经典函数及其表示教案

函数及其表示

【目标】

1、理解映射、函数的定义、及二者的区别与联系，正确地求出函数的定义域和值域。

2、能用不同的方法表示一个函数，及灵活地求函数的解析式。

【重点难点】 重点：函数的定义、定义域、值域及求解其解析式的方法。

难点：求解函数的解析式。

【内容】 1、背景：

1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了。由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数。他认为：“函数是随意画出的一条曲线。” 当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱怀疑态度。他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”。1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词。

2、映射的定义

设A 和B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都存在唯一的一个元素y 与之对应，那么，就称对应B A f →:为集合A 到集合B 的一个映射(mapping). 映射是特殊的对应，简称“对一”的对应。

包括：一对一 多对一

注意：①f 为某种对于关系

②集合A 中的任意元素（即所有元素）

③集合B 中都存在唯一元素

3、函数的定义

设A 和B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都存在唯一确定的数y 与之对应，那么，就称对应B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数。记作A x x f y ∈=),(。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫函

数的定义域；而与x 的值相对应的y 值叫函数值，函数值的集合(){}A

x x f ∈叫做函数的

值域。 函数是特殊的映射，是非空数集A 到非空数集B 的映射。

那么函数的值域与集合B 的关系呐？ 函数的三要素：（1）定义域 （2）值域（3）对应关系。这是判断两个函数是否为同一函数的依据。

注意：①函数是特殊的映射

②函数的三要素

区间的概念：

设R b a ∈, ,且b a <.我们规定： ①{}b x a x b a <<=),( ②{}b x a x b a ≤≤=],[ ③{}b x a x b a <≤=),[ ④{}b x a x b a ≤<=],( ⑤{}a x x a >=+∞),( ⑥{}a x x a ≥=+∞),[

⑦{}b x x b <=-∞),( ⑧{}

b x x b ≤=-∞],( ⑨R =+∞-∞),( 4、函数的表示方法

三种表示方法：（1）解析法 （2）图像法 （3）列表法

分段函数：定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。

注意：①分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数。②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

小结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；

（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；

（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消除参的方法求出)(x f 。

【例题讲解】

例1 设{}c b a M ,,=，{}2,0,2-=N ,求（1）从M 到N 的映射种数；（2）从M 到N 的映射满足)()()(c f b f a f ≥>,试确定这样的映射f 的种数.

例2已知52

1)(+=x x f ，x x x g +=22)(, 求)(),(),(),(pig g B A f g a f +∆.

例3 已知函数15

222)(2--++=x x x x f ，求（1）函数的定义域；（2）)2(-f 、)6(f 的值；

（3）当0>a 时，求)1(),(+a f a f 。

例4已知：*,x N ∈5(6)()(2)

(6)

x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，求)3(f 的值。

例5根据条件求下列各函数的解析式： （1）已知()f x 是二次函数，若(0)0,(1)()1f f x f x x =+=++，求()f x .

（2）已知(1)2f x x x +=+，求()f x

（3）若()f x 满足1()2(),f x f ax x

+=求()f x

【过手练习】

1、下列函数是否是同一个函数：

（1）332)(,)(x x g x x f == （2）⎩⎨⎧<-≥==;01,01)(,)(x x x g x x

x f （3）12)(,12)(2

2--=--=t t t g x x x f

2、已知函数()f x 的定义域为]1,0[，则函数(1)f x +的定义域为

3、求函数2()46y f x x x ==-+，则[1,5)x ∈的值域为

4、已知函数)(x f 满足x x

f x f 3)1

(2)(=+，则=)(x f 【拓展训练】

1、已知函数()f x 满足：()()()f a b f a f b +=⋅，(1)2f =，则

2222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8)(1)(3)(5)(7)

f f f f f f f f f f f f +++++++= . 2、已知x y x 62322=+，试求22y x +的最大值。

3、设()f x 是R 上的函数，且满足(0)1,f =并且对任意的实数,x y 都有()()(21f x y f x y x y -=-

-+，求()f x 的表达式.

【课后作业】

1.（1）已知集合{}{}20,40≤≤=≤≤=y y B x x A ，下面从A 到B 的对应关系f 不是映射的是（ ） A.x y x f 21:=→ B.x y x f 31:=→ C.x y x f 32:=→ D.28

1:x y x f =→ （2）已知函数F x x f ∈),(，那么集合{}{}

1),(),(),(=⋂∈=x y x F x x f y y x 中所含元素的个数是（ ）

A.0

B.1

C.0或1

D.1或2 （3）（2009江西卷文）函数234x x y x

--+=的定义域为 （ ） A ．[4,1]- B ．[4,0)- C ．(0,1] D ．[4,0)(0,1]-

2.函数x x y 213+-=，求其定义域和值域.

3.回忆映射、函数的概念并写出二者的区别：