《线性代数》复习题
线性代数复习题.doc答案
线性代数复习题第一章1．设()xx x x x x f 111123111212-=中含有4x 的项的系数是（ ）。
A.1B.-1C.2D.-2 答案：C2．计算行列式100010010001aa a a D =。
答案： ()221a-3．若022150131=---x ，则=x 。
答案：5。
4．k 满足_______时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321kx x x x kx x x x kx 只有零解.答案：2-≠k 且1≠k 。
5．计算行列式2132651192311021-。
答案： 436．行列式333231232221131211a a a a a a a a a D =的转置行列式=T D 。
答案：=7．8级排列36215784的逆序数在τ(36215784)=_____. 答案：108．计算4阶行列式2421174214112111-----=A 。
答案： 609．计算行列式aba b b a b a D 00000000=。
. 答案：()222b a D -=。
10．若223252113=-x ，则=x 。
答案：411．若行列式02250131=--x ，则=x 。
答案：-512．排列36i15j84在i=_____,j=______时是奇排列. 答案：7，213．线性方程组⎩⎨⎧=+=+n dx cx mbx ax 2121 的系数满足 __________时，方程组有唯一解.答案：ad bc第二章1．设A 是t s ⨯的矩阵，B 是n m ⨯矩阵，如果B AC T有意义，则C 应是（ ）矩阵。
A. n s ⨯B.m s ⨯C.t m ⨯D.m t ⨯答案：C2．设A 、B 为n 阶矩阵，A 可逆，0≠k ，则运算（ ）正确. A. ()k k kB A AB =B. A A -=-C. ()()A B A B A B +-=-22D. ()111---=A k kA答案：D3．设A 为3阶方阵，且2=A ，则=-1A （ ）。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
线性代数期末复习题
线性代数期末复习题《线性代数》综合复习题⼀、单项选择题：1、若三阶⾏列式D 的第三⾏的元素依次为1、2、3，它们的余⼦式分别为4、2、1，则D =（）(A)－3 (B) 3 (C) －11 (D) 112、设123,,ααα是三阶⽅阵A 的列向量组，且齐次线性⽅程组AX =O 仅有零解，则（）(A) 1α可由23,αα线性表⽰ (B) 2α可由13,αα线性表⽰ (C) 3α可由12,αα线性表⽰ (D) 以上说法都不对3、设A 为n(n ≥2)阶⽅阵，且A 的⾏列式|A |=a ≠0，A *为A 的伴随矩阵，则| 3A * | 等于（）(A) 3n a (B) 3a n -1(C) 3n a n -1 (D) 3a n4、设A =333231232221131211a a aa a a a a a , B =????? ??+++133311311232232122131112a a a a a a a a a a a a ,????? ??=1000010101P ,????=1010100012P ，则有（）(A) B AP P =12 (B) B AP P =21 (C) B A P P =21 (D) B A P P =12 5、设A 是正交矩阵，则下列结论错误．．的是（） (A) |A |2必为1 (B) |A |必为1 (C) A -1=A T (D) A 的⾏向量组是正交单位向量组 6、设A 是n 阶⽅阵，且O E A A =+-232，则（）(A) 1和2必是A 的特征值 (B) 若,2E A ≠则E A =(C) 若,E A ≠则E A 2= (D) 若1不是A 的特征值，则E A 2=7、设矩阵210120001A ??=，矩阵B 满⾜2ABA BA E **=+，其中E 为三阶单位矩阵，A *为A 的伴随矩阵，则B = （A ）13；（B ）19；（C ）14；（D ）13。
《线性代数》复习题计算题
复习题例1 计算10001030012321n n D n =．解 )2(11010000103222,,21n n tD jjcc nj n++-==-=例2 计算nn n n n b a a a a b a a a a b a D +++=21221211 )0(≠i b .解法1 n n r r n b b b b a a b a D i001212111--+=- “),,2(11n j c b b c j j=+”n n b b a a t0022=n n nb b a b b a b b b a 2122111)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=n n n b a b a b a b b b 2211211 解法2 加边法nn n n n n b a a a a b a a a a b a a a a D +++=212212112101nn b b b a a a10010112121---=nn b b b a a a t0000002121= n n b b b b b b t 2121==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++n n b a b a b a 22111例3 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=111111111A 满足X A X A 21+=-*, 求X ． 解 并项： 1)2(-*=-A X E A 左乘A ： E X A E A =-]2)det [(计算： 4d e t=A 11)2(21)24(---=-=A E A E X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10111001141例4 求解b Ax =, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111111111λλλA , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21λλb 解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21111111111~λλλλλA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→101011001111112λλλλλλλ行 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--→≠10111001111111λλλ行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-+→101110101)1(1002λλλ行 (1) 1≠λ：同解方程组为 ⎪⎩⎪⎨⎧+-+-=++=+=141312)2()1()1(1xx x x x x λλλ0=Ax 基础解系⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=)2(111λξ, b Ax =特解 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+=*)1(110λλη通解 ξηk x +=* （k 为任意常数）(2) 1=λ：同解方程组为 )(14321x x x x ++-=0=Ax 基础解系⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=00111ξ, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=01012ξ, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10013ξb Ax =特解 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=*0001η通解 332211ξξξηk k k x +++=* （321,,k k k 为任意常数）例5 向量组T ：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=31111α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=15312α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=21233c α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=c 10624α求向T的一个最大无关组．