中考数学一轮复习专题解析—分式方程及其应用

中考数学一轮复习专题解析—分式方程及其应用

复习目标

1、了解分式方程的概念。

2、会解分式方程，理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题。

考点梳理

一、分式方程的定义

分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．

注意：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.

（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.

二、分式方程的解法

去分母法，换元法．

例1、解分式方程：=﹣．

【答案】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验. 【解析】解：方程两边同乘以（2x+1）（2x﹣1），得

x+1=3(2x-1)-2(2x+1)

x+1=2x-5，

解得x=6．

检验：x=6是原方程的根． 故原方程的解为：x=6． 三、解分式方程的一般步骤

(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程；

(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根. 口诀：“一化二解三检验”. 例2、解分式方程：

21

233

x x x -+=

--． 【答案】方程两边同乘以3x -，得22(3)1x x -+-=，2261x x -+-=． 5x =．

经检验：5x =是原方程的解，所以原方程的解是5x =．

注意：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根． 四、解应用题的步骤

(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值；

(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．

例3、甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，

甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？

【要点诠释】

方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．

注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意． 综合训练

1．（2022·陕西西安市·交大附中分校九年级模拟预测）某修路队计划x 天内铺设铁路120km ，由于采用新技术，每天多铺设铁路3km ，因此提前2天完成计划，根据题意，可列方程为（ ） A ．120120

32x x =+- B ．120120

32x x

=+- C ．

120120

32x x

=++ D ．

120120

32

x x =++ 【答案】B 【分析】

表示出原计划和实际的工作效率，根据采用新技术，每天多铺设铁路3km ，列出

方程即可． 【详解】

解：原计划每天修建道路

120

x

m ，则实际用了（x ﹣2）天，每天修建道路为

1202x -m ，根据采用新技术，每天多铺设铁路3km 得，120120

32x x

=+-． 故选：B ．

2．（2022·连云港市新海实验中学九年级二模）甲队3小时完成了工程进度的一半，为了加快进度，乙队也加入进来，两队合作1.2小时完成工程的另一半．设乙队单独完成此项工程需要x 小时，据题意可列出方程为（ ） A ．

1.2 1.2

16x

+= B ．

1.2 1.2

13x

+= C ．

1.2 1.21

62

x += D ．

1.2 1.21

32

x += 【答案】C 【分析】

根据题意可以得到甲乙两队的工作效率，从而可以得到相应的方程，本题得以解决． 【详解】

解：∵甲队3小时完成了工程进度的一半， ∴甲队的工作效率为16

设乙队单独完成此项工程需要x 小时， ∴甲队的工作效率为1

x

由题意可得，1.2 1.21

62

x +=， 故选：C ．

3．（2022·哈尔滨市第十七中学校九年级开学考试）分式方程1x x +1

2

x +-＝1的解是（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝﹣1

C ．x ＝3

D ．x ＝﹣3

【答案】A 【分析】

观察可得最简公分母是x （x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可． 【详解】 解：

11

2

x x x ++-＝1， 去分母，方程两边同时乘以x （x ﹣2）得： （x +1）（x ﹣2）+x ＝x （x ﹣2）， x 2﹣x ﹣2+x ＝x 2﹣2x ， x ＝1，

经检验，x ＝1是原分式方程的解． 故选：A ．

4．（2022·福建省厦门第六中学）某次列车平均提速v km/h ，用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50km ，则方程50

s

s v x

x

++= 所表达的等量关系是（ ）

A ．提速前列车行驶s km 与提速后行驶(s ＋50)km 的时间相等

B ．提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v km

C ．提速后列车行驶(s ＋50)km 的时间比提速前列车行驶s km 多v h