江苏省天一中学2019届高三第四次诊断性测试

江苏省天一中学2019届高三第四次诊断性测试
数学 Ⅰ
2019.04
命题：高三数学备课组
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．
） 1．已知集合{}0A x x =≥，{}
1B x x =<，则A
B = ▲ ．
2．复数
21i
i
+-（i 为虚数单位）的模为 ▲ ． 3．如图是一个算法流程图，则输出S 的值是 ▲ ．
4．为了解学生在某次比赛中的整体发挥情况，随机抽测了其中100
名同学的成绩，所得数据均在区间[]60,100上，其频率分布直方
图如图所示.则在抽测的100名同学中，成绩不低 于85分的学生数为 ▲ ．
5．某巡航队有137号，23号等五艘海监船可选派，现计划选派两艘去钓鱼岛巡航执法，其中137号，23号至少有一艘去执法的概率为 ▲ .
6．已知双曲线12
42
2=-y x 一条渐近线上的一点P 到双曲线中心的距离为3，则点P 到y 轴的距离为 ▲ ．
7．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若28362a a a a =，562S =-，则1a = ▲ .
8．ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“sin sin )cos C A A B =+”成立的的 ▲ 条件．
(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一) 9．若关于x 的不等式1
log (2)log (6)log a a m x x a
-+-≤（其中1>a ）恒成立，则实数m 的取值范围是
▲ ．
（第3题）
10．设a b 、是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列四个命题 ①若,a b a α⊥⊥,则//b α, ②若,a βαβ⊥⊥,则//a α, ③若βαβα⊥⊥
则,,//a a
④若,,a b a b αβ⊥⊥⊥,则αβ⊥,
其中正确的命题序号是 ▲ .
11．设()αβ∈0π，，，且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=．则cos β的值为 ▲ ．
12．已知4AB =，点,M N 是以AB 为直径的半圆上的任意两点， 且2MN =，1AM BN ⋅=，则⋅= ▲ ．
13．已知函数211
,0
()62
ln ,0
a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x 的方程()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解，则a 的取值范围是 ▲ ．
14．在平面直角坐标系xOy 中已知圆C 满足：圆心在x 轴上，且与圆22(2)1x y +-=相外切.设圆C 与x 轴的交点为M,N ，若圆心C 在x 轴上运动时，在y 轴正半轴上总存在定点P ，使得MPN ∠为定值，则点P 的纵．坐标．．
为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分14分）
三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，面积为S ． （1）若AB →·AC →
≤23S ，求A 的取值范围；
（2）若tan A ∶tan B ∶tan C ＝1∶2∶3，且c ＝1，求b ．
16．（本小题满分14分）
在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点． （1）求证：A 1C ∥平面AB 1D ；
（2）设M 为棱CC 1的点，且满足BM ⊥B 1D ， 求证：平面AB 1D ⊥平面ABM ．
A B
N
M
A
M
C
1
A 1
B 1
C
(第18题)
17．（本小题满分14分）
某校在圆心角为直角，半径为1km 的扇形区域内进行野外生存训练．如图所示，在相距1km 的A ，B 两个位置分别有300，100名学生，在道路OB 上设置集合地点D ，要求所有学生沿最短路径到D 点集合，记所有学生行进的总路程为S （km ）．
（1）设ADO θ∠=，写出S 关于θ的函数表达式； （2）当S 最小时，集合地点D 离点A 多远？
18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
过点，
A ，
B 分别为椭圆
C 的右、下顶点，且2OA OB =．
（1）求椭圆C 的方程； （2）设点P 在椭圆C 内，满足直线PA ，PB 的斜率乘积为1
4
-，且直线PA ，PB 分别交椭圆C 于点M ，
N ．①若M ，N 关于y 轴对称，求直线PA 的斜率；
②若PMN △和PAB △的面积分别为12,S S ，求12
S
S ．
19.（本小题满分16分）已知函数(
)ln f x a x c =-（其中,,a b c 是常数，且,,a b c ∈R ），曲线
()y f x =在1x =处的切线方程为1122
b b y x ⎛⎫
⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
.（1）求,a c 的值；
（2）若存在20e,e x ⎡⎤∈⎣⎦
（其中e 是自然对数的底），使得()00f x x -＞成立，求b 的取值范围；
（3）设()()g x f x mx =+，若对任意[)4,b ∈+∞，均存在t ∈R ，使得方程()g x t =有三个不同的实数解，求实数m 的取值范围.
（第17题）
20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且11a =，n n a b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和
为n S ．若1222n n n S n +=--对任意的*n ∈N 恒成立．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}
n c 满足n n n b n c a n ⎧=⎨⎩是奇数是偶数,,
,.
问：是否存在正整数m ，使得1187m m m c c c ++=，若存在求出m 的值，若不存在，说
明理由；（3）若存在各项均为正整数、公差为d '的无穷等差数列{}n d ，满足152018d a =，且存在正整数k ，使得115,,k d d d 成等比数列，求d '的所有可能的值．。