解 对矩阵[]4321αααα=A 进行初等行变换可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-----=c c A 2131015162312311⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-------→6741246041202311c c 列⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------→29070041202311c c 列B c =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------→20070041202311列(1) 2≠c ：4rank rank ==B AB 的1,2,3,4列线性无关A ⇒的1,2,3,4列线性无关 故4321,,,αααα是T 的一个最大无关组； (2) 2=c ：3rank rank ==B AB 的1,2,3列线性无关A ⇒的1,2,3列线性无关 故321,,ααα是T 的一个最大无关组．例6 323121232221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++= 用正),,(321x x x f 为标准形．解 f 的矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=542452222A A 的特征多项式 )10()1()(2---=λλλϕ121==λλ的两个正交的特征向量 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1101p , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1142p 103=λ的特征向量 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2213p 正交矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=32231213223121312340Q 正交变换y Q x =：标准形23222110y y y f ++=例7 32312123222132166255),,(x x x x x x x c x x x x x f -+-++=,秩2)(=f ． (1) 求c ；(2) 用正交变换化),,(321x x x f 为标准形．解 (1) f 的矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=c A 33351315（显见2r a n k≥A ） 30d e t 2r a n k=⇒=⇒=c A A (2) λλλλλλλλϕ-------=-------=+333351044333351315)(21r r)9)(4(36336100412---=------=-λλλλλλc c9,4,0321===λλλ的特征向量依次为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2111p , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0112p , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1113p （两两正交） 正交矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=3162312161312161Q 正交变换y Q x =标准形232221940y y y f ++=例8 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=2135212ba A 的一个特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1111ξ, 求数b a ,及A 的 全体解 11λξξ=A ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-031121b a b a λλλλ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=201335212A 0)1()(3=+=λλϕ ⇒ 1321-===λλλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=--00110101101325213)1(行E A ：2))1((r a n k =--E A 由此可得：对应特征值1-=λ只有1个线性无关的特征向量, 而特征方程的基础解系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1111ξ, 全体特征向量为)0(111≠=k k x ξ．例9 设方阵A 的特征值21λλ≠, 对应的特征向量分别为21,x x , 证明： (1) 21x x -不是A 的特征向量； (2) 1x ,21x x -线性无关．证 (1) 反证法．若)()(2121x x x x A -=-λ, 则)(212211x x x x -=-λλλ⇒0)()(2211=-+-x x λλλλ 21λλ≠ ⇒21,x x 线性无关 21λλλ==⇒ 矛盾！ 故21x x -不是A 的特征向量．(2) 设数组21,k k 使得 0)(21211=-+x x k x k , 则 0)()(22121=-++x k x k k21λλ≠ ⇒21,x x 线性无关 ⇒ 0,0221=-=+k k k 即0,021==k k ．故1x ,21x x -线性无关．。
线性代数复习题
,
2 )T 3
，= α 2
(
2 3
,
1 3
,
−
2 )T 3
，α=3
( 2 , − 2 , 1)T 是 R3 的一组标准正 3 33
交基，则向量 β = (1,1,1)T 在这组基下的坐标为
.
28．设矩阵 A 的特征多项式 λE − A = (λ + 1)(λ + 5)(λ + 7) ，则 A−1 = __ _ .
A.
r
(α1
,
α
2
,
,
α
r）≥
r(β1,
β
2
,
,
βs )
B. r ≥ s
C. r(α1,α2 ,,αr）≤ r(β1, β2 ,, βs )
D. r ≤ s
14．设α1 , α2 是非齐次线性方程组 AX = b 的两个解，则下列仍为线性方程组 AX = b 的解的
（
）.
A. α1 + α2 B. α1 − α2
3.
已知向量组 α1
=
−421,α
2
=
3 1 2
,α
3
=
−5 3 6
,
α
4
=
−2 2 0
,α
5
=
−8611,
.求向量组的秩
和一个极大线性无关组；将其余向量用所求的极大线性无关组线性表示.
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = a
4.
