陈维桓 微分几何教学大纲
《微分几何》课程教学大纲
一、课程基本信息
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二、课程内容及基本要求
第一章为预备知识。要求学生掌握标架、向量函数的概念，及常用的公式与性质定理。
第二章介绍空间曲线的基本理论与研究方法。了解曲线的参数化，正则曲线，弧长的概念。会熟练地计算曲线的曲率、挠率。掌握运用Frenet标架和Frenet公式研究空间（或平面）曲线的几何性质的基本方法。了解曲线论基本定理的内容和证明方法。
第三章介绍曲面的第一基本形式。掌握参数曲面、正则曲面、切平面、法线和切向量的概念。能熟练计算曲面的第一基本形式，第一类基本量。了解参数曲线网、正交曲线网、保长（等距）对应、保角（共形）对应的概念。掌握可展曲面的定义和分类定理。
第四章介绍曲面的第二基本形式。能熟练计算曲面的第二基本形式，第二类基本量。掌握法曲率、高斯映射和Weingarten变换的概念。了解渐近方向、主方向、主曲率和欧拉公式。能计算曲面的主曲率，确定对应的主方向。了解Dupin标形和曲面的局部近似形状。了解常曲率旋转曲面和极小旋转曲面。
第五章介绍曲面论基本定理。了解曲面的Gauss-Codazzi方程。会计算Christoffel符号和Riemann 曲率。了解曲面论基本定理的内容。掌握Gauss定理的内容及其应用。
第六章介绍曲面上的测地曲率和测地线。掌握测地曲率、测地挠率的概念，计算测地曲率的Liouville 公式。了解测地线的局部短程性、测地平行坐标系和测地极坐标系，运用测地坐标系证明具有相同常曲率的曲面相互等距。了解切向量沿曲面上一条曲线平行移动的概念。掌握Gauss-Bonnet公式的内容。
三、学时分配表：
四、课程教学的有关说明
要求学生课前预习，认真完成课外作业。
每周安排一次课外答疑时间。
在授课过程中，对部分较容易理解的内容开展几次讨论和课堂报告，培养学生的自学能力。
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南昌大学课程教学进度表
(2006—2007学年第二学期适用)
任课教师在每学期开课前根据教学大纲编写“课程进度表”，经教研室讨论在开学后一周内发至学生班级，并送学生所在系一份。
学院：理学院系：数学系任课教师：黎镇琦
性别：男年龄：58 职称：教授
学历：博士所学专业：基础数学任课班级：数学系061班课程名称：微分几何
系主任签字：
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微分几何陈维桓新编习题答案
习 题答案2 p. 58 习题 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是 2221u x u v =++，2221 v y u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设(,)r u v Op '=u u u v v . 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得 (1)Op tOp t ON '=+-u u u v u u v u u u v . (1) 由于21Op ON =='u u u v u u u v ，222u v Op =+u u v ，0Op ON '?=u u u v u u u v ，0t ≠，取上式两边的模长平方， 得222/(1)t u v =++. 从而 22222222221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++?? ，2(,)u v ∈R . (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-u u u v u u u v u u u v v ， 又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+v ， 22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =-+-=--=-≠v v . (3) 因此(,)r r u v =v v 给出了2\{}S N 的正则参数表示. (2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有 (1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+-=-u u u v u u v u u u v ，222/(1)t u v =++， 22222222221(,,),,111u v u v r x y z Op u v u v u v ??--'=== ?++++++??u u u v ，2(,)u v ∈R . (4) 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =-+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =-+v ， 22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =-+=-=≠v v . (5) 因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示. (3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为 22u u u v =+，22 v v u v =+. (6) 由(3)和(5)可知
