江苏专用2019高考数学二轮复习专题四解析几何第12讲椭圆基础滚动小练
2020高考冲刺数学总复习压轴解答：椭圆相关的综合问题(附答案及解析)
专题三 压轴解答题第二关 椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．【考点方向标】 方向一 中点问题典例1．（2020·山东高三期末）已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，2PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且OM ，求AOB ∆面积的最大值.【举一反三】（2020·河南南阳中学高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆C （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为(1,)M t ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，求证：直线m 过定点，并求出该定点的坐标．方向二 垂直问题典例2．（2020·安徽期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且过点(22．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线,AB DE 交椭圆分别于,,,A B D E ，且满足12AM AB =，12DN DE =，求MNF ∆面积的最大值．【举一反三】（2020·吉林东北师大附中高三月考）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且AB OP ，且POB ∆的面积是12，其中O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程.（2）若过点F 的直线1l ，2l 互相垂直，且分别与椭圆C 交于点M ，N ，S ，T 四点，求四边形MSNT 的面积S 的最小值.方向三 面积问题典例3．（2020·安徽高三月考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，经过点F 的直线与椭圆相交于M ，N 两点，点P 为线段MN 的中点，点O 为坐标原点.当直线MN 的斜率为1时，直线OP 的斜率为12-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆的左顶点，点B 为椭圆的右顶点，过F 的动直线交该椭圆于C ，D 两点，记ACD ∆的面积为1S ，BCD ∆的面积为2S ，求21S S -的最大值.典例4．（2020·河南高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且椭圆过点)（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M 、N 两点，点D 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【举一反三】（2020·全国高三专题练习）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．（2020·重庆高三月考）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率e =且圆221x y +=经过椭圆C的上、下顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 相切，且与椭圆22122:144x y C a b+=相交于M ，N 两点，证明：OMN 的面积为定值（O 为坐标原点）.方向四 范围与定值问题典例5．（2020·内蒙古高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率32e =，且圆222x y +=过椭圆C 的上，下顶点. （1）求椭圆C 的方程. （2）若直线l 的斜率为12，且直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点P 关于点的对称点为E ，点()2,1A -是椭圆C 上一点，判断直线AE 与AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理.典例6．（2020·全国高三专题练习）已知顶点为原点的抛物线C 的焦点与椭圆2221y x a+=的上焦点重合，且过点(22,1).（1）求椭圆的标准方程；（2）若抛物线上不同两点A ，B 作抛物线的切线，两切线的斜率121k k =-，若记AB 的中点的横坐标为m ，AB 的弦长()g m ，并求()g m 的取值范围.【举一反三】（2020·全国高三专题练习（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长是离心率的两倍，直线l ：4430x y -+=交C 于A ，B 两点，且AB 的中点横坐标为12-． （1）求椭圆C 的方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上的点，O 为坐标原点，且满足2234OM ON +=，求证：OM ，ON 斜率的平方之积是定值．（2020·四川石室中学高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的两倍，焦距(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，求ⅠOMN 面积的取值范围.【压轴选编】1.（2020·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）在椭圆C 上，是否存在点(),M m n ，使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由.2.【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线与椭圆C 交于M,N 两点，ΔF 2MN 的周长为8，直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为4√427.（1）求椭圆C 的方程；（2）设A,B 是椭圆上两动点，线段AB 的中点为P ，OA,OB 的斜率分别为k 1,k 2（O 为坐标原点），且4k 1k 2=−3，求|OP |的取值范围.3.【2019湖北省重点中学联考】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =，且经过点1,2⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆方程；（2）过点()0,2P 的直线与椭圆交于M N 、两个不同的点，求线段MN 的垂直平分线在x 轴截距的范围．4.【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知点F(√3,0)是椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点，点M (√3,12)在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于不同的A,B 两点，且k OA +k OB =−12（O 为坐标原点），求直线l 斜率的取值范围.5.【北京市海淀区2019届高三上学期期末考试】已知点B(0,−2)和椭圆M:x 24+y 22=1. 直线l:y =kx +1与椭圆M 交于不同的两点P,Q . (Ⅰ) 求椭圆M 的离心率； (Ⅰ) 当k =12时，求ΔPBQ 的面积；（Ⅰ）设直线PB 与椭圆M 的另一个交点为C ，当C 为PB 中点时，求k 的值 .6. 【宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期期末考试】已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√32，长轴长为4，直线y =kx +m 与椭圆C 交于A,B 两点且∠AOB 为直角，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅰ）求AB 长度的最大值.7．（2020·河南鹤壁高中高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 是椭圆短轴的一个顶点，并且12PF F ∆是面积为1的等腰直角三角形. （1）求椭圆E 的方程；（2）设直线1:1l x my =+与椭圆E 相交于,M N 两点，过M 作与y 轴垂直的直线2l ，已知点3(,0)2H ,问直线NH 与2l 的交点的横坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.8．（2020·江西高三）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点1)2-.（1）求椭圆C 的方程.（2）若A ，B 是椭圆C 上的两个动点（A ，B 两点不关于x 轴对称），O 为坐标原点，OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，问是否存在非零常数λ，使当12k k λ=时，AOB ∆的面积S 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.9．（2020·甘肃省岷县第一中学期末）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM ⋅为定值.10．（2020·江苏高三期末）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为4，且椭圆过点5(2,)3，过点2F 且不平行于坐标轴的直线l 交椭圆与,P Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M .（1）求1PFQ 的周长； （2）求1PF M 面积的最大值.11．（2020·河南高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，过坐标原点O 作两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于M ，N 两点.（1）证明：当229a b +取得最小值时，椭圆C . （2）若椭圆C 的焦距为2，是否存在定圆与直线MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.12．（2020·四川高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴顶点分别为,A B ,且短轴长为2,T 为椭圆上异于,A B 的任意-一点,直线,TA TB 的斜率之积为13- (1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为坐标原点,圆223:4O x y +=的切线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点,求POQ △面积的最大值.13．（2020·内蒙古高三）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线260x -+=相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点A ，B 为动直线()()20y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点E ，使得2EA EA AB +⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由.14．（2020·河北高三期末）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为0)，四条直线x a =±，y b =±所围成的区域面积为（1）求C 的方程；（2）设过(0,3)D 的直线l 与C 交于不同的两点,A B ，设弦AB 的中点为M ，且1||||2OM AB =（O 为原点），求直线l 的方程.15．（2020·山东高三期末）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的短轴长和焦距相等，左、右焦点分别为1F 、2F ，点1,2Q ⎛ ⎝⎭满足：122QF QF a +=.已知直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过点2F ，且222AF F B =，求直线l 的方程；（3）若直线l 与曲线ln y x =相切于点(),ln T t t （0t >），且AB 中点的横坐标等于23，证明：符合题意的点T 有两个，并任求出其中一个的坐标.16．（2020·安徽高三）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>过点(1,1)M 离心率为2.（1）求Γ的方程；（2）如图，若菱形ABCD 内接于椭圆Γ，求菱形ABCD 面积的最小值.17．（2020·福建省福州第一中学高三开学考试）已知O 为坐标原点，椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为y x =截圆O ：222x y a +=与椭圆E 所得的弦长之比为2，椭圆E 与y 轴正半轴的交点分别为A .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点()00,B x y （00y ≠且01y ≠±）为椭圆E 上一点，点B 关于x 轴的对称点为C ，直线AB ，AC分别交x 轴于点M ，N .试判断OM ON ⋅是否为定值？若是求出该定值，若不是定值，请说明理由.18．（2020·江西高三期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭是椭圆上的点，,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，当,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？请说明理由.19．（2020·甘肃高三期末）设椭圆2222:1y x C a b +=(0)a b >>的离心率是2，直线1x =被椭圆C 截得的弦长为（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，当MAB △的面积最大时，求直线l 的方程.20．（2020·江西高三期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，F 为椭圆C 的右焦点，2D ⎛ ⎝⎭为椭圆上一点，C 的离心率2e =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）斜率为k 的直线l 过点F 交椭圆C 于,M N 两点，线段MN 的中垂线交x 轴于点P ，试探究||||PF MN 是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由.21．（2020·青海高三期末）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，（1）试求椭圆M 的方程； （2）若斜率为12的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点，点3(1)2P ，为椭圆M 上一点，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，试问：12k k +是否为定值？请证明你的结论22．（2020·四川高三期末）在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)P x y 满足直线AP 与BP 的斜率之积为34-.记点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)若M ，N 是曲线C 上的动点，且直线MN 过点10,2D ⎛⎫⎪⎝⎭，问在y 轴上是否存在定点Q ，使得MQO NQO ∠=∠若存在，请求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.23．（2020·山西高三期末）已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，M 是椭圆C 上一点，当112MF F F ⊥时，有213MF MF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过椭圆右焦点2F 的动直线l 与椭圆交于,A B 两点，试问在x 铀上是否存在与2F 不重合的定点T ，使得22ATF BTF ∠=∠恒成立？若存在，求出定点T 的坐标，若不存在，请说明理由.专题三 压轴解答题第二关 椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．【考点方向标】 方向一 中点问题典例1．（2020·山东高三期末）已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，PF =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且OM ，求AOB ∆面积的最大值.【答案】（1）22182x y +=；（2）2. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题知，点,2P c ⎛⎫±⎪ ⎪⎝⎭，b =则有222212c a ⎛⎫⎪⎝⎭+=，2234c a ∴=，又22222a b c c =+=+，28a ∴=，26c =， 因此，椭圆C 的标准方程为22182x y +=；（2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OMAB ⊥，由OM =AB12AOB S OM AB ∆=⋅=； 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，由22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222148480k x ktx t +++-=. 122814kt x x k -∴+=+，21224814t x x k-=+，从而224,1414kt t M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭已知OM =()2222214116k t k+=+.()()()22222212122284814141414kt t AB k x x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()222221682114k t k k -+=++. 设O 到直线AB 的距离为d ，则2221t d k=+， ()()()222222221682114114AOBk t t S k k k ∆-+=+⋅++. 将()2222214116k t k+=+代入化简得()()2222219241116AOB k k S k ∆+=+.令2116k p +=，则()()()22222211211192414116AOBp p k k S p k ∆-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==+211433433p ⎡⎤⎛⎫=--+≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.当且仅当3p =时取等号，此时AOB ∆的面积最大，最大值为2. 综上：AOB ∆的面积最大，最大值为2. 【举一反三】（2020·河南南阳中学高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆C 的离心率为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为(1,)M t ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，求证：直线m 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）2214x y +=；（2）直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，详见解析.【解析】（1）抛物线2y =的焦点为，则c =椭圆C 的离心率c e a ==2222,1a b a c ==-=. 故椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）方法一：显然点(1,)M t 在椭圆C 内部，故t <<，且直线l 的斜率不为0. 