2010级硕士研究生数值分析考题
2010级数值分析试题
A ；
4.已知 f ( x ) 2 x 3 4 x 5 ，写出以 2, 0, 1 为插值节点的二次拉格朗日插值多项式； 5.写出用变步长梯形求积公式计算积分 f ( x )dx的计算公式.
a xk
3
r
产生的序列 x k 收敛到 4
a ，使其收敛阶尽可能高，
并说明该迭代公式的收敛阶.
10 a 0 五、（本题满分15分）设 A b 10 b （ A 的行列式 0 a 5
2 det( A) 0），给定方程组 AX 1 1
要求：（1）写出计算公式；（2）画出算法框图. 七、（本题满分10分）确定求积公式
3
1
f ( x )dx A0 f (0) A1 f (1) A2 f (2)
中的待定参数 A0 ， A1 ，与 A2，使其代数精度尽可能高， 并指明该求积公式所具有的代数精度.
八、（本题满分5分）
给定等距节点
a b
二、（本题满分10分） 用高斯消去法求解方程组
a11 x1 a12 x 2 a13 x 3 a1n x n b1 a x a x a x a x b 21 1 22 2 23 3 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a n 3 x 3 a nn x n bn
1.根据迭代法收敛的充分必要条件确定a,b的取值范围， 使求解上述方程组的雅可比迭代法收敛.
. 2.写出求解上述方程组的雅可比迭代公式.
3.若用高斯—塞德尔迭代法求解上述方程组，画出高斯 —塞德尔迭代法的算法框图.
2010(A)数值分析试卷
一. 选择题(每空2分, 共20分)1．设 是真值 的近似值，则有 ________位有效数字. 2.2. 设，则差商（均差）1)(3−+=x x x f =]3,2,1,0[f ________，且_________. =]4,3,2,1,0[f 3. 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是__________________.)(,),(),(10x l x l x l n "4. 是以0，1，…，n 为插值节点的Lagrange 插值基函数，则 ________________. =∑=ni ix il 0)(5. 牛顿—柯特斯求积公式的系数和()0n n k k C==∑__________________.6. 设方程组b Ax =,其中,则Jacobi 代法的迭代矩阵是⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=51112．A 迭__________________,Gauss-Seidel 法的迭代矩阵是__________________. 7. 设是区间[上权函数为的最高项系数为1的正交多项式族,其中{∞0)(x k ϕ}]1,02)(x x =ρ1)(0=x ϕ,则=∫dx x x )(3102ϕ__________________,=)(1x ϕ__________________. 二. 判断题(每小题2分, 共20分.正确的打√,错误的打×)1. 梯形求积公式和复化梯形公式都是插值型求积公式_____（对或错）. ( )2. 若x 为n 维向量,则0>x . ( )3. 幂法是求矩阵所有特征值及特征向量的一种向量迭代法． ( )4. 用x +1近似表示x e 产生舍入误差． ( )第 A1 页 共 3 页40194x =* 2.40315x =5. n 个求积节点的插值型求积公式的代数精度为n . ( )6. 321.750有5位有效数字,其误差限31021−×≤. ( )7. 求解微分方程初值问题的二阶龙格—库塔公式的局部截断误差为)(2h o .( )8. 高斯型求积公式的代数精度为12∑∫=≈nk k k b a x f A dx x f 0)()(+n . ( ) 9. 对0的充要条件是A 的某种算子范数lim ,=∈∀∞→×m m n n A R A 1<A .（ ）10. 方程组b Ax =得系数矩阵A 的条件数刻画了解对初始数据的灵敏程度，即A 的条件数越大，方程组的病态程度越严重． ( ) 三. 计算题(每小题10分, 共40分)1. 用矩阵的直接三角分解法（）解方程组LU A =b AX =：。
光机所2010数值分析试题
光机所2010数值分析试题一、(24分)(1) 设x j 为互异节点，试证明()∑=≡n j k j k j x x l x 0，k =0, …, n(2) 证明 ()()()∑==≡-n j j kj n k x l x x0,,1,0 (3) 求一个次数不高于4的多项式()x p 4，使它满足()()00044='=p p ，()()11144='=p p ，()124=p .二、(24分)(1) 什么叫求积公式的m 次代数精度？(2) 确定下述数值积分的参数a ，使其代数精度尽量高，并说明该公式有几次代数精度()()()()h f A f A h f A dx x f h h 101220++-=--⎰(3) 已知411=x ，212=x ，433=x ，推导以这三个点作为求积节点在[0, 1]上的插值型求积函数，并用所求公式计算⎰102dx x 三、(12分) 已知函数1, x, 312-x 在[-1, 1]上两两正交，并求一个三次多项式，使其与这三个函数两两正交。