微分几何课程教学大纲
“微分几何”课程教学大纲 英文名称： 课程编号： 学时：学分： 适用对象：理学院数学各专业本科生（二年级下） 先修课程：数学分析、高等代数与几何 使用教材及参考书： 陈维恒著，《微分几何初步》，北大出版社 梅向明著，《微分几何》 虞言林著，《微分几何》 一、课程性质、目的和任务 本课程主要介绍维芡氏空间中曲线和曲面的经典局部理论，使学生树立正确的几何观念，为进一步学习现代数学和物理提供基础和背景。 二、教学基本要求 本课程要求学生建立正确的几何概念、掌握描述和刻划曲线及曲面形状的方法和手段，会进行初步的曲率计算，并能理解绝妙定理的重要意义。 三、教学内容及要求 第一章预备知识 标架 向量值函数 第二章曲线论 参数曲线 曲线的弧长 曲线的曲率和标架 挠率和公式 曲线论基本定理 曲线在一点的标准展开 平面曲线 重点掌握：曲线的标架及公式 第三章曲面的第一基本形式 曲面的定义 切不面及切向量 曲面的第一基本形式 曲面上正交参数曲面网的存在性 保长对应和保角对应 可展曲面 重点掌握：第一基本形式的定义，计算及作用，可展曲面的三种基本形式。 第四章曲面的第二基本形式 第二基本形式 法曲率 映射和映射 主方向和主曲率的计算 标形和曲面在一点的近似展开 某些特殊曲面。
重点掌握：第二基本形式的定义，法曲率、主曲率、曲率、中曲率的计算。第五章曲面论基本定理 自然标架的运动公式 曲面一唯一性定理 曲面论基本议程 曲面的存在定理 定理。 重点掌握：自然标架的运动公司，曲面基本议程，曲率的内在计算（定理）。第六章测地曲率和测地线 测地曲率和测地挠率 测地线 测地坐标系 常曲率曲面 向量场的平行移动 公式 重点掌握：测地曲率的定义和测地线议程，平行移动和协变微分。 大纲制定者：李洪军执笔 大纲审定者：陈红斌 大纲批准者：张胜利 大纲校对者：李洪军 “数学分析”课程教学大纲 英文名称： 课程编号： 课程类型：必修课 学时：学分： 适用对象：理学院数学各专业一、二年级本科生 先修课程：高中数学 使用教材及参考书： ．陈传璋等，《数学分析》，高等教育出版社。 ．张筑生主编，《数学分析新讲》，北京大学出版社，年
微分几何课程大纲
《微分几何》课程大纲 一、课程简介 教学目标：经典曲线曲面论、少量的整体微分几何与二维内蕴几何学 主要内容：（见教学内容） 二、教学内容 第一章曲线的局部理论 主要内容：平面曲线与空间曲线的曲率、空间曲线的绕率、Frenet标架、曲线论基本定理、n维空间的推广 重点与难点：空间曲线的绕率、曲线论基本定理 第二章曲线的整体几何 主要内容：旋转数，旋转指标定理、凸曲线 重点与难点：旋转指标定理及其应用 第三章曲面的局部理论（外在形式） 主要内容：第一基本形式、第二基本形式、主曲率、高斯曲率、平均曲率、结构方程重点与难点：结构方程与曲面论基本定理 第四章曲面的局部理论（内在形式） 主要内容：向量场、共变导数、平行移动、测地线 重点与难点：共变导数和平行移动 第五章二维黎曼几何 主要内容：局部黎曼几何、切丛、指数映射、测地极坐标、Jacobi场、流形 重点与难点：指数映射和Jacobi场 第六章曲面的整体几何 主要内容：Gauss-Bonnet定理、完备性、共轭点和曲率、闭测地线和基本群 重点与难点：Gauss-Bonnet定理和共轭点 三、教学进度安排（抱歉这个目前还安排不了） 可以参照以下表格形式 教学内容教学形式作业 第一周 第二周
四、课程考核及说明 平时成绩与口试相结合的方式。平时20%，口试80%。 五、教材与参考书 Wilhelm Klingenberg， A Course in Differential Geometry Manfredo P.Do Carmo，Differential Geometry of Curves and Surfaces 陈维桓，微分几何
高斯曲率的意义与作用
高斯曲率的意义与作用 1引言 在曲面论中,应用较多的是高斯曲率．高斯曲率是微分几何学发展的里程碑，开创了微分几何学的一个新纪元．正是高斯这一伟大发现启发我们对于抽象的曲面进行研究，也就是对于只给定第一基本形式的曲面研究其几何性质．同时高斯定理说明，曲面的度量性质本身蕴含着一定的弯曲性质，这是曲线所不具有的特点． 2 预备知识 2.1 主曲率 2.1.1 主曲率的定义 [1](99) p 曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在此点的主曲率. 由于曲面上一点处的主方向是过此点的曲率线的方向，因此主曲率也就是曲面上一点处沿曲率线方向的法曲率． 2.1.2 主曲率的计算公式 主曲率满足 0N N N N L k E M k F M k F N k G --=-- 即 222()(2)()N N EG F K LG MF NE K LN M ---++-=[1](102)0p 2.1.3 有关主曲率的一个命题 [1](102) p 曲面上的一点（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率的最大值和最小值. 2.2 高斯映射（球面表示） 设σ是曲面S ：(,)r r u v =r r 上一块不大的区域，另外再做一个单位球面．现在建立σ中的点和 单位球面的点的对应关系如下：σ中任取一点(,)P u v =，作曲面在P 点处的单位法向量 (,)n n u v =r r ，然后把n r 的始端平移到单位球的中心，则n r 的另一端点就在单位球面上，设该点为P '，这样对于曲面的小区域σ中的每一点(,)r u v r ，(,)u v σ∈与球面上向径为(,)n u v r 的点对应．因此， 曲面上所给出的小区域σ表示到单位球面的对应区域* σ上．也就是说，建立了曲面的小区域σ到单位球面上区域* σ的对应.我们把曲面上的点与球面上的点的这种对应称为曲面的球面表示，也称