当直线l 的斜率存在且不为0时，易知0t ≠，设直线l 的方程为(1)y k x t =-+， 代入椭圆方程并化简得22222(14)(88)48440k x kt k x k kt t ++-+-+-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212288214kt k x x k -+=-=+，解得14k t =-. 因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，故直线:4(1)m y t t x -=-，即(43)y t x =-.令430x -=，此时3,04x y ==，于是直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭.当直线l 的斜率不存在时，易知0t =，此时直线:0m y =，故直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.方法二：显然点(1,)M t 在椭圆C 内部，故t <<，且直线l 的斜率不为0. 当直线l 的斜率存在且不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有221114x y +=，222214x y +=，两式相减得12121212()()()()04x x x x y y y y +-++-=.由线段AB 的中点为(1,)M t ，则12122,2x x y y t +=+=， 故直线l 的斜率121214y y k x x t-==--.因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，故直线:4(1)m y t t x -=-，即(43)y t x =-. 令430x -=，此时3,04x y ==，于是直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭. 当直线l 的斜率不存在时，易知0t =，此时直线:0m y =，故直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上所述，直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.方向二 垂直问题典例2．（2020·安徽期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且过点(22．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线,AB DE 交椭圆分别于,,,A B D E ，且满足12AM AB =，12DN DE =，求MNF ∆面积的最大值． 【答案】（1）2212x y +=；（2）19.【解析】（1）根据条件有22222{13124a b a b=+=，解得222,1a b ==，所以椭圆22:12x C y +=． （2）根据12AM AB =，12CN CD =可知，,M N 分别为,AB DE 的中点， 且直线,AB DE 斜率均存在且不为0，现设点()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为1x my =+，不妨设0m >， 联立椭圆C 有()222210m y my ++-=， 根据韦达定理得：12222m y y m +=-+，()12122422x x m y y m +=++=+， 222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，MF =，同理可得12NF m =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 所以MNF ∆面积2112142MNFm m S MF NF m m ∆+==⎛⎫++ ⎪⎝⎭，现令12t m m =+≥， 那么21124294MNF t S t t t∆==≤++，所以当2t =，1m =时，MNF ∆的面积取得最大值19． 【举一反三】（2020·吉林东北师大附中高三月考）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且AB OP ，且POB ∆的面积是12，其中O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程.（2）若过点F 的直线1l ，2l 互相垂直，且分别与椭圆C 交于点M ，N ，S ，T 四点，求四边形MSNT 的面积S 的最小值.【答案】（1）2212x y +=；（2）169【解析】（1）依题意画出下图可设2(,)b P c a-，(,0)A a ，(0,)B b ，则有：22221122OPAB POB b b k k ac a S bc b c a∆⎧-===⎪-⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，Ⅰ椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）Ⅰ当1l x ⊥，2//l x 时，22122222MSNTb S a b a===； Ⅰ当1l ，2l 斜率存在时，设1l ：1x ky =-，2l ：11x y k=-，分别联立椭圆方程2212x y +=，联立22112x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210k y ky +--=， Ⅰ12222k y y k +=+，12212y y k -=+， ⅠMN==)2212k k +=+，同理)22221111122k k ST k k⎫+⎪+⎝⎭==++， Ⅰ12S MN ST =()()()22228112221k k k +=++()()()222241221k k k +=++()2222241221()2k k k +≥+++()22224(1)169914k k +==+，当且仅当22221k k +=+即21k =即1k =±时等号成立， 故四边形MSNT 的面积S 的最小值min 169S =．方向三 面积问题典例3．（2020·安徽高三月考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，经过点F 的直线与椭圆相交于M ，N 两点，点P 为线段MN 的中点，点O 为坐标原点.当直线MN 的斜率为1时，直线OP 的斜率为12-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆的左顶点，点B 为椭圆的右顶点，过F 的动直线交该椭圆于C ，D 两点，记ACD ∆的面积为1S ，BCD ∆的面积为2S ，求21S S -的最大值.【答案】（1）2212x y +=（2【解析】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则点1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭，由条件知直线MN 的斜率为12121y y x x -=-，直线OP 的斜率为121212y y x x +=-+，而22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得，22221212220x x y y a b --+=， 所以()()()()22212121222212121212y y y y y y b a x x x x x x -+--===---+，即222a b =， 又左焦点为()1,0F -，所以22222221c a b b b b =-=-==，所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=.（2）设直线CD 的方程为1x my =-，记C ，D 过标为()11,x y ，()22,x y ，则1121212S AF y y y y =⋅-=-，2121212S BF y y y y =⋅-=-， 所以2112S S y y -=-.联立方程，22221x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()222210m y my +--=，所以12222m y y m +=+，12212y y m =-+，12y y -==，令21tm =+，则1t ≥，且()()()2222818882122122m tt mt t+==≤=+++++，当且仅当1t =时等号成立， 所以2112S S y y -=-21S S -.典例4．（2020·河南高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b ab +=>>的离心率2e =，且椭圆过点)（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M 、N 两点，点D 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】（1）22142x y+=；（2. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题意可得222222211c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得24a =，22b =，因此，椭圆C 的标准方程为22142x y +=；（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =.若直线l 的方程为1x =，联立221142x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩此时，MN =OMDN的面积为122=同理，当直线l 的方程为1x =-时，可求得四边形OMDN； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，代人到22142x y +=，得()222124240k x kmx m +++-=，122412km x x k -∴+=+，21222412m x x k -=+，()228420k m ∆=+->， ()12122221my y k x x m k∴+=++=+，12MN x x =-==，点O 到直线MN的距离d =，由OM OC OD +=，得122421D km x x x k =+=-+，122212D my y y k =+=+， 点D 在椭圆C 上，所以有222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22122k m +=，由题意知，四边形OMDN 为平行四边形，∴平行四边形OMDN的面积为1222OMDN OMNS S MN d ∆==⨯⨯=()222121k k +====+故四边形OMDN . 【举一反三】（2020·全国高三专题练习）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．【答案】（Ⅰ）2241x y +=;（Ⅰ）（Ⅰ）见解析；（Ⅰ）12S S 的最大值为94，此时点P的坐标为1,)24【解析】（Ⅰ=，解得2a b =． 因为抛物线的焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,2a b ==，所以椭圆的方程为2241x y +=．（Ⅰ）（1）设2,(0)2m m P m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由22x y =可得y x '=，所以直线l 的斜率为m ，其直线方程为2()2m y m x m -=-，即22my mx =-． 设()()()112200,,,,,A x y B x y D x y ，联立方程组2222m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去y 并整理可得()223441410m x m x m +-+-=，故由其判别式>0∆可得0m <<3122441m x x m +=+， 故312022241x x m x m +==+,代入22m y mx =-可得()202241m y m =-+， 因为0014y x m =-，所以直线OD 的方程为14y x m=-． 联立14y x m x m⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得点的纵坐标为14y =-，即点M 在定直线14y =-上． （2）由（1）知直线l 的方程为22m y mx =-，令0x =得22m y =-，所以20,2m G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()2322212,,,0,,2241241m m m P m F D m m ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()2111||124S GF m m m ==+，()()22202211||2841m m S PM m x m +=⋅-=+， 所以()()()221222241121m m S S m ++=+，令221t m =+，则1222(21)(1)112S t t S t t t -+==-++， 因此当112t =，即2t =时，12S S 最大，其最大值为94，此时2m =满足>0∆，所以点P 的坐标为1,24⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，因此12S S 的最大值为94，此时点P 的坐标为1,24⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． （2020·重庆高三月考）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率2e =，且圆221x y +=经过椭圆C的上、下顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 相切，且与椭圆22122:144x y C a b+=相交于M ，N 两点，证明：OMN 的面积为定值（O 为坐标原点）.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析.【解析】（1）解：因为圆221x y +=过椭圆C 的上、下顶点，所以1b =.又离心率2e ==，所以21314a -=，则24a =. 故椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）证明：椭圆221:1164x y C +=，当直线l 的斜率不存在时，这时直线l 的方程为2x =±，联立2221164x x y =±⎧⎪⎨+=⎪⎩，得y =||MN =则12||2OMN S MN ∆=⨯⨯= 当直线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222418410k x kmx m +++-=，由0∆=，可得2241m k =+. 联立221164y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222418440k x kmx m +++-=.设()11,,M x y ()22,N x y ，所以1228,41km x x k +=-+()21224441m x x k -=+，则||MN ==.因为原点到直线l的距离d ==1||2OMNS MN d =⋅=. 综上所述，OMN ∆的面积为定值方向四 范围与定值问题典例5．（2020·内蒙古高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率e =且圆222x y +=过椭圆C 的上，下顶点. （1）求椭圆C 的方程. （2）若直线l 的斜率为12，且直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点P 关于点的对称点为E ，点()2,1A -是椭圆C 上一点，判断直线AE 与AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理.【答案】（1）22182x y +=；（2）是，0. 【解析】（1）因为圆222x y +=过椭圆C的上，下顶点，所以b =又离心率2e =3a c =，于是有222b a a bc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得a =b =所以椭圆C 的方程为22182x y +=； （2）由于直线l 的斜率为12，可设直线l 的方程为12y x t =+，代入椭圆C ：2248x y +=， 可得222240x tx t ++-=.由于直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，所以()2244240t t ∆=-->， 整理解得22t -<<设点()11,P x y 、()22,Q x y ，由于点P 与点E 关于原点的对称，故点()11,E x y --，于是有122x x t +=-，21224x x t =-.若直线AE 与AQ 的斜率分别为AE k ，AQ k ，由于点()2,1A -，则21211122AE AQ y y k k x x ---+=++-+()()()()()()122121212122x y x y x x ---++=+-， 又Ⅰ1112y x t =+，2212y x t =+. 于是有()()()()12212121x y x y ---++()()2112211224y y x y x y x x =--++--()211212124x x x x tx tx x x =--+++--()12124x x t x x =-+--()()224240t t t =-----=，故直线AE 与AQ 的斜率之和为0，即0AE AQ k k +=.典例6．（2020·全国高三专题练习）已知顶点为原点的抛物线C 的焦点与椭圆2221y x a+=的上焦点重合，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若抛物线上不同两点A ，B 作抛物线的切线，两切线的斜率121k k =-，若记AB 的中点的横坐标为m ，AB 的弦长()g m ，并求()g m 的取值范围.【答案】（1）2215y x +=；（2）[)8,+∞. 【解析】（1）由题意可知，设抛物线方程为：22x py =点在抛物线C 上，所以抛物线C 的方程为28x y =，所以椭圆的上焦点为(0,2)，所以椭圆的标准方程为2215y x +=；（2）设211,,8x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,8x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在A 点处的切线的斜率114x k =，在B 点处的切线的斜率224x k =，又1212116x xk k ⋅==-，所以 22212188ABx x k x x -=-218x x +=,4m =212x x m +=，而12|||AB x =-===所以g()m =20m ≥，所以()8g m ≥.【举一反三】（2020·全国高三专题练习（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长是离心率的两倍，直线l ：4430x y -+=交C 于A ，B 两点，且AB 的中点横坐标为12-． （1）求椭圆C 的方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上的点，O 为坐标原点，且满足2234OM ON +=，求证：OM ，ON 斜率的平方之积是定值．【答案】（1）22241x y +=（2）证明见解析【解析】由椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长是离心率的两倍得22a e =，即2a c =………..Ⅰ 设1122(,),(,)A x y B x y联立22221x y a b+=和4430x y -+=整理得222222239()0216a b x a x a a b +++-=； 所以2122232ax x a b +=-+， 依题意得：22232=1aa b--+，即222a b =……..Ⅰ· 由ⅠⅠ得依题意得：2211,24a b ==，所以椭圆C 的方程为22241x y +=.（2）设3344(,),(,)M x y N x y ，由223||||4OM ON +=得2222334434x y x y +++= 因为3344(,),(,)M x y N x y 在椭圆C 上，所以22332244241,241,x y x y ⎧+=⇒⎨+=⎩223412x x +=， 22223422342222343411(12)(12)44OM ON x x y y K K x x x x -⋅-⋅===222234342234112()4)1164x x x x x x -++=（ （2020·四川石室中学高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的两倍，焦距(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，求ⅠOMN 面积的取值范围.