源来看，三角函数起源于生活中的天文学，被广泛应用于解决航海通商问题，此后在自动控制、电子领域、工程领域等都有重要意义。
从历年高考的情况来看，三角恒等变换、三角函数的图像和性质、正余弦定理与解三角形等都是高考的热点问题，并常与其他交汇以解答题的形式考查，难度适中。
2、知识网络图 3、核心知识①研究三角函数的概念、图像和性质，其突出特征是具有周期性的函数，尤其是正、余弦函数具有边界和零点；难点是函数()()sin +f x A x k ωϕ=+的图像变换，落实“五点法”画图技能.A 的确定：()()max min =2f x f x A - ；k 的确定：()()max min k=2f x f x +；ω的确定：()20T πωω=> ；ϕ的确定：初始角=ϕω-，与平移单位有关.②三角恒等变换的综合应用，主要应用于两个方面：一是化简函数与三角函数的性质相结合；二是解三角形与正弦定理和余弦定理结合在平面几何图形中求解相关的几何量，解三角形就是有条件的恒等变换.（二）“三角函数”专题中研究的核心问题 1、问题类型①三角函数的图像和性质综合问题，常涉及三角恒等变换、图像变换、周期性、单调性、对称性和最值等；②解三角形问题，只要涉及两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理等； ③三角函数性质与解三角形的综合问题，其本质是解决有条件的三角恒等变换问题，因此注意角的范围对变形过程的影响. 2、问题研究与解决①三角函数求值与化简的常用方法：弦切互化：包括“切割化弦”、“齐次式化切”等； 和积互化：包括“平方关系”、“降幂公式”和利用()2sin cos 12sin cos x x x x ±=± 进行变形转化；巧用“1”的变换：22221sin cos sec tan tan (4)πθθθθ=+=-==②转化为与三角函数有关的基本类型：sin y a x b =+ 设sin t x =，[]1,1t ∈- 转化为一次函数；sin cos y a x b x c =++ 借助辅助角公式转化为)y x c ϕ=++； 2sin sin y a x b x c =++ 设sin t x =，[]1,1t ∈- 转化为二次函数（闭区间内）；sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+ 设sin cos t x x =±，t ⎡∈⎣则21sin cos =2t x x -±，转化为二次函数；tan cot y a x b x =+，设tan t x =，当0a b >时可用均值定理；③函数()()sin f x A x ωϕ=+的奇偶性、对称性及图像变换对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定与函数零点有关；由()sin f x x =的图像通过变换得到()()sin f x A x ωϕ=+的图像有两种途径：“先平移后伸缩”或“先伸缩后平移”，可用“五点法”作为突破口.④通过三角恒等变换解决三角求值问题，做到三变：“变角——变名——变式” 给角求值：关键是转化成特殊角或消去非特殊角； 给值求值：现变同角再求值；给值求角：转化为“给值求值”，注意角的范围. ⑤利用正、余弦定理解三角形的两种途径：“化边为角”通过三角恒等变换得出三角形内角之间的关系； “化角为边”通过解方程求边；都要注意三角函数值的符号与角的范围，防止出现增解、漏解.（三）“三角函数”专题蕴含的核心观点、思想和方法 1、学生学习三角函数的主要困难 2、三角函数知识的核心观点张景中院士认为，在数学课程中三角函数至关重要，它是几何与代数的一座桥梁，沟通初等数学与高等数学的一条通道，函数、向量、坐标、复数等许多重要数学知识与三角有关，大量实际问题的解决要用到三角知识.① 强调三角函数中的函数思想，三角函数已经不仅仅是解三角形的工具，而是一个重要的函数模型； ② 数形结合解决三角函数的图形变换；③ 加强三角函数的应用意识，特别是用于解三角形问题. 