已知线性方程组
3x1
+2 x2
− 1
1
β1 = 1 ， β 2 = 1 ，则 AX = b 的全部解可表示为
(完整版)线性代数复习——选择题.doc
《线性代数》复习一：选择题a11 a12 a13 2a11 2a12 2a131.如果a21 a22 a23 = M，则2a21 2a22 2a23 = （）a31 a32 a33 2a31 2a32 2a33A. 8MB. 2MC. MD.6M2. 若 A，B 都是方阵，且 |A|=2， |B|=-1，则 |A -1B|= （）A. -2B.2C. 1/2D. –1/23. 已知可逆方阵 A 1 3 7则 A （）1 2A. 2 7B.2 7C.3 7D.3 7 1 3 1 3 1 2 1 24. 如果 n 阶方阵 A 的行列式 |A| 0 则下列正确的是（）A.AOB. r(A)> 0C. r(A)< nD. r( A) 05. 设 A B 均为 n 阶矩阵 A O 且 AB O 则下列结论必成立的是（）A. BA OB. B OC. (A B)( A B) A2 B2D. (A B)2 A2 BA B26. 下列各向量组线性相关的是（）A. 1 (1 0 0) 2 (0 1 0) 3 (0 0 1)B. 1 (1 2 3) 2 (4 5 6) 3 (2 1 0)C. 1 (1 2 3) 2 (2 4 5)D. 1 (1 2 2) 2 (2 1 2) 3 (2 2 1)7. 设 AX b 是一非齐次线性方程组 1 2 是其任意 2 个解则下列结论错误的是（）A. 1 2是 AX O 的一个解 B. 1 12是 AX b 的一个解+ 2 1 2C. 1 2是AX O 的一个解D.2 1 2是AX b 的一个解8. 设 A为 3阶方阵 A的特征值为 1 2 3 则 3A 的特征值为（）A. 1/6 1/3 1/2B. 3 6 9C.12 3D. 1 1/2 1/39. 设 A 是 n 阶方阵且 |A| 2 A*是 A 的伴随矩阵则 |A*| （）A. 1B. 2nC. 1D. 2n 12 2 n 11 y 210. 若 x z 3 正定则 x y z 的关系为（）0 0 1A. x+y zB. xy zC. z xyD. z x+y参考答案 :1.A 2.D 3. B 4. C 5. D 6. B 7. A 8. B 9. D 10. C1. 设30 ，则取值为（）2 1A. λ=0 或λ=-1/3B. λ=3C. λ≠0 且λ≠ -3D. λ≠02. 若 A 是 3 阶方阵，且 |A|=2， A* 是 A 的伴随矩阵，则 |A A* |=（）A. -8B.2C.8D. 1/23. 在下列矩阵中可逆的是（）0 0 01 1 0 1 1 0 1 0 0 A. 0 1 0B.2 2 0 C. 0 1 1D. 1 1 10 0 10 0 1 1 2 11 0 14. 设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 2A+3E O 则 A 1 （ ）A. EB. 1C. 2A 3ED. A(2E A)31 a a a5. 设 Aa 1 a aa a 1 a ,若 r(A) 1, 则 a （ ）aaa 1A.1B.3C.2D.46.x 1 x 2 x 3 0,若齐次线性方程组x 1 x 2x 3 0, 有非零解则常数（ ）x 1 x 2 x 3 0A.1B.4C.2D.1 7. 设 A B 均为 n 阶矩阵则下列结论正确的是（ ）A. BA ABB.(A B)2 A 2BA ABB 2C. (A B)(A B) A 2B 2D. (A B)2A 22 AB B 28. 已知 1(10 0) 2(200)3 (0 0 3) 则下列向量中可以由123 线性表示的是（）A. (1 2 3)B.(12 0)C. (0 2 3)D. (3 0 5)9. n 阶方阵 A 可对角化的充分条件是（）A. A 有 n 个不同的特征值B.A 的不同特征值的个数小于 nC. A 有 n 个不同的特征向量D. A 有 n 个线性相关的特征向量10. 设二次型的标准形为fy 12y 223 y 32 ，则二次型的正惯性指标为（）A.2B.-1C.1D.3参考答案 : 1.A 2. C 3. D 4. B 5. A 6. A 7. B 8. D 9. A 10. A1. 设A 是4 阶方阵，且 |A|=2，则 |-2A |=（ ）A. 16B. -4C. -32D. 32 2. 3 4 6行列式 k 5 7 中元素 k 的余子式和代数余子式值分别为（）1 2 8A. 20， -20B.20，20C. -20，20D. -20，-203. 已知可逆方阵 A2 7则 A1）1 3 （A.2 7B.2 7C.3 7 D.371 31 31 2 124. 如果 n 阶方阵 A 的行列式 |A | 0则下列正确的是（）A.AOB. r (A )> 0C. r(A)< nD. r(A ) 05. 设 A B 均为 n 阶矩阵 则下列结论中正确的是（）A. (A B)(A B) A2 B 2B. (AB )k A k B kC. |kAB | k|A | |B |D. |(AB )k| |A |k |B|k6. 设矩阵 A n n的秩 r(A ) n 则非齐次线性方程组 AX b（）A. 无解B. 