江苏省苏州市南京师范大学苏州实验学校2020届高三上学期模拟考试数学试卷含答案
2020届江苏省苏州市高三上学期开学调研考试数学试卷及解析
2020届江苏省苏州市高三上学期开学调研考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)数学I一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{1,3}A =,{3,9}B =,则A B =_____.【答案】{}1,3,9【解析】根据并集的运算即可求解.【详解】集合{1,3}A =,{3,9}B =,由并集的运算可得{}1,3,9A B =,故答案为：{}1,3,9.2.如果复数2()3bi b R i -∈+的实部与虚部互为相反数,则b 等于_____. 【答案】1【解析】根据复数的除法运算化简,结合复数的实部与虚部互为相反数,即可求得b 的值. 【详解】复数2()3bi b R i-∈+, 由复数除法运算化简可得()()()()2326233331010bi i bi b b i i i i ----+==-++-, 因为复数的实部与虚部互为相反数, 即62301010b b -+⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,解得1b =,故答案为：1.3.下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况,则这五次测试得分的方差为______.【答案】4【解析】根据表格可计算得五次测试得分的均值,由方差公式即可求得五次测试成绩的方差.【详解】由表格可知,五次测试得分的均值为3330272931305++++=, 由方差公式可得()()()()()2222221333030302730293031305s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦ 12045=⨯=, 故这五次测试成绩的方差为4.故答案为：4.4.已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料,从这4瓶饮料中随机取2瓶,则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是_________.【答案】56【解析】先求出从4瓶饮料中随机抽出2瓶的所有的抽法种数,再求出取出的2瓶不是果汁类饮料的种数,利用对立事件的概率即可求得.【详解】从4瓶饮料中随机抽出2瓶,所有的抽法种数为24C ＝6（种）,取出的2瓶不是果汁类饮料的种数为22C ＝1（种）．所以所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为P ＝1﹣16＝56 ． 故答案为56． 5.根据如图所示的伪代码,当输入的,a b 分别为2,3时,最后输出的b 的值为______.。
江苏省苏州市2020届高三上学期期初调研考试数学试题 Word版含解析
江苏省苏州市2019—2010学年度第一学期高三期初调研考试数学试卷2019．9第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{1，3}，B ＝{3，9}，则A B ＝ ． 答案：{1，3，9} 考点：集合的运算解析：∵A ＝{1，3}，B ＝{3，9}， ∴A B ＝{1，3，9} 2．如果复数23bii-+(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 等于 ． 答案：1 考点：复数 解析：263231010bi b b i i --+=-+，由实部与虚部互为相反数得：6321010b b -+=，解得b ＝1． 3答案：4考点：平均数与方差解析：∵3330272931305x ++++==∴2222221[(3330)(3030)(2730)(2930)(3130)]45S =-+-+-+-+-=．4．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ． 答案：56考点：古典概型解析：4瓶饮料中随机取2瓶共有6种取法，所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料共有5种取法，所以求得概率为56． 5．根据如图所示的伪代码，当输入的a ，b 分别为2，3时，最后输出的b 的值为 ．答案：2考点：算法语言，伪代码解析：求得a ＝5，b ＝2，所以最后输出的b 的值为2．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线方程为y＝±2x ，则该双曲线的离心率为 ．考点：双曲线的性质解析：由渐近线方程可得2b a=，所以b 2＝4a 2，即c 2﹣a 2＝4a 2，所以225c a =，e值已舍去）．7．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB ＝3，BC ＝5，M 是AA 1的中点，则三棱锥A 1—MBC 1的体积为 ．答案：4考点：棱锥的体积解析：根据A 1C 1＝4，A 1B 1＝AB ＝3，B 1C 1＝BC ＝5，可得∠C 1A 1B 1＝90°，又∠C 1A 1A ＝90°，可得C 1A 1⊥平面ABB 1A 1，所以111111234432A MBC C MBA V V ==⨯⨯⨯⨯=——． 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1530S =，71a =，则10S 的值为 ． 答案：﹣5考点：等差数列前n 项和解析：由1530S =可得82a =，又71a =，可得60a =，51a =-，所以110105610()5()52a a S a a +==+=-．9．若()y f x =是定义在R 上的偶函数，当x ∈[0，+∞)时，sin [0, 1)()(1)[1, )x x f x f x x ∈⎧=⎨-∈+∞⎩，，，则(5)6f π--＝ ．答案：12考点：函数的奇偶性、周期性 解析：1(5)(5)()sin 66662f f f ππππ--=+===． 10．已知在△ABC 中，AC ＝1，BC ＝3，若O 是该三角形内的一点，满足(OA OB)(CA +⋅-CB)＝0，则CO AB ⋅＝ ．答案：4考点：平面向量的数量积解析：设AB 的中点为D ，由(OA OB)(CA +⋅-CB)＝0，得DO AB 0⋅= 所以1CO AB (CD DO)AB CD AB (CA CB)(CA CB)2⋅=+⋅=⋅=+⋅- 221(CA CB )42=-=． 11．已知sin 222cos2αα-=，则2sin sin 2αα+＝ ．答案：1或85考点：同角三角函数关系式，倍角公式 解析：∵sin 222cos2αα-= ∴2sin 222(2cos 1)αα-=- 化简得cos (sin 2cos )0ααα-= 所以cos 0α=或tan 2α= 当cos 0α=，求得2sinsin 2αα+＝1当tan 2α=，222222sin 2sin cos tan 2tan 8sin sin 2sin cos tan 15αααααααααα+++===++．12．已知点A 、B 是圆O ：224x y +=上任意两点，且满足AB ＝P 是圆C ：(x＋4)2＋(y ＋3)2＝4上任意一点，则PA PB +的取值范围是 ． 答案：[4，16] 考点：圆的方程解析：取AB 中点C ，可得OC ＝1，所以动点C 在以O 为圆心，1为半径的圆上 P A P B 2P C 2P C +==，而PC max ＝5＋1＋2＝8，PC min ＝5﹣1﹣2＝2，P A P B +的最大值为16，最小值为4，取值范围为4≤PA PB +≤16．13．设实数a ≥1，若不等式2x x a a -+≥，对任意的实数x ∈[1，3]恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．答案：[1，2][72，+∞) 考点：函数性质综合解析：①当1≤a ≤2时，显然符合题意 ②当a ＞2时，2x x a a -+≥，2a x a x--≥ ∴2a x a x--≥或2a x a x --≤-化简得221x a x +≤+或221x a x -≥-恒成立求得221x y x +=+在[1，3]的最小值为32，即a ≤32与a ＞2矛盾，舍求得221x y x -=-在[1，3]的最大值为72，即a ≥72符合题意综上所述，a 的取值范围为1≤a ≤2或a ≥72． 14．在△ABC 中，若tan A tan Atan B tan C+＝3，则sinA 的最大值为 ．答案：5考点：基本不等式，正余弦定理解析：222222222222tan A tan A sin A cos B sin A cos C 22tan B tan C sin Bcos A sin cos A 22a c b a b c a aac ab b c a b c a C b cbc bc+-+-+=+=++-+- ＝222223a b c a =+- 所以2223()5a b c =+ cosA ＝222222()2522555b c b c a b c bc bc c b ++-==+≥当且仅当b ＝c 时取“＝”所以A 是锐角，且cosA 的最小值为25，此时sinA有最大值为5．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，点P 是棱AC 的中点．（1）求证：AB 1∥平面PBC 1；（2）求证：平面PBC 1⊥平面AA 1C 1C ．16．（本小题满分14分） 已知函数7()sin()sin()412f x x x ππ=+++． （1）求函数()y f x =的最小正周期和单调递增区间；（2）当x ∈[0，π]时，试求函数()y f x =的最大值，并写出取得最大值时自变量x 的值．17．（本小题满分14分）已知椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y＝kx交椭圆C于A、B两点，在直线l：x＋y﹣3＝0上存在点P，使得△PAB为等边三角形，求实数k的值．18．（本小题满分16分）某地举行水上运动会，如图，岸边有A，B两点，∠BAC＝30°．小船从A点以v千米/小时的速度沿AC方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t小时与小船相遇．（水流速度忽略不计）（1）若v＝4，AB＝2 km，运动员从B处出发游泳匀速直线追赶，为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；（2）若运动员先从A处沿射线AB方向在岸边跑步匀速行进m（0＜m＜t）小时后，再游泳匀速直线追赶小船，已知运动员在岸边跑步的速度为4千米/小时，在水中游泳的速度为2千米小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v的最大值．19．（本小题满分16分）已知函数()xf x e =，()lng x x =．（1）设2()()h x g x x =-，求函数()h x 的单调增区间；（2）设01x >，求证：存在唯一的0x ，使得函数()y g x =的图像在点A(0x ，0()g x )处的切线l 与函数()y f x =的图像也相切；（3）求证：对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x--<成立．20．（本小题满分16分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足：1155b a ==，529a b ==，当n ≥3时，1n S +＞n b ，且n S ，1n n S b +-，2n S -成等比数列，n N *∈．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中； （3）将数列{}n a 、11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的项按照：当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，11n n b b +放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：1a ，121b b ，231b b ，2a ，3a ，341b b ，451b b ，…这个新数列的前n 和为n T ，试求n T 的表达式．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换设变换T 是按逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是M ． （1）求点P(1，1)在T 作用下的点P ′的坐标；（2）求曲线C ：y ＝x 2在变换T 的作用下所得到的曲线C′的方程．B．选修4—4：坐标系与参数方程己知直线的参数方程为11x ty t=+⎧⎨=-⎩（t为参数），圆C的参数方程为cossinx ay aθθ=⎧⎨=⎩（a＞0，θ为参数），点P是圆C上的任意点，若点P1，求实数a的值．解：由直线的参数方程为11x ty t=+⎧⎨=-⎩（t为参数）可得2y x=-+由圆C的参数方程为cossinx ay aθθ=⎧⎨=⎩可得圆的标准方程为222x y a+=求得圆心O a1，求得a的值为1．C．选修4—5：不等式选讲已知x、y、z均为正数，求证：111x y zyz zx xy x y z ++≥++．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有人取到白球时终止．用随机变量X 表示取球终止时取球的总次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X 的概率分布及数学期望E(X)．23．（本小题满分10分）设集合M ＝{﹣1，0，1}，集合A n ＝{}123(,,,,),1,2,,n i x x x x x M i n ∈=，集合A n 中满足条件“1≤12n x x x +++≤m ”的元素个数记为n m S ． （1）求22S 和42S 的值；（2）当m ＜n 时，求证：11322n n m n m S ++<+-．。
江苏省苏州市相城区南京师范大学苏州实验学校2025届高三数学第一学期期末综合测试试题含解析
江苏省苏州市相城区南京师范大学苏州实验学校2025届高三数学第一学期期末综合测试试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数()()31z i i =-+，则z =（ ） A ．22B ．25C ．10D ．202．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫ ⎝⎭<D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫ ⎝⎭<3．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（ ） A ．19B ．20C ．21D ．224．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ） A ．32i -+B ．32i +C ．32i --D ．32i -5．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）A ．122π-B ．21π-C ．22π-D ．24π-6．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a 的最小值为（ ）A ．24()27B ．34()27C ．44()27D ．54()277．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，28f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是（ ） A ．12ω=B ．6282f π+⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 8．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100=）变化图表，则以下说法错误的是（ ）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）A ．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B ．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C ．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D ．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 9．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC =，则AC 边上的高为（ ） A 5 B ．2C 5D ．15210．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．28πC ．32πD ．36π11．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A ．B ．C ．D ．12．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40B ．-20C ．20D ．40二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
最新江苏省苏州市2020届高三上学期期中考试数学 含答案
二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分 . 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤．
15. (本小题满分 14 分 ) 在△ ABC 中，角 A ， B， C 所对的边分别为 a， b， c， C＝ 120°， c＝ 7， a－b＝ 2.
