2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (56)

2020高考数学模拟试题

（理科）

一、选择题（本大题共12小题）

1.已知集合，，则等于

A. B. C. D.

2.若复数z满足，i为虚数单位，则

A. B. i C. D. 2i

3.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的倍，为了更好地对比该校

考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：

则下列结论正确的是

A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少

B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了倍

C. 2015年与2018年艺体达线人数相同

D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加

4.黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大

部分的比值，其比值为，约为，这一比值也可以表示为，则

A. B. 1 C. 2 D.

5.已知函数，则函数的大致图象为

A. B.

C. D.

6.下列命题中，真命题是．

A. ，

B. ，

C. 的充要条件是

D. 若x，，且，则x，y至少有一个大于1

7.设，，，则a，b，c的大小关系为

A. B. C. D.

8.某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，

4，5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球．若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖．按照这样的规则摸奖，中奖的概率为

A. B. C. D.

9.已知函数在区间上单调递增，则实数t的取值范围为

A. B. C. D.

10.已知函数若直线l与曲线，都相切，则直线l的斜率为

A. B. C. D.

11.红海行动是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执

行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E、F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有

A. 240种

B. 188种

C. 156种

D. 120种

12.已知函数，若关于x的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数a的取值范围是

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题）

13.的展开式中常数项的系数为60，则______．

14.若，则满足不等式的m的取值范围为______．

15.在边长为1的等边三角形ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点，连接DE并

延长到点F，使得设，则______；______．

16.如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点的轨

迹方程是，则对函数有下列判断：

函数是偶函数；

对任意的，都有；

函数在区间上单调递减；

．

其中判断正确的序号是______ ．

三、解答题（本大题共7小题）

17.已知单位圆的内接的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若

Ⅰ求角B的大小；

Ⅱ若的面积为，求的周长．

18.已知，函数e为自然对数的底数．

Ⅰ当时，求函数的单调递增区间；

Ⅱ若函数在上单调递增，求a的取值范围．

19.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如

表：

x

050

Ⅰ请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；

Ⅱ将图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．

Ⅲ若，求的值．

20.某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该

水果每株的产量单位：和与它“相近”的株数x具有

线性相关关系两株作物“相近”是指它们的直线距离

不超过，并分别记录了相近株数为0，1，2，3，4时

每株产量的相关数据如下：

x01234

y15121198

求出该种水果每株的产量关于它“相近”株数的回归方程；

有一种植户准备种植该种水果500株且每株与它“相近”的株数都为，计划收获后能全部售出，价格为10元，如果收入收入产量x价格不低于25000元，则m的最大值是多少？

该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点直线的交点处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的边长和直角三角形的直角边长都为1m，已知该梯形地块周边无其他树木影响，若从所种的该水果中随机选取一株，试根据中的回归方程预测它的产量的分布列与数学期望．

附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．

21.已知函数．

Ⅰ当时，求的最小值；

Ⅱ若在区间有两个极点，，

求实数a的取值范围；

求证：．

22.在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为为参数在以O为极点，x轴正半轴为极

轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为

Ⅰ求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

Ⅱ设点，若直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．

23.已知函数，

Ⅰ若，求不等式的解集；

Ⅱ若函数为偶函数，此时的最小值为t，若实数a，b，c满足，证明：

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：，，

则，

故选：A．

求出集合M，N，利用集合的基本运算即可得到结论．

本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出对应的值域是解决本题的关键．2.【答案】C

【解析】解：由，得，

．

故选：C．

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用虚数单位i的运算性质求解．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的运算性质，是基础题．