可能有解C. 有唯一解D. 有无穷多个解7. 设 A 为 n 阶方阵 A 的秩 r(A) r n 那么在 A 的 n 个列向量中（）A.必有 r 个列向量线性无关B.任意 r 个列向量线性无关C. 任意 r 个列向量都构成最大线性无关组D. 任何一个列向量都可以由其它r 个列向量线性表出8.已知矩阵 A4 4的四个特征值为 4， 2， 3， 1，则 A =（）A.2B.3C.4D.249. n 阶方阵 A 可对角化的充分必要条件是（）A. A 有 n 个不同的特征值B. A 为实对称矩阵C. A 有 n 个不同的特征向量D. A 有 n 个线性无关的特征向量10. n 阶对称矩阵 A 为正定矩阵的充要条件是（）A. A 的秩为 nB. |A| 0C. A 的特征值都不等于零D. A 的特征值都大于零参考答案 : 1.D 2. A 3. D 4.C 5.D 6.C 7.A 8.D 9.D 10.D3 4 61. 行列式 2 5 7 中元素y的余子式和代数余子式值分别为（）y x 8A. 2，-2B. –2， 2C. 2，2D. -2， -22. 设 A B 均为 n(n 2)阶方阵则下列成立是（）A. |A+B| |A |+|B|B. AB BAC. |AB | |BA |D. (A+B) 1 B 1+A 13. 设 n 阶矩阵 A 满足 A2 2A E 则(A-2E ) 1 （）A. AB. 2 AC. A+2ED. A-2E4. 矩阵A 1 1 1 12 2 2 2 的秩为（）3 3 3 3A.1B.3C.2D.45. 设 n 元齐次线性方程组AX O 的系数矩阵 A 的秩为 r 则方程组 AX 0 的基础解系中向量个数为（）A. rB. n- rC. nD. 不确定6. 若线性方程组x1 x2 2x3 1无解则等于（）x1 x2 x3 2A.2B.1C.0D. 17. n 阶实方阵 A 的 n 个行向量构成一组标准正交向量组，则 A 是（）A. 对称矩阵B. 正交矩阵C. 反对称矩阵D.| A |= n8. n 阶矩阵 A 是可逆矩阵的充要条件是（）A. A 的秩小于 nB. A 的特征值至少有一个等于零C. A 的特征值都等于零D. A 的特征值都不等于零9. 设 1 2 是非齐次线性方程组Ax=b 的任意 2 个解则下列结论错误的是（）A.1+ 2 是 Ax =0 的一个解 B. 1 η1η2 1 2 2是 Ax =b 的一个解C.12 是 Ax =0 的一个解D. 2 1 2 是Ax=b的一个解10.设二次型的标准形为f y12y223y32，则二次型的秩为（）A.2B.-1C.1D.3参考答案 : 1. D 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A 7.B 8.D 9.A10.D1.a b 0设 D b a 0 0 ，则 a， b 取值为（）1 0 1A. a=0， b≠ 0B. a=b=0C. a≠ 0， b=0D. a≠0， b≠ 02. 若 A 、B 为 n 阶方阵且AB=O 则下列正确的是（）A. BA OB. |B | 0 或|A| 0C.B O或A OD. (A B)2 A2 B23. 设A是3 阶方阵，且 | A | 2，则|A 1|等于（）A. 2B. 1C.2D.1 2 24. 设矩阵 A B C满足AB AC 则 B C 成立的一个充分条件是（）A. A 为方阵B. A 为非零矩阵C. A 为可逆方阵D. A 为对角阵5. 如果 n 阶方阵 A O 且行列式 |A| 0 则下列正确的是（）A. 0<r( A) < nB. 0 r(A) nC. r(A )= nD. r(A) 07 x1 8x2 9x3 06. 若方程组x2 2 x3 0 存在非零解则常数 b （）2 x2 bx3 0A.2B.4C.-2D.-47. 设 A 为 n 阶方阵且 |A| 0 则（）A.A 中必有两行 (列 )的元素对应成比例B.A 中任意一行 (列 )向量是其余各行 (列) 向量的线性组合C.A 中必有一行 (列 )向量是其余各行 (列 )向量的线性组合D.A 中至少有一行 (列 ) 的元素全为零8. 设A为 3阶方阵 A 的特征值为 1 2 3 则 3A 的特征值为（）A. 1/6 1/3 1/2B. 369C.123D. 1 1/2 1/39. 如果 3阶矩阵 A 的特征值为 -1,1,2 ，则下列命题正确的是（）A. A 不能对角化B. A 0C. A 的特征向量线性相关D. A 可对角化10. 设二次型的标准形为 f y12 y22 3 y32，则二次型的正惯性指标为（）A.2B.-1C.1D.3参考答案:1.B 2.B 3. B 4. C 5.A 6.D 7.C 8.B 9.D10.Ca11 a12a13 4a a a a11 11 12 131. 如果 a21 a22a23 =M，则 4a21 a21 a22 a23 =（）a31 a32a33 4a31a31a32a33A. -4MB. 0C. -2 MD. M2. 设 A ij 是 n 阶行列式 D |a ij |中元素 a ij的代数余子式则下列各式中正确的是（）nB. n nD.nA. a ij A ij 0 a ij A ij 0 C. a ij A ij D a i1A i 2 Di 1 j 1 j 1 i 11 0 02 0 03. 