(1) 求 a，b 的值；
(2) 求 sin(A ＋ C) 的值．
π)上的解为
x 1，x 2，则 cos(x1－ x2)＝ ________．
14. 已知函数 f(x) ＝ 3x2－ x3，g(x) ＝ ex－1－ a－ ln x ．若对于任意 x1∈ (0， 3)，总是存在两
个不同的 x2， x 3∈ (0， 3)，使得 f(x 1)＝ g(x 2)＝ g(x3)，则实数 a 的取值范围是 ________．
6.
已知
tan
α ＝2，则 cos
sin α α＋ 2sin
的值为 ________． α
7. “ x＞ 2”是“ x＞ 1”的 ________条件． (选填“充分不必要” “必要不充分” “充要” 或“既不充分又不必要” )
π 8. 已知函数 y＝ sin 2x 图象上的每个点向左平移 φ (0＜ φ＜ 2 )个单位长度得到函数 y＝
B. ( 选修 44：坐标系与参数方程 ) 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝ 2cos α＋ 2 3sin α ( α为参数 )，直线 l 的参数方程为
x＝1＋ tcos β ，
πБайду номын сангаас
y＝ tsin β
a 的取值范围．
5
20. (本小题满分 16 分 ) 已知数列 {a n} 满足 (n－ 1)an＋1＝ nan－ a1， n∈N* .
江苏省苏州市2020届高三上学期期中调研数学试题 含解析答案
江苏省苏州市2020届第一学期高三期中调研试卷数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{}0x x >，则A I B ＝ ． 答案：{1，2}考点：集合的交集运算解析：∵集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{}0x x >， ∴A I B ＝{1，2}． 2．已知复数z 满足i 2iz=+（i 为虚数单位），则复数z 的实部为 ． 答案：﹣1 考点：复数 解析：∵i 2iz=+ ∴2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，则复数z 的实部为﹣1．3．已知向量a r ＝(x ，2)，b r ＝(2，﹣1)，且a r ⊥b r，则实数x 的值是 ．答案：1考点：平面向量数量积坐标运算解析：∵a r ＝(x ，2)，b r＝(2，﹣1)， ∴a r ·b r＝2x ﹣2 ∵a r ⊥b r∴a r ·b r＝2x ﹣2＝0，解得x ＝1．4．函数y =的定义域为 ． 答案：(1，2)考点：函数的定义域 解析：由题意得：1020x x ->⎧⎨->⎩，解得1＜x ＜2，即原函数定义域为(1，2)．5．等比数列{}n a 中，11a =，48a =，n S 是{}n a 的前n 项和，则5S = ．答案：31考点：等比数列前n 项和 解析：由题意，341881a q a ===，解得q ＝2， ∴55213121S -==-． 6．已知tan 2α=，则sin cos 2sin ααα+的值为 ．答案：25考点：同角三角函数关系式解析：sin sin tan 22cos cos 2sin cos 2sin 12tan 1225cos αααααααααα====++++⨯． 7．“2x >”是“1x >”的 条件．（在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”选一填写．） 答案：充分不必要考点：充分条件、必要条件、充要条件的判断解析：因为“2x >”一定能推出“1x >”，但“1x >”不能推出“2x >”， 故“2x >”是“1x >”的充分不必要条件． 8．已知函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移ϕ(π02ϕ<<)个单位长度得到函数y ＝πsin(2)6x +的图象，则ϕ的值为 ．答案：12π 考点：三角函数的图像与性质解析：函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移ϕ(π02ϕ<<)个单位 则得sin 2()y x ϕ=+，即sin 2()y x ϕ=+＝πsin(2)6x +求得12πϕ=．9．设函数,0()21,0x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，则不等式2(2)()f x f x +>的解集为 ．答案：(﹣1，2) 考点：函数的单调性解析：根据题意可得函数()f x 是R 上的单调递增函数，又2(2)()f x f x +> 22x x +>，220x x --<，解得﹣1＜x ＜2，∴原不等式解集为(﹣1，2)．10．已知函数()ln mf x x x=-的极小值大于0，则实数m 的取值范围为 ． 答案：(-∞，1e-) 考点：利用导数研究函数极值解析：∵函数()ln m f x x x=-， ∴221()m x mf x x x x +'=+=，当m ≥0时，()f x '＞0，()f x 在(0，+∞)单调递增；当m ＜0时，当x ＝﹣m 时，()f x 有极小值()ln()10f m m -=-+>， 解得：1m e<-． 11．已知各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =，则37a a 的最大值为 ． 答案：9考点：等差数列的性质，基本不等式解析：∵各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =， ∴37526a a a +==∴23737()92a a a a +≤=，当且仅当37a a =＝3时取“＝”． 12．已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足CE 2ED =u u u r u u u r ，若AE EB 6⋅=-u u u r u u u r，则cosC ＝ ． 答案：13考点：平面向量数量积解析：∵AE EB 6⋅=-u u u r u u u r，∴(AD DE)(CB CE)6+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r12(CB CD)(CB CD)633--⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r，2221CB CD CB CD 693-++⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r，∵菱形ABCD 的棱长为3，求得CB CD ⋅u u u r u u u r ＝3，∴CB CD 31cos C 93CB CD ⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r ．13．若方程π3cos(2)65x -=在(0，π)的解为1x ，2x ，则12cos()x x -= ． 答案：35-考点：三角函数的图像与性质，诱导公式 解析：根据题意，令函数()cos(2)6f x x π=-，当3()5f x =时，在(0，π)上有两个零点1x ，2x ，一方面13cos(2)65x π-=，另一方面可得两个零点1x ，2x 关于直线12x π=对称，则2176x x π=-，则1211177cos()cos[()]cos(2)66x x x x x ππ-=--=- 113cos(2)cos(2)665x x πππ=--=--=-．14．已知函数23()3f x x x =-，1()ln x g x ea x -=--，若对于任意1x ∈(0，3)，总是存在两个不同的2x ，3x ∈(0，3)，使得123()()()f x g x g x ==，则实数a 的取值范围为 ． 答案：[1，2ln34e --) 考点：函数与不等式解析：根据23111()3f x x x =-，1x ∈(0，3)，求得1()f x 的值域为(0，4]， 1()ln x g x ea x -=--，11()x g x ex-'=-，可以判断()g x '在(0，3)上单调递增 又(1)0g '=，故当0＜x ＜1时，()g x '＜0，()g x 在(0，1)单调递减 当1＜x ＜3时，()g x '＞0，()g x 在(0，1)单调递增 计算得(1)1g a =-，2(3)ln 3g e a =--，要使任意1x ∈(0，3)，总是存在两个不同的2x ，3x ∈(0，3)，使得123()()()f x g x g x ==，则210ln 34a e a -≤⎧⎨-->⎩，求得1≤a ＜2ln34e --．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，c ＝7，a ﹣b ＝2． （1）求a ，b 的值；（2）求sin(A ＋C)的值．16．（本题满分14分）已知向量a r ＝(cos x ，3cos x )，b r＝(cos x ，sin x )．（1）若a r ∥b r ，x ∈[0，2π]，求x 的值；（2）若()f x a b =⋅r r ，x ∈[0，2π]，求()f x 的最大值及相应x 的值．17．（本题满分14分）已知等比数列{}n a 满足22a =，且2a ，31a +，4a 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n b a n =-+，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．18．（本题满分16分）如下图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD，下部是一个矩形ABCD，圆弧CD所在圆的圆心为O．经测量AB＝4米，BC＝3米，∠COD＝120°，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH，其中E，F在边AB上，G，H在圆弧CD上．设∠OGF＝θ，矩形EFGH的面积为S．（1）求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式；（2）求cosθ为何值时，矩形EFGH的面积S最大？19．（本题满分16分）已知函数()f x x x=-． （1）求()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）求函数()()F x f x x =-的极大值；（3）若()ln af x x ≤对x ∈(0，1]恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足11(1)n n n a na a +-=-，n *∈N ．（1）证明：数列{}n a 为等差数列；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211a a -=，且对任意的正整数n ，都有1113S <2311143n S S S +++⋅⋅⋅+<，求整数1a 的值； （3）设数列{}n b 满足310n n b a =+，若2115a a -=，且存在正整数s ，t ，使得s ta b +是整数，求1a 的最小值．附加题（共40分）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（本题满分10分）已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程．B ．（本题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为2cos 23ραα=+（α为参数），直线l 的参数方程为1cos sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，π02β<<），若曲线C 被直线l 13求β的值．C ．（本题满分10分）设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：32a b c b c c a a b ++≥+++．22．（本题满分10分）某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14．甲乙丙是否击中目标相互独立． （1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．23．（本题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC a ==，1AA b =，点E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上，且113BE BB =，1113C F CC =．设b a λ=． （1）当3λ=时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小；（2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值．。
2020届江苏省南京师范大学附属中学江宁分校高三上学期12月调研考试数学(文)试题(解析版)
