线段垂直平分线的性质定理及其逆定理

24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理课前预习

1.线段垂直平分线的性质定理：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的

2.线段垂直平分线定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相

等的点，在这条线段的上。

当堂训练

知识点1：线段垂直平分线的性质

1.如图所示，用两根钢索加固直立的电线杆，若要使钢索AB与AC的长度相等，•需加________条件，理由是________．

2.（09钦州）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）

A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB

C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB

3.如图所示，CD是AB的垂直平分线，若AC=1.6cm，

BD=2.3cm，则四边形ABCD的周长是（）．

A．3.9cmB．7.8cmC．4cmD．4.6cm

4.如图所示，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠CAD=20°，则∠B=（）．

A．20°B．30°C．35°D．40°

知识点2：线段垂直平分线定理的逆定理

5.AB=AD，BC=CD，AC、BD相交于点E．则

AB是线段CD的________．

课后作业

6.给出以下两个定理：

①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

应用上述定理进行如下推理，如图，直线l是线段MN的垂直平分线．

∵点A在直线l上，∴AM=AN（）．

∵BM=BN，∴点B在直线l上（）．

∵CM≠CN，∴点C不在直线l上．

这是因为如果点C在直线l上，

那么CM＝CN（）．这与条件

CM≠CN矛盾．

以上推理中各括号内应注明的理由依次是

（）A．②①①B．②①②C．①②②

D．①②①典例精析

【例1】如图所示，在△ABC中，D为BC上的一点，连结

AD，点E在AD上，

并且∠1=∠2，∠3=

∠4。求证：AD垂直

平分BC

【分析】证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线，可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，也就是通过得出EB=EC，AB=AC，从而证明出AD垂直平分BC

【证明】∵∠1=∠2，∴EB=EC，∴点E在线段BC的垂直平分线上。

又∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠ABC=∠ACB，

∴点A也在线段BC的垂直平分线上。∴AD垂直平分BC

【方法归纳】证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法：

第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分；

第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。

误区警示

【例2】判断：若PA=PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线【错解】正确

【错因剖析】PA=PB只能说明点P在AB 的垂直平分线上，但不是过点P的直线就是DE的垂直平分线，产生错误的原因是线段的垂直平分线的判定理解不透。应再找到到A、B 距离相等的第二个点

【正解】

名校讲坛

7.如图，已知直线MN 是

线段AB的垂直平分

线，垂足为D，点P是

MN上一点，若PA=10

cm，则

PB=______cm。

8.如图，在△ABC中，

AC的垂直平分线交AC

于E，交BC于D，△

ABD的周长是12 cm，

AC=5cm，则

AB+BC=_____cm；△ABC的周长是

__________cm.

9.如图所示，在Rt

△ABC中，∠

C=90°，沿着过点

B的一条直线BE折

叠△ABC使点C•恰

好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于________．

10.(09泉州)如图，在

△ABC中，BC边上的

垂直平分线DE交边BC

于点D，交边AB于点

E.若△EDC的周长为

24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为．11.(09肇庆有改动)如图，在△ABC中，

AB=AC,

∠A=36°，线段AB的

垂直平分线交AB于

D，交AC于E，连接

BE．求证：∠

CBE=36°；

．

12.已知：如图△ABC中，边AB，BC的垂直

平分线相交于点P．

求证：点P在AC的垂直平分线上．13.（09.梧州）如图，△ABC中，AC的垂

直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．（1）求证：AD＝CE；

（2）填空：四边形ADCE的形状是．

14.（09烟台有改动）如

图，直角梯形ABCD

中，BC

AD∥，

90

BCD

∠=°，且

BC=CD，过点D作

AB

DE∥，交BCD

∠的

平分线于点E，连接

BE．将BCE

△绕点C，顺时针旋转90°得到DCG

△，连接EG.．

求证：CD垂直平分EG.

1.BD=DC线段垂直平分线上的点到线段两个

端点的距离相等

垂直平分线6.D7.10

8.12,179.30°10.6

11.∵DE是A B的垂直平分线，∴EA EB

=，∴36

EBA A

∠=∠=°．

∵36

AB AC A

=∠=

，°，

∴72

ABC C

∠=∠=°．

∴36

CBE ABC EBA

∠=∠-∠=°

12.连接PA、PB、PC，则有PA=PB，

PB=PC，

∴PA=PC，

∴点P在AC•的垂直平分线上

13.（1）证明：∵MN是AC的垂直平分线

∴OA＝OC∠AOD＝

∠EOC=90°

∵CE∥AB

∴∠DAO＝∠ECO

∴△ADO≌△CEO

∴AD＝CE

（2）四边形ADCE是菱形．

14CE平分BCD

∠，∴BCE DCE

∠=∠．∵BC=CDCE=CE，BCE DCE

∴△≌△，BE DE

∴=．

由图形旋转的性质知

CE CG BE DG DE DG

==∴=

，，．

C D

∴，都在EG的垂直平分线上，

CD

∴垂直平分EG．