已知A 0 1 0 ，B 2 2 1 ，则 |AB |=（）3 0 1 3 3 3A.18B.12C.6D.364. 方阵 A 可逆的充要条件是（）A.AOB. |A| 0C. A* OD. |A| 15. 若 A 、B 为 n 阶方阵 A 为可逆矩阵且 AB O 则（）A. B O 但 r( B) nB. B O 但 r(A) n, r (B ) nC. B OD. B O 但 r(A) n, r(B) n6. 设 1 2 是非齐次线性方程组AX b 的两个解则下列向量中仍为方程组解的是（）A. 1 2B. 1 2C. 1D.+2(β1 2β2)7. n 维向量组 1 2 s线性无关为一 n 维向量则（）A. 12 s 线性相关B. 一定能被12C. 一定不能被12 s 线性表出D. 当 s n 时一定能被8. 设 A 为三阶矩阵 A 的特征值为 2 1 2 则A 2E 的特征值为（3β2β1 25s线性表出12s 线性表出）A. 212B.-4-10C.124D.41-49.若向量α=（ 1， -2，1）与β=（ 2， 3， t）正交，则 t=（）A.-2B.0C.2D.41 y 210. 若x z 3 正定则 x y z 的关系为（）0 0 1A. x+y zB. xy zC. z xyD. z x+y参考答案:1.A 2.C 3.C 4.B 5.C 6.D 7.D 8.B 9.D 10.C3 4 6中元素 x 的余子式和代数余子式值分别为（1. 行列式 2 5 7 ）y x 8A. –9， -9B. –9，9C. 9， -9D. 9，91 1 1 12.2 3 4 53 3 3 3 =（ ）4 3 4 4A.2B.4C.0D.1 3. 设A 为4 阶矩阵 |A | 3 则其伴随矩阵A *的行列式 |A *| （）A.3B.81C.27D.9 4. 设 A B 均为 n 阶可逆矩阵则下列各式中不正确的是（）A. (A+B)T A T +B TB.(A +B) 1 A 1+B 1C.(AB)1B 1A 1D. (AB )T B T A T 5. 设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +A +EO 则(A+E ) 1（ ）A. AB. -(A+E )C. –AD. -(A 2+A )6. 设 n 阶方阵 A B 则下列不正确的是（ ）A. r(AB )r(A)B. r(AB )r(B)C. r( AB ) min{ r(A )， r(B )}D. r(AB )>r (A )7. 已知方程组 AX b 对应的齐次方程组为 AX O ， 则下列命题正确的是（）A. 若AX O 只有零解 则 AX b 有无穷多个解B. 若AX O 有非零解 则 AX b 一定有无穷多个解C. 若AX b 有无穷解 则 AX O 一定有非零解D. 若AXb 有无穷解 则 AXO 一定只有零解8.10 1已知矩阵 A 02 0 的一个特征值是 0 则 x （ ）1 0 xA.1B.2C.0D.31 09.与A02 1 相似的对角阵是（）0 1 21111A.Λ1B.Λ2C. Λ1 D. Λ 1 333 410. 设 A 为 3 阶方阵 A 的特征值为 1 0 3则A 是（）A. 正定B.半正定C.负定D. 半负定参考答案 : 1. C 2. C3. C4. B5. C6. D7. C8.A 9.A 10.B1. 设 A B 都是 n 阶方阵A. 若|A| 0 则A Ok 是一个数 B. |kA|则下列（|k| |A |）是正确的。
《线性代数》复习题1
《线性代数》复习题一、判断题1、四阶行列式中含因子2311a a 的项为42342311a a a a 和44322311a a a a 。
（ ）2、设D 为六阶行列式，则162534435261a a a a a a 是D 中带负号的项。
（ ）3、排列()3211 -n n 的逆序数为n 。
（ ）4、排列()3211 -n n 为偶排列。
（ ）5、若22B A =，则B A =或B A -=。
（ ）6、若AC AB =，0≠A ，则C B =。
（ ）7、若矩阵A 满足A A =2，则0=A 或E A =。
（ ） 8、设A 是n 阶方阵，若0≠A ，则必有A 可逆。
（ ） 9、若矩阵A 满足02=A ，则0=A 。
（ ）10、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111---=B A AB 。
（ ）11、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111---+=+B A B A 。
（ ）12、设A ，B 为n 阶方阵，则必有B A B A +=+。
（ ） 13、设A ，B 为n 阶方阵，则必有BA AB =。
（ ） 14、若矩阵A 与B 等价，则B A =。
（ ）15、设n m A ⨯，n m B ⨯为矩阵，则()()()B R A R B A R +≤+。
（ ） 16、设A =0，则()0=A R 。
（ ）17、线性方程组0=⨯X A n n 只有零解，则0≠A 。
（ ） 18、若b AX =有无穷多解，则0=AX 有非零解。