2020届江苏省南京师范大学附属中学江宁分校高三上学期12月调研考试数学（文）试题一、填空题1．设全集{|5,*}U x x x N =<∈，集合{1A =，3}，{3B =，4}，则()U C A B =_____.【答案】{2}.【解析】列举出全集中的元素，求出A 、B 集合的并集，再求其补集可得答案. 【详解】全集{|5,*}{1,2,3,4}U x x x N =<∈=，集合{1A =，3}，{3B =，4}，{}1,3,4A B =，则{}()2U C A B =，故答案为：{}2. 【点睛】本题考查了集合的基本运算，属于基础题.2．已知i 是虚数单位，若复数(12)()z i a i =++的实部与虚部相等，则实数a 的值为___________. 【答案】3-【解析】根据复数的乘法运算，先化简复数，再由复数实部与虚部相等，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为()()()()1222212z i a i a i ai a a i =++=++-=-++， 又其实部与虚部相等，所以122a a -=+，解得3a =-. 故答案为：3-. 【点睛】本题主要考查由复数的实部与虚部相等求参数，考查复数的乘法运算，属于基础题型.3．函数2()log (1)f x x -的定义域为_____.【答案】[)0,1【解析】利用二次根式有意义、对数的真数大于零列不等式求解即可. 【详解】要使函数2()log (1)f x x =-有意义，则0010x x x ≥⎧⇒≤<⎨->⎩1，即函数2()log (1)f x x -的定义域为[)0,1，故答案为：[)0,1. 【点睛】本题主要考查具体函数的定义域，利用函数有意义列出不等式组是解题的关键，属于基础题.4．从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选中的概率为__________． 【答案】23【解析】利用列举法：从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有6种结果，其中甲乙两人中有且只一个被选取，共4种结果，由古典概型概率公式可得结果. 【详解】从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁），6种结果，其中甲乙两人中有且只一个被选取，有（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），共4种结果，故甲、乙两人中有且只一个被选中的概率为4263=，故答案为23． 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题. 在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式mP n=求得概率. 5．对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为_______．【答案】200【解析】由频率分布直方图可知，算出次品所占的比例乘以样本容量即可得出结果．【详解】根据频率分布直方图可知，样本中次品的频率为：1－（0.05＋0.0625＋0.0375）×5＝0.25，所以，样本中次品的件数为：0.25×800＝200故答案为200【点睛】本题主要考查频率分布直方图的读图能力，注意纵坐标意义．属于简单题型.6．如图是一个算法流程图，则输出的b的值为_______．【答案】8【解析】根据程序框图，写出每次运行结果，利用循环结构计算并输出b的值．【详解】第1步：a＞10不成立，a＝a＋b＝2，b＝a－b＝1；第2步：a＞10不成立，a＝a＋b＝3，b＝a－b＝2；第3步：a＞10不成立，a＝a＋b＝5，b＝a－b＝3；第4步：a＞10不成立，a＝a＋b＝8，b＝a－b＝5；第5步：a＞10不成立，a＝a＋b＝13，b＝a－b＝8；第6步：a＞10成立，退出循环，输出b＝8.故答案为8 【点睛】本题考查循环结构的程序框图，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，属于基础题．7．若抛物线22y px =(0)p >的焦点恰好是双曲线22154x y -=的右焦点，则p =____.【答案】6【解析】分别写出抛物线的焦点坐标与双曲线的右焦点坐标，由两焦点相同求p 的值． 【详解】抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(2p，0)，双曲线22154x y -=中，25a =，24b =，∴3c =，∴双曲线22154x y -=的右焦点为(3,0)，则32p ，得6p ．故答案为：6． 【点睛】本题考查抛物线与双曲线的简单性质，是基础的计算题．8．已知函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<是定义在R 上的奇函数，则()8f π-的值为______.【答案】【解析】利用辅助角公式化简()f x ，根据正弦型函数为奇函数可构造方程求得ϕ，进而得到()f x 解析式，代入8x π=-即可求得结果.【详解】()()()2cos 22sin 26f x x x x πϕϕϕ⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎝⎭，()f x 为R 上的奇函数，()6k k Z πϕπ∴-=∈，解得：()6k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，6πϕ∴=，()2sin 2f x x ∴=，2sin 84f ππ⎛⎫⎛⎫∴-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：. 【点睛】本题考查根据正弦型函数的奇偶性求解参数值、已知解析式求解三角函数值的问题；关键是能够通过辅助角公式将函数化简为正弦型函数，进而利用奇偶性构造方程求得参数.9．已知数列{}n a 与2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等差数列()*n N ∈，且12a =，则10a =______.【答案】20【解析】首先由条件设()21n a n d =+-，再根据数列2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列，求公差d ，再求10a . 【详解】设()21n a n d =+-，所以()()()22222242221n d n d d n d n d a n n n+-+-+-⎡⎤⎣⎦==， 由于2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，所以其通项是一个关于n 的一次函数，所以()220d -=，所以2d =，101920a a d ∴=+=.故答案为：20 【点睛】本题考查等差数列通项公式的简单应用，重点考查计算能力，属于基础题型.10．在ABC 中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点D 在边BC 上．若134DE DF →→⋅=，则线段BD 的长为______．【答案】2【解析】由题意结合余弦定理可得212BC =，即可得90C =︒，建立平面直角坐标系后，表示出各点坐标，由134DE DF →→⋅=转化为坐标运算即可得解. 【详解】在ABC 中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，则2222cos 164812BC AC AB AC AB BAC =+-⋅∠=+-=，∴222BC AC AB +=，90C =︒，以C 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴、y 轴正半轴上建立平面直角坐标系，如图， 则()0,0C ，()2,0A ，()0,23B ，()1,3E ，()1,0F ， 设()()0,023D d d ≤≤，故()1,3DE d →=-，()1,DF d →=-，134DE DF →→⋅=，∴213134d d -+=，解得33d =或3d =-（舍去），∴33323BD -==.故答案为：32.【点睛】本题考查了余弦定理与平面向量数量积的坐标运算，考查了运算求解能力，属于基础题 11．已知点(3,0),(1,2)A B ---，若圆222(2)(0)x y r r -+=＞上恰有两点,M N ，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是____. 【答案】29222【解析】由题意可得()()221320-++--2根据△MAB 和△NAB 的面积均为4， 可得两点M ，N 到直线AB 的距离为2； 由于AB 的方程为020y ---=313x +-+，即x +y+3=0；若圆上只有一个点到直线AB 的距离为，则有圆心（2，0）到直线AB ，解得r=2；若圆上只有3个点到直线AB 的距离为，则有圆心（2，0）到直线AB =r ﹣，解得r=2；综上，r 的取值范围是（2，2）．）． 12．已知函数2()23ln 4x a a x f x x x x e e --=--++，其中e 为自然对数的底数,若存在实数0x 使0()3f x =成立，则实数a 的值为____. 【答案】1ln2- 【解析】令g （x ）=223ln x x x --，g′（x ）=4x 13x --=()()2411431x x x x x x+---=， 故g （x ）=x ﹣ln （x+2）在（0，1）上是减函数，（1，+∞）上是增函数， 故当x=﹣1时，g （x ）有最小值﹣1， 而4x a a x e e --+≥4，（当且仅当x a e -=4a x e -，即x=a +ln2时，等号成立）； 故f （x ）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）； 故x=a +ln2=1， 即a=1﹣ln2． 故答案为：1﹣ln2． 13．已知函数32ln ,0(),0e x xf x x x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数2()()g x f x ax =-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____. 【答案】(){}0,12⋃-【解析】根据分段函数32ln ,0(),0e x xf x x x x >⎧=⎨+≤⎩，分两段分析，当0x ≤时，令()0g x =得到0x =或210x ax -+=，利用二次函数分析210x ax -+=根的情况即可； 当0x >时，令()0g x =得到22ln =e x a x ，令 ()22ln =e xh x x ，用导数法画出其图象，研究y a =与 ()y h x =的交点情况，然后由两段共3个零点下结论即可. 【详解】当0x ≤时，令()0g x =得320-+=x ax x ， 解得0x =或210x ax -+=，所以当2a <-时，()g x 在(,0]-∞上有三个零点； 当2a =-时，()g x 在(,0]-∞上有两个零点； 当2a >-时，()g x 在(,0]-∞上有一个零点； 当0x >时，令()0g x =得22ln 0-=e x ax ， 即22ln =e xa x， 令 ()22ln =e xh x x ，则 ()()3212ln -'=e x h x x， 所以()()()()0,,0,,,0''∈>∈+∞<x e h x x e h x ，画出函数()h x ，如图所示：由图知：当()01<<=a h e 时，()g x 在()0,∞+有两个零点；当1a=或0a≤时，()g x在()0,∞+有一个零点；当1a>时，()g x在()0,∞+无零点；综上：当01a<<或2a=-时，()g x在R有三个零点，故答案为：(){}0,12⋃-【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根以及导数与函数的性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于较难题.14．锐角三角形ABC，AD是边BC上的中线，且AD AB=，则111tan tan tanA B C++的最小值为___________.【答案】13【解析】根据题意，不妨设2BD CD==，取BD中点为H，连接AH，设AH h=，分别表示出tan B，tan C，再由两角和的正切公式，可表示出tan A，将111tan tan tanA B C++转化关于h的式子，结合基本不等式求解，即可得出结果.【详解】不妨设2BD CD==，取BD中点为H，连接AH，设AH h=，=AD AB，1∴==BH HD，AH BD⊥，所以tan=B h，tan3=hC，因为()2tan tan4tan tantan tan13+=-+==--B C hA B CB C h，又三角形ABC为锐角三角形，所以243hhh>⎧⎪⎨>⎪-⎩，解得3h>所以21113311313132tan tan tan44444h h hA B C h h h h h-++=++=+≥⋅=，当且仅当1344h h =，即13h =（满足3h >）时，等号成立. 故答案为：132. 【点睛】本题主要考查根据基本不等式求三角函数的最值，涉及两角和的正切公式，属于常考题型.二、解答题15．如图,在平面直角坐标系xOy 中,以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O交于点A ,且点A 的纵坐标是1010．（1）求3cos 4απ⎛⎫-⎪⎝⎭的值: （2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ,且点B 的横坐标为55-求αβ+的值． 【答案】（1）55-（2）34αβπ+=【解析】（1）依题意,任意角的三角函数的定义可知,10sin α=,进而求出310cos α=在利用余弦的和差公式即可求出3cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）根据钝角β的终边与单位圆交于点B ,且点B 的横坐标是55-,得出cos 5β=-,进而得出sin 5β=,利用正弦的和差公式即可求出()sin 2αβ+=,结合α为锐角,β为钝角,即可得出αβ+的值. 