微分几何 陈维桓 习题答案
习题答案2 p. 58 习题3.1 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是 2 221u x u v =++，2221 v y u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设(,)r u v Op '=v . 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得 (1)Op tOp t ON '=+-u u u v u u v u u u v . (1) 由于21Op ON =='u u u v u u u v ，222 u v Op =+u u v ，0Op ON '?=u u u v u u u v ，0t ≠，取上式两边的模长平方， 得222/(1)t u v =++. 从而 22222221 (,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++u u u v 22222222 221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++?? ，2 (,)u v ∈R . (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-u u u v u u u v u u u v v ， 又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+v ，
常微分方程教学大纲
《常微分方程》课程教学大纲 课程代码： 090131009 课程英文名称：Ordinary Differential Equations 课程总学时：48 讲课：48 实验：0 上机：0 适用专业：信息与计算科学 大纲编写（修订）时间：2017.11 一、大纲使用说明 （一）课程的地位及教学目标 本课程是信息与计算科学专业的一门专业基础课，通过本课程的学习，可以使学生获得关于常微分方程的基本理论知识，掌握普通的线性微分方程的求解办法，为对非线性微分方程的求解打下一定的基础，同时，使学生能够简单地利用数学手段去研究自然现象和社会现象，或解决工程技术问题, 是进一步学习偏微分方程、微分几何、泛函分析等后继课程的基础。 通过本课程的学习，学生将达到以下要求： 1. 掌握一阶线性微分方程的初等解法及理论、高阶线性微分方程的解法及理论，线性微分方程组理论，着重培养学生解决问题的基本技能。 2. 熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。 （二）知识、能力及技能方面的基本要求 1.基本知识：要求学生掌握一阶微分方程的初等解法；一阶微分方程解的存在唯一性定理、解对初值的连续性和可微性定理及解的延拓；高阶微分方程理论、常系数线性微分方程的解法、以及高阶微分方程的降阶和幂级数解法；求矩阵指数，求解常系数线性微分方程组；非线性微分方程的稳定性、V函数方法。 2.基本理论和方法：掌握一阶和高阶线性微分方程以及方程组的求解方法，理解解的存在唯一性定理及解的延拓、解对初值的连续依赖定理等理论，并能应用到具体的证明题中。了解非线性微分方程的基本理论，会对稳定性等做出讨论。培养学生逻辑推理能力和抽象思维能力；对微分方程的建模、求解的分析能力；利用微分方程理论解决实际问题的能力。 3.基本技能：使学生获得求解一阶和高阶微分方程、线性微分方程组的运算技能。 （三）实施说明 1．教学方法：课堂讲授中要重点对基本概念、基本方法和解题思路的讲解；采用启发式教学，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力；引导和鼓励学生通过实践和自学获取知识，培养学生的自学能力；讲课要联系实际并注重培养学生的创新能力。 2．教学手段：本课程属于专业基础课，在教学中采用多媒体教学系统等先进教学手段，以确保在有限的学时内，全面、高质量地完成课程教学任务。 （四）对先修课的要求 本课程的教学必须在完成先修课程之后进行。本课程主要的先修课程有数学分析3、高等代数2。 （五）对习题课、实践环节的要求 1. 至少两章安排一次习题课，总学时在6学时左右。 2. 习题课的教学内容要配合主讲课程的教学进度，由老师和同学在课堂上通过讲、练结合的方式进行。主讲教师通过批改学生的作业，将作业情况反馈给学生，要补充有一定难度和综合度的练习题，以拓宽同学们的思路。
(整理)《微分几何》陈维桓第六章习题及答案.