【答案】(1)2214x y +=；(2) (0,1)．【解析】(1)由已知得222222{2a bc a c a b =⨯==-⇒2{1a b ==ⅠC 方程：2214x y += (2)由题意可设直线l 的方程为：y kx m =+(0,0)k m ≠≠联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得：222(14)84(1)0k x kmx m +++-= 则Ⅰ22226416(14)(1)k m k m =-+-2216(41)0k m =-+>,此时设11(,)M x y 、22(,)N x y Ⅰ212122284(1),1414km m x x x x k k-+=-=++ 于是2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++又直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，Ⅰ2221211121212()y y k x x km x x m k x x x x +++⋅==⇒22228014k m m k-+=+ 由0m ≠得：214k =⇒12k =±.又由Ⅰ0>得：202m << 显然21m ≠（否则：120x x =，则12,x x 中至少有一个为0，直线OM 、ON 中至少有一个斜率不存在，矛盾！）设原点O 到直线l 的距离为d ,则1212OMNSMN d x ==-12== 故由m 得取值范围可得ⅠOMN 面积的取值范围为(0,1)【压轴选编】1.（2020·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）在椭圆C 上，是否存在点(),M m n ，使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，M 的坐标为62,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、62,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、62,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、62,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，最大值为．【解析】（Ⅰ）因为e =2223c a =，于是223a b .设椭圆C 上任一点，椭圆方程为，，=Ⅰ当，即时，（此时舍去；Ⅰ当即时，综上椭圆C 的方程为．（Ⅰ）圆心到直线l 的距离为221d m n=+，弦长，所以OAB ∆的面积为点,当时，由得综上所述，椭圆上存在四个点2⎫⎪⎪⎝⎭、⎛⎝⎭、⎝⎭、⎛ ⎝⎭，使得直线与圆相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大，且最大值为12. 2.【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线与椭圆C 交于M,N 两点，ΔF 2MN 的周长为8，直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为4√427.（1）求椭圆C 的方程；（2）设A,B 是椭圆上两动点，线段AB 的中点为P ，OA,OB 的斜率分别为k 1,k 2（O 为坐标原点），且4k 1k 2=−3，求|OP |的取值范围.【解析】（1）根据题意4a =8，∴a =2. 把y =x 代入椭圆方程x 24+y 2b 2=1得，x 2=4b 24+b 2， 因为直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为4√427， 所以2√4b 24+b 2+4b 24+b 2=4√427，解得b 2=3， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.（2）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，P (x 0,y 0)，由k 1k 2=−34，得3x 1x 2+4y 1y 2=0，当AB 的斜率不存在时，x 1=x 2，y 1=−y 2，3x 12−4y 12=0，又3x 12+4y 12=12， ∴x 12=2，这时|OP |=√2.当AB 的斜率存在时，设直线AB:y =kx +m ，由得{3x 2+4y 2=12y =kx +m ：(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0， 由Δ>0得m 2<4k 2+3Ⅰx 1+x 2=−8km 3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2，结合3x 1x 2+4y 1y 2=0得2m 2=4k 2+3≥3Ⅰ 由ⅠⅠ知m ≠0且m 2≥32，x 0=x 1+x 22=−2k m ，y 0=kx 0+m =32m ，∴|OP|2=x 02+y 02=4k 2m 2+94m 2=2m 2−3m 2+94m 2=2−34m 2≥32∴√2>|OP |≥√62综上|OP |的取值范围为[√62,√2]. 3.【2019湖北省重点中学联考】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且经过点1,2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆方程；（2）过点()0,2P 的直线与椭圆交于M N 、两个不同的点，求线段MN 的垂直平分线在x 轴截距的范围．【解析】（1）2212x y += （2）PM 的斜率不存在时， MN 的垂直平分线与x 轴重合，没有截距，故PM 的斜率存在. 设PM 的方程为2y kx =+，代入椭圆方程 得： ()2212860k x kx +++=PM 与椭圆有两个不同的交点()()22841260k k ∴∆=-+⨯>，即232k >，即2k >或2k <-设()()1122,,,,M x y N x y MN 的中点()0,0Q x y 则120002242,221212x x k x y kx k k +==-=+=++ MN ∴的垂直平分线的方程为222141212k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭∴在x 轴上的截距为222242121212k k kk k k -=-+++ 设()2212xf x x =-+，则()()()22222112x f x x-+'=， 232x ∴>时， ()0f x '>恒成立x ∴>()0;f x x <<<时()0f x <<MN ∴的垂直平分线在x 轴上的截距的范围是⎛⎫⎛⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭4.【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知点F(√3,0)是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点，点M (√3,12)在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于不同的A,B 两点，且k OA +k OB =−12（O 为坐标原点），求直线l 斜率的取值范围. 【解析】（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为(−√3,0)，所以点M 到两焦点的距离之和为√(2√3)2+(12)2+12=4.所以a =2.又因为c =√3，所以b =1，则椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.（2）当直线l 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，k OA +k OB =0，不符合题意. 故设l 直线的方程为y =kx +m ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 联立{y =kx +m x 24+y 2=1，可得(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0.所以{x 1+x 2=−8km4k 2+1,x 1x 2=4(m 2−1)4k 2+1, 而k OA +k OB =y 1x 1+y 2x 2=(kx 1+m )x 2+(kx 2+m )x 1x 1x 2=2k +m (x 1+x 2)x 1x 2=2k +−8km 24(m 2−1)=−2km 2−1，由k OA +k OB =−12，可得m 2=4k +1.所以k ≥−14，又因为16(4k 2−m 2+1)>0，所以4k 2−4k >0.综上，k ∈[−14,0)∪(1,+∞).5.【北京市海淀区2019届高三上学期期末考试】已知点B(0,−2)和椭圆M:x 24+y 22=1. 直线l:y =kx +1与椭圆M 交于不同的两点P,Q . (Ⅰ) 求椭圆M 的离心率；(Ⅰ) 当k =12时，求ΔPBQ 的面积；（Ⅰ）设直线PB 与椭圆M 的另一个交点为C ，当C 为PB 中点时，求k 的值 . 【解析】（Ⅰ）因为a 2=4,b 2=2，所以a =2,b =√2,c =√2 所以离心率e =c a=√22（Ⅰ）设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)若k =12，则直线l 的方程为y =12x +1由{x 24+y 22=1y =12x +1 ，得3x 2+4x −4=0 解得 x 1=−2,x 2=23设A(0,1)，则 S ΔPBQ =12|AB|(|x 1|+|x 2|)=12×3×(23+2)=4（Ⅰ）法一： 设点C(x 3,y 3)，因为P(x 1,y 1)，B(0,−2)，所以{x 3=x 12y 3=−2+y 12又点P(x 1,y 1)，C(x 3,y 3)都在椭圆上，所以{x 124+y 122=1(x 12)24+(−2+y 12)22=1解得{x 1=√142y 1=−12 或{x 1=−√142y 1=−12 所以 k =−3√1414或k =3√1414法二：设C(x 3,y 3)显然直线PB 有斜率，设直线PB 的方程为y =k 1x −2 由{x 24+y 22=1y =k 1x −2， 得 (2k 12+1)x 2−8k 1x +4=0所以{Δ=16(2k 12−1)>0x 1+x 3=8k12k 12+1x 1x 3=42k 12+1又x 3=12x 1 解得{x 1=−√142k 1=−3√1414 或 {x 1=√142k 1=3√1414所以{x 1=−√142y 1=−12或 {x 1=√142y 1=−12所以k =3√1414或k =−3√14146. 【宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期期末考试】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√32，长轴长为4，直线y =kx +m 与椭圆C 交于A,B 两点且∠AOB 为直角，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅰ）求AB 长度的最大值. 【解析】（I ）由2a =4，Ⅰa =2，e =√32，Ⅰc =√3，b =1所以椭圆方程为x 24+y 2=1（II ）设A(x 1,y 1) B(x 2,y 2)，把y =kx +m 代入x 24+y 2=1，得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0 x 1+x 2=−8km4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，∠AOB =90°，OA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2=0， x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=04k 2+4=5m 2，Δ=16(4k 2+1−m 2)>0 Ⅰ4k 2+1−m 2=4k 2+1−4k 2+45>0 Ⅰ16k 2+1>0，则|AB |=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√1+k 2√4k 2+1−m 24k 2+1=4√1+k 2√4k 2+1−4k 2+454k 2+1=45√5⋅√16k 4+17k 2+116k 4+8k 2+1。
(浙江专用)2020版高考数学大二轮复习专题四小题考法课二圆锥曲线的方程与性质课时跟踪检测
圆锥曲线的方程与性质[课时跟踪检测] [A 级——基础小题提速练]一、选择题1．(2019·绍兴柯桥区高三调研)双曲线x 23－y 2＝m (m ＞0)的离心率是( )A.233B.62C. 2D ．2解析：选A 由双曲线方程得a 2＝3m ，b 2＝m ，则双曲线的离心率e ＝ca＝1＋b 2a 2＝233，故选A.2．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝132，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±32xB ．y ＝±23xC ．y ＝±94xD ．y ＝±49x解析：选A 由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝132，可得c 2a 2＝134，∴b 2a2＋1＝134，可得b a ＝32，故双曲线的渐近线方程为y ＝±32x . 3．(2019·北京高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则( )A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b解析：选B 因为椭圆的离心率e ＝c a ＝12，所以a 2＝4c 2.又a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4b 2.4．(2019·天津高考)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：选D 由已知易得，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线l ：x ＝－1，所以|OF |＝1.又双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±bax ，不妨设点A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，b a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－b a，所以|AB |＝2b a ＝4|OF |＝4，所以b a＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝4a 2.又双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，所以c 2＝5a 2，所以e ＝c a＝ 5.5．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A.324B.322C ．2 2D ．3 2解析：选A 法一：双曲线x 24－y 22＝1的右焦点F (6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，得点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324. 法二：不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以|OF |＝ 6.又tan ∠POF ＝ba ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324. 6．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选A 法一：设P (x 0，y 0)，由题意知|x 0|<a ，因为∠F 1PF 2为钝角，所以PF 1→·PF 2→<0有解，即(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)<0，化简得c 2>x 20＋y 20，即c 2>(x 20＋y 20)min ，又y 20＝b2－b 2a 2x 20，0≤x 20<a 2，故x 20＋y 20＝b 2＋c 2a 2x 20∈[b 2，a 2)，所以(x 20＋y 20)min ＝b 2，故c 2>b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以e 2＝c 2a 2>12，解得e >22，又0<e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.法二：椭圆上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角⇔以原点O 为圆心，以c为半径的圆与椭圆有四个不同的交点⇔b <c .如图，由b <c ，得a 2－c 2<c 2，即a 2<2c 2，解得e ＝c a >22，又0<e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 7．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若射线y ＝2(x －1)(x ≤1)与C ，l 分别交于P ，Q 两点，则|PQ ||PF |＝( )A. 2 B ．2 C. 5D ．5解析：选C 由题意，知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，设准线l ：x ＝－1与x 轴的交点为F 1.过点P 作直线l的垂线，垂足为P 1(图略)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2(x －1)，x ≤1，得点Q 的坐标为(－1，－4)，所以|FQ |＝2 5.又|PF |＝|PP 1|，所以|PQ ||PF |＝|PQ ||PP 1|＝|QF ||FF 1|＝252＝5，故选C.8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点O 对称的两点，且直线AB 的斜率为2 2.M ，N 分别为AF 2，BF 2的中点，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，则双曲线的离心率为( )A. 3B. 6C.6＋ 3D.6－ 2解析：选C 设双曲线的焦距为2c ，MN 与x 轴交于点H ，如图可知，OH ＝MN 2＝AB 4＝c2，所以AB ＝2c ， 由⎩⎨⎧y ＝22x ，b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2，可得x ＝± a 2b 2b 2－8a 2，所以AB ＝6a 2b 2b 2－8a2＝2c ，所以有18a 2c 2－9a 4＝c 4， 解得e 2＝9＋62，所以离心率e ＝6＋3，故选C.9．设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA ＝π4，若AB ＝4，BC ＝2，则椭圆的两个焦点之间的距离为( )A.463 B.263 C.433D.233解析：选A 不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，如图，由题意知，2a ＝4，a ＝2，∵∠CBA ＝π4，BC ＝2，∴点C 的坐标为(－1,1)，∵点C 在椭圆上，∴122＋1b 2＝1，∴b 2＝43，∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，c ＝263，则椭圆的两个焦点之间的距离为2c ＝463.10．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥35|CD |，则双曲线离心率e 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，54 解析：选B 将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝±b 2a ，不妨取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，所以|AB |＝2b2a.将x ＝c 代入双曲线的渐近线方程y ＝±b a x ，得y ＝±bc a，不妨取C ⎝⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，D ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，所以|CD |＝2bca.