【详解】解：因为锐角α的终边与单位圆交于点A ,点A ,所以由任意角的三角函数的定义可知,10sin α=．从而cos 10α==． （1）于是333cos cos cos sin sin 444αααπππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭⎛=+= ⎝⎭⎝⎭（2）因为钝角β的终边与单位圆交于点B ,且点B 的横坐标是-所以cos β=,从而sin 5β==．于是()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+=1051052⎛=-+⨯ ⎝⎭． 因为α为锐角,β为钝角,所以3,22ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭从而34αβπ+=． 【点睛】本题本题考查正弦函数余弦函数的定义,考查正弦余弦的两角和差公式,是基础题. 16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥,点,E F 分别是111,BB A B 的中点.（1）求证：D 为BC 的中点；（2）求证:EF 平面1ADC【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【详解】试题分析：（1）要证D 为BC 的中点，又AB=AC ，即证ＡＤ⊥ＢＣ即可；（２）连接1A B ，连接1A C 交1AC 于点G ，连接DG ，由（１）易证//EF DG ，从而问题得证． 试题解析： （1）正三棱柱111ABC A B C -，∴ 1C C ⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ，∴ 1C C AD ⊥，又1AD C D ⊥，111C D C C C ⋂=∴ AD ⊥平面11BCC B ，又正三棱柱111ABC A B C -，∴平面ABC ⊥平面11BCC B ，∴ AD ⊥ BC ，D 为BC 的中点．（2） 连接1A B ，连接1A C 交1AC 于点G ，连接DG矩形11A ACC ，∴ G 为1A C 的中点，又由(1)得D 为BC 的中点，∴1A BC 中，1//DG A B又点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点，∴△11A B B 中，1//EF A B ，∴ //EF DG ，又EF ⊄平面1ADC ，DG ⊂平面1ADC∴ //EF 平面1ADC点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.17．某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成(如图1).每座帐篷的体积为354m π，且分上､下两层，其中上层是半径为(1)r r (单位：m)的半球体，下层是半径为m r ，高为m h 的圆柱体(如图2).经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面､隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y 千元.（1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当半径r 为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值.【答案】（1）25460()y r rπ=⨯+，3{|133}r r <；（2）当半径r 为3m 时最小为1620π千元.【解析】（1）由帐篷体积=半球体积+圆柱体积，可用r 表示出h ，则22(222323)10y r r rh πππ=⨯+⨯+⨯⨯，化简得25460()y r r π=+；再由254203r r ->，可得定义域；（2）结合（1）可设254()f r r r=+，3133r <，根据导函数求出其最小值即可得到帐篷的总建造费用的最小值.【详解】（1）由题意可得322543r r h πππ+=，所以25423h r r =-，所以2222542(222323)1010060()3y r r rh r r r r πππππ=⨯+⨯+⨯⨯=+⨯-， 即25460()y r rπ=⨯+； 因为1r ，0h >，所以254203r r ->，则3133r <， 所以定义域为3{|133}r r <，（2）设254()f r r r =+，3133r <，则254()2f r r r'=-，令()0f r '=，解得3r =， 当[1r ∈，3)时，()0f r '<，()f r 单调递减；当(3r ∈，时，()0f r '>，()f r 单调递增， 所以当3r =时，()f r 取极小值也是最小值，且()27min f r =，此时，总费用最小值为60271620ππ⨯=千元． 答：当半径r 为3m 时，建造费用最小，最小为1620π千元． 【点睛】本题主要考查圆柱的体积与表面积以及球体的体积与表面积，考查了函数模型的实际应用，以及利用导数求最值等知识点，属于中档题．18．已知椭圆 2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，若椭圆C 经过点0（，离心率为12，直线l 过点2F 与椭圆C 交于A 、B 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点N 为12F AF ∆的内心，求12F NF ∆与12F AF ∆面积的比值；（3）设点A ，F 2，B 在直线4x =上的射影依次为点D ，G ， E ．连结AE ，BD ，试问当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点T ？若是，请求出定点T 的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）13；（3）定点5,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（1）由题意知b ．由c a ＝12，可得b a a 即可得出椭圆C 的方程．（2）由点N 为△F 1AF 2的内心，可得点N 为△F 1AF 2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ，可得1212S F NF S F AF ∆∆＝()1212211212F F r AF AF F F r ++，整理即可． （3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于F 2G 的中点5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5,02T ⎛⎫⎪⎝⎭．设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），与椭圆方程联立化简得（3+4k 2）x 2﹣8k 2x+4k 2﹣12＝0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由题意，得D （4，y 1），E （4，y 2），则直线AE 的方程为y ﹣y 2＝2114y y x --（x ﹣4）．令52x =，此时y ＝y 2+2114y y x --（542-），把根与系数关系代入可得y ＝0，因此点5,02T ⎛⎫⎪⎝⎭在直线AE 上．同理可证，点5,02T ⎛⎫⎪⎝⎭在直线BD 上．即可得出结论． 【详解】 （1）由题意，b =12c a =，所以2b a =，解得2a =， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）因为点N 为12F AF ∆的内心，所以点N 为12F AF ∆的内切圆的圆心，设该圆的半径为r .则()1212121212121212112132F NF F AF F F r S F F c S AF AF F F a c AF AF F F r ∆∆⨯⨯====+++⨯++⨯.（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形， 此时AE 与BD 交于2F G 的中点5,02⎛⎫⎪⎝⎭， 下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设直线l 的方程为()1y k x =-，()221,143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩化简得()22223484120k x k x k +-+-=， 因为直线l 经过椭圆C 内的点()1,0，所以0∆>， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k+=+，212241234k x x k -=+. 由题意，()14,D y ，()24,E y ， 直线AE 的方程为()212144y y y y x x --=--， 令52x =，此时()()()122121211243544224x y y y y y y y x x -+--⎛⎫=+⨯-= ⎪--⎝⎭ ()()()()12211241324x k x k x x x --+-=-()()1221182524k kx x k x x x +-+=-()222214128825343424k k k k k k k x -+⋅-⋅++=- ()()()()222218342412582434k k k k k k x k ⋅++⋅--⋅=-+()()()()3333322112432824404040024342434k k k k k k k x k x k++---===-+-+， 所以点5,02T ⎛⎫⎪⎝⎭在直线AE 上， 同理可证，点5,02T ⎛⎫⎪⎝⎭在直线BD 上. 所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、直线相交问题、三角形的内切圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．设数列{}n a ，{}n b 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列. （1）已知11b =，23260b b b -+=，求数列{}n b 的前n 项的和n S ；（2）已知22a =，4710++21a a a =，且数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，若数列{}n b 唯一，求1b 的值.（3）已知数列{}n a 的公差为()d d ≠0，且11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-⋅+，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式(用含n ，d 的式子表达)；【答案】（1）()123nnS --=；（2）11b =-；（3）2,n n n a nd b d ==.【解析】（1）利用已知条件求得q ，由此求得n S .（2）利用已知条件求得1,a d ，根据数列{+}n n a b 的前三项成等比数列列方程，结合判别式求得1b .（3）利用退1作差法求得n n a b ，结合等比中项的性质求得1a 和d 的关系式，由此求得数列{}n a ，{}n b 的通项公式. 【详解】（1）设等比数列{}n b 的公比为q ， 依题意有11232321111,6060b b b b b b q b q ==⎧⎧⎨⎨-+=-+=⎩⎩，即()()332260,2260q q q qqq -+=+-+-=，()()()222230q q q q +-+-=， ()()22230q q q +-+=，()()22120,2q q q ⎡⎤+-+==-⎣⎦.所以()()111213nn n b q S q---==-. （2）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 依题意22a =，4710++21a a a =，即11231821a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11a d ==，所以n a n =.由于数列{+}n n a b 的前三项成等比数列， 所以()()()2221133a b a b a b +=+⋅+， 即()()()2213213b b b +=+⋅+，22213134433b b b b b b ++=+++， 22221324433b b b b b ++=+++，213431b b b =+-，即21114310b q b q b -+-=，由于数列{}n b 唯一，所以()()211144310b b b ∆=--⋅-=，解得11b =-（10b =舍去）.（3）依题意11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-⋅+①，令1n =，得111122,a b b a ==， 当2n ≥时，112211(2)22nn n a b a b a b n --++⋯+=-⋅+②，①-②得()22nn n a b n n =⋅≥，1n =时上式也符合，所以()*2N n n n a b n n =⋅∈.