最优化理论与方法-神经网络
机器学习原理及应用课件第11章
出函数。
ReLU函数
2
ReLU (Rectified Linear Unit)函数是目前广泛使用的一种
激活函数。
Tanh函数
3
使用Tanh的神经网络往往收敛更快。
4
Softmax函数
Softmax函数常用于将函数的输出转化为概率分布。
Softmax可以看作是arg max的一个平滑近似。
多层感知机
梯度爆炸
梯度爆炸问题与梯度消失问题正好相反。如果神经网络的中参 数的初始化不合理，由于每层的梯度与其函数形式、参数、输 入均有关系，当连乘的梯度均大于1时，就会造成底层参数的梯 度过大，导致更新时参数无限增大，直到超出计算机所能表示 的数的范围。模型不稳定且不收敛。实际情况中，人们一般都 将输入进行规范化，初始化权重往往分布在原点周围，所以梯 度爆炸发生的频率一般要低于梯度消失。缓解梯度消失问题的 主要方法有：对模型参数进行合适的初始化，一般可以通过在 其他大型数据集上对模型进行预训练以完成初始化，例如图像 分类任务中人们往往会将在ImageNet数据集上训练好的模型参 数迁移到自己的任务当中；进行梯度裁剪，即当梯度超过一定 阈值时就将梯度进行截断，这样就能够控制模型参数的无限增 长。从而限制了梯度不至于太大；参数正则化，正则化能够对 参数的大小进行约束，使得参数不至太大等。
五、卷积神经网络
卷积
介绍卷积神经网络之前，首先介绍卷积的概念。由于卷积神经网络主要用于计算 机视觉相关的任务中，我们在这里仅讨论二维卷积，对于高维卷积，情况类似。
五、卷积神经网络
下一层使用卷积核在特征图上滑动并不断计算卷积输出而获得特征图每层卷积的计算
结果。卷积核可以视为一个特征提取算子。卷积神经网络的每一层往往拥有多个卷积
GAN的推导、证明与实现。
GAN的推导、证明与实现。
转⾃机器之⼼整理的，来⾃Goodfellow 在 NIPS 2016 的演讲和台⼤李弘毅的解释，完成原 GAN 的推导、证明与实现。
本⽂主要分四部分，第⼀部分描述 GAN 的直观概念，第⼆部分描述概念与优化的形式化表达，第三部分将对 GAN 进⾏详细的理论推导与分析，最后我们将实现前⾯的理论分析。
原⽂地址：https:///s?id=1580024390078548003&wfr=spider&for=pcGitHub项⽬地址：https:///jiqizhixin/ML-Tutorial-Experiment⽣成对抗⽹络基本概念要理解⽣成对抗模型（GAN），⾸先要了解⽣成对抗模型可以拆分为两个模块：⼀个是判别模型，另⼀个是⽣成模型。
简单来说就是：两个⼈⽐赛，看是 A 的⽭厉害，还是 B 的盾厉害。
⽐如，我们有⼀些真实数据，同时也有⼀把随机⽣成的假数据。
A 拼命地把随⼿拿过来的假数据模仿成真实数据，并揉进真实数据⾥。
B 则拼命地想把真实数据和假数据区分开。
这⾥，A 就是⼀个⽣成模型，类似于造假币的，⼀个劲地学习如何骗过 B。
⽽ B 则是⼀个判别模型，类似于稽查警察，⼀个劲地学习如何分辨出 A 的造假技巧。
如此这般，随着 B 的鉴别技巧越来越厉害，A 的造假技巧也是越来越纯熟，⽽⼀个⼀流的假币制造者就是我们所需要的。
虽然 GAN 背后的思想⼗分直观与朴素，但我们需要更进⼀步了解该理论背后的证明与推导。
总的来说，Goodfellow 等⼈提出来的 GAN 是通过对抗过程估计⽣成模型的新框架。
在这种框架下，我们需要同时训练两个模型，即⼀个能捕获数据分布的⽣成模型 G 和⼀个能估计数据来源于真实样本概率的判别模型 D。
⽣成器 G 的训练过程是最⼤化判别器犯错误的概率，即判别器误以为数据是真实样本⽽不是⽣成器⽣成的假样本。
因此，这⼀框架就对应于两个参与者的极⼩极⼤博弈（minimax game）。
最优控制
四、最优控制在控制领域中的应用
模拟退火算法 1983年,Kirkpatrick与其合作者提出了模拟退火(SA)的方法,它是求解单目标 多变量最优化问题的一项Monte-Caula技术。该法是一种物理过程的人工模 拟,它基于液体结晶或金属的退火过程。液体和金属物体在加热至一定温度 后,它们所有的分子、原子在状态空间D中自由运动。随着温度的下降,这些 分子、原子逐渐停留在不同的状态。当温度降到相当低时,这些分子、原子 则重新以一定的结构排列,形成了一个全部由有序排列的原子构成的晶体结 构。模拟退火法已广泛应用于生产调度、神经网络训练、图像处理等方面。
三、最优控制的研究方法