§ 6.1 测地曲率 1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。 证明： 设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()} r f v u f v u g v =， 22222 ()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++， 222(),()() E f v G f v g v ''==+ 纬线即u —曲线：0 v v =（常数）， 其测地曲率为2 u g k == =为常数。 2、 证明：在球面S (cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =， ,0222 u v ππ π- <<<< 上，曲线 C 的测地曲率可表示成 ()()sin(())g d s dv s k u s ds ds θ=- ， 其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程， s 是曲线C 的弧长参数， ()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲
线）之间的夹角。 证明 易求出2 E a =, 0 F =,2 2 cos G a u =, 因此 g d k ds θθθ= 221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ?=+? sin sin cos d u ds a u θθ= -， 而1sin cos dv ds a u θθ ==， 故 sin g d dv k u ds ds θ= -。 3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是 ()()()()()())g k Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-， 其中s 是曲线C 的弧长参数，2 g EG F =-， 并且 12 112 11 12 22 (())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ， 2222 2111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ 特别是，参数曲线的测地曲率分别为 2 3 11(())u g k u s '，1322(()) v g k v s '= 。 证明 设曲面S 参数方程为12(,)r r u u =，1122:(),()C u u s u u s ==
第四版微分几何期末复习总结
( )2 211 22222222221212u u 2222221u u 1.I I du sinh udv ,u=v u=v I du sinh udu =+sinh u du =cos h udu ,u=v A(u ),B(u )u 求曲率和挠率.（1）题1=解:求，，，，，，，，，/()（2）题2 ={}{ }{ }1212223123322112212222 ).r ),r r (1+t ),r 6a 0,6a ,(r r r )=216a k 1/[3a(1+t )],=k;(3).r a cos ,asin ,b k,;,,.r r r absin ,ab cos ,a ,r r k a /(a b ), =b /(a τθθθταβγθθτ?=?==-?=?=?=-?=?=++解：...，，，题3求圆柱螺线=的解：...{ }{ }{}1 2 1 1 12121 112121112b );=r /r -asin ,a cos ,b ,=(r r )/r r bsin ,b cos ,a =[(r r )r -(r r )r ]/[r r r ]cos ,-sin ,0. αθθγαβ θθβθθ=??=?=-????=-切向量, 主法u 222u u u uu u u uu u 3.(1) 1.r {(u)cos ,(u)sin ,(u)},(u)0,r ,r E=r r ='+',F=r r =0,G=r r r ,r ,r n [r r ]/L=n r =-[''''M=n r 0,N=n r [']/θθθθθθθθθθθ?θ?θψ??ψ??ψ?ψ?ψ =>?? ??== ?=? ?-?=?=题求的高斯曲率和平均曲率.解：求求23/2121222212xOz x=(z)z (u)u L=-M 0,N=F=M 0k L/E ''/[(1')],k N/G 1/[k k k -''/[(1')];H k +k '''(?ψ???????????==? ====-+==?==+-取平面上最初的曲线为得因为，所以旋转面的坐标曲线为曲率线，并且主曲率为高斯曲率平均曲率为=[1/2]()=[1+]/[223/222N T N N N N 222222*********')(2).r ucosv usinv bv k ,K,H.E=1,F=0,G=u +b ;L=0,L k E,M k F;M k F,N k G]0K b /[u +b ],K b /[u +b ];K K K b /[(u +b )],H [1/2](K +K )0..?+----=== -==- ==]. 题2 求正螺面={,,}的解:由题意得代入主曲率公式[解得（3）题3确定抛222200000T N N 12z a x +y .p ax q ay,r a,s 0,t a p q ,r a,s 0,t a E=1+p =1,F=pq=0,G=1+q 1,L=r /a M=s /N=t /a a-k ,0;0,a-k ]0K K ======?=====物面=()在（0,0）的主曲率解:由题意得=2,=222在(0,0)处=0,=022；2，，2代入主曲率公式得[22解得2a.“求主曲率，高斯曲率和平均曲率” 4.k 0k r 0,r =0r =a(),r a b,b =0r =0,r =a()s ττγαγγγ?? ?? ? ? ≡≡=≡+≡???证明的曲线是直线;0的曲线是平面曲线.证：已知因而，由此得到常向量再积分=其中也是常向量，即得证;若0,则是固定向量,但是我们已知，因而有积分后得常数，所以曲线在一个平面上。
微分几何练习题库及参考答案(已修改)..