因为|AB |≥35|CD |，所以2b 2a ≥35×2bc a ，即b ≥35c ，则b 2≥925c 2，即c 2－a 2≥925c 2，即1625c 2≥a 2，所以e 2≥2516，所以e ≥54，故选B.二、填空题11．过抛物线y ＝14x 2的焦点F 作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，题中的抛物线x 2＝4y 的焦点坐标是F (0,1)，直线AB 的方程为y ＝33x ＋1，即x ＝3(y －1)．由⎩⎨⎧x 2＝4y ，x ＝3(y －1)，消去x 得3(y －1)2＝4y ，即3y 2－10y ＋3＝0，Δ＝(－10)2－4×3×3>0，y 1＋y 2＝103，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝y 1＋y 2＋2＝163.答案：16312．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是________．解析：因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－16b2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .答案：y ＝±2x13．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．解析：由点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，可知P (x 0，y 0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a ＝2，b ＝1，所以由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|<2a ＝22，又|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|＝2，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是[2,22)．答案：[2,22)14．已知点A (4,4)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，F 为抛物线的焦点，过A 作该抛物线准线的垂线，垂足为E ，则p ＝________，∠EAF 的角平分线所在的直线方程为________．解析：把A (4,4)代入抛物线方程，得p ＝2.由抛物线的性质得|AE |＝|AF |，连接EF ，则△EAF 为等腰三角形．设EF 的中点为B ，则直线AB 为∠EAF 的角平分线所在的直线．由F (1,0)，E (－1,4)，得B (0,2)，则k AB ＝4－24－0＝12，则直线AB 的方程为y ＝12x ＋2，故∠EAF 的角平分线所在的直线方程为x －2y ＋4＝0.答案：2 x －2y ＋4＝015．已知椭圆的方程为x 29＋y 24＝1，过椭圆中心的直线交椭圆于A ，B 两点，F 2是椭圆的右焦点，则△ABF 2的周长的最小值为________，△ABF 2的面积的最大值为________．解析：设F 1是椭圆的左焦点．如图，连接AF 1.由椭圆的对称性，结合椭圆的定义知|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＝6，所以要使△ABF 2的周长最小，必有|AB |＝2b ＝4，所以△ABF 2的周长的最小值为10.S △ABF 2＝S △AF 1F 2＝12×2c ×|y A |＝5|y A |≤25，所以△ABF 2面积的最大值为2 5.答案：10 2 516．(2019·浙江十校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2(1,0)且斜率为1的直线交椭圆于A ，B ，若三角形F 1AB 的面积等于2b 2，则该椭圆的离心率为________．解析：设椭圆的焦距为2c ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得直线AB 的方程为y ＝x －1，与椭圆方程联立，消去x 化简得(a 2＋b 2)y 2＋2b 2y ＋b 2－a 2b 2＝0，由根与系数的关系得，y 1＋y 2＝－2b 2a 2＋b 2，y 1·y 2＝b 2－a 2b 2a 2＋b 2，则△F 1AB 的面积为12×2c |y 1－y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 2a 2＋b 22－4(b 2－a 2b 2)a 2＋b 2＝2b 2，化简得－2a 2＋2a 4＋2a 2b 2＝b 2(a 2＋b 2)2，又因为b 2＝a 2－1，所以4a 4－8a 2＋1＝0，解得a ＝1＋32，则椭圆的离心率e ＝ca＝3－1. 答案：3－117.如图，已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的左、右焦点，过点F 1的直线与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，与双曲线的左、右两支分别交于A ，B ，若|F 2B |＝|AB |，则b 的值是________．解析：法一：因为|F 2B |＝|AB |，所以结合双曲线的定义，得|AF 1|＝|BF 1|－|AB |＝|BF 1|－|BF 2|＝2，连接OT ，在Rt △OTF 1中，|OT |＝1，|OF 1|＝c ，|TF 1|＝b ，所以cos ∠F 2F 1A ＝b c，sin ∠F 2F 1A ＝1c，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫－c ＋2×b c，2×1c ，将点A 的坐标代入双曲线得()－c 2＋2b 2c2－4c 2b2＝1，化简得b 6－4b 5＋5b 4－4b 3－4＝0，得(b 2－2b －2)(b 4－2b 3＋3b 2－2b ＋2)＝0，而b 4－2b 3＋3b 2－2b ＋2＝b 2(b －1)2＋b 2＋1＋(b －1)2＞0，故b 2－2b －2＝0，解得b ＝1±3(负值舍去)，即b ＝1＋ 3.法二：因为|F 2B |＝|AB |，所以结合双曲线的定义，得|AF 1|＝|BF 1|－|AB |＝|BF 1|－|BF 2|＝2，连接AF 2，则|AF 2|＝2＋|AF 1|＝4.连接OT ，在Rt △OTF 1中，|OT |＝1，|OF 1|＝c ，|TF 1|＝b ，所以cos ∠F 2F 1A ＝b c .在△AF 1F 2中，由余弦定理得，cos ∠F 2F 1A ＝|F 1F 2|2＋|AF 1|2－|AF 2|22|F 1F 2|·|AF 1|＝c 2－32c，所以c 2－3＝2b ，又在双曲线中，c 2＝1＋b 2，所以b 2－2b －2＝0，解得b ＝1±3(负值舍去)，即b ＝1＋ 3.答案：1＋ 3[B 级——能力小题保分练]1．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的离心率为3，左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点，∠F 1PF 2的角平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ，|F 2Q |＝2，则双曲线的方程为( )A.x 22－y 2＝1B ．x 2－y 22＝1C ．x 2－y 23＝1D.x 23－y 2＝1 解析：选B ∵∠F 1PF 2的角平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ，∴|PF 1|＝|PQ |，P ，F 2，Q 三点共线，而|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PQ |－|PF 2|＝2a ，即|F 2Q |＝2＝2a ，解得a ＝1.又e ＝c a ＝3，∴c ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝2，∴双曲线的方程为x 2－y 22＝1.故选B. 2.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F .若13<k <12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选C 由题图可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a ，于是k ＝|BF ||AF |＝a 2－c 2a (a ＋c ).又13<k <12，所以13<a 2－c 2a (a ＋c )<12，化简可得13<1－e <12，从而可得12<e <23，故选C.3．(2019·学军中学高考模拟)已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，P (a,0)为x 轴上一动点．若存在以点P 为圆心的圆O ，使得椭圆C 与圆O 有四个不同的公共点，则a 的取值范围是________．解析：因为圆O 的圆心在x 轴上，则由椭圆和圆的对称性得椭圆C 与圆O 的四个不同的公共点两两关于x 轴对称，设在x 轴上方的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，与椭圆方程联立消去y 化简得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0，由Δ＝64k 2b 2－4(4k 2＋1)(4b 2－4)＞0，得b 2＜4k 2＋1，此时x 1＋x 2＝－8kb 4k 2＋1，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2b ＝2b 4k 2＋1，则AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4kb4k 2＋1，b 4k 2＋1，线段AB 的垂直平分线方程为y －b 4k 2＋1＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4kb 4k 2＋1，令y ＝0，得点P 的横坐标a ＝－3kb 4k 2＋1，则a 2＝9k 2b 2(4k 2＋1)2＜9k 2(4k 2＋1)(4k 2＋1)2＝94＋1k2＜94，所以－32＜a ＜32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，324．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________．解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0. 不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k2.同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝4＋4k2＋4＋4k 2＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k2＝k 2，即k ＝±1时取等号，故|AB |＋|DE |的最小值为16. 答案：165．已知P 为椭圆C ：x 24＋y 23＝1上的一个动点，F 1，F 2是椭圆C 的左、右焦点，O 为坐标原点，O 到椭圆C 在P 点处的切线距离为d ，若|PF 1|·|PF 2|＝247，则d ＝________.解析：法一：因为点P 在椭圆上， 所以有|PF 1|＋|PF 2|＝4， 又因为|PF 1|·|PF 2|＝247，由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝34，所以有sin ∠F 1PF 2＝74， 所以△F 1PF 2的面积为S ＝12×247×74＝12×2×y p ，解得y p ＝37，因为点P 在椭圆上，所以x p ＝47.所以过该点的椭圆的切线方程为47x4＋37y3＝1，即为x ＋y ＝7.所以原点O 到直线的距离为d ＝72＝142. 法二：设P (m ，n )，则切线方程为mx 4＋ny3＝1，即3mx ＋4ny －12＝0.所以原点O 到该切线的距离d ＝129m 2＋16n2.因为点P (m ，n )在椭圆上，所以m 24＋n 23＝1， 所以有n 2＝3－3m 24，所以d ＝4316－m2. 因为|PF 1||PF 2|＝247，所以有(m ＋1)2＋n 2(m －1)2＋n 2＝247， 即有⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14m 2＋2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14m 2－2m ＝4－14m 2＝247，解得16－m 2＝967，所以d ＝4316－m 2＝142. 答案：1426．(2019·镇海中学高三模拟)设椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为e ＝12，抛物线C 1：y 2＝－4mx (m ＞0)的准线经过椭圆的右焦点，抛物线C 1与椭圆C 2交于x 轴上方一点P ，若△PF 1F 2的三边长恰好是三个连续的自然数，则a 的值为________．解析：设椭圆的焦距为2c ，因为抛物线的准线经过椭圆的右焦点，所以可知c ＝m ，a ＝2m ，b ＝3m .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－4mx ，3x 2＋4y 2＝12m 2，解得x ＝－23m 或x ＝6m (舍去)，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23m ，263m ，所以|PF 1|＝5m 3，|PF 2|＝7m 3，|F 1F 2|＝6m3.因为△PF 1F 2的三边长恰好是连续的三个自然数，可得m＝3，所以a ＝2m ＝6.答案：6。
高考数学二轮复习题型强化练1 客观题8+4+4标准练(A) (2)
题型强化练1 客观题8+4+4标准练(A )一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020天津滨海新区联考,1)设集合U={x|x ≥-1},A={1,3,5,7},B={x|x>5},则A ∩∁U B=( ) A.{1,3,5} B.{3,5}C.{1,3}D.{1,3,5,7}2.(2020山东日照二模,2)在复平面内,已知复数z 对应的点与复数1+i 对应的点关于实轴对称,则z i=( )A.1+iB.-1+iC.-1-iD.1-i 3.(2020北京西城二模,6)设a=30.2,b=log 32,c=log 0.23,则 ( )A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c4.(2020山东日照一模,3)南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上提出祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.其含义是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等,如图,夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1,V 2,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S 1,S 2,则“S 1,S 2总相等”是“V 1,V 2相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2019广东深圳适应性考试,文8)已知△ABC 是边长为1的等边三角形,D ,E 分别是边AB ,BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE=2EF ,则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( ) A.-58 B.118C.14D.186.(2020广东东莞一模,8)函数y=cos x ·2x +12x -1的部分图象大致为( )7.(2020河北石家庄5月检测,8)若双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+y2-4y+2=0所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为()A.√3B.2√33C.2D.√28.(2020山东聊城一模,8)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,为了纪念数学家高斯,人们把函数y=[x],x∈R称为高斯函数,其中[x]表示不超过x的最大整数.设{x}=x-[x],则函数f(x)=2x{x}-x-1的所有零点之和为()A.-1B.0C.1D.2二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(2020海南线上诊断测试,9)如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图,则下列判断正确的是()A.1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13B.1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C.2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D.2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率10.(2020山东德州一模,10)1970年4月24日,我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”,从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时,其运行速度是变化的,速度的变化服从面积守恒规律,即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ,2c ,下列结论正确的是( )A.卫星向径的取值范围是[a-c ,a+c ]B.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大,椭圆轨道越扁平D.卫星运行速度在近地点时最大,在远地点时最小11.(2020山东淄博一模,10)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P ,Q 分别为棱BC 和棱CC 1的中点,则下列说法正确的是( ) A.BC 1∥平面AQPB.平面APQ 截正方体所得截面为等腰梯形C.A 1D ⊥平面AQPD.异面直线QP 与A 1C 1所成的角为60°12.(2020海南海南中学月考,12)已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在x=1处取得最大值,且最小正周期为2,则下列说法正确的有( ) A.函数f (x-1)是奇函数B.函数f (x+1)是偶函数C.函数f (x+2)在[0,1]上单调递增D.函数f (x+3)是周期函数三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2020山东泰安考前模拟,14)(x -1x )(1-x )4的展开式中x 3的系数为 .14.《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则该竹子最上面一节的容积为 升. 15.(2019四川攀枝花统考,文16)已知函数f (x )=(x -b )2-lnx x (b ∈R ).若存在x ∈[1,2],使得f (x )+xf'(x )>0,则实数b 的取值范围是 .16.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的表面上,AB=3,异面直线AC 1与BC 所成角的余弦值为310,则球O 的表面积为 .题型强化练题型强化练1 客观题8+4+4标准练(A )1.A 解析 由题意∁U B={x|-1≤x ≤5},∴A ∩∁U B={1,3,5}. 2.C 解析 由题意得z=1-i,所以zi =1-ii =i+1-1=-1-i .3.B 解析 指数函数y=3x 为R 上的增函数,则a=30.2>30=1;对数函数y=log 3x 为(0,+∞)内的增函数,则log 31<log 32<log 33,即0<b<1;对数函数y=log 0.2x 为(0,+∞)内的减函数,则c=log 0.23<log 0.21=0.故a>b>c.4.A 解析 根据祖暅原理,当S 1,S 2总相等时,V 1,V 2相等,所以充分性成立;当两个完全相同的四棱台,一正一反的放在两个平面之间时,此时体积固然相等但截得的面积未必相等,所以必要性不成立.