古典变分法:古典变分法是研究泛函求极值的一种数字方法。古典变分法只能用在控制变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中,控制函数的取值常常 三、最优控制的研究方法
古典变分法:
古典变分法是研究泛函求极值的一种数字方法。古典变分法只能用在控制 变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中,控制函数的取 值常常受到封闭性的边界限制,如方向舵只能在2个极限值范围内转动,电动 机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。因此,古典变分法的应用范 围十分有限。
二、最优控制问题的一般性描述
实际上，终端约束规定了状态空间的一个时变或非时变的集合，此满足终 端约束的状态集合称为目标集M，并可表示为：
M {x(t f ) | x(t f ) Rn , N1[ x(t f ), t f ] 0, N2[ x(t f ), t f ] 0}
为简单起见，有时将上式称为目标集。
三、最优控制的研究方法
极小值原理:
极小值原理是对分析力学中古典变分法的推广,能用于处理由于外力源的 限制而使系统的输入（即控制）作用有约束的问题。极小值原理的突出 优点是可用于控制变量受限制的情况,能给出问题中最优控制所必须满足 的条件。如高夯、汪更生、楼红卫等人论述了多种类型的抛物型方程和 退化拟线性、半线性椭圆方程的极小值原理。
数学建模竞赛中应当掌握的十类算法
数学建模竞赛中应当掌握的十类算法1 十类常用算法数学建模竞赛中应当掌握的十类算法：1. 蒙特卡罗算法。
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。
2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工具。
3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。
4. 图论算法。
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。
这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。
6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
7. 网格算法和穷举法。
两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8. 一些连续数据离散化方法。
很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9. 数值分析算法。
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10. 图象处理算法。
赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。
关于BP网络的总结
关于BP网络的总结1．辨识模型的建立目前，在人工神经网络的实际应用中，绝大部分的神经网络模型是采用BP网络和它的变化形式。
BP网络就是按照误差逆传播（error back propagation）学习算法（BP算法）进行训练的多层前向神经网络，亦称为误差逆传播神经网络。
它的优点有：23第三章基于肌电信号的人手肘关节运动轨迹的预测播，得到输出响应。
如果网络输出与需要输出的误差大于标定值，将进行第二步，即输出误差反向传播过程，输出的误差值由输出层开始反向传播到输入层，传播到每一层的误差大小决定该层权值的改变。
网络的训练实质上是一个最优化的过程，即找到使输出误差最小的网络权值。
训练结束后的网络权值，代表了神经网络输入输出的映射关系。
在该网络中，输入层和隐层采用非线性的Sigmoid 函数（图3－7 所示）作为神经元激励函数，输出层采用线性函数。
图3－7 Sigmiod函数下面介绍此算法的具体过程：首先，我们定义误差函数为：(3-5)上式中，为期望输出值，即手臂实际运动角度，为网络输出值，即神经网络预测的手臂运动角度。
本文所定误差需小于0.001，在大于这个限定值以前，需要由输出层开始反向推导网络权系数的修正值。