《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42r()d =1,2,3t t -?， {}6 4r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则4 6 22()()a r t dt+b a r t dt=?????{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 0()d f g dt dt ?=? 4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2c o s ,2c o s ,2c o s t t t t v t u t +-+． 23．已知{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ?θ?θ?θ?=，其中t =?，2t =θ，则
微分几何教学大纲
6．课程教学方法与手段： 传统教学方式结合多媒体教学。 7．课程考核方式与要求： 考查 8．实践教学内容与安排： 在1、3、4、5、6、7部分安排时间开展学生间及师生间讨论和答疑。 二、教学内容纲要 曲线论（24学时） （一）向量代数复习（8学时） 1、教学目的与要求 熟练掌握向量的基本运算：加、减、数积和向量积及其性质。 熟练掌握向量函数的微积分运算，掌握具有特殊条件的向量函数的性质。 2、主要内容 （1）向量函数的极限。 （2）向量函数的连续性。 （3）向量函数的微商。 （4）向量函数的Taylor展式。 （5）向量函数的积分。 3、教学重点与难点 向量的基本运算及其性质，向量函数的微积分学，基本运算及其性质。 （二）曲线的概念（6学时） 1、教学目的及要求。 掌握曲线的基本概念。 理解曲线的切线和法面的求法，掌握曲线的弧长，自然参数方程的意义。 2、主要内容。 （1）曲线的基本概念。 （2）光滑曲线，曲线的正常点。 （3）曲线的切线和法面。 （4）曲线的弧长，自然参数的引进。 3、教学重点与难点 基本概念及其几何意义，切线、法面、弧长的计算。 （三）空间曲线（10学时） 1、教学目的及要求。
掌握曲线的密切面、基本三棱形。 掌握曲率、挠率等概念并会其求法。 理解、会用Frenet公式、曲线的局部结构和基本定理。 掌握平面曲线论的基本概念与理论及其与空间曲线的区别。 了解一般螺线和Bertrand曲线的基本特征。 2、主要内容 （1）空间曲线的密切面。 （2）空间曲线的基本三棱形。 （3）空间曲线的曲率、挠率、Frenet公式。 （4）空间曲线的局部结构。 （5）空间曲线的基本定理。 （6）一般螺线，Bertrand曲线。 3、教学重点与难点 密切面、曲率、挠率的计算，Frenet公式的运用，曲线的局部结构和基本定理的理解。 平面曲线的结构和基本定理，一般螺线和Bertrand曲线的基本特征。 曲面论（30学时） （一）曲面的概念（6学时） 1、教学目的及要求 熟练掌握简单曲面及其上面曲线族（网）的特征。 会求曲面的法线、切面等。 2、主要内容 （1）简单曲面及其参数表示. （2）曲面的法线、切面。 （3）曲面上的曲线（族）网。 3、教学重点与难点 简单曲面及其上面曲线族（网）的特征，曲面的法线、切面的求法等。 （二）曲面的第一基本形式（10学时） 1、教学目的及要求 掌握曲面的第一基本形式。 掌握曲面上曲线的弧长、两相交曲线的交角、曲面域面积的计算。 理解正交轨线和正交曲线族的概念和意义。 了解等距、等角变换等。 2、主要内容 （1）曲面的第一基本形式，曲面上曲线的弧长。
选课指南(2015级)
复旦大学数学学院 学生选课指南 (自2015年新生开始) Version 1：2015/7/3 选课是大学和中学最大的不同之一，学生在大学学习阶段需要在一定的范围内自己决定学什么课程，这对习惯中小学按学校安排课程学习的学生来说经常会面临选择困境。从2015年开始，数学学院对教学方案作了较大的调整，主要是增加了学生选课的自由度和灵活度，这自然增加了学生选课的难度，因此学院组织撰写选课指南帮助学生选课，请每个学生在选课之前仔细阅读。 大学数学课程的内容和难度都是中学数学不能比拟的，而且这个内容和难度随着年级的增加以很大的加速度增加，所以除了上课时间外，学生平均需要付出两三倍于上课的时间进一步学习巩固，留有足够多的思考时间对学好数学是非常重要的，不投入相当的时间精力是不可能学好任何一门数学课程的，肤浅地学一门数学是没有什么意义的。所以我们建议学生一个学期选的数学专业的课程应该在每周15个课时左右（注意是课时，不是学分，课时通常是大于等于学分的），不应超过18个课时。 A．数学学院毕业学分要求：共143学分
1. 通识课程：40学分。 2. 大类基础课：18 学分 数学分析AI，数学分析AII，大学物理B（上), 大学物理B (下)。 ** 学生也可以选大学物理A系列8个学分。 3. 专业必修课: 28学分 课程: 24学分. 数学分析III，高等代数I, 高等代数II，解析几何，抽象代数I，拓扑I(内容包括欧氏空间拓扑). ** 对于转专业学生，高等数学A(上、下)再加数学分析原理可以代替数学分析AI,AII,III. 毕业论文: 4学分. 按A,B,C,D方式给成绩, 申请A类成绩的学生需教师推荐, 递交论文并答辩. 4. 限定必修课：27学分 从下面12门课程中选9门(27个学分), 超过9门可以算成专业选修课: 常微分方程, 复变函数, 实变函数, 泛函分析, 概率论, 拓扑II, 微分几何, 基础力学, 数理方程, 抽象代数II, 数学模型，微分方程数值解. 5. 专业选修课: 15 学分, 从培养方案所列选修课程中选(信息与计算专业有课程要求), 通常是5门课程. 包括限定必修课中的课程. 6. 任意选修课: 15学分, 可选全校任意课程(包括数学学院专业选修课程). B．学生选课指导： 数学学院的学生需要修的数学课总数大约是：4门大类课程+6门专业必修+9门
2019年复旦大学微分几何教学大纲.doc