所以22338,24a b a b ==，则232131882424,2b b a a d a a d====++， 由于123,,b b b 成等比数列，所以211182242a d a a d ⎛⎫=⋅ ⎪++⎝⎭，化简得2211230a a d d +-=， 解得13a d =-或1a d =.当13a d =-时，()4n a n d =-，()24nn n b n d ⋅=-不是等比数列，舍去.当1a d =时，n a nd =，2nn b d=符合.【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和，属于中档题. 20．设a 为实数，已知函数()x f x axe =()a R ∈.（1）当0a <时，求函数()f x 的单调区间；（2）设b 为实数，若不等式2()2f x x bx +对任意的1a 及任意的0x >恒成立，求b 取值范围；（3）若函数()()ln g x f x x x =++(0)x >有两个相异的零点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 单调递减区间为(,1)-∞-，单调递增区间为(1,)-+∞；（2）22ln 2b -；（3）1(a e∈-，0)．【解析】（1）根据导数和函数单调性的关系,判断导函数的符号即可求出．（2）分离参数，可得2x e x b -对任意的0x >恒成立，构造函数()2x x e x ϕ=-，利用导数求出函数的最值即可求出b 的取值范围．（3）先求导，再分类讨论，构造函数，根据导数和函数单调性以及最值的关系即可求出a 的取值范围． 【详解】（1）当0a <时，因为()(1)x f x a x e '=+， 当1x <-时，()0f x '>， 当1x >-时，()0f x '<，所以函数()f x 单调递减区间为(,1)-∞-， 单调递增区间为(1,)-+∞． （2）由2()2f x x bx +，得： 22x axe x bx +，由于0x >，所以2x ae x b +对任意的1a 及任意的0x >恒成立，由于0x e >，所以x x ae e ，所以2x e x b -对任意的0x >恒成立． 设()2xx e x ϕ=-，0x >， 则()2x x e ϕ'=-，所以函数()ϕx 在(0,ln 2)上单调递减， 函数()ϕx 在(ln 2,)+∞上单调递增， 所以()(ln 2)22ln 2min x ϕϕ==-．所以22ln 2b -．（3）由()ln x g x axe x x =++，得1(1)(1)()(1)1x xx axe g x a x e x x++'=+++=，其中0x >，若0a 时，则()0g x '>，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()g x 至多有一个零点，不合题意． 若0a <时，令()0g x '=，得10xxe a=->， 由第（2）小题知，当0x >时，()222ln 20x x e x ϕ=-->， 所以2x e x >， 所以22x xe x >，所以当0x >时，函数x xe 的值域为(0,)+∞，所以存在00x >，使得0010x ax e +=，即001xax e =-，①当0x x <时，()0h x '>，所以函数()g x 在0(0,)x 单调递增， 在0(x ，)+∞单调递减．因为函数()g x 有两个零点1x ，2x ，所以0000000()()ln 1ln 0x max g x h x ax e x x x x ==++=-++>，② 设()1ln x x x ∅=-++，0x >， 则1()10x x∅'=+>，所以()x ∅在(0,)+∞上单调递增， 由于∅（1）0=， 所以当1x >时，()0x ∅>， 所以②式中的01x >， 由①式得001x x ea=-，由第（1）小题可知，当0a <时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减， 所以1e a->， 即1(a e∈-，0)，第 1 页 共 6 页 当1(a e∈-，0)时， （i ）由于111()(1)0eae g e e e=+-<， 所以01()()0g g x e<， 因为011x e <<，且函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，函数()g x 在0(0,)x 上图象不间断， 所以函数()(0g x ，0)x 上恰有一个零点．（ii ）由于1111()ln()a g e a a a--=--+-， 令1t e a=->， 设()ln t F t e t t =-++，t e >由于t e >时，ln t t <，2t e t >，所以设()0F t <，即1()0h a-<， 由①式得当01x >时，0001x x e x a-=>， 且01()()0g h x a -<， 同理可得函数()g x 在0(x ，)+∞上恰有一个零点， 综上，1(a e∈-，0)． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值，利用导数研究不等式恒成立问题以及利用导数研究函数的零点，考查了转化思想与分类讨论思想的应用，同时考查了计算能力，属于难题．。
【20套试卷合集】南京师范大学附属中学2019-2020学年数学高三上期中模拟试卷含答案
江苏省2020届高三上学期考试数学试卷及答案.doc
高三数学11月考.1数学Ⅰ试题一、填空题（每小题5分，计70分）1．已知集合2{1,1,2,3},{|,3},A B x x R x =-=∈<则AB =．2.设幂函数αkx x f =)(的图像经过点），（24，则=+αk ．3.已知复数2i 12++=i z （i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为. 4. 若双曲线1422=+-my m x 的虚轴长为2，则实数m 的值为________． 5. 已知,x y R ∈,则“1a =”是直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行的条件（从“充分不必要"、“必要不充分”、“充分必耍”、“既不充分也不必要“中选择恰当的一个填空）.6. 已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，则25+++x y x 的取值范围是__________．7..若5cos 26sin 0,,42ππαααπ⎛⎫⎛⎫++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α= ． 8.设函数()2x xf x e e x -=--，则不等式0)3()12(2≤++x f x f 的解集为.9.已知直线l 与曲线()sin f x x =切于点(,sin )(0)2A πααα<<,且直线l 与函数()y f x =的图象交于点(,sin )B ββ.若αβπ-=，则tan α的值为. 10.如图，在圆O ：224x y +=上取一点(1)A ，E F ，为y 轴上的两点，且AE AF =，延长AE ，AF 分别与圆交于点M N ，，则直线MN 的斜率为．11.若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点B A ,，圆1:22=+y x O 上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为.（第10题）12.在四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝2，DC →＝13AB →，AC 与BD 相交于点O ，E 是BD 的中点，AO →·AE →＝8，则AC →·BD →＝________．13.若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为_______.14.给出函数4)(,)(22-+-=+-=x mx x h bx x x g ，这里R x m b ∈,,，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为奇函数，且函数⎩⎨⎧>≤=t x x h tx x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为________________．二、解答题（共6道题，计90分） 15、（本小题满分14分）如图，已知A 、B 、C 、D 四点共面，且CD =1，BC =2，AB =4，︒=∠120ABC ，772cos =∠BDC . （1）求DBC ∠sin ;（2）求AD.16.（本小题满分14分）已知圆)40(04222222≤<=-+-++a a a ay ax y x 的圆心为C ，直线m x y l +=:.（1）若4=m ，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值；（2）若直线l 是圆心下方的切线，当a 在(]0,4的变化时，求m 的取值范围．17. （本小题满分14分）江苏省第十九届运动会在扬州举行，为此，扬州某礼品公司推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构(该图为轴对称图形)，其中ABC ∆的支撑杆CD AB ,由长为3的材料弯折而成，AB 边的长为t 2，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,1t (BC AC ,另外用彩色线连结，此处不计)；支撑杆曲线AOB拟从以下两种曲线中选择一种：曲线1C 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中，其表达式为x y cos 1-=)，此时记结构的最低点O 到点C 的距离为)(1t h ；曲线2C 是一段抛物线，其焦点到准线的距离为98，此时记结构的最低点O 到点C 的距离为)(2t h ．（1）求函数)(1t h ，)(2t h 的表达式；（2）要使得点O 到点C 的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？18. （本小题满分16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点．（1）求椭圆的离心率；（2）过点T 的直线与椭圆相交于,M N 两点，,M N 都在x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且2NF MF =．①记,NFM NFA ∆∆的面积分别为12,S S ，求12S S ； ②若原点O 到直线TMN，求椭圆方程．19. (本小题满分16分）若函数)(x f y =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使1)()(21=x f x f 成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数x x g sin )(=是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数12)(-=x x f 在定义域[m, n](m>0)上为“依赖函数”，求mn 的取值范围：（3）己知函数)34()()(2≥-=a a x x h 在定义域]4,34[上为“依赖函数”，若存在实数]4,34[∈x ，使得对任意的R t ∈,不等式4)()(2+-+-≥x t s t x h 都成立，求实数s 的最大值.20．（本小题满分16分）已知函数21()2ln 2f x x x ax a =+-∈，R ．（1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上 的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由．数学Ⅱ(附加题)1、已知二阶矩阵A 有特征值4=-λ，其对应的一个特征向量为14-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵A 对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵A ．2、在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin )ρθθ=设点P 是曲线22:19y C x +=上的动点，求P 到直线l 距离的最大值.3、现有一款智能学习APP ，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP 积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．4、数列满足且.（1）用数学归纳法证明：；（2）已知不等式对成立，证明：（其中无理数）.高三数学月考.1 试题Ⅰ一、填空题（每小题5分，计70分） 1.{1,1}- 2.233.i -1 4.3=m 5.充分必耍6.[2，3]7.1-8.⎥⎦⎤⎢⎣⎡21-1-，9.2π10.解析：.由题意，取(0,2)M,3kAM=,因为AE AF=，所以3kAN=-，过原点所以1)N-，所以kMN=11.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3333-，12. －323解析：由DC→＝13AB→得DC∥AB，且DC＝2，则△AOB∽△COD，所以AO→＝34AC→＝34⎝⎛⎭⎪⎫AD→＋13AB→＝34AD→＋14AB→.