(1).输出层神经元输出值及权值修正：25第三章基于肌电信号的人手肘关节运动轨迹的预测式中f (• )为线性函数，为隐层2 中第j 个神经元与输出层的权系数，为隐层2 的神经元输出值，＝(3)，＝－1，即把神经元偏置的调整归入权系数的学习中，下面各隐层的情况也与之相同。
(2).隐层2 神经元输出值及权值修正：式中f (• )为sigmoid 函数，为隐层1 中第i 个神经元与隐层2 中第j 个神经元的权系数，为隐层1 中第i 个神经元输出值。
(2)(3).隐层1 神经元输出值及权值修正：为sigmoid 函数，为输入层中第m 个神经元与隐层 1 中第i 个神经元的权系数，为输入层中第m 个神经元输入值。
现代设计理论与方法-优化设计
第二十页，共57页。
传统搜索方法
第二十一页，共57页。
遗传算法简介
遗传算法简称GA（Genetic Algorithm），最 早 由 美 国 Michigan 大 学 的 J. Holland 教 授 提 出 （于上世纪60-70年代，以1975年出版的一本著作 为代表）,模拟自然界遗传机制和生物进化论而成 的一种并行随机搜索最优化方法。
设计常量：可以根据客观规律或具体条件预先确定 的参数，如材料的力学性能，机器的工况系数等。
设计变量：在设计过程中不断变化，需要在设计过 程中进行选择的基本参数，称为设计变量，如几何尺 寸、速度、加速度、温度等。
第二页，共57页。
优化设计实例
设计一密闭矩形容器，其容积为3m3，容器的宽度 不小于1.5m，以便于装卸车搬运，为使成本最低， 要求用料最省。
第二十八页，共57页。
若只有选择和交叉，而没有变异，则无法在初 始基因组合以外的空间进行搜索，使进化过程在 早期就陷入局部解而进入终止过程，从而影响解 的质量。为了在尽可能大的空间中获得质量较高 的优化解，必须采用变异操作。
第二十九页，共57页。
遗传算法的特点
（1）遗传算法是对参数的编码进行操作，而非对 参数本身，这就是使得我们在优化计算过程中可 以借鉴生物学中染色体和基因等概念，模仿自然 界中生物的遗传和进化等机理
第十页，共57页。
3）分类 按约束条件，又可分为性能约束和边界约束。 （1）性能约束 是针对设计对象的某种性能或指标而给出
人工智能课后习题答案
可采用批量梯度下降、随机梯度下降、小批量梯度下降等优化算法，以及动量 法、AdaGrad、RMSProp、Adam等自适应学习率优化方法。
课后习题解答与讨论
• 习题一解答：详细阐述感知器模型的原理及算法实现过程，包括模型结构、激 活函数选择、损失函数定义、权重和偏置项更新方法等。
• 习题二解答：分析多层前馈神经网络的结构特点，讨论隐藏层数量、神经元个 数等超参数对网络性能的影响，并给出一种合适的超参数选择方法。
发展历程
人工智能的发展大致经历了符号主义、连接主义和深度学习三个阶段。符号主义认为人工智能源于对人类思 维的研究，尤其是对语言和逻辑的研究；连接主义主张通过训练大量神经元之间的连接关系来模拟人脑的思 维；深度学习则通过组合低层特征形成更加抽象的高层表示属性类别或特征，以发现数据的分布式特征表示。
机器学习原理及分类
深度学习框架与应用领域
深度学习框架
深度学习框架是一种用于构建、训练和部署深度学习模型的开发工具。目前流行的深度学习框架包括 TensorFlow、PyTorch、Keras等。
应用领域
深度学习已广泛应用于图像识别、语音识别、自然语言处理、推荐系统等多个领域，并取得了显著的 成果。
课后习题解答与讨论
习题四解答
讨论人工智能的伦理问题，如数据隐私、算法偏见等，并 提出可能的解决方案。
02 感知器与神经网络
感知器模型及算法实现
感知器模型
感知器是一种简单的二分类线性模型 ，由输入层、权重和偏置项、激活函 数（通常为阶跃函数）以及输出层组 成。
感知器算法实现
通过训练数据集，采用梯度下降法更 新权重和偏置项，使得感知器对训练 样本的分类误差最小化。
时序差分方法
人工智能涉及数学知识
人工智能涉及数学知识
人工智能涉及多个数学知识，包括但不限于以下几个方面：
1. 线性代数：线性代数为人工智能提供了模型描述、表示和处理数据的数学基础。
在深度学习中，矩阵运算用于定义神经网络的前向传播和反向传播。
线性代数还用于处理大规模数据集和高维特征空间。
2. 概率论和统计学：概率论和统计学为人工智能提供了处理不确定性和随机性的数学工具。
在机器学习中，统计学用于评估模型的性能、优化参数和进行特征选择。
概率论用于建模不确定性和进行推断。
3. 微积分：人工智能中的优化算法（如梯度下降）和概率模型（如概率图模型）都依赖于微积分。