3、核心思想方法与核心技能“三种思想”+“三个技能”：函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合思想；运算技能：对三角函数解析式的恒等变形以及转化为sin()y A x ωϕ=+型函数的运算，正余弦定理公式的合理选择和化简运算等；作图技能：根据任务需求绘制相应要求精度的三角函数图象，五点法画图等；推理技能：依据三角函数解析式的结构进行推理判断运算方向，以及对三角形形状的判断.二、“三角函数”高考的典型考题结构（一）近年北京高考题中三角函数考查的内容试题特点：试题总体比较平稳，不管是位置还是考查的知识点和难度都是比较稳定的，高考降低了复杂的三角恒等变形公式的考查，回归到双基和通性通法的考查上，文科基本小题考解三角形，大题就是用三角公式变形为正弦型函数，再讨论它的性质（特殊值、周期、值域）。
《高等数学第一课：数列与极限课件PPT》
函数极限和数列极限的关系
函数极限和数列极限之间存在着紧密的联系。通过研究这种关系，我们可以 更好地理解函数和数列的极限行为。
数列的定义和表示方法
数列可以用各种形式来表示，例如通项公式、递推公式和集合表示法。这些表示方法帮助我们描述和计算数列 中的各个元素。
等差数列和等比数列的性质
等差数列和等比数列是两种常见的数列类型，它们具有独特的性质和规律。 通过研究这些性质，我们可以更好地理解和应用数列。
定义极限
极限是数列中元素趋于无穷时的特殊概念。通过了解极限的定义，我们能够 更深入地研究数列的性质和行为。
极限的基本性质
极限具有许多基本的性质，例如唯一性、有界性和保序性。这些性质为我们 分析和计算数列的极限提供了重要的指导。
极限的存在性判定方法
我们可以使用不同的方法和定理来判定数列是否存在极限。这些方法ຫໍສະໝຸດ 我们 解决极限问题提供了实用的工具。
极限的唯一性
通过理解极限的唯一性，我们可以确定数列是否具有唯一的极限值，并在解 决数列极限问题时减少错误的可能性。
高等数学第一课：数列与 极限课件 PPT
在这份高等数学课件中，我们将学习数列和极限的基本概念、性质和计算方 法，以及数列极限与函数极限的关系。让我们一起探索这个精彩而有趣的数 学世界！
什么是数列
数列是一组按照特定顺序排列的数的集合。通过研究数列的规律和性质，我们可以了解数学中许多重要的概念 和方法。
(上海)数学高二上册-7.7 (1)数列的极限 课件
极限定义 (3)若一个数列有极限,则极限唯一;
常用极限
(4)数列的极限与前有限项无关;
极限运算法则
(5)求数列{an }极限的方法 :
是否存在常数A,
使得
lim
n
|
an
AHale Waihona Puke |02020/12/9
7.7
几个常用的数列极限结论
数列的极限
极限定义 常用极限
(1)对于无穷常数列{C}，有lim C C； n
(2)lim 1 0； n n
(3)对于无穷数列{qn}，有 :
极限运算法则
lim qn
1不，存在，
| q | 1或q q1
1
n
0，
| q | 1
2020/12/9
假如你从来未曾害怕受窘受伤害，那就是你从来没有冒过险。 不能强迫别人来爱自己，只能努力让自己成为值得爱的人。 绝大多数人，在绝大多数时候，都只能靠自己。 把脸一直向着阳光，这样就不会见到阴影。 阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根 不要试图交到一个完美的朋友，也不要交到很多朋友。 在幸运时不与人同享的，在灾难中不会是忠实的友人。——伊索 如果缺少破土面出并与风雪拚搏的气，种子的前途并不比落叶美妙一分。 只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼罗兰 你一定不要做丑恶的人，但是世态炎凉，你也别太善良！马善被人骑，人善被人欺，过于善良就是一种懦弱和无能！ 好习惯的养成，在于不受坏习惯的诱惑。 人所缺乏的不是才干而是志向，不是成功的能力而是勤劳的意志。
1
8
256
| 1 0 | 0.00390625 256
……
……… ………
2020/12/9
沪教版(上海)数学高二上册-7.7 数列的极限(一) 课件 优质课件PPT
极限，或叫做数列{an}收敛于A，记作
lim
n
A.
