第8章 假设检验

第六章 假设检验教学目的：理解假设检验的一般原理和步骤；掌握平均数的显著性检验；平均数差异显著性检验；方差差异的检验。

教学重点：假设检验的一般原理；平均数的显著性检验；平均数差异显著性检验；方差差异的检验等假设检验方法与步骤。

教学时数：(8学时)假设检验是指先对总体提出某项假设（对总体参数或分布所作的某一假设），然后利用从总体中抽样所得的样本信息，根据一定概率来检验所提的假设是否正确，从而做出接受或拒绝的决策。

假设检验是推断统计中最重要的内容。

假设检验包括参数检验和非参数检验。

若进行假设检验时总体的分布形式书籍，需要对总体的未知参数进行假设检验，称其为参数检验；若对总体分布形式所知甚少，需要对未知分布函数的形式及其他特征进行假设检验，通常称之为非参数检验。

本章是假设检验方法中检验目的最简单、思想方法最具有共性，统计计算最直接的一种方法。

假设检验的内容繁多，但不管其检验目的如何变化，也不管其抽样分布如何不同，具体的计算方法如何有别，假设检验的基本思想都是一样的。

要学会各种具体的统计假设检验，首先必须掌握其基本思想方法。

第一节 假设检验的基本思想与方法一、原理与概念通过一个具体例子引入：某学科考试成绩历来都是服从正态分布的，总平均数一直维持在60分的水平上，总体标准差为15，1998年10月实行新的教学方法后，某研究者希望检验一下这次的总体水平是否还是60分，他随机抽取了一个n=120的样本，算得平均数为63，问这次该科考试的总平均是否还是60分？初看这个例子，样本平均数为63，μ=60，似乎可马上得出“不是”的结论，但这样简单地分析是错误的，因为我们不忘记抽样是有误差的，即使该学科这次考试的总体平均数还是60分，从中抽取一个样本，其平均数恰好为60分的可能性是很小的，因而就因为平均数不等于60，而否定总体μ=60的简单分析是错误的。

但反过来，就因为抽样是有误差的，因此就认为这3分之差是误差也无充分理由。

这3分之中，也可能有着真实的差异。

如何判断呢？根据抽样分布理论，样本均值处在以总体均值为均值，以总体方差的n 分之一为方差的正态分布中，所以到底这次考试的总体均值在60分之上还是之下仍不知道，因此这种顺推的办法是行不通的。

既然顺推行不通，我们进行反证，先假设这次该科考试的总平均还是60分，然后检验这一假设的正确性。

根据抽样分布理论，63分就处在总体均值60分n X Z σμ0-==2.09处，而在正态分布中，Z=1.96以上的概率为0.05，故若总体均值为60分，则一次抽样就抽到平均数为63分的概率是一小概率事件，则认为是不可能发生的。

例:有人调查早期教育对儿童智力发展的影响，从受过良好早期的儿童中随机抽取70人进行韦氏儿童智力测验（常模μo =100,σo =15），结果样本平均数为103.3，能否认为受过良好早期教育的儿童智力高于一般水平。

[分析] 1、首先，要明确这里的总体和样本指的是什么？总体，所有受过良好早期教育的儿童；样本，被选中的那70名受过良好早期教育的儿童。

2、常模（μo =100，σo =15）指的是什么？ 常模是指所有儿童的智力平均水平，就是这里所说的“一般水平”，给出的目的是把它当作一个标准，让它与受过良好早期教育的儿童的平均智力（总体均值）进行比较。

3、现在，要进行比较的两个事物中的一方清楚了，但另一方呢？——即受过良好早期教育的儿童的平均智力是多少呢？我们不知道它的确切值，只知道70名受过良好早期教育儿童的平均智商103.3分，要是103.3与那个我们不知道的总体均值之间有什么直接联系问题也就解决了！根据抽样分布理论，样本均值处在以总体均值为均值，以总体方差的n 分之一为方差的正态分布中，所以倒底103.3在总体均值之上还是之下我们仍然不知道，因此这种顺推的办法是行不通的。

4、我们再回到问题“受过良好早期教育的儿童的平均智力（总体均值）与常模比较大小”这个问题上来，既然我们顺推行不通，我们进行反证，我们去证明假设“受过良好早期教育的儿童的平均智力（总体均值）等于常模均值100”会是怎样的情况呢？要是这样，根据抽样分布理论，样本均值103.3就处在“总体均值”以上的Z=1.84个标准差单位处，而在正态分布中，Z=1.645以上的概率是5%，所以在前面的假设下（总体均值为100），一次抽样就抽到一个平均数为103.3的样本是一个发生可能性很小的事件，而我们常常认为“小概率事件在一次抽样中是不可能发生的”，所以在总体均值为100的情况下，一次抽样就抽到一个平均数为103.3的样本是有矛盾的，因此我们所做的假设是不成立的。

（一）假设从上例可看出，假设检验的前提是建立假设，也称研究假设，是根据已知理论或事实对现象所作的假定性说明。

例如，有人观察到这样一个事实：那些患临床抑郁症的人在12月底到2月初更容易患病。

于是有人提出假设认为这是一个心理现象，是放假的结果，因为病人都希望在假期能过得愉快和充实，但这种愿望往往不能完全实现，因此他们的抑郁症就容易引发。

另外有人认为是物理现象，因为冬天缺乏太阳光。

这就是假设。

假设必须进行验证，才能承认或否认它。

检验的方法往往是进行实验或调查，然后再进行统计。

用统计术语来描述假设就称为统计假设。

假设是科学研究中广泛使用的一种方法，如天文学史上的日心说，宇宙发生史上的大爆炸说，地球形成史上的冷凝说等等。

统计假设检验中使用的假设有两种，一种称为虚无假设，又称原假设或零假设，另一种称为备择假设，二者相互是对立的。

原假设往往是研究者根据样本信息期望拒绝的假设(无差异假设)，以H 0表示，备择假设与原假设相互排斥，是研究者根据样本信息期望证实的假设(有差异假设)，以H 1表示。

