概率与数理统计第8章假设检验习题及答案

第8章 假设检验
一、填空题
1、 对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著性水平0.05下，接受假设
00:μμ=H ，那么在显著性水平0.01下，必然接受0H 。

2、在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平为α，则犯第一类错误的概率是α。

3、设总体),(N ~
X 2σμ，样本n 21X ,X ,X ，2σ未知，则00:H μ=μ，01:H μ<μ的拒绝域为 )}1(/{0
--<-n t n
S X αμ，其中显著性水平为α。

4、设n 21X ,X ,X 是来自正态总体),(N 2σμ的简单随机样本，其中2,σμ未知，记
∑==n 1
i i X n 1X ，则假设0:H 0=μ的t 检验使用统计量=T Q n n X )1(- .
二、计算题
1、某食品厂用自动装罐机装罐头食品，规定标准重量为250克，标准差不超过3克时机器工作 为正常，每天定时检验机器情况，现抽取16罐，测得平均重量252=X 克，样本标准差4=S 克，假定罐头重量服从正态分布，试问该机器工作是否正常？
解：设重量),(~2σμN X 05.016==αn 4252==S X (1)检验假设250:0=μH 250:1≠μH ，
因为2σ未知，在0H 成立下，)15(~/250t n S X T -=
拒绝域为)}15(|{|025.0t T >，查表得1315.2)5(025.0=≠t
由样本值算得1315.22<=T ，故接受0H
(2)检验假设9:20=σH 9:201>σH 因为μ未知，选统计量
202
2)1(σS n x -= 在0H 成立条件下，2x 服从)15(2
x 分布， 拒绝域为)}15({205.02x x >，查表得996.24)15(205.0=x ， 现算得966.24667.269
16152>=⨯=x 拒绝0H ， 综合(1)和(2)得，以为机器工作不正常
2、一种电子元件，要求其使用寿命不得低于1000小时，现在从一批这种元件中随机抽取25 件，测得其寿命平均值为950小时，已知该种元件寿命服从标准差100=σ小时正态分布， 试在显著性水平0.05下确定这批产品是否合格.
解：设元件寿命),(~2
σμN X ，2σ已知10002=σ，05.0,950,25===αX n 检验假设1000:0=μH
1000:1<μH 在2σ已知条件下，设统计量)1,0(~/1000N n X σμ
-= 拒绝域为}{05.0μμ<
，查表得645.195.005.0-=-=μμ 而645.15.2205025
/1001000950-<-=-=-=μ 拒绝假设0H 选择备择假设1H ，所以以为这批产品不合格.
3. 对 显 著 水 平 α， 检 验假 设 H 0 ; μ = μ0， H 1 ; μ ≠ μ0， 问当 μ0， μ， α一 定 时 ， 增大样本量 n 必 能 使 犯 第 二 类 错 误 概 率 β 减 少 对 吗 ？并 说 明 理 由 。

答 ： ( 1 ) 对 。

( 2 ) 增 大 n ， 使 概 率 分 布 更 集 中 ， 使 H 1 的 拒 绝 域 及 H 0 的
接 受 域 均 变 小 ， 二 者 交 集 也 变 小 。

4、 甲 制 药 厂 进 行 有 关 麻 疹 疫 菌 效 果 的 研 究 ， 用 X 表 示 一 个 人
用 这 种 疫 菌 注 射 后 的 抗 体 强 度 。

假 定 X ~ N ( μ， σ2 ) 另 一 家 与 之 竞 争 的 乙 制 药 厂 生 产 的 同 种 疫 菌 的 平 均 抗 体 强 度 是 1.9 ， 若 甲 厂 为 证 实 其 产 菌 有 更 高 的 平 均 抗 体 问 ： ( 1 ) 如 何 提 出 零 假 设 和 配 择 假 设 ？ ( 2 ) 从 甲 厂 取 容 量 为 16 的 样 本 ， 测 得 x s ==2225026866672.,. 检 验 ( 1 ) 的 假 设 。