所以“S 1,S 2总相等”是“V 1,V 2相等”的充分不必要条件.5.D 解析 由DE=2EF ,可得DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DE ⃗⃗⃗⃗⃗ .如图所示,连接AE ,则AE ⊥BC ,所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0+12·|DE ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos π3=0+12×12×1×12=18.故选D .6.A 解析 令f (x )=y=cos x ·2x+12x -1(x ≠0),则f (-x )=cos(-x )·2-x+12-x -1=cos x ·12x +112x -1=cos x ·2x +11-2x =-f (x ),所以函数f (x )为奇函数,可排除B,D; 当x ∈(0,π2)时,cos x>0,2x +12x -1>0,所以f (x )>0,故排除C.7.C 解析 双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±ba x ,由对称性,不妨取y=ba x ,即bx-ay=0.圆x 2+y 2-4y+2=0可化为x 2+(y-2)2=2,其圆心的坐标为(0,2),半径为√2. 圆心(0,2)到渐近线的距离d=√(√2)2-12=1. 由点到直线的距离公式,可得√b +a 2=2a c =2e =d=1,所以e=2.8.A 解析 由题意知,当x=0时,f (x )=-1,所以0不是函数f (x )的零点.当x ≠0时,由f (x )=2x {x }-x-1=0可得,2{x }=1x +1,令y 1=2{x }=2x-2[x ],y 2=1x +1,作出函数y 1=2{x }=2x-2[x ],y 2=1x +1的图象如图所示, 由图象可知,除点(-1,0)外,函数y 1=2{x }=2x-2[x ],y 2=1x +1图象其余交点关于(0,1)中心对称,所以横坐标互为相反数.由函数零点的定义知,函数f (x )=2x {x }-x-1的所有零点之和为-1.9.ABC 解析 1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例,其中西安32例,所以西安所占比例为3287>13,故A 正确;由曲线图可知,1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势,故B 正确;2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了213-116=97(例),故C 正确;2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率为98-8888=544,2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例的增长率为88-7474=737,显然737>544,故D 错误.10.ABD解析根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a-c,a+c],故A正确;当卫星在左半椭圆弧运行时,对应的面积更大,根据面积守恒规律,速度应更慢,故B 正确;a-c a+c =1-e1+e=21+e-1,比值越大,则e越小,椭圆轨道越接近于圆,故C错误.根据面积守恒规律,卫星在近地点时向径最小,故速度最大,在远地点时向径最大,故速度最小,故D正确.11.ABD解析如图,因为P,Q分别为棱BC和棱CC1的中点,所以PQ∥BC1, 又因为BC1⊄平面AQP,PQ⊂平面AQP,由线面平行的判定定理,知BC1∥平面AQP,故A正确;由AD1∥PQ,知平面APQ截正方体所得截面为四边形APQD1,又因为PQ≠AD1,所以四边形APQD1是等腰梯形,故B正确;若A1D⊥平面AQP,则A1D⊥AP,又因为AA1⊥AP,AA1∩A1D=A1,所以AP⊥平面A1AD,而AB⊥平面A1AD,这与垂直于同一平面的两条直线平行矛盾,故C不正确;异面直线QP与A1C1所成的角为∠A1C1B,而△A1C1B为等边三角形,故D正确. 12.BCD解析因为f(x)=A sin(ωx+φ)的最小正周期为2,所以2=2πω,所以ω=π.又因为f(x)=A sin(ωx+φ)在x=1处取得最大值,所以ω+φ=2kπ+π2(k∈Z).所以φ=2kπ-π2(k∈Z).所以f(x)=A sin(ωx+φ)=-A cos πx.设g(x)=f(x-1)=-A cos [π(x-1)]=A cos πx,因为g(-x)=A cos [π(-x)]=A cos πx=g(x),所以g(x)=f(x-1)是偶函数,故A不正确;设h (x )=f (x+1)=-A cos [π(x+1)]=A cos πx ,因为h (-x )=A cos [π(-x )]=A cos πx=h (x ),所以h (x )=f (x+1)是偶函数,故B 正确; 设m (x )=f (x+2)=-A cos [π(x+2)]=-A cos πx ,因为x ∈[0,1],所以πx ∈[0,π],又因为A>0,所以函数m (x )=f (x+2)在[0,1]上单调递增,故C 正确; 设n (x )=f (x+3)=-A cos [π(x+3)]=A cos πx ,函数n (x )最小正周期为2ππ=2,故D 正确.13.5 解析 (1-x )4的通项为T r+1=C 4r 14-r (-x )r =(-1)r C 4r x r ,令r=2,此时x 3的系数为(-1)2C 42=6,令r=4,此时x 3的系数为-(-1)4C 44=-1,则x 3的系数为6-1=5.14.1322 解析 设竹子自上而下各节的容积分别为a 1,a 2,…,a 9,且为等差数列,根据题意得{a 1+a 2+a 3+a 4=3,a 7+a 8+a 9=4,即{4a 1+6d =3,3a 1+21d =4,解得a 1=1322,故最上面一节的容积为1322升.15.-∞,74解析 ∵f (x )=(x -b )2-lnx x ,x>0,∴f'(x )=2x (x -b )-1-(x -b )2+lnxx 2,∴f (x )+xf'(x )=(x -b )2-lnx x +2x (x -b )-1-(x -b )2+lnxx=2x (x -b )-1x. 存在x ∈[1,2],使得f (x )+xf'(x )>0,即2x (x-b )-1>0,∴b<x-12x 在[1,2]上有解. 设g (x )=x-12x (1≤x ≤2),∴b<g (x )max .g (x )=x-12x 在[1,2]上为增函数, 故g (x )max =g (2)=74,∴b<74. 故实数b 的取值范围是-∞,74. 16.28π 解析 由题意BC ∥B 1C 1,所以∠AC 1B 1或其补角为异面直线AC 1与BC 所成的角.设AA 1=b ,在△AC 1B 1中,AB 1=AC 1,则cos ∠AC 1B 1=12B 1C 1AC 1=12·√32+b =310,所以AA 1=b=4.设外接球的半径为R ,底面外接圆的半径为r ,则R 2=r 2+(b 2)2.因为底面为等边三角形,所以2r=3sin π3,即r=√3,所以R 2=3+4=7,所以球O 的表面积为4π×7=28π.。
2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第九章 平面
第2课时 直线与椭圆题型一 直线与椭圆的位置关系1．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是________．答案 m ≥1且m ≠5解析 方法一 由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)， 所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上， 则0<1m ≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0， 消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0.由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立， 即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立， 由于m >0且m ≠5，∴m ≥1且m ≠5.2．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．思维升华 研究直线与圆锥曲线位置关系的方法(1)研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．题型二 弦长及弦中点问题命题点1 弦长问题典例 斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则AB 的最大值为________．答案4105解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，AB max ＝4105. 命题点2 弦中点问题典例 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________． 答案 x 218＋y 29＝1解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，运用点差法，所以直线AB 的斜率为k ＝b 2a2，设直线方程为y ＝b 2a 2(x －3)，联立直线与椭圆的方程得 (a 2＋b 2)x 2－6b 2x ＋9b 2－a 4＝0， 所以x 1＋x 2＝6b 2a 2＋b 2＝2，又因为a 2－b 2＝9，解得b 2＝9，a 2＝18. 命题点3 椭圆与向量等知识的综合典例 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，e ＝12，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，线段AB 的中点横坐标为14，且AF →＝λFB →(其中λ>1)．(1)求椭圆C 的标准方程； (2)求实数λ的值．解 (1)由椭圆的焦距为2，知c ＝1，又e ＝12，∴a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由AF →＝λFB →，可知A ，B ，F 三点共线， 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝1，不符合题意； 当AB 所在直线l 的斜率k 存在时， 设l 的方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.① ①的判别式Δ＝64k 4－4(4k 2＋3)(4k 2－12) ＝144(k 2＋1)>0.∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3＝2×14＝12，∴k 2＝14.将k 2＝14代入方程①，得4x 2－2x －11＝0，解得x ＝1±354.又AF →＝(1－x 1，－y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，AF →＝λFB →， 即1－x 1＝λ(x 2－1)，λ＝1－x 1x 2－1，又λ>1，∴λ＝3＋52.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式． 跟踪训练 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0，4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N 两点．(1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦MN 的长；(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式． 解 (1)由已知得b ＝4，且c a ＝55，即c 2a 2＝15，∴a 2－b 2a 2＝15， 解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 将4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立， 消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，y 1＝－4，y 2＝49，∴所求弦长MN ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝4029. (2)椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)，由三角形重心的性质知BF →＝2FQ →， 又B (0,4)，∴(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2(x 0－2)，－4＝2y 0，故得x 0＝3，y 0＝－2， 即Q 的坐标为(3，－2)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1， 以上两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)20＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45×6－4＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.高考中求椭圆的离心率问题考点分析 离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．典例1 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x－4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是________．解析 设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵AF ＋BF ＝4，∴AF ＋AF 0＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则M 到直线l 的距离d ＝4b 5≥45，∴1≤b ＜2. 离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝ a 2－b 2a 2＝ 4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32. 答案 ⎝⎛⎦⎤0，32典例2 (16分)如图，设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围． 规范解答解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1， 得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，[2分] 故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k 2，y 1＝1，y 2＝1－a 2k 21＋a 2k 2，因此AM ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2.[4分] (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP ＝AQ .记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2， 且k 1>0，k 2＞0，k 1≠k 2.[6分] 由(1)知AP ＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21， AQ ＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.[10分] 由k 1≠k 2，k 1>0，k 2＞0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝⎛⎭⎫1k 21＋1⎝⎛⎭⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)，① 因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2.因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2，[14分] 由e ＝c a＝a 2－1a 2＝ 1－1a 2，得0<e ≤22. 所以离心率的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，22.[16分]1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是________． 答案 2解析 由题意知，4m 2＋n2>2，即m 2＋n 2<2， ∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2.2．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________． 答案 53解析 由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点坐标为(0，－2)，⎝⎛⎭⎫53，43，不妨设A 点的纵坐标y A ＝－2，B 点的纵坐标y B ＝43，∴S △OAB ＝12·OF ·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪－2－43＝53.3．中心为(0,0)，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程是________． 答案 x 225＋y 275＝1解析 c ＝52，设椭圆方程为x 2a 2－50＋y2a2＝1，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y ，整理得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12(a 2－50)10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以椭圆方程为x 225＋y 275＝1.4．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且AB ＝3，则C 的方程为________________． 答案 x 24＋y 23＝1解析 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝1.因为过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，且AB ＝3，所以b 2a ＝32，b 2＝a 2－c 2，所以a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.5．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________． 答案22解析 由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)， k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－ba ，由于OP ∥AB ，∴－y 0c ＝－b a ，y 0＝bca，把P ⎝⎛⎭⎫－c ，bc a 代入椭圆方程得(－c )2a 2＋⎝⎛⎭⎫bc a 2b 2＝1， ∴⎝⎛⎭⎫c a 2＝12，∴e ＝c a ＝22. 6．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为________．答案53解析 由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，∴PF 2PF 1＝2，又PF 1＋PF 2＝2a ， ∴PF 1＝2a 3，PF 2＝4a3.根据勾股定理得⎝⎛⎭⎫2a 32＋⎝⎛⎭⎫4a 32＝(2c )2， 所以离心率e ＝c a ＝53.7．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是________． 答案 1解析 ∵(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0， ∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设PF 1＝m ，PF 2＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝4，mn ＝2， ∴12F PF S＝12mn ＝1. 