2.新知构建——(2)形成定义
数列极限的定义
一般地，在n无限增大的变化过程中，如果无穷数列
{an}中的an无限趋近于一个常数A，那么A叫做数列{an}的
极限，或叫做数列{an}收敛于A，记作
lim
n
A
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2.新知构建——(3)解读定义
数 列 的 极 限
励下的执著，而这执著是很多人并不具备的……而许多奇迹往往是执著者造成的。许多人惊奇地发现，他们之所以达不到自己孜孜以求的目标，是因为他们的主
使自己失去动力。如果你的主要目标不能激发你的想象力，目标的实现就会遥遥无期。因此，真正能激励你奋发向上的是确立一个既宏伟又具体的远大目标。实
是呈现出一条波浪线，有起也有落，但你可以安排自己的休整点。事先看看你的时间表，框出你放松、调整、恢复元气的时间。即使你现在感觉不错，也要做好
已知数列{an}的通项公式是
an
3
(
1)n， 3
(1)填表并判断该数列是否有极限; (2)在直角坐标系作出该数列的图像并判断该数
列是否有极限。
n 1 2 3 … 10 … 100 … 1000 … an |an-3|
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5.课堂小结
请学生小结本节课所学内容
6.作业布置
1.课本P38 第1，2题 2.练习册P17 第1，2，3题 3.【思考题】对一切实数q,讨论无穷数列{qn}的极限。
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。
中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都
2019年上海高考数学第一轮复习 第25讲 数列的极限
第25讲 数列的极限[基础篇]一、数列极限的概念：（1）有穷数列一定不存在极限，无穷数列不一定有极限 （2）数列是否有极限与数列前面的有限项无关（3）如果一个数列有极限，那么它的极限是一个确定的常数 二、数列极限的运算：（1）3个常见的数列极限是：lim n c c →∞=；1lim 0n n →∞=；lim 0nn q →∞=，1q <（2）只有当数列极限都存在时才能对数列极限之间进行运算（3）仅限定在有限个极限间的四则运算，不能推广到无限个极限间做运算 三、无穷等比数列的各项和：（1）使用的条件：若公比为q ，则q 的范围是01q << （2）常见的应用：循环小数化分数，几何应用[技能篇]例题1 下列命题正确的是 （ ） A ．若0)(lim =∞→n n n b a ，则0lim =∞→n n a 且0lim =∞→n n b ；B ．无穷数列{}n a 有极限，则1lim lim +∞→∞→=n n n n a a ；C ．若n n a ∞→lim 存在，n n b ∞→lim 不存在，则)(lim n n n b a ∞→不存在；D. 若两个无穷数列的极限都存在，且n n b a ≠，则≠∞→n n a lim n n b ∞→lim 。
例题2 若()131lim331nnn n a +→∞=++，则a 的取值范围______例题3 求下列极限： （1）∞→n lim757222+++n n n ; （2） ∞→n lim （n n n -+2）; （3）∞→n lim （22n +24n +…+22n n ）．例题4 若12122lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+∞→bn n an n n ，则b a 的值为例题5 数列{}n a 中，22211100010012n n na n n n n ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩，则数列{}n a 的极限为例题6 若131lim 3(1)3n n n n a +→∞=++，则实数a 的取值范围是例题7 若nn a a ⎪⎭⎫⎝⎛-∞→21lim 存在，则a 的取值范围是________例题8 若21lim 01n n an b n →∞⎛⎫+--=⎪+⎝⎭，则a =_______，b = _______例题9 已知无穷等比数列{}n a 的各项的和是4，则首项1a 的取值范围是________例题10 若数列{}n a 的通项公式是()()321322nn n n n n a ----++--=，1,2n =，…，则()12lim n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=.A 1124 .B 1724 .C 1924 .D 2524例题11 如图所示：矩形n n n n A B P Q 的一边n n A B 在x 轴上，另两个顶点,n n P Q 在函数22()(0)1xf x x x=>+的图像上（其中点n B 的坐标为()*,0(2,)n n n N ≥∈），矩形n n n n A B P Q 的面积记为n S ，则lim n n S →∞=例题12 设无穷等比数列{}n a 满足135218lim(...)3n n a a a a -→∞++++=，求首项1a 的取值范围．例题13 以正方形ABCD 的四个顶点为圆心，以正方形的边长a 为半径，在正方形内画弧，得四个交点1111,,,A B C D ，再在正方形1111A B C D 内用同样的方法得到又一个正方形2222A B C D ，这样无限地继续下去，求所有这些正方形面积之和（包括正方形ABCD ）A M NEFC B H GS1S 2例题14 如图，在等腰直角三角形ABC 中，已知∠A 90=°，斜边BC 长为a ，途中排列着的内接正方形的面积分别为123,,S S S ⋯求： （1）无穷个正方形的周长之和； （2）无穷个正方形的面积之积[竞技篇]一、填空题：1、若lim n n a A →+∞=，数列{}n b 是由{}n a 中123,,,......