第二讲一元二次不等式及其解法(老师版)

第二讲一元二次不等式及其解法 一 目标认知 学习目标： 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型； 2.掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。 3.培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。 重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；熟练掌握一元二次不等式的解法. 难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系，设计求解一元二次不等式的程序框图。 二 知识要点梳理 知识点一：一元二次不等式的定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。比如：250xx.

任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：20axbxc(0)a或20axbxc(0)a. 知识点二：一般的一元二次不等式的解法 一元二次不等式20axbxc或20axbxc(0)a的解集可以联系二次函数2yaxbxc(0)a的图象，图象在x轴上方部分对应的横坐标x值的集合为不等式20axbxc的解集，图象在x轴下方部分对应的横坐标x值的集合为不等式20axbxc的解集.

设一元二次方程20(0)axbxca的两根为12xx、且12xx，acb42，则相应的不等式的解集的各种情况如下表： 24bac 0 0 0

二次函数 cbxaxy2

（0a）的图象 20(0)axbxca

的根

有两相异实根 )(,2121xxxx 有两相等实根

abxx221 无实根

的解集)0(02acbxax 

21xxxxx或



abxx

2 R

的解集)0(02acbxax 

21xxxx  

注意： （1）一元二次方程20(0)axbxca的两根12xx、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线ycbxax2与x轴的交点的横坐标；

（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；

（3）解集分0,0,0三种情况，得到一元二次不等式20axbxc与20axbxc的解集。 知识点三：解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；

（2）写出相应的方程20axbxc(0)a，计算判别式： ①0时，求出两根12xx、，且12xx（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0时，求根abxx221； ③0时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 知识点四：用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的过程

规律方法指导 1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；

2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法； 3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论； 4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系； 5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数。

三典型例题透析

类型一：解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式

（1）250xx； （2）2440xx； （3）2450xx 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析： （1）方法一： 因为2(5)410250

开始 结束 将原不等式化成一般形式ax2+bx+c>0(a>0)

Δ=b2-4ac

求方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2 方程ax2+bx+c=0没有实数根

原不等式解集为R 原不等式解集为}a2bx|x{ 原不等式解集为{x|xx2}(x1

Δ≥0? x1=x2? 否

是

是 否 所以方程250xx的两个实数根为：10x，25x 函数25yxx的简图为：

因而不等式250xx的解集是{|05}xx. 方法二：250(5)0xxxx050xx 或050xx

解得05xx 或 05xx，即05x或x. 因而不等式250xx的解集是{|05}xx. （2）方法一：

因为0，方程2440xx的解为122xx.

函数244yxx的简图为：

所以，原不等式的解集是{|2}xx 方法二：2244(2)0xxx（当2x时，2(2)0x） 所以原不等式的解集是{|2}xx （3）方法一： 原不等式整理得2450xx.因为0，方程2450xx无实数解，

函数245yxx的简图为：

所以不等式2450xx的解集是. 所以原不等式的解集是. 方法二：∵2245(2)110xxx ∴原不等式的解集是. 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当0时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三： 【变式1】解下列不等式 (1) 22320xx；(2) 23620xx (3) 24410xx； (4) 2230xx. 【答案】 （1）方法一：

因为2(3)42(2)250 方程22320xx的两个实数根为：112x，22x 函数2232yxx的简图为：

因而不等式22320xx的解集是：1{|2}2xxx或. 方法二：∵原不等式等价于21)(2)0xx（, ∴ 原不等式的解集是：1{|2}2xxx或.

（2）整理，原式可化为23620xx,因为0,方程23620xx的解1313x，2313x， 函数2362yxx的简图为：

所以不等式的解集是33(1,1)33. （3）方法一： 因为0 方程24410xx有两个相等的实根：1212xx， 由函数2441yxx的图象为：

原不等式的的解集是1{}2. 方法二：∵ 原不等式等价于：2(21)0x, ∴原不等式的的解集是1{}2. （4）方法一： 因为0，方程2230xx无实数解， 由函数223yxx的简图为：

原不等式的解集是. 方法二：∵2223(1)220xxx， ∴ 原不等式解集为. 【变式2】解不等式：2666xx 【答案】原不等式可化为不等式组

226666xxxx ，即221200xxxx，即(4)(3)0(1)0xxxx，

解得3410xxx或 ∴原不等式的解集为{|3014}xxx或. 类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数 例2. 不等式20xmxn的解集为(4,5)x，求关于x的不等式210nxmx的解集。

思路点拨:由二次不等式的解集为(4,5)可知：4、5是方程20xmxn的二根，故由韦达定理可求出m、n的值，从而解得. 解析：由题意可知方程20xmxn的两根为4x和5x 由韦达定理有45m，45n ∴9m，20n ∴210nxmx化为220910xx，即220910xx

(41)(51)0xx，解得1145x，

故不等式210nxmx的解集为11(,)45. 总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。 举一反三： 【变式1】不等式ax2+bx+12>0的解集为{x|-3【答案】由不等式的解集为{x|-3

由根与系数关系得62)3(a12123ab 解得a=-2, b=-2。 【变式2】已知220axxc的解为1132x,试求a、c,并解不等式220cxxa. 【答案】由韦达定理有：11232a，1132ca，∴12a,2c. ∴代入不等式220cxxa得222120xx， 即260xx，(3)(2)0xx，解得23x， 故不等式220cxxa的解集为：(2,3). 【变式3】已知关于x的不等式20xaxb的解集为(1,2)，求关于x的不等式210bxax的解集. 【答案】由韦达定理有：1212ab，解得32ab, 代入不等式210bxax得 22310xx

，即(21)(1)0xx，解得12x或1x.

∴210bxax的解集为：1(,)(1,)2. 类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题