四、解下列线性方程组（用某种方法解方程组，貌似主要考的是矩阵计算）五、(10分) 已知 ||x || = ||y ||, x ≠y ，证明存在初等反射阵变换H ，使Hx = y ，若x = (1, 1, 0)，y =(此处缺一系数) ||x|| e 1，从计算效果考虑应该取正号还是负号，并计算相应的矩阵H六、(8分) 证明1 – x - sin x = 0在[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不大于41021-⨯的解需迭代二分多少次？七、(12分) 设有迭代格式 ()()g Rx x k k +=-1, k = 1, 2, … 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=05.02/15.005.02/15.00R ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=5.015.0g 试证该迭代格式收敛。
取初始向量为 (0, 0, 0) ，计算x。
安徽大学2010年数学分析考研真题
一． （15 分）设 a1 0 ， an 1 an （1）证明： lim an
n
1 ， n N （正整数集合） an
（2）求： lim
n
an n
e (1 x ) x
1 x
二． （10 分）求极限 lim
x 0
三． （15 分）设 f ( x ) 在 [a, ) 上一致连续， g ( x) 在 [a, ) 上连续，且有
( n x)
1
2
பைடு நூலகம்
，试证明：
（1）当 x 不为整数时， f ( x ) 有定义。 （2） f ( x ) 为周期为 1 的周期函数。 （3） f ( x ) 在非整数点连续。 七． （15 分）求由方程 2 x 2 y 2 z 2 2 xy 2 x 2 y 4 z 4 0 所确定的函数
z z ( x, y ) 的极值。
八． （10 分）证明： F ( x ) 九． （20 分）计算积分 I
L
1
cos x dx 在 (0, ) 上连续。 x
xdy ydx ， ( 0) [( x y )2 ( x y )2 ]n
其中 L 为闭合椭圆周 ( x y )2 ( x y )2 1 ，取逆时针方向。 十． （20 分） 计算 I
axdydz ( z a) 2 dxdy x y z
2 2 2
， 其中 为下半球面 z a 2 x 2 y 2
的上侧， a 为大于 0 的常数。
h 0
1 2
x 0
五． （15 分）设 f ( x ) 在 [0, ) 上连续，且 f ( x) k f (t )dt ， x [0, ) 其中 k 为大于 0 的常数。试证明： f ( x ) 0 ， x [0, )
2010年考研数学试题详解及评分参考
ò 积分 xydx + x2dy = L
.
2010 年 • 第 4 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010 年数学试题详解及评分参考
【答】 应填 0 .
【解法一】 补有向线段 L : y = 0 (x Î[-1,1]) ，起点为 (1, 0) ，终点为 (-1, 0) ，设由
L 与 L 围成的平面区域为 D ，则利用格林公式及区域 D 关于 y 轴的对称性，得
nx
-
x
)
dx
ò (1) 对于
1 2
m
ln 2
(1 -
x)
dx
，易见被积函数非负，且只在
x
®
0+
时无界，于是
0
nx
ò ò 当 n > 1 时，由 lim n x m ln2 (1- x) = 0 及
1 2
1
dx 收敛，知
1 2
m
ln 2
(1 -
x)
dx
收敛；
x®0+
nx
0 nx
0
nx
( ) 当 n = 1 时，由 m ln2 (1- x)
.
【答】 应填
2 3
.
{ } 【解】 记 D = ( x, y) x2 + y2 £ 1 ，有
òòò òò ò òò ò ò W
dxdydz =
D
dxdy
1 dz
x2 + y2
= (1- x2 - y2 )dxdy =
D
2p dq
0
1(1- r2 )rdr
0
=
p 2
，
òòò òò ò òò ò ò W
北京工业大学数学分析2010年考研真题(含答案)考研试题硕士研究生入学考试试题
十、 解：补充平面 S1 = {( x, y, z ), x 2 + y 2 ≤ 1，z = 1}，方向向上.有
∫∫
=
f ( x , y ) 在原点处不可微。
共 6 页 第4 页（答案）
科目代码：
663
科目名称：
数学分析
2 2 七、 解： 上、 下半圆方程分别为 y1 = 2 + 1 − x 与 y2 = 2 − 1 − x .