3.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了柱状图，考查数据处理能力，属于基础题．

作差比较可得．

【解答】

解：设2015年高考考生人数为x，则2018年高考考生人数为，

由，故选项A不正确；

由，故选项B不正确；

由，故选项C不正确；

由，故选项D正确．

故选：D．

4.【答案】A

【解析】【分析】

根据已知利用同角三角函数基本关系式，诱导公式化简即可求值得解．

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

【解答】

解：，，可得：，

，，

．

故选：A．

5.【答案】B

【解析】解：因为，排除D，

又，排除C；

当时，，排除A；

故选：B．

本题可以用排除法，根据，，以及时的值即可排除A，B，D．

本题考查了函数的图象的判断，以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．属于基础题．

6.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查命题的真假判断，比较基础．

利用全称命题和特称命题的定义判断A，利用充要条件和必要条件的定义判断利用反证法证明D．

【解答】

解：A，根据指数函数的性质可知恒成立，所以A错误

B.当时，，所以B错误

C.若时，无意义，即必要性不成立，所以C错误

D.假设x，y都小于等于1，即，，所以与矛盾，所以假设不成立，所以D正确．

故选D．

7.【答案】B

【解析】解：由函数为减函数，可知，

由函数为增函数，可知，

即，

故选：B．

根据指数函数和幂函数的单调性即可求出．

本题考查了指数函数和幂函数的单调性，属于基础题．

8.【答案】C

【解析】解：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球，

每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，

并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；

若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球．

若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖．

按照这样的规则摸奖，中奖的概率为：

．

故选：C．

利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式直接求解．

本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

9.【答案】B

【解析】【分析】

先化简为，再根据正弦函数的增区间可解得．

本题考查了正弦函数的单调性．属中档题．

【解答】

解：依题意，

，

当时，因为在上单调递增，且在上单调递增，

所以，即，

解得

故选：B．

10.【答案】B

【解析】解：设直线l的斜率为k，则，解得，切点为；

且，解得，切点为；

因为l与曲线，都相切，所以，解得．

故选：B．

设斜率为k，分别求出l在，图象上的切点坐标为、，再利用坐标表示出斜率，列出关于k的方程，求出k．

本题考查公切线的斜率求法，属于基础题．

11.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查排列、组合的实际应用，注意优先分析受到限制的元素或位置．

根据题意，由于任务A必须排在前三位，按A的位置分3种情况讨论，依次分析任务E、F以及其他三个任务的安排方法，由分步计数原理可得每种情况的安排方案数目，由加法原理计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，由于任务A必须排在前三位，分3种情况讨论：

排在第一位，

任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，

将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，

则此时有种安排方案；

排在第二位，

任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，

将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，

则此时有种安排方案；

排在第三位，

任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，

将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，

则此时有种安排方案；

则符合题意要求的安排方案有种；

故选D．

12.【答案】A

【解析】【分析】

判断的单调性，做出的图象，结合图象即可得知．

本题考查了函数的单调性判断，函数图象的几何意义，属于中档题．

【解答】

解：，

当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

做出的图象如图所示：

有且仅有两个不同的整数解，

的图象夹在平行直线和之间的部分只有两个整数解．

又，，，，

，

．

故选：A．

13.【答案】

【解析】解：由于的展开式的通项公式为，令，

求得，可得展开式中常数项的系数为，则，

故答案为：．

在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于60求得实数a的值．

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：函数的定义域为R，

且，

，

，

则，

当时，，

为增函数，为减函数，则为减函数，则为减函数，

即在R上为减函数，

则不等式等价为，

即，

得或，

即实数m的取值范围是，

故答案为：

根据条件先判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性将不等式进行转化求解即可．

本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．15.【答案】

【解析】解：

，

又，

，，

，

．

故答案为：，．

根据向量加法的三角形法则把用，表示为：，再根据平面向量基本定理得，，从而可得；，再利用正三角形进行计算可得．

本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．

16.【答案】

【解析】解：当，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，

当时，P的轨迹是以B为圆心，半径为的圆，

当时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，

当时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，

函数的周期是4．

因此最终构成图象如下：

根据图象的对称性可知函数是偶函数，正确．

由图象即分析可知函数的周期是正确．

函数在区间上单调递增，错误．

根据积分的几何意义可知，正确．

故答案为：．

根据正方形的运动，得到点P的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可．

本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键．

17.【答案】解：Ⅰ在中，，，

所以，

即，所以．

因为，所以．

Ⅱ，所以，

，由余弦定理得

由得，

所以的周长为．

【解析】Ⅰ利用已知条件结合正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解角B的大小；

Ⅱ通过的面积为，结合正弦定理求出a，b然后求解的周长．

本题考查三角形的解法，正弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．18.【答案】解：Ⅰ当时，，