8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ，若AB ＝10，AF ＝6，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________.答案 57解析 设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得BF ＝8，所以△ABF 为直角三角形，且∠AFB ＝90°，又因为斜边AB 的中点为O ，所以OF ＝c ＝5，连结AF 1，因为A ，B 关于原点对称，所以BF ＝AF 1＝8，所以2a ＝14，a ＝7，所以离心率e ＝57.9．P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，AB 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的任一条直径，则P A →·PB →的取值范围是______． 答案 [3,15]解析 圆心C (1,0)为椭圆的右焦点， P A →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →) ＝(PC →＋CA →)·(PC →－CA →) ＝PC →2－CA →2＝|PC →|2－1， 显然|PC →|∈[a －c ，a ＋c ]＝[2,4]， 所以P A →·PB →＝|PC →|2－1∈[3,15]．10.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫12，1解析 方法一 由题意知，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以PF ＝F A ，而F A ＝a 2c －c ，PF ≤a ＋c ，所以a 2c －c ≤a ＋c ，即a 2≤ac ＋2c 2.又e ＝ca ，所以2e 2＋e ≥1，所以2e 2＋e －1≥0， 即(2e －1)(e ＋1)≥0. 又0<e <1，所以12≤e <1.方法二 设点P (x ，y )．由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以PF ＝F A ， 由椭圆的第二定义，得PFa 2c －x ＝e ，所以PF ＝a 2c e －ex ＝a －ex ，而F A ＝a 2c －c ，所以a －ex ＝a 2c －c ，解得x ＝1e⎝⎛⎭⎫a ＋c －a 2c .由于－a ≤x ≤a ，所以－a ≤1e⎝⎛⎭⎫a ＋c －a 2c ≤a . 又e ＝c a，所以2e 2＋e －1≥0，即(2e －1)(e ＋1)≥0. 又0<e <1，所以12≤e <1. 11．(2015·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1,2＝2k 2±2(1＋k 2)1＋2k 2， C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且 AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝22(1＋k 2)1＋2k 2. 若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k (1＋2k 2)， 从而PC ＝2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2). 因为PC ＝2AB ，所以2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2)＝42(1＋k 2)1＋2k 2， 解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.12．设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明EA ＋EB 为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．解 (1)因为AD ＝AC ，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以EB ＝ED ，故EA ＋EB ＝EA ＋ED ＝AD .又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而AD ＝4，所以EA ＋EB ＝4.由题设得A (－1,0)，B (1,0)，AB ＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)． (2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 点(1,0)在椭圆内部，故直线l 与椭圆必有两交点．则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3， 所以MN ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝12(k 2＋1)4k 2＋3. 过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1)， 点A 到m 的距离为2k 2＋1， 所以PQ ＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12MN ·PQ ＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)．当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，MN ＝3，PQ ＝8，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F 2，O 为坐标原点，M 为y 轴上一点，点A 是直线MF 2与椭圆C 的一个交点，且OA ＝OF 2＝2OM ，则椭圆C 的离心率为________． 答案 53解析 方法一 ∵OA ＝OF 2＝2OM ，∴M 在椭圆C 的短轴上，设椭圆C 的左焦点为F 1，连结AF 1，∵OA ＝OF 2，∴OA ＝12·F 1F 2， ∴AF 1⊥AF 2，从而△AF 1F 2∽△OMF 2，∴AF 1AF 2＝OM OF 2＝12， 又AF 21＋AF 22＝(2c )2， ∴AF 1＝255c ，AF 2＝455c ， 又∵AF 1＋AF 2＝2a ，∴655c ＝2a ，即c a ＝53.方法二 ∵OA ＝OF 2＝2OM ，∴M 在椭圆C 的短轴上，在Rt △MOF 2中，tan ∠MF 2O ＝OM OF 2＝12，设椭圆C 的左焦点为F 1，连结AF 1， ∵OA ＝OF 2，∴OA ＝12F 1F 2， ∴AF 1⊥AF 2，∴tan ∠AF 2F 1＝AF 1AF 2＝12， 设AF 1＝x (x >0)，则AF 2＝2x ，∴F 1F 2＝5x ，∴e ＝2c 2a ＝F 1F 2AF 1＋AF 2＝5x x ＋2x ＝53.14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)短轴的端点为P (0，b )，Q (0，－b )，长轴的一个端点为M ，AB 为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若P A ，PB 的斜率之积等于－14，则点P 到直线QM 的距离为________．答案 455b 解析 设A (x 0，y 0)，则B 点坐标为(－x 0，－y 0)，则y 0－b x 0·－y 0－b －x 0＝－14，即y 20－b 2x 20＝－14， 由于x 20a 2＋y 20b 2＝1，则y 20－b 2x 20＝－b 2a2， 故－b 2a 2＝－14，则b a ＝12，不妨取M (a,0)，则直线QM 的方程为bx －ay －ab ＝0，则点P 到直线QM 的距离为d ＝|2ab |a 2＋b 2＝2·b1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝455b .15．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫22，1 解析 设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，由题易知|x 0|<a ，因为存在点P ，使∠F 1PF 2为钝角，所以PF 1→·PF 2→<0有解，即c 2>x 20＋y 20有解，即c 2>(x 20＋y 20)min ，又y 20＝b 2－b 2a 2x 20，b 2＋c 2＝a 2，x 20<a 2，故x 20＋y 20＝b 2＋c 2a2x 20∈[b 2，a 2)，所以(x 20＋y 20)min ＝b 2，故c 2>b 2，所以e 2＝c 2a 2>12，又0<e <1，所以22<e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1. 16．过椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)上的动点M 作圆x 2＋y 2＝b 22的两条切线，切点分别为P 和Q ，直线PQ 与x 轴和y 轴的交点分别为E 和F ，则△EOF 面积的最小值是________．答案 b 34a解析 设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则直线MP 和MQ 的方程分别为x 1x ＋y 1y ＝b 22，x 2x ＋y 2y ＝b 22.因为点M 在MP 和MQ 上，所以有x 1x 0＋y 1y 0＝b 22，x 2x 0＋y 2y 0＝b 22，则P ，Q 两点的坐标满足方程x 0x ＋y 0y ＝b 22，所以直线PQ 的方程为x 0x ＋y 0y ＝b 22，可得E ⎝⎛⎭⎫b 22x 0，0和F ⎝⎛⎭⎫0，b 22y 0， 所以S △EOF ＝12·OE ·OF ＝b 48|x 0y 0|， 因为b 2y 20＋a 2x 20＝a 2b 2，b 2y 20＋a 2x 20≥2ab |x 0y 0|，所以|x 0y 0|≤ab 2，所以S △EOF ＝b 48|x 0y 0|≥b 34a， 当且仅当b 2y 20＝a 2x 20＝a 2b 22时取“＝”， 故△EOF 面积的最小值为b 34a.。
2020年高考数学(理)之解析几何高频考点04 椭圆及其性质附解析
解析几何04 椭圆及其性质一、具体目标：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．能处理与椭圆有关的问题.二、知识概述：1. 椭圆方程的第一定义：一个动点到两个定点的距离为一个常数（大于两定点之间的距离）则动点的轨迹就是椭圆.几何表示：()121222PF PF a a F F +=>.当()121222PF PF a a F F +=<无轨迹；当()121222=PF PF a a F F +=，以12,F F 为端点的线段.⑴①椭圆的标准方程：中心在原点，焦点在x 轴上：()222210x y a b a b +=>>.中心在原点，焦点在轴上：()222210y x a b a b+=>>.②一般方程：()2210,0Ax By A B +=>>.③椭圆的标准参数方程：的参数方程为（一象限应是属于02πθ<<）.⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x 轴，轴；长轴长，短轴长. ③焦点：或.④焦距：.⑤准线：或.⑥离心率：()01c e e a=<<.⑦焦点半径：i. 设为椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一点，为左、右焦点，则 y 12222=+b y a x ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x θ),0)(0,(b a ±±)0,)(,0(b a ±±y a 2b 2)0,)(0,(c c -),0)(,0(c c -2221,2b a c c F F -==c a x 2±=c a y 2±=),(00y x P 21,F F 【考点讲解】⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF由椭圆方程的第二定义可以推出.ii.设为椭圆()222210x y a b b a+=>>上的一点，为上、下焦点，则 由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知：()210000a PF e x a ex x c ⎛⎫=+=+< ⎪⎝⎭()220000a PF e x ex a x c ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率是，方程是大于0的参数，0a b >>的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）. 若是双曲线，则面积为.（6）椭圆的标准方程和几何性质－a ≤x ≤a －b ≤x ≤b 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 A (－a,0)，A (a,0) A (0，－a )，A (0，a ) ),(00y x P 21,F F →)sin ,cos (θθb a N ),(2222a b c a b d -=),(2ab c )(22b a c a c e -==tt b y a x (2222=+ace =12222=+b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb a PF PF 221=+2cot 2θ⋅b ⇒-=+=0201,ey a PF ey a PF1.【2019年高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为（ ）A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 【解析】本题考查椭圆标准方程及其简单性质.法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n nn +-⋅⋅⋅=，解得2n =． 22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得【真题分析】223611n n +=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【答案】B2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8【解析】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质.因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y pp +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ． 【答案】D3.【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（ ）A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【解析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质.椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-，化简得2234a b =，故选B. 【答案】B4.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ）A ．13 B ．12 C ．2 D ．3【解析】本题主要考查椭圆的方程及离心率.由题可得2c =，因为24b =，所以2228a b c =+=，即a =所以椭圆C 的离心率2e ==，故选C ． 【答案】C5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F∠=︒，则C的离心率为（）A．312-B．23-C．312-D．31-【解析】本题主要考查椭圆的定义和简单的几何性质.在12F PF△中，122190,60F PF PF F∠=∠=︒o，设2PF m=，则12122,c F F m PF===，又由椭圆定义可知1221)a PF PF m=+=，则212c cea a====，故选D．【答案】D6.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知1F，2F是椭圆22221(0)x yC a ba b+=>>：的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为3的直线上，12PF F△为等腰三角形，12120F F P∠=︒，则C的离心率为（）A．23B．12C．13D．14【解析】因为12PF F△为等腰三角形，12120F F P∠=︒，所以212||2||PF F F c==，由AP的斜率为6可得2tan6PAF∠=，所以2sin PAF∠=，2cos PAF∠=，由正弦定理得2222sinsinPF PAFAF APF∠=∠，所以2225sin()3ca c PAF==+-∠，所以4a c=，14e=，故选D．【答案】D7.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A，B是椭圆C：2213x ym+=长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（）A．(0,1][9,)+∞U B．[9,)+∞U C．(0,1][4,)+∞U D．[4,)+∞U【解析】本题考查的是以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题时要利用条件确定ba,的关系，要借助题设条件ο120=∠AMB 转化为360tan =≥οba，简化求解过程. 当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60a b ≥=o≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60ab≥=o≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞U ，故选A ． 【答案】A8.【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用.方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍），又点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PF k ==方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得3,22P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==9.【2019年高考全国Ⅲ卷】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【解析】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y，22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【答案】(10.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围． 【解析】本题主要考查利用椭圆的性质来求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题， （1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，1PF =，于是1221)a PF PF c =+=，故C的离心率是1ce a==. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ⋅=，1y y x c x c ⋅=-+-，22221x y a b+=，即||16c y =，① 222x y c +=，② 22221x y a b+=，③由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥当4b =，a ≥存在满足条件的点P ．所以4b =，a的取值范围为)+∞． 【答案】（11；（2）4b =，a的取值范围为)+∞.11.【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .|2||OA OB =（O 为原点）.（1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x =4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.（1）设椭圆的半焦距为c ，2b =，又由222a b c =+，消去b得222a c ⎫=+⎪⎪⎝⎭，解得12c a =.