（ ）19、要使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→2111ξ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=→0112ξ都是线性方程组0=AX 的解，则系数矩阵A 可为()111-k 。
（ ）20、若n ，，，ααα 21线性无关，且02211=+++n n k k k ααα ，则021====n k k k 。
（ ）21、单独的一个零向量是线性相关的。
（ ）22、一个向量组若线性无关，则它的任何部分组都线性无关。
（ ）24、若向量组有一个部分向量组线性无关，则原来的向量组也线性无关。
《线性代数复习资料》第一章习题答案与提示
c2 2b2 a2
3a2
c3
a1
2b3 a3 18 ，则 a2
3a3
a3
b1 c1
b2 c2 的
b3 c3
A.3
B.－3 C. 6
D.－6
11.若
2x ky kx 2y
c1 c2
(c1 c2 0)
有唯一解，则k满足( D
).
A.k=0
B.k=－2或k=2
C.k≠－2或k≠2 D.k≠－2且k≠2
( A ).
A.10d B.15d C.－10d D.－15d
D1 第一列乘３加到第二列，乘４加到第三列
a1 2a2 5a3
a1 a2 a3
D1 b1 2b2 5b3 1 (2) 5 b1 b2 b3 10d
c1 2c2 5c3
c1 c2 c3
c1
10. 若 2b1 a1
3a1
值为 ( A ).
1234
8.若 5
0
6 0
7 x
8 3
0，则x=
12 5
.
0045
1234 5 6 7 8 1 2x 3
0 0 x 3 5 64 5 0045
三、计算题
2 3 11 5
4 1 1 2
1.计算行列式 D1
1 2
1 1
5 3
2 4
和 D2
3 2
1 3
2 5 .
41
11 3 4
1 2 11
10
A. 零元素最多为 n 1 个，即必有一行元全为零。
C. 列等和行列式，把各行加到第一行，则第一 行全为零。
D.反例
0 1
1 1
0
0001
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《线性代数D 》复习题一、选择题1． 设)(x f ＝xx x x x x x 434201201432-，则多项式)(x f 的次数为( )(A)4 (B)3 (C)7 (D)102．设a 为常数，n D ＝ij a 为n 阶矩阵 A 的行列式，则aA =( )(A) a n D (B)|a |n D (C)na n D (D)nan D3．000000000121ΛΛM M M M ΛΛnn a a a a ----＝( ) (A) n a a a Λ21- (B) n na a a Λ21)1(-(C) n a a a Λ21 (D) n n n a a a Λ212)1()1(+-4．若A ，B 为同阶方阵，且满足AB ＝O ，则有（ ） （A ）A ＝0或B ＝0 （B ）|A |＝0或|B |＝0 （C ）(A ＋B )2＝A 2＋B 2（D ）A 与B 均可逆5．若由AB =AC （A ，B ，C 为同阶方阵）能推出B =C ，则A 满足（ ） （A ）A ≠O （B ）A ＝O （C ）|A |≠0 （D ） |AB |≠0 6．若A ，B 为同阶方阵，则有（ ）（A ）(AB )k＝A kB k（B ）|-AB |＝－|AB | (C ）E 2－(AB )2＝（E －AB ）（E ＋AB ) （D ）|A ＋B |＝|A |＋|B | 7．已知A 为n 阶方阵，若有n 阶方阵B 使AB ＝BA ＝A 则（ ） （A ）B 为单位矩阵（B ）B 为零方阵（C ）B1-＝A （D ）结论不确定8．若A ，B 为同阶方阵，且AB ＝BA ，则（ ） （A ）（BA ）T＝B TA T（B ）BA 1-＝AB1-（C ）BA T＝AB T（D ）B 1-A =AB 1-9．若A ，B ，(B1-+A1-)为同阶可逆方阵，则(B 1-+A1-)1-＝（ ）（A）B1-+A1-（B）B＋A （C）(B+A)1-（D）B(B+A)1-A10．设向量组α1，2，3线性无关，则下列向量组线性相关的是（）。
(A) α1+2，2+3，3+1 (B) α1，α1+2，1+2+3(C) α1-2，23，31 (D) α1+2，22+3，33+ 111．向量组α1，2，…， s线性无关的充分条件是 ( )(A) α1，2，…， s均为非零向量。
(B) α1，2，…， s中任意两个向量的分量不成比例。
(C) α1，2，…， s中有一个部分组线性无关。
(D) α1，2，…， s中任意一个向量不能被其余向量线性表示。
12．设A为n阶方阵，且R(A) = r < n，则A中( )(A) 必有r个行向量线性无关。
(B) 任意r个行向量线性无关。
(C) 任意r个行向量构成一个最大无关组。
(D) 任意一个行向量都能被其它r个行向量线性表示。
13．设A是4阶矩阵，且A的行列式A=0，则A中 ( )(A) 必有一列元素全为0。
(B) 必有两列元素对应成比例。
(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合。
(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合。