因为E是BD的中点，所以AE→＝12AD→＋12AB→，所以AO→·AE→＝⎝⎛⎭⎪⎫34AD→＋14AB→·⎝⎛⎭⎪⎫12AD→＋12AB→＝38|AD→|2＋18 |AB→|2＋12AD→·AB→＝32＋92＋12AD→·AB→＝8，所以AD→·AB→＝4，所以AC→·BD→＝⎝⎛⎭⎪⎫AD→＋13AB→·(AD→－AB→)＝|AD→|2－13|AB→|2－23AD→·AB→＝4－13×36－23×4＝－323.13.解析：()()2222211122x ty t yx yx y xy y++-+++=≥++()01t<<12=，即15t=时()2212x yx y+++5=14.[－2，0)∪[4，＋∞)二、解答题（共6道题，计90分）15、16. 解析：（1）已知圆的标准方程是（x ＋a ）2＋（y －a ）2＝4a （0＜a ≤4），则圆心C 的坐标是（－a ，a ），半径为. 直线l 的方程化为：x －y ＋4＝0.则圆心C 到直线l |2－a |.设直线l 被圆C 所截得弦长为L ，由圆、圆心距和圆的半径之间关系是：L ＝＝＝.∵0＜a ≤4，∴当a ＝3时，L 的最大值为（2）因为直线l 与圆C ＝，即|m －2a |＝又点C 在直线l 的上方，∴a ＞－a ＋m ，即2a ＞m .∴2a －m ＝m ＝)21－1.∵0＜a ≤4，∴0.∴m ∈1,8⎡--⎣17. 解析： (1)对于曲线C 1，因为曲线AOB 的表达式为y ＝1－cos x ， 所以点B 的坐标为(t ，1－cos t)， 所以点O 到AB 的距离为1－cos t. 因为DC ＝3－2t ，所以h 1(t)＝(3－2t)＋(1－cos t)＝－2t －cos t ＋4⎝⎛⎭⎪⎫1≤t≤32； 对于曲线C 2，设C 2：x 2＝2py ，由题意得p ＝98，故抛物线的方程为x 2＝94y ，即y ＝49x 2，所以点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，49t 2， 所以点O 到AB 的距离为49t 2.因为DC ＝3－2t ，所以h 2(t)＝49t 2－2t ＋3⎝⎛⎭⎪⎫1≤t≤32. (2)因为h′1(t)＝－2＋sin t<0，所以h 1(t)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递减， 所以当t ＝1时，h 1(t)取得最大值2－cos 1.因为h 2(t)＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫t －942＋34，1≤t≤32，所以当t ＝1时，h 2(t)取得最大值为139.因为2－cos 1≈1.46＞139，所以选用曲线C 1，且当t ＝1时，点O 到点C 的距离最大，最大值为2－cos 1.18.（1）因为F 是AT 的中点，所以22a a c c-+=，即(2)()0a c a c -+=，又a 、0c >，所以2a c =，所以12c e a ==； （2）①过,M N 作直线l 的垂线，垂足分别为11,M N ，则11NF MFe NN MM ==，又2N F M F =，故112NN MM =，故M 是NT 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆=，又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴1212S S =； ②解法一：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，不妨设00(,)M x y ，则00(24,2)N x c y -，又,M N 都在椭圆上，即有⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(24)4143x y c cx c y c c +=-+=即⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(2)1434x y c c x c y c c +=-+=，两式相减得220022(2)3444x x c c c --=，解得074x c =，可得0y =，故直线MN的斜率为8744k c c ==-， 直线MN的方程为4)y x c =-60y +-= 原点O 到直线TMN的距离为d ==，41=，解得c=2212015x y+=．解法二：设(,0)F c，则椭圆方程为2222143x yc c+=，由①知M是,N T的中点，故1224x x c-=，直线MN的斜率显然存在，不妨设为k，故其方程为(4)y k x c=-，与椭圆联立，并消去y得：22222(4)143x k x cc c-+=，整理得222222(43)3264120k x ck x k c c+-+-=，（*）设11(,)M x y，22(,)N x y，依题意⎧⎪⎨⎪⎩21222221223243641243ckx xkk c cx xk+=+-=+由⎧⎨⎩212212324324ckx xkx x c+=+-=解得⎧⎨⎩2122221644316443ck cxkck cxk+=+-=+所以222222221641646412434343ck c ck c k c ck k k+--⨯=+++，解之得2536k=，即6k=-．直线MN的方程为4)y x c=-60y+-=原点O到直线TMN的距离为d==，41=，解得c=2212015x y+=．19．解：(1) 对于函数()sing x x=的定义域R内存在16xπ=，则2()2g x=2x无解故()sing x x=不是“依赖函数”；…3分(2) 因为1()2xf x-=在[m，n]递增，故f(m)f(n)=1，即11221,2m n m n--=+=……5分由n>m>0，故20n m m=->>，得0<m<1，从而(2)mn m m =-在()0,1m ∈上单调递增，故()0,1mn ∈，……7分 (3)①若443a ≤<，故()()2f x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值0，此时不存在2x，舍去；9分 ②若4a ≥故()()2f x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()4413f f ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得1a = (舍)或133a =……11分 从而，存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t∈R，有不等式()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭都成立，即2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由22261334039x x s x ⎡⎤⎛⎫∆=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，……13分得2532926433s x x ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭，由4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭， 又53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故当43x =时，max 532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，……15分 从而，解得，综上，故实数s 的最大值为4112．……16分 20.（1）当3a =时，函数21()2ln 32f x x x x =+-的定义域为()0+∞，．则2232()3x x f x x x x-+'=+-=， 令()f x '0=得，1x =或2x =．………………………………………………………2分列表：所以函数()f x 的极大值为5(1)2f =-；极小值为(2)2ln 24f =-．………………4分（2）依题意，切线方程为0000()()()(0)y f x x x f x x '=-+>， 从而0000()()()()(0)g x f x x x f x x '=-+>， 记()()()p x f x g x =-，则000()()()()()p x f x f x f x x x '=---在()0+∞，上为单调增函数， 所以0()()()0p x f x f x '''=-≥在()0+∞，上恒成立，即0022()0p x x x x x '=-+-≥在()0+∞，上恒成立．…………………………………8分法一：变形得()002()0x x x x --≥在()0+∞，上恒成立，所以002x x =，又00x >，所以0x =分法二：变形得0022x x x x ++≥在()0+∞，上恒成立，因为2x x+≥x =，所以002x x +，从而(200x ≤，所以0x =分（3）假设存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点111()T x y ，，222()T x y ，， 不妨120x x <<，则1T 处切线1l 的方程为：111()()()y f x f x x x '-=-，2T 处切线2l 的方程为：222()()()y f x f x x x '-=-．因为1l ，2l 为同一直线，所以12111222()()()()()().f x f x f x x f x f x x f x ''=⎧⎨''-=-⎩，……………………12分即()()11212221111122222122212122ln 2ln .22x a x a x x x x ax x x a x x ax x x a x x ⎧+-=+-⎪⎪⎨⎪+--+-=+--+-⎪⎩，整理得，122211222112ln 2ln .22x x x x x x =⎧⎪⎨-=-⎪⎩，………………………………………………14分 消去2x 得，22112122ln022x x x +-=．① 令212x t =，由120x x <<与122x x =，得(01)t ∈，，记1()2ln p t t t t =+-，则222(1)21()10t p t t t t -'=--=-<，所以()p t 为(01)，上的单调减函数，所以()(1)0p t p >=．从而①式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数()f x 的图象有两个 不同的切点．……………………………………………………………………………16分附加题1、【解析】设所求二阶矩阵a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A . 因为A 有特征值4λ=-，其对应的一个特征向量为14-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，所以4=-Ae e ，且1824⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A ，所以444162824a b c d a b c d -+=⎧⎪-+=-⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得4282a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩.所以4282⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A . 2、【解析】易得直线0l y +-=， 设点(cos ,3sin )P αα， ∴P 到直线l的距离|3sin |22d αα--==≤=当且仅当ππ2π62k α+=-，即22ππ()3k k α=-∈Z 时取“=”， 所以P 到直线l距离的最大值为3、【解析】（1）由题意，获得的积分不低于9分的情形有：因为两类学习互不影响，所以概率111111115926223229P =⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以每日学习积分不低于9分的概率为59．（2）由题意可知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3． 由（1）知每个人积分不低于9分的概率为59． 则()3464=0=9729P ⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ；()2135424080=1=C =99729243P ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ξ； ()22354300100=2=C =99729243P ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξ；()35125=3=9729P ⎛⎫=⎪⎝⎭ξ．所以，随机变量ξ的概率分布列为所以6401237297297297293E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ． 所以，随机变量ξ的数学期望为53．4、【解析】 （1）①当时，，不等式成立.②假设当时不等式成立，即，那么.这就是说，当时不等式成立.根据①，②可知：对所有成立.（2）当时，由递推公式及（1）的结论有，两边取对数并利用已知不等式得，故，求和可得.由（1）知，，故有，而均小于，故对任意正整数，有.。
南师附中2020届高三年级模拟考试答案
t 1 et
t2 et
，即
3 e
t2
t et
1（*），
原命题等价于存在正数 t 使得方程（*）成立.