旋转体体积 V = 旋转体表面积
∫
1
−1
2 π [ y12 - y2 ] dx = 8π ∫
收敛，求其极限。
[bx − f ( x)] = 0 ，其中 二、 证明：若函数 f ( x ) 在 [a, +∞) 上连续，且 xlim →+∞
b 为非零常数，则 f ( x ) 在 [a, +∞) 上一致连续。
三、 证明：若 ∀x ∈ (a，b) ，有 f ′′( x ) ≥ 0 ，则对 ∀x1 , x2 ,L , xn ∈ ( a, b ) ， 下列不等式成立
当 | x1 − x2 |≤ δ1 =
ε 时，有 2|b|
| f ( x1 ) − f ( x2 ) |≤ b( x1 − x2 ) + bx1 − f ( x1 ) + bx2 − f ( x2 ) < ε.
其次，由 f ( x ) 在 [a, +∞) 上连续，知 f ( x ) 在 [ a , M + 1] 上连续且一 致连续。于是，对上述的 ε > 0 ，存在 δ 2 > 0 ，当 ∀x1 , x2 ∈ [a, M + 1] ，
| x1 − x2 |≤ δ 2 时，有 | f ( x1 ) − f ( x2 ) |< ε .
武汉大学2010年数学分析考研试题解答
+∞
0
所以 ϕ(u) = ∫ （2）
+∞
0
e−x cosuxdx
∂k f ( x, u ) ∂u k
k k
2
的定义域为 (−∞,+∞) ； 在 [0,+∞) × (−∞,+∞) 上连续，
2
f ( x, u )
− x2
，
且有 | f ( x , u ) |≤ e ， | ∂∂u
f ( x , u ) |≤ x k e − x
n →∞
二．设 a > 0 ， x1 = a ， xn +1 = a + xn ， n = 1, 2,
1
三．设 f ( x ) 在 [ 0, 2] 上可微，且 f ( 2 ) = ∫ 2 xf ( x ) dx ，求证：存在 ξ ∈ ( 0, 2 ) ，
0
使得 f (ξ ) + ξ f ′ (ξ ) = 0 . 四．设 v = v ( x, y ) 有连续的一阶偏导数， u = u ( x, y ) = xv + yϕ ( v ) + ψ ( v ) ，
1 2 ( x + y 2 ), ( x, y ) ∈ D ， a
dσ = 1 + (
∂z 2 ∂z 2 ) + ( ) dxdy ∂x ∂y
， ，
曲面的面积
S1 = ∫∫ 1 + (
D
∂z 2 ∂z 2 ) + ( ) dxdy = ∫∫ 2dxdy = 2π a 2 ∂x ∂y D
S 2 = ∫∫ 1 + (
2 + ； 1 n+ n
n n
2010-2011学年北京理工大学硕士研究生数值分析期末试卷
20102011学年北京理工大学硕士研究生数值分析期末试卷20102011学年北京理工大学硕士研究生数值分析期末试卷1一20分考虑线性方程组axb其中a111t1222123312b4321341
2010-2011 学年北京理工大学硕士研究生数值分析期末试卷 1 一（20 分）考虑线性方程组 Ax=b，其中 A= 1 1 1
π 2 0
1−
3 cos x 4
2
dx，
用数值积分的方法求其近似值（要求计算结果具有四位有效数字） 。 2 四（15 分）用迭代法求 x +10x-18=0 在[1,2]内的根，取初值为 1.5 1. 构造一个收敛的迭算 2 步，然后采用 Aitken 加速算法再计算一步是否能得 到更精确的近似值？计算过程中小数点后保留 4 位。 五（10 分）求函数 ex 在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。 y ′ + y = 0, xϵ[0,1] 六（20 分）对初值问题 y 0 =1 1. 求此微分方程的精确解。 2. 证明：用格式yn+1 = yn + 2 (−yn − yn+1 )所求得的近似解在步长 h0 时收敛 于精确解。 3. 写出上述格式的 Matlab 程序源代码， 要求： 输出近似解曲线图和误差曲线图。
T
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 ，b=（4，3，2，1） 3 4
1. 用平方根法解线性方程组。 2. 对上述方程组构造收敛的迭代格式，说明其收敛原因，取初始值 X（0）=（0,0,0,0）T 用所给的迭代格式计算迭代序列的前两项（用分数表示） 。 二（15 分）已知sin （0.32）=0.314567，sin （0.34）=0.333487 均具有 6 位有效 数字。 1. 请用线性插值求sin （0.33）的近似值。 2. 证明在区间[0.32,0.34]上用线性插值求sin x的近似值时至少有 4 位有效数字。 三（20 分）长半轴为 2，短半轴为 1 的椭圆的周长 s 为 s=8
哈工大研究生2009-2010数值分析
+
(������������
−
������������
������
������
)
(������ ������ )������ ������������ (������ ������ )������ ������������ ������
������
2������13 − ������22 − 1 = 0 ������1������23 − ������2 − 4 = 0
哈工大研究生数值分析
2010 年硕士研究生《数值分析》
1.(10
分)应用
Hermite
迭 代 法 于 方 程 ������ ������
= ������������ − ������ = 0 和 ������ ������
=
1
−
������ ������ ������
=
0 ������ > 0 ，分别导出求������ ������的迭代公式；并讨论迭代公式的收敛速度。
Байду номын сангаас
������������
+
ℎ 2
,
������������
+
ℎ 2
������(������������ , ������������ )
1) 讨论其稳定性，步长 h 应取何值方能保证方法的绝对稳定性？
2) 对������ = 1，取 h=0.2 求方程的数值解。
第 9 页 共 20 页
哈工大研究生数值分析
������������
=
1 ������ !