令，得，

的单调递增区间是；

Ⅱ，若在内单调递增，即当时，，

即对恒成立，

即对恒成立，

令，则

在上单调递增，

当时，当且仅当时，

的取值范围是．

【解析】Ⅰ求导函数，令，可得的单调递增区间；

Ⅱ，若在内单调递增，即当时，，即对恒成立，分离参数求最值，即可求a的取值范围．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中

档题．

19.【答案】解：Ⅰ根据表中已知数据，解得，，．

数据补全如下表：

且函数表达式为

Ⅱ由Ⅰ知，，得

因为函数x的图象的对称中心为，．

令，，

解得，，

由于函数的图象关于点成中心对称，

令，，解得，，

由可知，当时，取得最小值．

Ⅲ由，可得，

可得．

【解析】Ⅰ根据表中已知数据，解得A，，的值，即可补全数据，写出函数解析式．Ⅱ由题意可求，根据正弦函数的对称性即可求解．

Ⅲ由，可得，利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可得解．

本题主要考查了正弦函数的图象和性质，以及诱导公式，二倍角公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．

20.【答案】解：由题意可得，，，

，

，

，

，

，

设每株的产量为ykg，根据题意可得，

，

令可得，即m最大值是5，

由回归方程可得，当时，，

当时，，当时，，

当时，，

，

，

，

，

即y的分布列为

，

即产量的期望．

【解析】本题主要考查了线性回归方程的求解及随机变量期望及分布列的求解，属于中档题．

利用公式，分别求出回归系数b，a即可；

设每株的产量为ykg，根据题意可得可求y的范围，进而可求满足条件的x及每一个值所对应的概率，可求分布列及期望．

21.【答案】解：Ⅰ当时，，，令，得，

的单调性如下表：

Ⅱ，令，则，

令，得，

在区间上有两个极值点，即在上有两个零点，

结合的图象可知，且，即，，

所以，即a的取值范围

由知，所以，

又，，，结合的图象可知，

令，则，当时，，，，

所以在上单调递增，而，，

因此．

【解析】Ⅰ当时，，，令，得分析的单调性，进而得出结论．

Ⅱ，令，则令，得分析的单调性，在区间上有两个极值点，即在上有两个零点，结合的图象可知，且，即，进而得出结论．

由知，所以，又，，，结合的图象可知令，则，当时，，，，所以在上单调递增，而，，进而得出结论．

本题考查导数的综合应用，极值，属于中档题．

22.【答案】解：Ⅰ曲线C的参数方程为为参数消去参数可得曲线C的普通方程为

由，可得，

即，

故直线l的直角坐标方程为．

Ⅱ由Ⅰ可知，点在直线l上，可设直线l的参数方程为为参数，

将参数方程代入，

化简可得，

设A，B两点对应的参数分别为，，则，

所以．

【解析】Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用一元二次方程根和系数的关系式的应用，求出结果．

本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

23.【答案】解：Ⅰ，则

由可得由无解可得；

综上的解集为，

证明：Ⅱ因为函数为偶函数，所以，此时，

所以，

因为，，

所以当且仅当时，取““，

所以，

即．

【解析】Ⅰ化为分段函数即可求出不等式的解集，

Ⅱ根据偶函数的性质求出函数m的值，再根据三角绝对值不等式求出t的值，再根据基本不等式即可证明．

本考查了利用绝对值三角不等求最小值和基本不等式，考查了转化思想和计算能力，属中档题．