微分几何教学大纲 (Differential Geometry ) 课程代码318.022.1编写时间 课程名称微分几何 英文名称Differential Geometry 学分数3周学时3+1任课教师傅吉祥开课院系数学学院 预修课程 课程性质： 本课程是数学系基础数学与应用数学专业（相对于复旦大学）的必修 课。 基本要求和教学目的： 通过本课程的学习，学生应掌握曲线论与曲面论中的一些基本几何概 念与研究微分几何的一些常用方法。以便为以后进一步学习、研究现代几 何学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能 力。 课程基本内容简介： 本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的理论。主要内容有： 曲线论，内容包括：曲线的切向量与弧长；主法向量与从法向量； 曲率与扰率； Frenet 标架与 Frenet 公式；曲线的局部结构；曲线论的基 本定理；平面曲线的一些整体性质，如切线的旋转指标定理，凸曲线的几 何性质，等周不等式，四顶点定理与 Cauchy-Crofton公式；空间曲线的一 些整体性质，如球面的Crofton公式，Fenchel定理与Fary-Milnor定理。 曲面的局部理论，内容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋转 曲面、直纹面与可展曲面；曲面的第一基本形式与内蕴量；曲面的第二基 本形式；曲面上的活动标架与基本公式； Weingarten 变换与曲面的渐近线、 共扼线；法曲率；主方向、主曲率与曲率线；Gauss 曲率和平均曲率；曲 面的局部结构；Gauss映照与第三基本形式；全脐曲面、极小曲面与常 Gauss 曲率曲面；曲面论的基本定理；测地曲率与测地线；向量的平行移动。 曲面的整体性质初步，内容包括：曲面的整体表述；曲面上的Gauss-Bonnet 公式；向量场与孤立奇点的指标；球面的刚性；极小曲面中 的 Bernstein 定理；完备曲面与 Hopf-Rinow 定理。 教学方式 : 课堂授课 +习题课 教材和教学参考资料
微分几何陈维桓习题答案3
习题答案3 p. 148 习题4.1 1. 求下列曲面的第二基本形式： (1)√旋转椭球面：()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ?θ?θ?=； (2) 旋转椭圆抛物面：()2212 ,,()r u v u v =+； (3) 双曲抛物面：()(),(),2r a u v a u v uv =+-； (4)√一般柱面：()(),(),r f u g u v =；(5)√劈锥曲面：()cos ,sin ,()r u v u v f v =. 解. (1) ()cos sin ,cos ,0r a θ?θθ=-，()sin cos ,sin sin ,cos r a a b ??θ?θ?=--， ()cos cos cos ,cos sin ,sin r r a b b a θ???θ?θ??=，22(,)ππ??∈- )21cos cos ,cos sin ,sin sin n b b a a ?θ?θ?= . 又 ()cos cos ,sin ,0r a θθ?θθ=-，()sin sin ,cos ,0r a θ??θθ=-， ()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ???θ?θ?=-. 所以 222cos ab L b ?-=+，0M = ，N =， )222II cos d d ?θ?=+. (2) ()1,0,u r u =，()0,1,v r v =，(),,1u v r r u v ?=--，)2,,11n u v u =--+. ()0,0,1uu r =，0uv r =，()0,0,1vv r =，)22II 1du dv u v =++. (3) (),,2u r a a v =，(),,2v r a a u =-，()2,,u v r r a u v v u a ?=+--. 不妨设0a >. 则 )2,,22n u v v u a a v =+--++，0uu vv r r ==，()0,0,2uv r =， 4II adudv -=. (4) (),,0u r f g ''=，()0,0,1v r =，(),,0u v r r g f ''?=- ，)21,,0n g f f ''= -'+， (),,0uu r f g ''''=，0uv vv r r ==，2II =. (5) ()cos ,sin ,0u r v v =，()sin ,cos ,v r u v u v f '=-，()sin ,cos ,u v r r f v f v u ''?=-，
由《三体》曲率驱动联想到的曲率问题
龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/dd4492797.html, 由《三体》曲率驱动联想到的曲率问题 作者：吴禹谋 来源：《科技风》2018年第34期 摘要：几何学有着悠久的历史，至今仍然是最重要的数学学科之一。微分几何是几何学中一个以无穷小分析方法为特征的分支。著名的数学家高斯、黎曼、嘉当等人，都对微分几何学的发展做出过重大的贡献。另一方面，微分几何学也是现代物理学思想的重要源泉。曲率是微分几何学中的一个重要概念，在这篇论文中，我们尝试从数学与物理学两个角度，对这个概念做初步的探讨。 关键词：《三体》曲率驱动；曲率问题 1 曲率的数学直观认知 微分几何学是利用微积分的理论研究欧氏空间的几何性质的一个几何学分支。古典微分几何着重研究三维欧氏空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的欧氏空间——流形。微分几何学与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响。爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。 在这篇论文中，我们主要尝试从数学与物理学两个不同的角度，对微分几何学中的一个非常重要的概念——曲率，尝试做一个初步的探讨。