微积分用于求解损失函数的梯度，以便进行模型的参数更新。
4. 信息论：信息论研究信息的表示、传输和处理。
在机器学习中，信息论被用于量化信息的不确定性和熵，为模型选择和特征提取提供指导。
5. 最优化方法：最优化方法用于在人工智能中寻找最优解。
例如，机器学习中的求解问题可以通过最小化目标函数来得到最优解。
6. 图论和优化理论：图论和优化理论为人工智能提供了一种处理复杂关系和优化问题的框架。
例如，图模型用于表示概率分
布和推断问题，优化理论用于解决约束条件下的最优化问题。
以上只是人工智能涉及的一些数学知识，实际上，人工智能与数学的联系非常密切，数学为人工智能提供了理论基础和算法工具，使得人工智能能够进行数据处理、模型构建和决策推理等任务。
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④第 l 层（ l >0）第 j 个（ j >0）神经元的
输入定义为 ，输出定义 Nl1
x
l j
y l 1,l ij
l 1 i
为
y
l j
f (xlj )
，其i中0 f (•)为隐单元激励函数，
常采用Sigmoid函数，即 f (x) [1 exp( x)] 。 1
输入单元一般采用线性激励函数 f (x) x ， 阈值单元的输出始终为1；
n
T ji v j
j 1
ui Ri
Ii
1 2
n
(Tij
j 1
T ji )v j
n
T ji v j
j 1
ui Ri
Ii
1 2
n
(Tij
j 1
T ji )v j
Ci
dui dt
n
(Tij
j 1
T ji )v j
Ci
g
1'
(vi
)
dvi dt
于是，当 Tij T ji
时，
人工神经网络与神经网络优化算法
1982年，美国加州工学院物理学家Hopfield提 出了离散的神经网络模型，标志着神经网络的研 究又进入了一个新高潮。1984年，Hopfield又 提出连续神经网络模型，开拓了计算机应用神经 网络的新途径。
1986年，Rumelhart和Meclelland提出多层网 络的误差反传(back propagation)学习算法， 简称BP算法。BP算法是目前最为重要、应用最 广的人工神经网络算法之一。
前向神经网络
(1)多层前向网络 一个M层的多层前向网络可描述为： ①网络包含一个输入层（定义为第0层）和
M-1个隐层，最后一个隐层称为输出层； ②第层包含 N个l 神经元和一个阈值单元
（定义为每层的第0单元），输出层不含阈 值单元；
③第 l 1层第 i个单元到第个单元的权值表为
； l1,l ij
),
m1
l M 1 l M 2,,1
其中， 为学习率。
实质上，BP算法是一种梯度下降算法，算法 性能依赖于初始条件，学习过程易于陷入 局部极小。数值仿真结果表明，BP算法的 学习速度、精度、初值鲁棒性和网络推广 性能都较差，不能满足应用的需要。实用 中按照需要适当改进。
Hopfield 网络
最早的研究可以追溯到20世纪40年代。1943年， 心理学家McCulloch和数学家Pitts合作提出了形 式神经元的数学模型。这一模型一般被简称M-P 神经网络模型，至今仍在应用，可以说，人工神 经网络的研究时代，就由此开始了。
1949年，心理学家Hebb提出神经系统的学习规 则，为神经网络的学习算法奠定了基础。现在， 这个规则被称为Hebb规则，许多人工神经网络 的学习还遵循这一规则。
1 9 5 7 年 ， F.Rosenblatt 提 出 “ 感 知 器”(Perceptron)模型，第一次把神经网络的研 究从纯理论的探讨付诸工程实践，掀起了人工神 经网络研究的第一次高潮。
20世纪60年代以后，数字计算机的发展达到全 盛时期，人们误以为数字计算机可以解决人工智 能、专家系统、模式识别问题，而放松了对“感 知器”的研究。于是，从20世纪60年代末期起， 人工神经网络的研究进入了低潮。
容和电阻，
n
1/ Ri 1/ Qi T ji
。
j 1
定义能量函数
E 1 n
2 i1
n
n
n
Tij vi v j I i vi
j 1
i 1
i 1
vi 0
g
1 (v)dv
/
Ri
则其变化量
dE n E dvi
dt i1 vi dt
其中，
E
vi
1 2
n
Tij v j
j 1
1 2
j
式中，xi (i 1,2,, n)是从其它神经元传来的
输入信号； j 是阈值； ij 表示从神经元 i
到神经元 j 的连接权值；f (•) 为传递函数。
x1 x2
ω1j
ω2j
.