……11 分
记
g(t)
t2
t et
1
，则
g ' (t )
(2t
1)
(t 2 et
t
1)
t(t 1) et
，
令 g' (t) 0 ，则 t 1，
因此当 0 t 1 时 g' (t) 0 ， g(t) 单调递增， g(t) g(1) 3 ； e
……4 分 ……6 分
（2）连结 C1A、C1B，因为 ABC A1B1C1 是三棱柱
所以 AA1 // CC1 ， AA1 CC1 ，所以四边形 AA1C1C 是平行四边形
……8 分
1
点 E 为 A1C 的中点，故 A1C AC1 E ，所以点 E 为 AC1 的中点，
又点 D 为 AB 的中点，所以在△ABC1 中，有 DE // BC1
ρ2＝4ρcosθ，圆 C 的直角坐标方程是 x2 y2 4x (x 2)2 y2 4
……2 分 ……4 分
圆心为(2,0)，半径为 2，所以圆心到直线 l 的距离为 d 2 0 4 2 11
所以弦长为 l 2 r 2 d 2 2 4 2 2 2
……10 分
22.解：因为侧面 PAD⊥底面 ABCD，PO⊥AD， PO 平面PAD
数学附加题参考答案及评分标准
21.A.选修 4-2：矩阵变换
解：设直线 x－y－1＝0 上一点 P(x, y) 在变换 TA 作用下得到点 P'(x', y') ，
x'
2020届江苏省苏州市高三上学期期初调研考试数学(文)试题(解析版)
江苏省苏州市2019—2010学年度第一学期高三期初调研考试数学文科试卷第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{1，3}，B ＝{3，9}，则A B ＝ ． 答案：{1，3，9} 考点：集合的运算解析：∵A ＝{1，3}，B ＝{3，9}， ∴A B ＝{1，3，9} 2．如果复数23bii-+(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 等于 ． 答案：1 考点：复数 解析：263231010bi b b i i --+=-+，由实部与虚部互为相反数得：6321010b b -+=，解得b ＝1． 3答案：4考点：平均数与方差解析：∵3330272931305x ++++==∴2222221[(3330)(3030)(2730)(2930)(3130)]45S =-+-+-+-+-=．4．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ． 答案：56考点：古典概型解析：4瓶饮料中随机取2瓶共有6种取法，所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料共有5种取法，所以求得概率为56． 5．根据如图所示的伪代码，当输入的a ，b 分别为2，3时，最后输出的b 的值为 ．答案：2考点：算法语言，伪代码解析：求得a ＝5，b ＝2，所以最后输出的b 的值为2．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线方程为y ＝±2x ，则该双曲线的离心率为 ．考点：双曲线的性质解析：由渐近线方程可得2b a=，所以b 2＝4a 2，即c 2﹣a 2＝4a 2，所以225c a =，e．7．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB ＝3，BC ＝5，M是AA 1的中点，则三棱锥A 1—MBC 1的体积为 ．答案：4考点：棱锥的体积解析：根据A 1C 1＝4，A 1B 1＝AB ＝3，B 1C 1＝BC ＝5，可得∠C 1A 1B 1＝90°，又∠C 1A 1A ＝90°，可得C 1A 1⊥平面ABB 1A 1，所以111111234432A MBC C MBA V V ==⨯⨯⨯⨯=——． 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1530S =，71a =，则10S 的值为 ． 答案：﹣5考点：等差数列前n 项和解析：由1530S =可得82a =，又71a =，可得60a =，51a =-，所以110105610()5()52a a S a a +==+=-．9．若()y f x =是定义在R 上的偶函数，当x ∈[0，+∞)时，sin [0, 1)()(1)[1, )x x f x f x x ∈⎧=⎨-∈+∞⎩，，，则(5)6f π--＝ ． 答案：12考点：函数的奇偶性、周期性 解析：1(5)(5)()sin 66662f f f ππππ--=+===．10．已知在△ABC 中，AC ＝1，BC ＝3，若O 是该三角形内的一点，满足(OA OB)(CA +⋅-CB)＝0，则CO AB ⋅＝ ． 答案：4考点：平面向量的数量积解析：设AB 的中点为D ，由(OA OB)(CA +⋅-CB)＝0，得DO AB 0⋅= 所以1CO AB (CD DO)AB CD AB (CA CB)(CA CB)2⋅=+⋅=⋅=+⋅- 221(CA CB )42=-=． 11．已知sin 222cos2αα-=，则2sin sin 2αα+＝ ．答案：1或85考点：同角三角函数关系式，倍角公式 解析：∵sin 222cos2αα-= ∴2sin 222(2cos 1)αα-=- 化简得cos (sin 2cos )0ααα-= 所以cos 0α=或tan 2α= 当cos 0α=，求得2sinsin 2αα+＝1当tan 2α=，222222sin 2sin cos tan 2tan 8sin sin 2sin cos tan 15αααααααααα+++===++．12．已知点A 、B 是圆O ：224x y +=上任意两点，且满足AB ＝P 是圆C ：(x ＋4)2＋(y ＋3)2＝4上任意一点，则PA PB +的取值范围是 ．答案：[4，16] 考点：圆的方程解析：取AB 中点C ，可得OC ＝1，所以动点C 在以O 为圆心，1为半径的圆上 P A P B 2P C 2P C +==，而PC max ＝5＋1＋2＝8，PC min ＝5﹣1﹣2＝2，P A P B +的最大值为16，最小值为4，取值范围为4≤PA PB +≤16．13．设实数a ≥1，若不等式2x x a a -+≥，对任意的实数x ∈[1，3]恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围是 ． 答案：[1，2][72，+∞)考点：函数性质综合解析：①当1≤a ≤2时，显然符合题意 ②当a ＞2时，2x x a a -+≥，2a x a x--≥ ∴2a x a x--≥或2a x a x --≤-化简得221x a x +≤+或221x a x -≥-恒成立求得221x y x +=+在[1，3]的最小值为32，即a ≤32与a ＞2矛盾，舍求得221x y x -=-在[1，3]的最大值为72，即a ≥72符合题意综上所述，a 的取值范围为1≤a ≤2或a ≥72． 14．在△ABC 中，若tan A tan Atan B tan C+＝3，则sinA 的最大值为 ．答案：5考点：基本不等式，正余弦定理解析：222222222222tan A tan A sin A cos B sin A cos C 22tan B tan C sin Bcos A sin cos A 22a c b a b c a aac ab b c a b c a C b cbc bc+-+-+=+=++-+- ＝222223a b c a =+- 所以2223()5a b c =+ cosA ＝222222()2522555b c b c a b c bc bc c b ++-==+≥当且仅当b ＝c 时取“＝”所以A 是锐角，且cosA 的最小值为25，此时sinA有最大值为5．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，点P 是棱AC 的中点． （1）求证：AB 1∥平面PBC 1；（2）求证：平面PBC 1⊥平面AA 1C 1C ．16．（本小题满分14分）已知函数7()sin()sin()412f x x x ππ=+++． （1）求函数()y f x =的最小正周期和单调递增区间；（2）当x ∈[0，π]时，试求函数()y f x =的最大值，并写出取得最大值时自变量x 的值．17．（本小题满分14分）已知椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y＝kx交椭圆C于A、B两点，在直线l：x＋y﹣3＝0上存在点P，使得△PAB为等边三角形，求实数k的值．18．（本小题满分16分）某地举行水上运动会，如图，岸边有A，B两点，∠BAC＝30°．小船从A点以v千米/小时的速度沿AC方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t小时与小船相遇．（水流速度忽略不计）（1）若v＝4，AB＝2 km，运动员从B处出发游泳匀速直线追赶，为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；（2）若运动员先从A处沿射线AB方向在岸边跑步匀速行进m（0＜m＜t）小时后，再游泳匀速直线追赶小船，已知运动员在岸边跑步的速度为4千米/小时，在水中游泳的速度为2千米小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v的最大值．19．（本小题满分16分）已知函数()xf x e =，()lng x x =．（1）设2()()h x g x x =-，求函数()h x 的单调增区间；（2）设01x >，求证：存在唯一的0x ，使得函数()y g x =的图像在点A(0x ，0()g x )处的切线l 与函数()y f x =的图像也相切；（3）求证：对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x--<成立．20．（本小题满分16分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足：1155b a ==，529a b ==，当n ≥3时，1n S +＞n b ，且n S ，1n n S b +-，2n S -成等比数列，n N *∈．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求证：数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中； （3）将数列{}n a 、11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的项按照：当n 为奇数时，na 放在前面；当n 为偶数时，11n n b b +放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：1a ，121b b ，231b b ，2a ，3a ，341b b ，451b b ，…这个新数列的前n 和为n T ，试求n T 的表达式．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