所以，椭圆的离心率为12. （2）由（1）知，2,a c b ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=.由题意，(, 0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221,433(),4x y c cy x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7c x c x ==-.代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-. 因为点P 在x 轴上方，所以3,2P c c ⎛⎫⎪⎝⎭.由圆心C 在直线4x =上，可设(4, )C t . 因为OC AP ∥，且由（1）知( 2 , 0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =.因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l2=，可得=2c .所以，椭圆的方程为2211612x y +=.【答案】（1）12；（2）2211612x y +=.12．【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4（1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率． 【解析】主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识. （1）设椭圆的半焦距为c，依题意，24,5c b a ==，又222a b c =+，可得a =2,b =1c =． 所以，椭圆的方程为22154x y +=．（2）由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，．设直线PB 的斜率为()0k k ≠，又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P k x k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k -=+，进而直线OP 的斜率24510P py k x k -=-． 在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-． 由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k-．由OP MN ⊥，得2451102k k k -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而5k =±．所以，直线PB的斜率为5或5-． 【答案】（1）22154x y +=；（2）230或230-． 13.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.【解析】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题.（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =． 记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．① 设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uky k =+．从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k ku k-+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i ）得2||21PQ u k =+，221||uk k PG +=，所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2812t S t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169．因此，△PQG 面积的最大值为169．1.【2017年高考浙江卷】椭圆22194x y +=的离心率是（ ）A B C ．23 D ．59【解析】椭圆22194x y +=的离心率e ==，故选B ． 【答案】B2.【2017年高考全国Ⅲ】已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A B C D ．13【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，【模拟考场】直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即2223()a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===，故选A ． 【答案】A3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝1 【解析】 根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43，∴a ＝3，c ＝1，b ＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.【答案】 A4.【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP u u u u r =2PB u u u u r ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =u u u r u u u r得122x x -=，1212(1)y y -=-，所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=， 所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤， 当且仅当5m =时取最大值． 【答案】55.【2018年高考北京卷理数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________________；双曲线N 的离心率为________________．【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M的离心率为1c a ==．双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为π3，所以222πtan 33n m ==，所以222222234m n m m e m m ++===，所以2e =．1 26.【2016北京理】已知椭圆C ：22221+=x y a b（0a b >>）的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，△OAB 的面积为1.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N . 求证：BM AN ⋅为定值.【分析】（I）根据离心率为2，即2=c a ，△OAB 的面积为1，即121=ab ，椭圆中222c b a +=列方程组进行求解；（II ）根据已知条件分别求出BM AN ,的值，求其乘积为定值.【解析】（I ）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a .所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （II ）由（I ）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y . 令0=x ，得2200--=x y y M ，从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N ，从而12200-+=-=y x x AN N .所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.7.已知点M 是圆心为E的圆(2216x y ++=上的动点，点)F，线段MF 的垂直平分线交EM于点P .（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）矩形ABCD 的边所在直线与曲线C 均相切，设矩形ABCD 的面积为S ，求S 的取值范围.【分析】1）利用定义法求椭圆的轨迹方程；（2）设AB 的方程为1y k x m =+， CD 的方程为1y k x m =-，直线AB 与CD 间的距离为1d =，直线BC 与AD 间的距离为2d =，S =S 的范围.【解析】（1)依题PM PF =，所以4PE PF PE PM ME +=+== (为定值)，EF =>所以点P 的轨迹是以,E F为焦点的椭圆，其中24,2a c ==所以P 点轨迹C 的方程是2214x y += (2)①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得8S =；②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线的斜率存在且不为0，设AB 的方程为1y k x m =+， BC 的方程为2y k x n =+，则CD 的方程为1y k x m =-， AD 的方程为2y k x n =-，其中121k k ⋅=-，直线AB 与CD 间的距离为1d ==，同理直线BC 与AD 间的距离为2d ==()12*S d d =⋅=L2222211111{ 21044x y k x k mx m y k x m+=⎛⎫⇒+++-= ⎪⎝⎭=+，因为直线AB 与椭圆相切，所以221410k m ∆=+-=，所以2141m k =+，同理2241n k =+，所以 S ===44==212112k k +≥ (当且仅当11k =±时，不等式取等号），所以4S <≤810S <≤， 由①②可知， 810S ≤≤.【答案】(1) 2214x y +=;(2) 810S ≤≤.。
江苏省2019届高考数学专题三解析几何3.1小题考法—解析几何中的基本问题讲义
专题三解析几何［江苏卷5年考情分析］［题组练透］1.已知点P（3,2）与点Q1,4）关于直线l对称，则直线l的方程为.解析：由题意知直线l与直线PC@直，所以k i=—；=1.又直线l经过PQ的中点（2,3）, k PQ所以直线l的方程为y—3=x—2,即x — y+ 1 = 0.答案：x-y+ 1=02.（2018 •南通一模）已知圆C过点（2 , J3）,且与直线x —5y+S：。
相切于点（0 ,\/3）, 则圆C的方程为.解析：设圆心为（a, b）,「子孚—1,则a 3a a-2 2+（b- m）2=a2+ b-V3 2,解得a= 1, b=0, r = 2.即所求圆的方程为（x—1）2+y2=4.答案：（x—1）2+y2 = 43.（2018 ・南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）在平面直角坐标系xOy中,，xW3,若动圆C上的点都在不等式组x x-^/3y + 3>0 ,表示的平面区域内，则面积最大的圆^x+^/3y + 3>0C的标准方程为 .解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，面积最大的圆C即为可行域三角形的内切圆.由对称性可知，圆C的圆心在x轴上，设半径为r,则圆心Q3 —r, 0),且它与直线x —J3y+3=0相切，所以|3^J_3| = r,解得r = 2,所以面积最大的圆C的标准方程为(x—1)2+ V1T3y2= 4.答案：(x—1)2+y2 = 4［方法技巧］1.求直线方程的两种方法直接法选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果待定先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题系数法设条件构建方程，求出待定系数2.圆的方程的两种求法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程考点(二)直线与圆、圆与圆的位置关系―主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系，以及根据直线与圆的位置关系求相关的最值与范围问题.［典例感悟］［典例］(1)(2018 •无锡期末)过圆x2+y2= 16内一点P( —2,3)作两条相互垂直的弦AB 和CD 且AB= CD则四边形ACBD勺面积为.(2)(2018 •南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy中，已知点A( —4,0) , B(0,4),从直线AB上一点P向圆x2+y2=4引两条切线PC PD切点分别为C, D.设线段CD的中点为M则线段AM长的最大值为.［解析］⑴设O到AB的距离为d1,0到CD的距离为d2,则由垂径定理可得d2= r2—明2,d2= r2—^2^2，由于AB= CD 故d= d2,且d1= d2= ^2^O由所以^2^ = r2— d2=161319 1、_ 1--=y,得AB= \38,从而四边形ACBD勺面积为S= 2ABX CD= 2x^38X>/38= 19.(2)法一：(几何法)因为直线AB的方程为y = x+4,所以可设Ra, a+4) , q。
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单科标准练(四）(满分:150分时间：120分钟)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝｛x|y＝lg x｝，B＝{x|y＝错误!｝，则A∩B＝( )A．［0,2］B．［－2,0］C．（0,2] D．［－2，0)C［由A中的函数y＝lg x，得到x＞0，即A＝{x|y＝lg x｝＝（0，＋∞)．B＝｛x｜y ＝错误!｝＝[－2，2]，则A∩B＝（0，2]，故选C。
]2．设z＝i3－错误!，则z的虚部是（)A．－1 B．－错误!C．－2i D．－2D[z＝i3－1＋2i2－i＝－i－错误!＝－i－错误!＝－i－i＝－2i，则z的虚部为－2,故选D.]3．下图为国家统计局发布的2019年上半年全国居民消费价格指数（CPI）数据折线图，(注:同比是今年第n个月与去年第n个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）下列说法错误的是（）A．2019年6月CPI环比下降0.1%，同比上涨1.9%B．2019年3月CPI环比下降1。
1％，同比上涨2.1％C．2019年2月CPI环比上涨0。
6％，同比上涨1。
4%D．2019年6月CPI同比涨幅比上月略微扩大0.1个百分点C［观察表中数据知A，B，D正确，对选项C,2019年2月CPI环比上涨1.2％，同比上涨2.9％，故C错误，故选C。
2020年高考数学(理)复习【椭圆的定义、标准方程及性质】小题精练卷附答案解析
2020年高考数学（理）复习【椭圆的定义、标准方程及性质】小题精练卷刷题增分练○32一、选择题1．椭圆x 24＋y 2＝1的离心率为()A.12B.32C.52D ．2答案：B解析：由题意得a ＝2，b ＝1，则c ＝3，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32，故选B.2．[2019·佛山模拟]若椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为12，则mn ＝()A.34B.43C.32或233D.34或43答案：D解析：若焦点在x 轴上，则方程化为x 21m ＋y 21n ＝1，依题意得1m －1n 1m＝14，所以m n ＝34；若焦点在y 轴上，则方程化为y 21n ＋x 21m＝1，同理可得m n ＝43.所以所求值为34或43.3．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为()A ．2B ．4C ．8D ．22答案：B解析：因为椭圆方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义，知△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4.4．[2018·全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为()A ．1－32B ．2－3C.3－12D.3－1答案：D解析：在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1，所以离心率e ＝ca ＝21＋3＝3－1.故选D.5．[2019·河南豫北重点中学联考]已知点P 1，22是椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)上的点，A ，B 是椭圆的左、右顶点，则△PAB 的面积为()A ．2 B.24C.12D ．1答案：D解析：由题可得1a 2＋12＝1，∴a 2＝2，解得a ＝2(负值舍去)，则S △PAB ＝12×2a ×22＝1，故选D.6．[2019·河南安阳模拟]已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·(OF 1→＋OP →)＝0(O 为坐标原点)．若|PF 1→|＝2|PF 2→|，则椭圆的离心率为()A.6－3B.6－32C.6－5D.6－52答案：A解析：以OF 1，OP 为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，由PF 1→·(OF 1→＋OP →)＝0知此平行四边形的对角线互相垂直，则此平行四边形为菱形，∴|OP |＝|OF 1|，∴△F 1PF 2是直角三角形，即PF 1⊥PF 2.设|PF 2|＝x ，则2x ＋x ＝2a ，(2x )2＋x 2＝(2c )2，∴a ＝2＋12x ，c ＝32x ，∴e ＝ca ＝32＋1＝6－3，故选A.7．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为()A ．2B ．3C ．6D ．8答案：C解析：由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋31－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.8．[2019·黑龙江大庆模拟]已知直线l ：y ＝kx 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，其中右焦点F 的坐标为(c,0)，且AF 与BF 垂直，则椭圆C 的离心率的取值范围为()A.22，1 B.0，22 C.22，1D.0，22答案：C解析：由AF 与BF 垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA |＝|OF |＝c ，由|OA |>b ，即c >b ，可得c 2>b 2＝a 2－c 2，即c 2>12a 2，可得22<e <1.故选C.二、非选择题9．[2019·河南开封模拟]如图，已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点F (3，0)，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q .则动点Q 的轨迹Γ的方程为________．答案：x 24＋y 2＝1解析：连接QF ，因为Q 在线段PF 的垂直平分线上，所以|QP |＝|QF |，得|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝|PE |＝4.又|EF |＝23<4，得Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆即x 24＋y 2＝1.10．[2019·金华模拟]如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上，且焦距为3的椭圆，则椭圆的短轴长为________．答案：5解析：方程x 2＋ky 2＝2可化为x 22＋y 22k＝1，则322＋2k ＝2⇒2k ＝54，∴短轴长为2×52＝ 5.11．[2019·陕西检测]已知P 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是其左、右焦点，∠F 1PF 2取最大值时cos ∠F 1PF 2＝13，则椭圆的离心率为________．答案：33解析：易知∠F 1PF 2取最大值时，点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1与y 轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a 2－2a 23＝4c 2，即a ＝3c ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝33.12．