14．设α1，2，…， m均为n维向量，则下列结论正确的是 ( )(A) 若k1α1+ k22+…+ k m m=0，则α1，2，…， m线性相关。
(B) 若对任一组不全为零的数k1， k2，…， k m，都有k1α1+ k22+…+ k m m≠0，则α1，2，…， m线性无关。
(C) 若α1，2，…， m线性相关，则对任一组不全为零的数k1， k2，…， k m，都有k1α1+ k22+…+ k m m=0。
(D) 0α1+02+…+0 m=0，则α1，2，…， m线性相关。
15．设齐次线性方程组Ax = 0的系数矩阵A为m⨯n矩阵，R(A)= r(r ≠ n)，则此方程组的基础解系中含有解向量的个数为 ( )。
(A) m-r； (B) r-n； (C) n-r； (D) m-n。
16．设Ax = 0是与非齐次方程Ax = b对应的齐次方程，则下列结论正确的是 ( )。
(A) 若Ax = 0仅有零解，则Ax = b一定有唯一的解。
(B) 若Ax = 0有非零解，则Ax = b一定有无穷多个解。
(C) 若Ax = b有解，则Ax = 0一定有非零解。
(D) 若Ax = b有无穷多个解，则Ax =0也一定有无穷多个解。
17．设1，2，3，4是齐次线性方程组Ax = 0的基础解系，则下列向量组中为Ax = 0基础解系的是 ( )。
(A) 1+2，2+3，3+4，4+1。
(B) 1，1+2，2+3，3+4。
(C) 1，2，1+2，1+3，1+4。
(D) 1 + 2，12，2+ 3 4，2 3 +4。
18．设A为m⨯n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax = 0仅有零解的充分条件是 ( ) (A) A的列向量线性无关；(B) A的列向量线性相关；(C) A的行向量线性无关；(D) A的行向量线性相关。
19． 设n 元齐次线性方程组Ax = 0的系数矩阵A 的秩为r ，则Ax =0有非零解的充分必要条件是 ( )(A ) r = n ；(B ) r ≥ n ；(C ) r < n ；(D ) r > n 。
20． 要使1=(1,0,2)'和2=(0,1,-1)'都是一个齐次线性方程组的解，则此齐次线性方程组的系数矩阵A = ( )(A ) (2,1,1)；(B )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110102；(C ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--110201；(D )⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---110224110。
21． 设A 为n 阶可逆方阵，λ是A 的一个特征值，则A 的伴随矩阵A *的特征值之一是 。
(A) λ-1|A |n ； (B) λ-1|A | ； (C) λ|A |； (D) λ|A |n。
22． 设三阶方阵A 有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P 1，P 2，P 3，令P ＝(P 1，P 2，P 3)，则P -1AP ＝ 。
(A)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000010001； (B)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000001－； (C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010000－；(D)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010000。
23． n 阶方阵A 与某对角矩阵相似，则 。
(A) R (A )=n ； (B) A 有n 个不同的特征值；(C) A 是实对称阵； (D) A 有n 个线性无关的特征向量。
24． 已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛x 123022－有一个特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛35－，则x = 。
(A) －18； (B) －16； (C) －14； (D) －12。
25． 下列二阶方阵中与对角矩阵相似的是 。
(A) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5411－； (B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5141； (C) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0011； (D) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2110－。
26． 设A 为幂等矩阵(即A 2＝A )，则A 的特征值是 。
(A) 只能是0； (B) 只能是1；(C) 只能是0与1； (D) 以上说法都不对。
