直线与圆相交弦长问题教学内容
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二、直线与圆相交弦长问题
一、知识储备
性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d
|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2
＜r ；
性质2：由⎩
⎪⎨⎪
⎧
Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ＞0；
性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝⎛⎭⎫|AB |22＋d 2
＝r 2，
二、典例练习
[例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长；
(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． 解析：法一：
法二：
[练习]已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程．
解析：
[练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．
解析：
三、类题通法
求直线与圆相交时弦长的两种方法
(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，
弦长为|AB |，则有⎝⎛⎭⎫|AB |22＋d 2＝r 2
，
即|AB |＝2r 2－d 2.
(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直
线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝
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1＋1
k 2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)．
二、直线与圆相交弦长问题
一、知识储备
性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d |Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2
＜r ；
性质2：由⎩⎪⎨⎪⎧
Ax ＋By ＋C ＝0
(x －a )2＋(y －b )2＝r 2
消元得到一元二
次方程的判别式Δ＞0；
性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝⎛⎭⎫|AB |22＋d 2
＝r 2，
二、典例与练习
[例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长；
(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． [解] (1)法一：(几何法)如图所示，过点O 作OC ⊥AB .由已知条件得直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，
∴直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即x ＋y －1＝0. ∵圆心为(0,0)， ∴|OC |＝|－1|2＝2
2.∵r ＝22， ∴|BC |＝
8－⎝⎛
⎭
⎫222
＝302，∴|AB |＝2|BC |＝30.
法二：(代数法)当α＝135°时，直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即y ＝－x ＋1，代入x 2＋y 2＝8， 得2x 2－2x －7＝0.∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－7
2
，
∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|
＝
(1＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝30.
(2)如图，当弦AB 被点P 平分时，OP ⊥AB ，
∵k OP ＝－2，∴k AB ＝1
2，
∴直线AB 的方程为y －2＝1
2(x ＋
1)，即x －2y ＋5＝0.
[练习已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程．
解：设圆心坐标为(3m ，m )．∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |，∴圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |
2
＝2|m |.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1，∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.
[练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． [解] 法一：如图所示，由题设|AC |＝r ＝5，|AB |＝8，∴|AO |＝4.在Rt △AOC 中，|OC |＝ |AC |2－|AO |2
＝
52－42＝3.设点C 坐标
为(a,0)，则|OC |＝|a |＝3，
∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25，或(x －3)2＋y 2＝25.
法二：由题意设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝25. ∵圆截y 轴线段长为8，∴圆过点A (0,4)．代入方程得a 2＋16＝25，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋
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3)2＋y 2＝25，或(x －3)2＋y 2＝25. 三、类题通法
求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的
半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝⎛⎭⎫|AB |22
＋d 2＝r 2，即|AB |＝2
r 2－d 2.
(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝
1＋k 2|x 1－x 2|
＝1＋1
k
2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)．