()k k k a a a k N *+++∈按照原来的顺序排列而成，则lim n n b →+∞=2、数列{}n a 中，22211100010012n n n a n n n n ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩，则数列{}n a 的极限 3、32211lim()334n n n n n n →∞-+-=++ 4、1111lim(...)1447710(32)(31)n n n →∞++++=⨯⨯⨯-+ 5、若321lim()03n n an b n n →∞---=+，则a ，b 的值为 6、1lim()1nnn a a →∞-=+ （a ≠－1） 7、若131lim 3(1)3n n n n a +→∞=++，则实数a 的取值范围是8、设等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则22lim n n na n S →∞-=9、在数列{}n a 中，542n a n =-，2123...n a a a a an bn ++++=+，n ∈N*，其中a ，b 为常数，则lim n n n nn a b a b →∞-=+ 10、16248...(2)lim 43927 (3)n n n +→∞-+-++-=+++++ 11、248211111lim(1)(1)(1)(1)...(1)22222n n →∞+++++= 12、1111lim(...)123n m n n n n n m→∞-----=++++ （m ∈N*，m 为常数）二、选择题：13、无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则数列{}n a 有极限是数列{}n S 有极限的 （ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件12、若数列{}n a 的通项公式是()()321322nn n n n n a ----++--=，1,2n =，…，则()12lim n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=.A 1124 .B 1724 .C 1924 .D 252415、一个无穷等比数列公比为q ，满足01q <<，前n 项和为n S ，且它的第四项和第八项之和等于178，第五项与第七项之积等于14，则lim n n S →∞等于 （ ）（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）816、设(),n n n P x y 是直线()*21n x y n N n -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n x ny x →∞-=-A. 1-B. 12-C. 1D. 2三、解答题：17、已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比为x （x ＞0），其前n 项和为n S ，求函数1()lim nn n S f x S →∞+=的解析式：18、已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差为d ，前n 项和为n A ；等比数列{}n b 的首项为1，公比为q ，1q <，前n 项和为n B ，记12...n n S B B B =+++，若lim()1nn n A S n→∞-=，求{}n a 、{}n b 的通项公式19、设{}n a 是首项为a ，公比为q （q ＞0）的等比数列，前n 项和为n S ，若22212...()n n G a a a n N *=+++∈，求lim nn nS G →+∞20、函数2()12f x x =+-n 为正整数），设()f x 在(0,)+∞上取最小值时，自变量x 的取值为n a（1）求数列{}n a 的通项公式（2）已知数列{}n b ，对任意正整数n ，都有2(45)1n n b a ⋅-=成立，设n S 为数列{}n b 的前n 项和，求lim n n S →∞（3）在点列112233(1,),(2,),(3,),...,(,),...n n A a A a A a A n a 中是否存在两点,i j A A （,i j 为正整数）使直线i j A A 的斜率为1？若存在，则求出所有的数对（,i j ）；若不存在，说明理由21、已知数列{}n a 的前n 项和n S 可表示为(3)(2)(1)(2)(1)166n n n n n n nS +++++=-+（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()f n 为关于n 的多项式，且满足lim ()2n n n S f n a →∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，求()f n 的表达式。
高数数列的极限ppt
n ( 1) n1 就有 1 n
n ( 1) n 1 即 lim = 1. n n
例2 设xn C (C为常数), 证明 lim xn = C .
五、小结
数列:研究其变化规律;
数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质: 唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.
思考与练习
1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于∞的子数列; 方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 2. 已知 x1 = 1 , xn1 = 1 2 xn (n = 1, 2 ,), 求 lim xn 时, 下述作法是否正确? 说明理由.
的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n }.
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列
例如
2 , 4 , 8 , , 2 n , ;
1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2
{2 } 1 { n} 2
n
1,1,1, , ( 1) n 1 ,;
注意： 在子数列xn 中，一般项 xn 是第 k 项， k k
定理4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
证: 设数列 若 是数列
的任一子数列 .