我们的论文的结构如下，在这一节中，我们将主要从数学的角度去理解曲率这个概念。因为严格定义曲率，需要相当篇幅的多元微积分的预备知识作为基础，所以这里我们更强调的是一种数学的直观定义，这也反映出微分几何学这个学科——对图形直观性地强调——本身所蕴含的特性。关于曲率最严格准确的定义，我们推荐感兴趣的读者参看参考文献[1]。在下一节中，我们将会从物理学与工程技术的不同的应用 场景的角度，去探讨曲率这个概念，在其中所发挥的作用。从物理学的角度，我们尤其强调的是它在现代宇宙学中的作用，而在工程技术的角度，我们会去探讨它在地球物理勘探中的应用。最后的一节中，我们将基于前两节所讨论的曲率的理论层面的知识，来给出一个有趣的实验。 欧氏空间中的一个曲面上有两个重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何学里，一个中心的问题便是要探讨怎样判定曲面上的一条特定的曲线是这个曲面的一条测地线，此外也还需要讨论测地线的其他几何性质。另一方面，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。
微分几何陈维桓新编习题答案
习 题答案 2 p. 58 习题3.1 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是 2221u x u v =++，2221 v y u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设(,)r u v Op '=. 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得 (1)Op tOp t ON '=+-. (1) 由于21Op ON =='，2 22u v Op =+，0Op ON '?=，0t ≠，取上式两边的模长平方，得222/(1)t u v =++. 从而 22222222221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++??，2(,)u v ∈R . (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-， 又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+， 22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =-+-=--=-≠. (3) 因此(,)r r u v =给出了2\{}S N 的正则参数表示. (2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有 (1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+-=-，222/(1)t u v =++， 22222222221(,,),,111u v u v r x y z Op u v u v u v ??--'=== ?++++++?? ，2(,)u v ∈R . (4) 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =-+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =-+， 22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =-+=-=≠. (5) 因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示. (3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为 22u u u v =+，22 v v u v =+. (6) 由(3)和(5)可知
《微分几何》教学大纲
《微分几何》课程教学大纲 课程名称：《微分几何》 课程编码：074112303 适用专业及层次：数学与应用数学（本科） 课程总学时：72学时 课程总学分：4 一、课程的性质、目的与任务等。 1、微分几何简介及性质 微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形。微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。 2、教学目的： 通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。 3、教学内容与任务： 本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。重点让学生把握理解本教材的前二章。 二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求 第一章曲线论 教学要点： 本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对
空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题 教学时数：22学时。 教学内容： 第一节向量函数 1.1 向量函数的极限 1.2 向量函数的连续性 1.3 向量函数的微商 1.4 向量函数的泰勒（TayLor）公式 1.5 向量函数的积分 第二节曲线的概念 2.1 曲线的概念 2.2 光滑曲线、曲线的正常点 2.3 曲线的切线和法面 2.4 曲线的弧长、自然参数 第三节空间曲线 3.1 空间曲线的密切平面 3.2 空间曲线的基本三棱形 3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式 3.4 空间曲线在一点邻近的结构 3.5 空间曲线论的基本定理 3.6 一般螺线 考核要求： 1、理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（TayLor）公式和积分等概念，能
陈维桓微分几何教学大纲.