∑f
.
yj
. xn
ωnj
θj
x0=1
图13-1
人工神经网络是由大量的神经元互连而成的网络， 按其拓扑结构来分，可以分成两大类：层次网络 模型和互连网络模型。层次网络模型是神经元分 成若干层顺序连接，在输入层上加上输入信息， 通过中间各层，加权后传递到输出层后输出，其 中有的在同一层中的各神经元相互之间有连接， 有的从输出层到输入层有反馈；互连网络模型中， 任意两个神经元之间都有相互连接的关系，在连 接中，有的神经元之间是双向的，有的是单向的， 按实际情况决定。
l1,l ij
(k
1)
l1,l ij
(k
)
E
/
l1,l ij
(k)
P
l 1,l ij
(k)Biblioteka l j,p(k
)
y l1 i, p
(k
)
p1
l j,p
(k)
f
[
y
l j,
p
(k
)
t
Nl 1
'
[
x
l j,
p
(k
)]
j,p
]
f
'
[
x
l j
,
p
(k )],
l 1 m, p
(k
)
l 1 jm
(k
第十三章 人工神经网络
人工神经网络是近年来得到迅速发展的一 个前沿课题。神经网络由于其大规模并行 处理、容错性、自组织和自适应能力和联 想功能强等特点，已成为解决很多问题的 有力工具。本节首先对神经网络作简单介 绍，然后介绍几种常用的神经网络，包括 前向神经网络、Hopfield网络。
人工神经网络发展简史
自20世纪80年代中期以来，世界上许多国 家掀起了神经网络的研究热潮，可以说神 经网络已成为国际上的一个研究热点。
人工神经元模型与人工神经网络模型
人工神经元是一个多输入、单输出的非线 性元件，如图13-1所示。
其输入、输出关系可描述为
X
j
n i 1
x
ij i
j
y f (X )
j
⑤ 目标函数通常采用：
E
P
Ep
p1
1 2
P NM 1
(
y
M 1 j, p
p1 j1
t j,p )2
其中P为样本数，t j, p 为第p个样本的第j个输
出分量。
⑵ BP算法
BP算法是前向神经网络经典的有监督学习算 法，它的提出，对前向神经网络的发展起 过历史性的推动作用。对于上述的M层的 人工神经网络，BP算法可由下列迭代式描 述，具体推导可参见神经网络的相关书目。
(1) 离散型Hopfield 网络
离散型Hopfield 网络的输出为二值型，网络 采用全连接结构。令 v1,v2 ,,vn 为各神经元 的输出，1i ,2i ,ni为各神经元与第 i 个神
经元的连接权值， i 为第 i 神经元的阈值，
则有
vi
n
f ( ji v j
j 1 ji
i)
f
(ui
1982年，Hopfield开创性地在物理学、神经生物 学和计算机科学等领域架起了桥梁，提出了 Hopfield 反馈神经网络模型(HNN)，证明在高 强度连接下的神经网络依靠集体协同作用能自发 产生计算行为。Hopfield 网络是典型的全连接 网络，通过在网络中引入能量函数以构造动力学 系统，并使网络的平衡态与能量函数的极小解相 对应，从而将求解能量函数极小解的过程转化为 网络向平衡态的演化过程。
dE
dt
n
i1
Ci
g
1'
(vi
)
dvi dt
2
0
且当 dvi 0 时 dE 0 。
dt
dt
因此，随时间的增长，神经网络在状态空间 中的轨迹总是向能量函数减小的方向变化， 且网络的稳定点就是能量函数的极小点。
连续型Hopfield 网络广泛用于联想记忆和优 化计算问题。
连续型Hopfield 网络的动态方程可简化描述 如下：
Ci
dui dt
n
T
i 1
jiv j
ui Ri
Ii
vi g(ui )
其中，ui , vi分别为第 i神经元的输入和输出，
g(•)
具有连续且单调增性质的神经元激励函数，Tij
为第i神经元到j第神经元的连接权，I i 为施
加在第i神经元的偏置，Ci 0和 Qi 为相应的电
)
1, 1,
ui 0 ui 0
能量函数定义为
E
1 2
n i1
n
ij vi v j
j 1
n
i vi
i1
ji
则其变化量为
E
n i1
E vi
vi
n i1
vi (
n
ji v j
j1
j)
0
ji
也就是说，能量函数总是随神经元状态的变 化而下降的。
(2) 连续型Hopfield 网络