α = 0.05。

( 已 知 t 0.95 ( 15 ) = 1.7531 )
解：( 1 ) H 0： μ = μ0 = 1.9； H 1 ： μ > μ0 = 1.9
( 2 ) t x s n =-=-=μ02225190268666716
25081.... 由 于 t = 2.5081 > 1.7531 ===== t 0.95 ( 15 ) = t 1-α( n -1 )
故拒绝H 0，即在α = 0.05下可以认为甲厂的产品有更高的平均抗体。

5、某 装 置 的 平 均 工 作 温 度 据 制 造 厂 讲 是 190。

C ， 今 从 一 个 由 16 台 装 置 构 成 的 随 机 样 本 得 出 的 工 作 温 度 平 均 值 和 标 准 差 分 别 为 195。

C 和 8。

C 。

这 些 数 据 是 否 提 供 了 充 分 证 据 ， 说 明 平 均 工 作 温 度 比 制 造 厂 讲 的 要 高 ？ 取 α = 0.05 ， 可 以 假 定 工 作 温 度 服 从 正 态 分 布 。

( 已 知 t 0.95 ( 15 ) = 1.7531 )
解: 这 问 题 即 是 在 α = 0.05 下 ， 检 验
H 0： μ = μ0 =190； H 1： μ > μ0 =190 ( σ2 末 知 )
t x s n =-=-=μ0195190816
25. 由 于 t = 2.5 > 1.7531 === t 0.95( 15 ) === t 1-α ( n -1 )
故 拒 绝 H 0， 即 认 为 该 装 置 的 平 均 工 作 温 度 高 于 190。

C 。

6、 测 定 某 种 溶 液 中 的 水 份 ，由 它 的 10 个 测 定 值 ，算 得 .%037.0,%452.0==s x 设 测 定 值 总 体 服 从 正 态 分 布 ，能 否 认 为 该 溶 液 含 水 量 小 于 0.5% ？ ( α = 0.05 )， ( 已 知 t 0.95 ( 9 ) = 1.833 )
解: 这 问 题 即 是 在 ( α = 0.05 ) 下 ， 检 验 假 设
H 0： μ = μ0 = 0.5%； H 1： μ < μ0 = 0.5%
t x s n =-=-=-μ0045205003710
4102.... 由 于 t = -4.102 < -1.8331 == -t 0.95( 9 ) = t α( n -1 )
故 拒 绝 H 0 即 认 为 溶 液 的 含 水 量 小 于 0.5% 7、 某 厂 生 产 的 某 种 产 品 ， 由 以 往 经 验 知 其 强 力 标 准 差 为 7.5 kg 且 强 力 服 从 正 态 分 布 ， 改 用 新 原 料 后 ， 从 新 产 品 中 抽 取 25 件 作 强 力 试 验 ， 算 得 s = 9.5 kg ， 问 新 产 品 的 强 力 标 准 差 是 否 有 显 著 变 化？(α=0.05，0.01 )
()()()(),928.4624,646.4024,98.4224,415.36242995.02975.0299.0295.0====χχχχ ()()886.924,401.12242005.02025.0==χχ
解：
要 检 验 的 假 设 为
H 0： σ2 = σ02 = 7.52； H 1： σ2 > σ02 = 7.52
()51.385.75.924122202
2=⨯=-=σχs n 在 α = 0.05 时 ， x 2 =38.51 > 36.415 == x 0.952 ( 24 ) = x 1-α2 ( n - 1 )
故 在 α = 0.05 时 ， 拒 绝 H 0 认 为 新 产 品 的 强 力 的 差 较 原 来 的 有 显 著 增 大 。

当 α = 0.01 时 ， χ 2 =38.51 < 42.98 == χ0.992 ( 24 ) = χ1-α2 ( n - 1 )
故 在 α = 0.01 下 接 受 H 0，认 为 新 产 品 的 强 力 的 标 准 差 与 原 来 的 无 显 著 差 异 。

注 ： H 1： σ2 > σ02 = 7.52 改 为 H 1： σ2 ≠ σ02 = 7.52 也 可。