一般将含有“＝”的列为H 0。

在假设检验中，假设都是成对出现的，其中第一个为原假设，第二个为备择假设，二者从形式上看是同时出现的，缺一不可，从逻辑上看是非此即彼的，二者不可能同时成立，也不可能同时不成立。

对于上例，H 0：μ＝μ0，H 1：μ≠μ0，在H 0成立的情况下，根据抽样分布的理论，有)1,0(~0N X Z n σμ-= 由X 的实际值可求出Z 的实际值，Z 0＝2.19，P ＜0.05，这是一个小概率事件，可认定假设是不成立的。

假设检验：是用抽样出来的随机样本来检验样本所代表的总体的有关特征，它的基本思想是小概率反证法思想。

当总体分布形式已知时，可以事先根据有关资料对这些参数作一个假设（H o ），然后在此基础上构造适当的统计（要求在H o 下无未知量，和有精确的分布规律），并依据样本信息进行计算，在一定的概率（95%或99%）下进行推理，并最终判别假设（H o ）的合理性，即在H o 和H 1间作出选择。

（二）检验统计量上例中Z 就称为检验统计量，它是根据检验目的和抽样分布而设计的，专门用于统计假设检验的，在其计算中要应用到与所检验参数相应的样本统计量。

如检验两总体的平均数是否有差异，则要应用两样本平均数；检验两总体方差是否有差异，就要用到两样本方差。

检验统计量的设计要根据抽样分布，只有这样，才能找到它的概率分布形态，也才能考察它的取值概率。

如抽样分布是正态分布，计算的就是正态分布的Z 分数；抽样分布是t 分布，计算的就是t 分布的t 分数。

（三）小概率事件0≤P ≤1 不可能事件 必然事件如果某一事件的P 小于事先规定的水平，就称为小概率事件。

如规定P=0.01，在正常人群中随机抽取一人智商高于140以上的P<0.01一般，人们对小概率事的发生感到吃惊，如中奖、商场抽奖都是自己的员工等，甚至怀疑在哪个环节出了错。

小概率事件原理即认为小概率事件不可能在一次抽样中不可能发生。

如990个红球和10个白球，从中随机抽取一个，一般猜是红。

虽然小概率事件毕竟不是不可能事件，还会发生，但就整个判断决策来说，猜红球的决策是正确的，这种决策思维方法就是小概率事件原理。

如一公认是小概率的事件竟然在一次随机抽样中发生了，有很大的可能是某个环节出了差错，我们必须去查找它的原因。

小概率事件是否出现，是对假设作决断的根据。

上例即是假定原假设成立的情况下，来考察样本统计量的值在以μ为中心的抽样分布上的出现的P 如何，如P 大，则保留原假设，否则，拒绝原假设。

(四)假设检验的思想方法――带有概率值保证的反证法反证法是大家熟悉的一种逻辑推理证明方法。

正面推论难，从反面证明否命题的荒谬却往往事半功倍。

如证a>b,却设a ≤b ，推论出错误的结果，或与已知不符合的结果。

假设检验从逻辑过程来看也是一种反证法。

(详述)所谓带有概率值保证是指上述的假设检验是根据小概率事件原理做出的，而根据小概率事件原理作决策是一种科学正确的决策方法，但并不能保证每次的决策都是正确的，只是犯错误的概率P 很小，而且是我们可以控制的。

它与数学反证法的区别：一是数学反证法结论是百分之百的正确，二是数学反证法如最终推不出错误，反证法无意义，而假设检验不然，过程仍成立，只是结论不同而已，“无充分理由拒绝原假设”，即承认原假设，如仍感到怀疑，则要重新抽样。

（五）显著性水平样本统计量的值究竟在以总体μ为中心的抽样分布上出现的P 小到什么程度才算小概率事件发生了？这是由研究者对于假设检验的结论所要达到的可靠性程度所决定的。

统计学中一般规定两种水平0.05和0.01。

如研究者在0.05的水平上对假设进行检验，那么只要样本统计量的值在抽样分布上出现的P 小于0.05，就认为小概率事件发生了，应拒绝原假设。

统计学中把这种拒绝原假设的P 值称为显著性水平。

也即统计推断时可能犯错误的概率。

即决策中的风险。

显著性水平↑(↓α)，越不易拒绝0H ，可靠性↑显著性水平↓(↑α)，越容易拒绝0H ，可靠性↓(六)接受区域和拒绝区域二、单侧检验与双侧检验前面所做的假设为H o ：μ＝μo H 1：μ≠μo ，所关心的问题是，μ与μo 是否有差异，并不关心是大是小，因此，这种检验方法则在μo 两端都需要一个临界点，把临界点以外的区域作为拒绝域。

这时，若显著性水平为0.05，则两端的拒绝域的面积比例各为0.025。

这种只强调差异而不强调方向性的检验为双侧检验。

而如：某高校参加同专业的统一考试，随机抽查64份试卷，由此求得平均成绩为69分，标准差为9.5分，已知该校全体考生成绩分布服从正态分布，且总平均分为65分，问该高校考生的平均成绩是否显著地高于全体考生的平均水平？在此例中，它提出的是μ＞65是否成立。

当然，仅从成绩来看，69分比64分高，但我们需要了解的是，这种高5分的差异是来自抽样误差还是系统误差，所以这时的假设应为H 0：μ≤65， H 1：μ＞65，若接受Ho ，就意味着该校考生水平不高于全体考生的平均水平；反之，则是高于平均水平。