《微分几何》课程教学大纲 Differe ntial Geometry 理学院数学系 数学系数学与应用数学专业 、课程基本信息 课程编号 X55010005 课程名称 微分几何 先修课程 数学分析，解析几何，高等代数，常微分方程 课程类别 指导性选修课 选用教材 微分几何 陈维桓编著北京大学出版社2006年6月第一版 主要教学 参考书 吴大任，微分几何讲义，高等教育出版社 苏步青等，微分几何，高等教育出版社 微分几何是用数学分析为工具研究空间图形性质的数学分支，主要讨论光滑 曲线和曲面的性质。本课程主要为经典微分几何，包括少量整体微分几何和近代 微分几何，使学生既学会应用数学分析工具研究光滑曲线和曲面的经典方法和内 本课程 任务和 目的 容，又稍微了解近代方法和内容，为进一步学习近代数学各分支打下基础。 教学大纲制订 单位 理学院数学系 教学大纲制订时间 2009年1月 课程英文名称 总学时数 64 授课 学时 48 实践 学时 实验 学时 习题课 学时 16 开课单位 适用专业 设计 学时
、课程内容及基本要求 第一章为预备知识。要求学生掌握标架、向量函数的概念，及常用的公式与性质定理。 了解曲线的参数化， 正则曲线，弧长的概念。 会熟练 地计算曲线的曲率、挠率。掌握运用 Frenet 标架和Frenet 公式研究空间（或平面）曲线的几何性质的 基本方法。了解曲线论基本定理的内容和证明方法。 第三章介绍曲面的第一基本形式。掌握参数曲面、正则曲面、切平面、法线和切向量的概念。能熟 练计算曲面的第一基本形式，第一类基本量。了解参数曲线网、正交曲线网、保长（等距）对应、保角 （共形）对应的概念。掌握可展曲面的定义和分类定理。 第四章介绍曲面的第二基本形式。能熟练计算曲面的第二基本形式，第二类基本量。掌握法曲率、 高斯映射和 Weingarten 变换的概念。了解渐近方向、主方向、主曲率和欧拉公式。能计算曲面的主曲 率，确定对应的主方向。了解Du pin 标形和曲面的局部近似形状。 了解常曲率旋转曲面和极小旋转曲面。 第五章介绍曲面论基本定理。了解曲面的 Gauss-Codazzi 方程。会计算 Christoffel 符号和 Riemann 曲率。了解曲面论基本定理的内容。掌握 Gauss 定理的内容及其应用。 第六章介绍曲面上的测地曲率和测地线。 掌握测地曲率、测地挠率的概念，计算测地曲率的Liouville 公式。了解测地线的局部短程性、 测地平行坐标系和测地极坐标系， 运用测地坐标系证明具有相同常曲 率的曲面相互等距。了解切向量沿曲面上一条曲线平行移动的概念。掌握 三、学时分配表: 四、课程教学的有关说明 要求学生课前预习，认真完成课外作业。 每周安排一次课外答疑时间。 在授课过程中，对部分较容易理解的内容开展几次讨论和课堂报告，培养学生的自学能力。 第二章介绍空间曲线的基本理论与研究方法。 Gauss-B onnet 公式的内容。