1−
������������=0(−������)������ ������������ + ������ ������������=−1(−������)������−1������������ ，r=2,3···
研究生数值分析期末考试试题A答案
2010年秋研究生数值分析期末考试试题答案一、单选题（4*5=20分）1、D; 2、B ； 3、D ； 4、B ； 5、D 。
二、填空题（4*5=20）1、4； 2、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323203*⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛320323； 3、)]23()0()23([3f f f ++-∏；4、kk k k x x x x 2221--=+；5、9.605。
三、（10分）由两点三次Hermite 插值多项式公式秋得：)2()(23x x x H -=，设所求多项式223)1()()(-+=x Ax x H x P ，。
（4分） 由P(2)=1,得A=1/4,。
（4分） 故22)3(41)(-=x x x P 。
.。
（2分） 四、（10分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1001001*10010021321u u l l l A ，由追赶法公式求得， 15/56,15/4,4/15,4/1,432211=-==-==l u l u l ，。
（4分） 由Ly=d,求得T y )77.0,87.0,25.0(=,（3分） 由Ux=y,求得，T x )5179.0,0714.1,7679.0(=（3分）五、（10分）Jacobi 迭代计算格式：⎪⎩⎪⎨⎧++-=--=--=+++3/)221(5/)327(24)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 。
（2分） G-S 迭代计算格式： ⎪⎩⎪⎨⎧++-=--=--=++++++3/)221(5/)327(24)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 。
（2分） 由于016415)(3=-+=-λλλJ B I del ,,11516)(>=J B ρ即Jacobi 迭代发散；。
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南华大学 2010 级硕士研究生课程考试试题
考试科目： 数值分析 所属学院 考试时间 考生姓名： 考生学号 任课教师 考试成绩
一、(15分)求一个次数不超过4的多项式)(x p ，满足 ()()()()()211,1101='=-'===-p p p p p 。
二、求多项式()4
362
3
+++=
x x
x
x f 在[]1,1-上的二次最佳一致逼近多项式。
（提示：第一类切比雪夫三次多项式()x
x
x T 343
3-=）
三、求()x
x f πcos =
在[]1,0上的二次最佳平方逼近多项式。
四、用计算积分()⎰=
b
a
dx x f T
的逐次二分的复化梯形公式()∑
-=++
=
1
22
1
2
2
1n k k n n
x f h T T
，其中
n
a b h -=
，
,3,2,1=n
；计算积分⎰
+1
1x
dx ，并用龙贝格公式()n
n
n T T T T
-≈
-223
1进行事后估
计，使积分的误差不超过2
10
-=ε。
五、已知函数()2
11x f +=
的值如下表：
试用三点微分公式求()x f 在2
.1`,1.1,0.1=x 处的导数值并估计误差。
(提示:三点微分公式如下:
()()()()[]()ξf h
x f x f x f h x f '''+
-+-
=
'3
43212
2
100
()()()[]()ξf h
x f x f h x f '''-
+-
=
'6
212
2
01
()()()()[]()ξf h
x f x f x f h
x f '''+
+-=
'3
34212
2
102
)
六、设A 是n 阶非奇异矩阵，n 维非零列向量b x ,满足b
Ax =，当b 有扰动b δ时，相应的x 产
生扰动x δ，并满足()b
b x x
A δδ+=+，又设
∙
是矩阵范数，试证明：
b
b
A
A
x
x
δδ1
-≤。
七、用牛顿法给出解方程组
⎩⎨⎧-+=--++=++1
132422
2
2
2y x y xy x y x y xy x
的迭代格式，并对初值()1,10=x 计算出2
1
,x
x
八、对于初值问题
()⎩⎨
⎧=≤≤-+-='1
01
0,152
y x x y y
问h 取何值时，用向前欧拉格式()y x hf
y y n n ,1+=+是绝对稳定的，请给出对应的数值解格式
并计算到1=x 的解。