- 1 - 数学 (满分160分，考试时间120分钟) 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，1}，则A∩B＝________． 2. 已知复数z满足z(1＋i)＝1－i(i是虚数单位)，则复数z＝________． 3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数为9.1，9.3，x，9.2，9.4，且这5个分数的平均数为9.3，则实数x＝________． 4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，若输出的y的值为1，则输入的实数x的值为________．
5. 函数y＝1－ln x的定义域为________． 6. 某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为________． 7. 已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，直线x＋y＋2＝0经过双曲线C的焦点，则双曲线C的渐近线方程为____________． 8. 已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为________． 9. 已知正数x，y满足x＋yx＝1，则1x＋xy的最小值为________． 10. 若直线kx－y－k＝0与曲线y＝ex(e是自然对数的底数)相切，则实数k＝________． 11. 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈R)是偶函数，点(1，0)是函数y＝f(x)图象的对称中心，则ω的最小值为________．
12. 平面内不共线的三点O，A，B，满足|OA→|＝1，|OB→|＝2，C为线段AB的中点，∠AOB- 2 -
的平分线交线段AB于点D，若|OC→|＝32，则|OD→|＝________． 13. 过原点的直线l与圆x2＋y2＝1交于P，Q两点，A是该圆与x轴负半轴的交点．如果以AQ为直径的圆与直线l有异于点Q的交点N，且直线AN与直线AP的斜率之积等于1，那么直线l的方程为____________． 14. 数列{an}，{bn}满足bn＝an＋1＋(－1)nan(n∈N*)，且数列{bn}的前n项和为n2.已知数列{an－n}的前2 018项和为1，则数列{an}的首项a1＝________．
二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分) 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是棱AB，CC1的中点．求证： (1) CM∥平面AB1N； (2) 平面A1BN⊥平面AA1B1B.
16. (本小题满分14分) 已知在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且b2－233bcsin A＋c2＝a2. (1) 求角A的大小； (2) 若tan Btan C＝3，且a＝2，求△ABC的周长． - 3 -
17. (本小题满分14分) 已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1的焦点在椭圆C2：y2a2＋x2b2＝1上，其中a>b>0，且点P63，63是椭圆C1，C2位于第一象限的交点． (1) 求椭圆C1，C2的标准方程； (2) 过y轴上一点P的直线l与椭圆C2相切，与椭圆C1交于点A，B，已知PA→＝35PB→，求直线l的斜率．
18. (本小题满分16分) 某公园要设计如图1所示的景观窗格(其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，如图2中所示的多边形ABCDEFGH)，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴AF＝BE＝1.6米，两根竖轴CH＝DG＝1.2米，记景观窗格的外框(图2实线部分，轴和边框的粗细忽略不计)总长度为l米． (1) 若∠ABC＝2π3，且两根横轴之间的距离为0.6米，求景观窗格的外框总长度； (2) 由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不得超过5米，当景观窗格的面积(多边形ABCDEFGH 的面积)最大时，求出此景观窗格的设计方案中∠ABC的大小与BC的长度．
图1 图2 19. (本小题满分16分) 已知在数列{an}中，a1＝1，且an＋1＋3an＋4＝0，n∈N*. (1) 求证：{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； (2) 在数列{an}中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求出满足条件的项；若不存在，说明理由. - 4 -
20. (本小题满分16分) 已知函数m(x)＝x2，函数n(x)＝aln x＋1(a∈R)． (1) 若a＝2，求曲线y＝n(x)在点(1，n(1))处的切线方程； (2) 若函数f(x)＝m(x)－n(x)有且只有一个零点，求实数a的取值范围； (3) 若函数g(x)＝n(x)＋ex－ex－1≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．(e是自然对数的底数，e≈2.71828…) - 5 - 2019届高三年级第一次模拟考试(五) 数学附加题 (本部分满分40分，考试时间30分钟) 21. 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知点(1，2)在矩阵A＝1x2y对应的变换作用下得到点(7，6)，求： (1) 矩阵A; (2) 矩阵A的特征值及对应的特征向量． - 6 -
B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．直
线l 的参数方程为x＝22t＋1，y＝12t(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ＝22sinθ＋π4，求直线l被曲线C所截的弦长．
C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分) 已知a>0，b>0，求证：a＋b＋1≥ab＋a＋b. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. (本小题满分10分) 如图，在空间直角坐标系Oxyz中，已知正四棱锥PABCD的高OP＝2，点B，D和C，A分别在x轴和y轴上，且AB＝2，M是棱PC的中点． (1) 求直线AM与平面PAB所成角的正弦值； (2) 求二面角APBC的余弦值． - 7 -
23. (本小题满分10分) 是否存在实数a，b，c使得等式1×3×5＋2×4×6＋…＋n(n＋2)(n＋4)＝n（n＋1）4(an2＋bn＋c)对于一切正整数n都成立？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由.
数学参考答案 1. {1} 2. －i 3. 9.5 4. 3 5. (0，e] 6. 35 7. y＝±3x 8. 38 9. 4 10. e2 11. π2
12. 23 13. y＝±3x 14. 32 15. 令AB1交A1B于点O，连结OM，ON. - 8 -
在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四边形AA1B1B是平行四边形， 所以O为AB1的中点． 又因为M为AB的中点， 所以OM∥BB1，且OM＝12BB1. 因为N为CC1的中点，所以CN ＝12CC1， 所以OM＝CN，且OM∥CN， 所以四边形CMON是平行四边形， (5分) 所以CM∥ON，又ON⊂平面AB1N，CM⊄平面AB1N， 所以CM∥平面AB1N.(7分) (2) 在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以BB1⊥CM.(9分) 又CA＝CB，M为AB的中点，所以CM⊥AB， 又由(1)知CM //ON， 所以ON⊥AB，ON⊥BB1， 又因为AB∩BB1＝B，AB，BB1⊂平面AA1B1B，所以ON⊥平面AA1B1B, (12分) 又ON⊂平面A1BN， 所以平面A1BN⊥平面AA1B1B.(14分)
16. (1) 由余弦定理得a2＝b2－2bccos A＋c2，又b2－233bcsin A＋c2＝a2， 所以b2－2bccos A＋c2＝b2－233bcsin A＋c2， 即2bccos A＝233bcsin A，(3分) 从而sin A＝3cos A. 若cos A＝0，则sin A ＝0，与sin2A＋cos2A＝1矛盾，所以cos A≠0， 所以tan A＝3，又A∈(0，π)， 所以A＝π3.(7分) - 9 -
(2) 因为tan B＋tan C1－tan Btan C＝tan(B＋C)＝tan(π－A)＝tan 2π3＝－3.(9分) 又tan Btan C＝3，所以tan B＋tan C＝－3×(－2)＝23，解得tan B＝tan C＝3.(11分)
又B，C∈(0，π)，所以B＝C＝π3，又因为A＝π3，所以△ABC是正三角形， 由a＝2得△ABC的周长为6. (14分) 17. (1) 椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1的焦点坐标为(±c，0)，代入椭圆C2的方程得c2b2＝1， 将点P63，63的坐标代入椭圆C2的方程得23a2＋23b2＝1，
所以c2b2＝1，a2＝b2＋c2，23a2＋23b2＝1，解得a2＝2，b2＝c2＝1.(3分) 所以椭圆C1，C2的标准方程分别为x22＋y2＝1，y22＋x2＝1.(5分) (2) 由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，m)．
联立y22＋x2＝1，y＝kx＋m，消去y得（kx＋m）22＋x2＝1， 即(1＋k22)x2＋kmx＋m22－1＝0， Δ＝k2m2－41＋k22m22－1＝0，即k2＋2－m2＝0.(7分)
联立x22＋y2＝1，y＝kx＋m，消去y得x22＋(kx＋m)2＝1， 即12＋k2x2＋2kmx＋m2－1＝0， 因为直线l与椭圆C1相交，所以Δ＝4k2m2－4·(12＋k2)(m2－1)＝4(k2－m22＋12)>0；(*)
x1，2＝－2km±4k2－m22＋12212＋k2.(9分) 因为＝35，所以(x1，y1－m)＝35(x2，y2－m)，即5x1＝3x2，