27. 零为方阵A 的特征值是A 不可逆的 。
(A) 充分条件 (B) 必要条件(C) 充要条件 (D) 非充分、非必要条件。
28． 设λ1与λ2是矩阵A 的两个不同的特征值，ξ，η是A 的分别属于λ1，λ2的特征向量，则 。
(A) 对任意k 1≠0，k 2≠0，k 1ξ+k 2η是A 的特征向量；(B) 存在常数k 1≠0，k 2≠0，使k 1ξ+k 2η是A 的特征向量； (C) 当k 1≠0，k 2≠0时，k 1ξ+k 2η不可能是A 的特征向量；(D) 存在唯一的一组常数k 1≠0，k 2≠0，使k 1ξ+k 2η是A 的特征向量。
29． 设λ是n 阶矩阵A 的特征值，且齐次线性方程组(A －λE )x = 0的基础解系为η1与η2，则A 的属于λ的全部特征向量是 。
(A) η1和η2(B) η1或η2(C) k1η1＋k2η2 (k1, k2为任意常数)(D) k1η1＋k2η2 (k1, k2为不全为零的任意常数)30．设λ1，λ2为A的两个不同的特征值，α和β为A的分别属于λ1与λ2的特征向量，则有α与β是。
(A) 线性相关 (B) 线性无关(C) 对应分量成比例 (D) 可能有零向量。
31．矩阵A与B相似，则。
(A) |A－λE| = |B－λE| (B) A－λE = B－λE(C) A与B与同一对角阵相似(D) 存在正交阵P，使得P－1AP＝B32．实二次型f＝x Ax为正定的充分必要条件是。
(A) R(A) = n； (B) A的负惯性指数为零；(C) |A| > 0 ； (D) A的特征值全大于零。
33．设A是一个三阶实矩阵，若对任一3维列向量x，都有x Ax＝0，则。
(A) |A|＝0； (B) |A| >0 ； (C) |A| <0； (D) 都不对。
34．设A、B均为n阶方阵，x＝(x1，x2，…，x n)，且x A x＝x Bx，当时，A＝B。
(A) R(A)＝R(B)； (B) A与B等价；(C) A与B相似； (D) A＝A且B＝B。
35．以下命题正确的是。
(A) 如果n阶方阵A的顺序主子式都大于零，则A是正定矩阵；(B) 如果n阶方阵A的特征值都大于零，则A是正定矩阵；(C) 如果n阶实对称矩阵A的主对角线元素都大于零，则A是正定矩阵；(D) 如果n阶实对称矩阵A的主对角线元素不都大于零，则A一定不是正定矩阵。
36．设A、B为n阶正定矩阵，则是正定矩阵。
(A) k1A＋k2B； (B) A*+B*； (C) A－1－B－1； (D) AB。
37．下列各式是二次型的。
(A) x12－2x22＋x32－4x1x2＋2x1x3＋6 x2x3－2；(B) 2x12－2x22－2x32＋x1x2－x2x3＋x1＋x2－x3；(C) x1x2－x1x3＋x2x3－x2x4；(D) x12－2x1x2＋x22－x32＝0；38．以下二次型中是正定二次型的为。
(A) x12－x22＋x32＋2x1x2＋4x1x3＋6 x2x3；(B) 2x1x2－4x1x3＋2x2x3；(C) x12＋x22＋x32－4x1x2；(D) x12＋x22＋x32＋x1x2＋x2x3；39．任一个n阶矩阵都存在对角矩阵与它。
(A) 合同； (B) 相似； (C) 等价； (D) 以上都不是。
40．n阶实对称矩阵A正定的充要条件是。
(A) 对于任意的分量全不为0的列向量x，有x Ax>0；(B) A不是负定的；(C) A的k阶子式都大于0(k＝1，2，…，n)；(D) 存在可逆矩阵U，使A＝U U。
二、填空题1．00000000000dc b a ＝ . 2． 在５阶行列式5D 中，包含5D 前两行的二阶子式共有 个 .3． 如果121013c b a ＝１，则111425333---c b a ＝ .4． 若a a D ij n ==，则ij a D -=＝ .5． 行列式1000000001999000199800020001000ΛΛΛMM M NM M ΛΛ＝ . 6． 已知)(x f ＝60000000000002000230023402345x x x x x --，则5x 的系数为 . 7． 设4D ＝cdb aa cb d ad b cd c b a ，则44342414A A A A +++＝ . 8．设A 为二阶方阵，B 为三阶方阵，且│A │＝B 1＝21，则)2(01--A B＝ . 9．设A 为四阶可逆方阵，且│A1-│＝2，则│3(A *)1-－2A │＝ .10．设A 为n 阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，31=A ，则*115)41(A A --＝ .11．设3阶方阵Ｂ≠0，A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛35342531t ,且AB =0，则t ＝ .12．设A ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛543022001，A *为A 的伴随矩阵，则(A *)1-= .13．设A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1100210000120025，则│A │＝ ，A 1-＝ 。