时, 有
则 0 , N , 当
现取正整数 K , 使
于是当 k K 时, 有
nk
N
xN
*********************
{(1)
n 1
}
1 4 n ( 1) n1 2, , ,, ,; 2 3 n
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2019年上海高考数学·第一轮复习（第17讲 数学归纳法与数列极限）一、知识梳理（一）数学归纳法用数学归纳法证明命题的步骤(1）证明当n 取第一个值0n ( 0n ∈N*例如0n =1或20=n ) 时，命题成立，这是推理的基础；（2）假设当k n =（0*,n k N k ≥∈）时命题成立，在此假设下，证明当1+=k n 时命题也成立是推理的依据。
在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从0n 开始的所有正整数n 都成立，这种证明方法叫做数学归纳法。
（3）结论。
注意：（1）用数学归纳法证明问题时首先要验证0n n =时成立，注意0n 不一定为1；（2）在第二步中，关键是要正确合理地运用归纳假设，尤其要弄清由k 到1+k 时命题的变化。
（3）由假设k n =时命题成立，证1+=k n 时命题也成立，要充分利用归纳假设，要恰当地“凑”出目标。
（二）数列的极限1、常用的几个数列极限 （1）对于数列{}nq ，当1<q 时，有0lim =∞→nn q；当1=q 时，1lim =∞→n n q ；当1-=q 或1>q 时，n n q ∞→lim 不存在；（2）对于数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1，有01lim=∞→n n 。
一般地，有01lim =∞→αnn （0>α，α为常数）；（3）对于无穷常数列{}C ，有C C n =∞→lim 。
（4）1,lim 0,1,nnn nn a ba b a b a b a b →∞⎧>-⎪==⎨+⎪-<⎩2、数列极限的运算法则如果lim n n a A →∞=，lim n n b B →∞=，那么B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(l i m lim()n n n a b A B →∞⋅=⋅ )0(l i m ≠=∞→B B Ab a nn n 特别地，如果c 是常数，那么，()lim lim n n n n c a c a ca →∞→∞⋅=⋅=3、无穷等比数列的各项和当公比1||<q 时无穷等比数列{}n a 称为无穷递缩等比数列。
我们把10<<q 的无穷等比数列的前n 项的和n S ，当n →∞时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S 表示。
q aq q a S S n n n n -=--==∞→∞→11)1(lim lim 11（10<<q ）二、例题解析（一）数学归纳法1、已知222222212)1(21)(+++++++++= n n n n f ，则=)1(f _______________。
2、设1312111)(++++++=n n n n f ，那么=-+)()1(k f k f __________ 3、凸n 边形有()f n 条对角线，则凸1n +边形有对角线条数(1)f n +为 （ ）.A ()1f n n ++ .B ()f n n + .C ()1f n n +- .D ()2f n n +-4、用数学归纳法证明()()()22222222211211213n n n n n ++++-++-+++=时，从“k 到1k +”左边需增加的代数式是（ ）(A) ()21k + (B) ()221k k ++ (C) ()2221k k ++ (D) ()22221k k ++5、),,3,2,1(21312111 =+++++++=k kk k k S k 则S k+1 = （ ） (A) S k +)1(21+k (B) S k + 11221+-+k k(C) S k +221121+-+k k (D) S k + 221121+++k k 6、某个命题与自然数n 有关，如果当n =k （k ∈N *）时，该命题成立，那么可推得当n =k +1时命题也成立．现在已知当n =5时，该命题不成立，那么可推得 （ ）（A ）当n =6时该命题不成立； （B ）当n =6时该命题成立 （C ）当n =4时该命题不成立 （D ）当n =4时该命题成立 7、若命题P(n)对一切的n=2成立，且由P(k)成立可以推证P(k+2)也成立，则一定有 （ ） A 、P(n)对所有正整数都成立 B 、P(n)对所有大于等于2的正整数都成立 C 、P(n)对所有正偶数都成立 D 、P(n)对所有正奇数都成立8、用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”时，第二步应是 ( ) (A)假设n=k(k ∈N)时命题成立，推得n=k ＋1时命题成立(B)假设n=2k ＋1(k ∈N)时命题成立，推得n=2k ＋3时命题成立 (C)假设k=2k-1(k ∈N)时命题成立，推得n=2k ＋1时命题成立 (D)假设n ≤k(k ≥1，k ∈N)时命题成立，推得n=k ＋2时命题成立9、已知数列{}n a 中，nn n a a a a -+==+313111，。
（1）求432a a a ，，的值；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法加以证明。
（二）数列极限1、下列命题正确的是 （ ） A ．若0)(lim =∞→n n n b a ，则0lim =∞→n n a 且0lim =∞→n n b ；B ．无穷数列{}n a 有极限，则1lim lim +∞→∞→=n n n n a a ；C ．若n n a ∞→lim 存在，n n b ∞→lim 不存在，则)(lim n n n b a ∞→不存在；A ．若两个无穷数列的极限都存在，且n n b a ≠，则≠∞→n n a lim n n b ∞→lim 。