已知椭圆C ：x 28＋y 22＝1与圆M ：x 2＋y 2＋22x ＋2－r 2＝0(0<r <2)，过椭圆C 的上顶点P 作圆M 的两条切线分别与椭圆C 相交于A ，B 两点(不同于P 点)，则直线PA 与直线PB 的斜率之积等于________．答案：1解析：由题可得，圆心为M (－2，0)，P (0，2)．设切线方程为y ＝kx ＋ 2.由点到直线的距离公式得，d ＝|－2k ＋2|1＋k 2＝r ，化简得(2－r 2)k 2－4k ＋(2－r 2)＝0，则k 1k 2＝1.刷题课时增分练○32一、选择题1．[2019·河北联考]以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A ．1 B.2C ．2D ．22答案：D解析：设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，12×2cb ＝1⇒bc ＝1,2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22，当且仅当b ＝c ＝1时，等号成立．故选D.2．[2019·深圳模拟]过点(3,2)且与椭圆3x 2＋8y 2＝24有相同焦点的椭圆方程为()A.x 25＋y 210＝1 B.x 210＋y 215＝1 C.x 215＋y 210＝1 D.x 210＋y 25＝1答案：C解析：椭圆3x 2＋8y 2＝24的焦点为(±5，0)，可得c ＝5，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得9a2＋4b 2＝1，又a 2－b 2＝5，得b 2＝10，a 2＝15，所以所求的椭圆方程为x 215＋y 210＝1.故选C.3．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为()A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 28＋y 24＝1答案：A解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆方程为x 28＋y 26＝1.4．[2018·全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为()A.23B.12C.13D.14答案：D 解析：如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1，由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14.故选D.5．[2019·广西桂林柳州联考]已知点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点．若PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 2F 1＝2，则椭圆的离心率e 为()A.53B.13C.23D.12答案：A解析：∵点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 2F 1＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2.设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，由椭圆定义知x ＋2x ＝2a ，∴x ＝2a 3，∴|PF 2|＝2a 3，则|PF 1|＝4a3.由勾股定理知|PF 2|2＋|PF 1|2＝|F 1F 2|2，解得c ＝53a ，∴e ＝c a ＝53.故选A.6．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()A ．6B ．5C ．4D ．3答案：A解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.7．[2019·贵州遵义联考]已知m 是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的离心率为()A.32或52B.32或5 C.32D.5答案：B解析：由题意得m 2＝16，解得m ＝4或m ＝－4.当m ＝4时，曲线方程为x 2＋y 24＝1，故其离心率e 1＝ca ＝1－b 2a 2＝1－14＝32；当m ＝－4时，曲线方程为x 2－y 24＝1，故其离心率e 2＝ca＝1＋b 2a2＝1＋4＝5.所以曲线的离心率为32或 5.故选B.8．若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝b2＋c 2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e 的取值范围为()A.55，35 B.0，25C.25，35D.35，55答案：A解析：由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则a >b2＋c ，b <b2＋c ，整理得(a －c )2>14(a 2－c 2)，a 2－c 2<2c ，解得55<e <35.二、非选择题9．[2019·铜川模拟]已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆交于点A 、B ，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是________．答案：3解析：如图，设椭圆的右焦点为E ，连接AE 、BE .由椭圆的定义得，△FAB 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |＝|AB |＋(2a －|AE |)＋(2a －|BE |)＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |.∵|AE |＋|BE |≥|AB |，∴|AB |－|AE |－|BE |≤0，∴|AB |＋|AF |＋|BF |＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |≤4a .当直线AB 过点E 时取等号，此时直线x ＝m ＝c ＝1，把x ＝1代入椭圆x 24＋y 23＝1得y ＝±32，∴|AB |＝3.∴当△FAB 的周长最大时，△FAB的面积是12×3×|EF |＝12×3×2＝3.10．[2019·辽宁沈阳东北育才学校月考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 是C 的长轴的两个端点，点M 是C 上的一点，满足∠MAB ＝30°，∠MBA ＝45°.设椭圆C 的离心率为e ，则e 2＝________.答案：1－33解析：由椭圆的对称性，设M (x 0，y 0)，y 0>0，A (－a,0)，B (a,0)．因为∠MAB ＝30°，∠MBA ＝45°，所以k BM ＝y 0x 0－a ＝－1，k AM ＝y 0x 0＋a ＝33.又因为x 20a 2＋y 20b 2＝1，三等式联立消去x 0，y 0可得b 2a 2＝33＝1－e 2，所以e 2＝1－33.11．[2019·云南昆明月考]已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆E 过点C (0,1)，离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 过椭圆E 的左焦点F ，且与椭圆E 交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为23，求直线l 的方程．解析：(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由已知得b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由已知，直线l 过左焦点F (－1,0)．当直线l 与x 轴垂直时，A－1，－22，B －1，22，此时|AB |＝2，则S △OAB ＝12×2×1＝22，不满足条件．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 2)，B (x 2，y 2)．由y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.因为S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12|y 1－y 2|，由已知S △OAB ＝23得|y 1－y 2|＝43.因为y 1＋y 2＝k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝k (x 1＋x 2)＋2k ＝k ·－4k 21＋2k 2＋2k ＝2k1＋2k 2，y 1y 2＝k (x 1＋1)·k (x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝－k 21＋2k 2，所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4k 2(1＋2k 2)2＋4k 21＋2k 2＝43，所以k 4＋k 2－2＝0，解得k ＝±1，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.。
2020届高考数学江苏省二轮复习训练习题：基础滚动小练第14讲 函数的零点问题
第14讲函数的零点问题1.设x0是函数f(x)=3x+3x-8的一个零点,且x0∈(k,k+1),k∈Z,则k= .2.(2019扬州中学检测,5)双曲线x216-y29=1的两条渐近线的方程为.3.(2018江苏如皋高三上学期调研)一个封闭的正三棱柱容器,高为3,内装水若干(如图甲,底面处于水平状态),将容器放倒(如图乙,一个侧面处于水平状态),这时水面与各棱交点E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,则图甲中水面的高度为.4.(2019江都中学、扬中高级中学、溧水高级中学联考,11)已知点A(1,1),B(1,3),若圆C:(x-a)2+(y+a-2)2=4上存在点P使得PB2=PA2+32,则实数a的取值范围是.5.设α为锐角,若cos(α+π6)=45,则sin(2α+π12)的值为.6.(2019南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学联考,14)在平面四边形ABCD中,已知△ABC的面积是△ACD的面积的3倍,若存在正实数x,y使得AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1x -3)AB⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-1y)AD⃗⃗⃗⃗⃗ 成立,则x+y的最小值为.7.(2019苏州期初考试,16)如图,已知矩形CDEF和直角梯形ABCD,AB∥CD,∠ADC=90°,DE=DA,M为AE的中点.证明:(1)AC∥平面DMF;(2)BE⊥DM.8.(2018苏锡常镇四市高三情况调研)已知椭圆C:x2a +y2b=1(a>b>0)经过点(√3,12),(1,√32),点A是椭圆的下顶点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点A且互相垂直的两直线l1,l2与直线y=x分别相交于E,F两点,若OE=OF,求直线l1的斜率.答案精解精析1.答案 1解析 因为f(1)=3+3-8<0, f(2)=32+6-8>0,且函数f(x)=3x +3x-8单调递增,所以x 0∈(1,2),即k=1. 2.答案 y=±34x解析 ∵a=4,b=3,焦点在x 轴上, ∴渐近线方程为y=±34x.一题多解 求双曲线的渐近线方程也可以直接写成x 216-y 29=0,化简即得双曲线的渐近线方程. 3.答案94解析 因为E,F,F 1,E 1分别为所在棱的中点,所以棱柱EFCB-E 1F 1C 1B 1的体积V=S 四边形EFCB ×3=34S △ABC ×3=94S △ABC ,设图甲中水面的高度为h,则S △ABC ·h=94S △ABC ,所以h=94,故答案为94. 4.答案 [6,10]解析 设P(x,y),∵PB 2-PA 2=32,∴(x-1)2+(y-3)2-[(x-1)2+(y-1)2]=32,∴y=-6,∴P 在直线y=-6上,∵P 在圆C:(x-a)2+(y+a-2)2=4上,∴☉C 与直线y=-6有交点.∵圆C:(x-a)2+(y+a-2)2=4的圆心为C(a,-a+2),r=2,∴☉C 与直线y=-6有交点的充要条件是-8≤-a+2≤-4,故6≤a ≤10. 5.答案17√250解析 由条件可得cos (2α+π3)=2cos 2(α+π6)-1=725,sin (2α+π3)=2425,所以sin (2α+π12)=sin [(2α+π3)-π4]=√22×(2425-725)=17√250. 6.答案 2+√35解析 如图,分别过点B,D 作BG ⊥AC,DF ⊥AC,垂足分别为G,F,∵S △ABC =3S △ACD ,∴BG=3DF,易得△BGE 与△DFE 相似,∴BE ED =BG DF =31,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-1y )AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1x-3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴1-1y =3(1x -3),即3x +1y =10, ∴x+y=110(x+y)(3x +1y )=110(4+3y x+xy )≥4+2√310=2+√35, 当且仅当x=3+√310,y=√3+110时,取“=”. 7.证明 (1)如图,连接CE,交DF 于点G,连接MG.∵在矩形CDEF 中,DF ∩EC=G, ∴G 为EC 的中点, 又∵M 为AE 的中点, ∴MG 为△EAC 的中位线, ∴MG ∥AC,∵AC ⊄平面DMF,MG ⊂平面DMF, ∴AC ∥平面DMF.(2)在矩形CDEF 中,CD ⊥ED, ∵∠ADC=90°, ∴CD ⊥AD,∵AB ∥CD,∴AB ⊥ED,AB ⊥AD.∵AD ∩ED=D,AD ⊂平面ADE,ED ⊂平面ADE, ∴AB ⊥平面ADE, ∵MD ⊂平面ADE,∴MD ⊥AB,∵DE=DA,M 为AE 的中点, ∴MD ⊥AE,∵AB ∩AE=A,AB ⊂平面ABE,AE ⊂平面ABE, ∴MD ⊥平面ABE. ∵BE ⊂平面ABE, ∴BE ⊥DM.8.解析 (1)由题意得{3a +14b =1,1a 2+34b 2=1,解得{1a =14,1b 2=1,即{a 2=4,b 2=1, 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1.(2)由题意知A(0,-1),直线l 1,l 2的斜率存在且不为零,设l 1:y=k 1x-1,与直线y=x 联立有{y =k 1x -1,y =x ,得E (1k1-1,1k1-1),易得直线l 2:y=-1k 1x-1,同理,F (1-1k 1-1,1-1k 1-1),因为OE=OF,所以|1k 1|=|1-1k 1-1|,①1k 1-1=1-1k 1-1,k 1+1k 1=0无实数解;②1k1-1=-1-1k 1-1,k 1-1k 1=2,k 12-2k 1-1=0,解得k 1=1±√2.综上所得,直线l 1的斜率为1±√2.。
2019届高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第5课时 椭圆(一)教案 文
则m32＋n42＝1，且mn ＝ 23，解得 m2＝235，n2＝245. 故所求方程为2y52 ＋2x52 ＝1.
34
方法二：若焦点在 x 轴上，设所求椭圆方程为 x42＋y32＝t(t>0)，将点(2，－ 3)代入，得 t＝242＋（－3 3）2＝2. 故所求方程为x82＋y62＝1. 若焦点在 y 轴上，设方程为y42＋x32＝λ(λ>0)代入点(2，－ 3)， 得 λ＝2152，∴所求方程为2y52 ＋2x52 ＝1.
授人以渔
题型一 椭圆的定义及应用
(1)已知两圆 C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9， 动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相切，和圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为________．
【解析】 设圆 M 的半径为 r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3 ＋r)＝16，|C1C2|＝8，
(4)方法一：∵e＝ca＝ a2a－b2＝
1－ba22＝
1－34＝12，若
焦点在 x 轴上，设所求椭圆方程为mx22＋ny22＝1(m>n>0)，则 1－(mn )2
＝14.
从而(mn )2＝34，mn ＝
3 2.
又m42＋n32＝1，∴m2＝8，n2＝6. ∴方程为x82＋y62＝1.
若焦点在 y 轴上，设方程为my22＋nx22＝1(m>n>0)，
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第12讲 椭圆
1.已知集合A=,B=.若A∪B=R,则实数t的取值范围是.
2.(2018扬州高三调研)在平面直角坐标系xOy中,若抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为1的点到焦点的距离为
4,则该抛物线的焦点到准线的距离为.
3.(2018常州教育学会学业水平检测)已知实数x,y满足则x+y的取值范围是.
4.(2018溧水中学月考)函数f(x)=2x+的最小值为.
5.若椭圆上存在一点与椭圆的两个焦点构成顶角为120°的等腰三角形,则椭圆的离心率为.
6.(2017镇江高三期末)已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为,则该正四棱锥的体积为.
7.已知平面内的四点O,A,B,C满足·=2,·=3,则·=.
8.(2018常州教育学会学业水平检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)
的图象与x轴的交点A,B,C满足OA+OC=2OB,则φ=.
9.(2017兴化第一中学高三年级月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,CD∥AB,AB=2CD,AC交BD
于O,锐角△PAD所在平面⊥底面ABCD,PA⊥BD,点Q在侧棱PC上,且PQ=2QC.
求证:(1)PA∥平面QBD;
(2)BD⊥AD.
答案精解精析
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1.答案 (-∞,1)
解析 集合A=(-∞,1)∪[2,+∞),B=(t,+∞),A∪B=R,则t<1.
2.答案 6
解析 抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为1的点到焦点的距离为4,则1+=4,p=6.故该抛物线的焦点到准线的
距离p=6.
3.答案
解析 不等式组对应的平面区域是以点,(0,2)和(4,4)为顶点的三角形,当x+y经过点时取得最小值,经过
点(4,4)时取得最大值8,故x+y的取值范围是.
4.答案 5
解析 f(x)=(2x+1)+-1≥2-1=5,当且仅当2x+1=,即x=1时,取等号,则最小值是5.
5.答案 或
解析 若以F1F2为底边,则点P为短轴的一个端点,则e1==sin60°=;若以F1F2为一条腰,则不妨设
|PF1|=2c,|PF2|=2c.由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2c+2c=2a,此时离心率e2===.
6.答案
解析 正四棱锥的高h==2,则体积V=×22×2=.
7.答案 -5
解析 由·=·=·-·=2,·=·(-)=·-·=3,两式相加,可得·-·=·=5.故·=-·=-5.
8.答案
解析 设A(x,0),最小正周期T=,则C,B.由OA+OC=2OB,得x+x+=2.解得x=.所以y=f=sin
=sin=1.又0<φ<π,所以φ=.
9.证明 (1)如图,连接OQ.因为AB∥CD,AB=2CD,所以AO=2OC.又PQ=2QC,所以PA∥OQ.
又OQ⊂面QBD,PA⊄面QBD,所以PA∥平面QBD.
(2)在平面PAD内过P作PH⊥AD于H,如图.
因为侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
PH⊂平面PAD,所以PH⊥平面ABCD.
又BD⊂平面ABCD,所以PH⊥BD.又PA⊥BD,且PA∩PH=P,PH⊂平面PAD,PA⊂平面PAD,
所以BD⊥平面PAD.
又AD⊂平面PAD,所以BD⊥AD.
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