角平分线与垂直平分线练习题(经典)

0角平分线

角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

角平分线的判定： 到一个叫两边的距离相等的点在这个角的平分线上。

例1．如图，在ABC △中，90C ∠=，AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点

到直线AB 的距离是 cm ．

例2．如图，已知在Rt △ABC 中，∠C =90°, BD 平分∠ABC , 交AC 于D .

(1) 若∠BAC =30°, 则AD 与BD 之间有何数量关系，说明你的理由; (2) 若AP 平分∠BAC ，交BD 于P , 求∠BPA 的度数.

3、考点深入练习

例3：如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上截取CG=AB ，连结AD 、AG 。

求证：（1）AD=AG ，（2）AD 与AG 的位置关系如何。

例4：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B ，C ，E 在同一条直线上，连结DC ．（8分）

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC ⊥BE

B

P

A

B

C

D G

H

F

E D

C

B

A

例5:△DAC, △EBC 均是等边三角形，AE,BD 分别与CD,CE 交于点M,N. 求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN 为等边三角形（4）MN ∥BC

垂直平分线的性质与判定强化练习

1如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于 （ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm

2题

2如图，在Rt ABC △中，90ACB D E ∠=，，分别为AC AB ，的中点，连DE CE ，． 下列结论中不一定正确的是 （ ） A ．ED BC ∥ B ．ED AC ⊥ C ．ACE BCE ∠=∠

D ．A

E CE =

3、△ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线交直线BC 于D ，若∠BAD －∠DAC=22.5°，则∠B 等于 （ ） A.37.5° B.67.5° C.37.5°或67.5° D.无法确定

4、线段的垂直平分线上的点_____________________________________．

5、到一条线段的两个端点的距离相等的点，______________________．

6、如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长是12 cm ，AC=5cm ，则AB+BD+AD= cm ；AB+BD+DC= cm ；△ABC 的周长是 cm 。

3题 4题

7、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，DE 是AB 的中垂线，垂足为D ，交BC 于E ，BE=5，则AE=__________，∠AEC=__________，AC=__________ 。

D A C

B N M

E

8在△ABC 中，∠C ＝90°，用直尺和圆规在AC 上作点P ，使P 到A 、B 的距离相等（保留作图痕迹，不写作法和证明）．

9如图4，AB=AD ，BC=CD ，AC 、BD 相交于点E ．由这些条件可以得出若干结论，请你写出其中三个正确结论（不要添加字母和辅助线，不要求证明）．

10、如右图，在△ABC 中，AB=AC ， BC=12，∠BAC =120°，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ， AC 的垂直平分线交BC 边于点N 。 (1) 求△AEN 的周长。

(2) 求∠EAN 的度数。 (3) 判断△AEN 的形状。

11、如图，已知线段CD 垂直平分线AB ，AB 平分CAD ∠问AD 与BC 平行吗？请说明理由。

12、如图，已知AOB ∠和AOB ∠内两点M 、N 画一点P 使它到AOB ∠的两边距离相等，且到点M 和N 的距离相等。

A

B

C

D

E M

N

如图，在△ABC的AB、AC边的外侧作等边△ACE和等边△ABF，连接BE、CF相交于

点O，

（1）求证：CF=BE；

（2）连AO，则：①AO平分∠BAC；②OA平分∠EOF，你认为正确的是

②

（填①或②）．并证明你的结论．

（1）证明：∵△ABF和△ACE是等边三角形，

∴AB=AF，AC=AE，∠FAB=∠EAC=60°，

∴∠FAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，

即∠FAC=∠BAE，

在△ABE与△AFC中，

AB=AF ∠BAE=FAC AE=AC

∴△ABE≌△AFC（SAS）∴BE=FC；

（2）解：连AO，过A分别作AP⊥CF与P，AM⊥BE于Q，如图，

∵△ABE≌△AFC，

∴S△A B E=S△A F C，

∴

1

2

AP•CF=

1

2

AQ•BE，

而CF=BE，

∴AP=AQ，

∴OA不一定平分∠MAN，所以①错误；

∵在RT△AOP和RT△AOM中，

AP＝AM

AO＝AO

，

∴RT△AOP≌RT△AOM（HL）

∴∠AOF=∠AOE，所以②正确．

故答案为②．