2、已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和*1()3n n S a n N =+∈，且a 是常数，则此无穷等比数列各项的和是（ ） A ．13． B ．13-． C ．1． D ．1-． 3、若数列通项a n =)2(3+n n ,前n 项和为S n ,则∞→n lim S n 为 ( )(A)49(B)43 (C)94 (D)274 4、()221lim211n nn n →∞+--等于 （ ）.A 1 .B 12 .C 14.D 0 5、若数列{}n a 满足311=a ，且对任意正整数n m ,有n m n m a a a =+，则=+++∞→)(lim 21n n a a a （ ）A ．21B ．32C ．23D ．26、已知a 、b 、c 是实常数，且acn can b cn c bn c bn c an n n n ++=--=-+∞→∞→∞→2222lim ,3lim ,2lim 则的值是 （ ）A .121 B .61 C .23D .6 7、在等比数列中，a 1>1，前项和S n 满足11lim n n S a →∞=，那么a 1的取值范围是 （ ） （A ）（1，＋∞） （B ）（1，4） （C ）（1，2） （D ）（1，2）8、已知数列(){}2log 1n a -（*n N ∈）为等差数列，且13a =，25a =，则21321111l i m n n n a a a a a a →∞+⎛⎫++⋅⋅⋅+=⎪---⎝⎭.A 2 .B 23 .C 1 .D 2110、计算：nn n 2642)12(531lim +++-++++∞→＝_________________。
11、计算：=+-++∞→nn n n n 3232lim 11_______________。
12、已知数列{}n a 的通项公式是⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤+=100012100013n n n n n a n ，则=∞→n n a lim13、若nn a a ⎪⎭⎫⎝⎛-∞→21lim 存在，则a 的取值范围是________14、若21lim 01n n an b n →∞⎛⎫+--=⎪+⎝⎭，则a =_______，b = _______ 15、若()131lim331nnn n a +→∞=++，则a 的取值范围________ 16、已知无穷等比数列{}n a 的各项的和是4，则首项1a 的取值范围是_____________ 17、已知等比数列}{n a 的首项为1a ，公比为q ，且有41)1(lim 1=-+∞→n n q q a ，则首项1a 的取值范围_ ______ 18、在数列}{n a 中，254-=n a n ，bn an a a a n +=+++221 （*N n ∈），其中a 、b 为常数，则n nn n n b a b a +-∞→lim 的值是_______19、等差数列{}n a 、{}n b 的公差都不为零，若3lim =∞→nn n b a ，则=++∞→n nn na b b b 421lim _____.20、设点0A 为坐标原点，))(11,(*∈+N n n n A n ，记向量n n n A A A A A A a 12110-+++= ，n θ是n a 与i 的夹角（其中)0,1(=i ），设n n S θθθtan tan tan 21+++= ，则=∞→n n S lim _________________。
三、总结反思四、课后作业1、设1)2(3)1(21)(⋅++-⋅+-⋅+⋅=n n n n n f ，则=-+)()1(n f n f __________2、用数学归纳法证明：*1111(,1)2321n n n N n +++⋅⋅⋅+<∈>-时 ,第一步验证不等式 成立；在证明过程的第二步从k n =到1+=k n 成立时，左边增加的项数是 3、设等比数列{a n }（n ∈N ）的公比q =－21，且∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=38，则a 1=_________4、若22121212 (232323)n n n S =++++++，则lim n n S →∞=________________.5、在无穷等比数列{}n a 中，1212lim()n n a a a →∞+++=，则首项1a 的取值范围是________6、若621,16()1,72n n n n a n N n *--≤≤⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩，则lim n n a →∞＝ ． 7、从211=，23432=++，2576543=++++，……中找出规律，写出其一般的形式（不需证明） 8、用数学归纳法证明1－21＋31－)(2121112112141N n nn n n n ∈+++++=--++ ，则从k 到k ＋1时,左边应添加的项为 （ ）(A) 121+k (B) 421221+-+k k(C) －221+k (D) 121+k －221+k9、（07上海）设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是 （ ）.A 若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 .B 若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立.C 若49)7(<f 成立，则当8k ≥时，均有2)(k k f <成立 .D 若25)4(=f 成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立10、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足213n n S a =-，则其各项和S 等于 （ ） .A 1 .B 23 .C 53 .D 2311、若lim(12)nn x →∞-存在，则实数x 的取值范围为 （ ）（A ） (]0,1 （B ）[)0,1 （C ）(0,1) （D ）110,,122⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭12、已知等比数列}{a 的首项为a ，公比为q ，且有1)(lim 1=-n q a ，求a 范围。