《随机信号分析基础》总复习题纲

概率论基础1.概率空间、概率（条件概率、全概率公式、贝叶斯公式）2．随机变量的定义（一维、二维实随机变量）3.随机变量的描述：⑴统计特性一维、二维概率密度函数、一维二维概率分布函数、边缘分布概率分布函数、概率密度函数的关系⑵数字特征一维数字特征：期望、方差、均方值（定义、物理含义、期望和方差的性质、三者之间的关系）二维数字特征：相关值、协方差、相关系数（定义、相互关系）⑶互不相关、统计独立、正交的定义及其相互关系△雅柯比变换（随机变量函数的变换一维随机变量函数的单值和双值变换、二维随机变量函数的单值变换）5、高斯随机变量一维和二维概率密度函数表达式高斯随机变量的性质△随机变量的特征函数及基本性质、随机信号的时域分析1、随机信号的定义从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ∆→→∞的推广2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？3、随机信号的统计特性分析：概率密度函数和概率分布函数（一维、二维要求掌握）4、随机信号的数字特征分析（定义、物理含义、相互关系） 一维：期望函数、方差函数、均方值函数。

（相互关系）二维：自相关函数、自协方差函数、互相关函数、互协方差函数（相互关系） 5、严平稳、宽平稳定义、二者关系、判断宽平稳的条件、平稳的意义、联合平稳定义及判定 6、平稳随机信号自相关函数的性质： 0点值，偶函数，均值，相关值，方差7、两个随机信号之间的“正交”、“不相关”、“独立”。

（定义、相互关系） 8、高斯随机信号定义（掌握一维和二维）、高斯随机信号的性质 9、各态历经性定义、意义、判定条件（时间平均算子、统计平均算子）、平稳性与各态历经性的关系直流分量、直流平均功率、总平均功率、交流平均功率随机信号的频域分析1、随机信号是功率信号，不存在傅里叶变换，在频域只研究其功率谱。

功率谱密度的含义，与总平均功率的关系2、一般随机信号功率谱计算公式与方法3、平稳随机信号的功率谱密度计算方法维纳—辛钦定理⑴平稳随机信号,()()X X P R ωτ↔⑵两个联合平稳的实随机过程，()()()()12j XYXY j XY XY P R e d R P e d ωτωτωτττωωπ∞--∞∞-∞⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰ 要熟记常见信号的傅里叶变换和傅里叶变换性质，并且熟练应用。

求随机信号总平均功率的两种方法。

4、白噪声定义、数字特征、不相关特性、带宽、功率什么事加性高斯白噪声 带宽、功率) 5、带限白噪声(低通和带通带限白噪声) （定义、数字特征、相关特性、功率谱密度、随机信号通过线性系统的分析1、线性系统的基本理论 稳定的物理可实现系统2、 随机信号通过线性系统分析 时域分析()()()()()(0)()()()()()()X Y X Y Y XY X YX X Y m h d R R h h P R R R h R R h m ττττττττττττ∞==*-*==*-=*⎰输入平稳、高斯、各态历经，输出也是平稳、高各态历经，且输入输出联合平稳。

频域分析3、 白噪声通过线性系统 线性系统的结论：双侧随机信号()X t 输入物理可实现系统若输入()X t 是宽平稳的，则系统输出()Y t 也是宽平稳的，且输入与输出联合平稳 若输入()X t 是严平稳的，则输出()Y t 也是严平稳的。

若输入()X t 是宽各态历经的，则输出()Y t 也是宽各态历经的 若线性系统输入为高斯过程，则输出为高斯分布若系统输入信号的等效噪声带宽远大于系统的带宽，则输出接近于高斯分布 （输入白噪声的情况）()22(0)(0)()()()()()()()()()()()()11()()()22Y X Y X X XY X YX X Y Y X m m H H h d P P H P H H P H P P H P P P d H P d ττωωωωωωωωωωωωωωωωωππ∞∞∞-∞-∞=⋅===-=⋅⎧⎨=-⋅⎩==⎰⎰⎰窄带随机信号1、什么是窄带随机信号？2、窄带随机信号的表达式如何表示？（包络相位表达式、正交分解表达式）3、窄带随机信号的包络、相位、同相分量、正交分量之间的关系4、零均值平稳高斯随机信号的同相分量、正交分量的统计特性5、零均值平稳高斯随机信号的包络、相位的一维分布6、随相正弦波加窄带高斯噪声合成信号的包络和相位的一维分布。

（信噪比大小的讨论）7、高斯分布、瑞利分布和莱斯分布的联系和区别。

《随机信号分析》练习题一、 概念题1．叙述随机试验的三个条件。

2．写出事件A 的概率P(A)所满足的三个条件。

3．何谓古典概型？其概率是如何计算的？ 4．两个事件独立的充要条件。

5．两个随机变量独立的充要条件。

6．两个随机过程的独立是如何定义的？7．随机变量X 服从正态分布，写出其概率密度函数表达式，并说明其中各个参数的意义。

8．简述一维随机变量分布函数F （x ）的性质。

9．已知连续型随机变量X 的分布特性，分别用分布函数)(x F X 和概率密度函数)(x f X 表示概率}{21x X x P ≤<。

10． 随机变量X 的特征函数)(μX C 是如何定义的？写出由)(μX C 计算k阶矩)(k X E 的公式。

11．设X 1,X 2,…,Xn 为相互独立的随机变量，其特征函数分别为C 1(μ),C 2(μ),…,Cn(μ)，设∑==n i i X Y 1，则C Y (μ)=？12． 对于一般的复随机变量，其数学期望、方差、协方差各是实数还是复数？13． 写出随机过程X(t)的n 维分布函数定义式。

14． 简述随机过程宽平稳性与严平稳性的区别。

15． 平稳过程与各态历经过程有何关系？16． 设平稳随机过程X(t)的自相关函数为R X (τ)，X(t)依均方意义连续的条件是？17． 已知平稳随机过程X(t)、Y(t)的相关时间分别为X τ和Y τ，若X τ>Y τ，说明X(t) 与Y(t)的起伏程度那个较大？18． 两个随机过程广义联合平稳的条件是什么？19． 平稳随机过程)(t X 的功率谱密度)(ωX G 的物理意义是什么？)(ωX G 与物理谱密度有何关系？20． 白噪声的功率谱密度和自相关函数有何特点？ 21． 简述维纳-辛钦定理并写出其表达式。

22． 何为线性系统？23． 写出希尔伯特变换器的频率响应、幅频响应和相频响应表达式。

24． 写出窄带过程的准正弦表达式和莱斯表达式。

25．对正态过程而言，宽平稳和严平稳之间有何关系？二、计算题1．设随机变量(X,Y)的分布律为：(1)填写阴影处的值；(2)分别画出函数(),()X Y F x F y ；(3)验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的。

2．己知随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞∈∈-∞∈=),4(,1]4,0(,4]0,(,0)(x x x x x F X求X 的数学期望。

3．设随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤-+=else x x x x x f ,010,101,1)(求X 的方差D(X)。

4．已知设一连续性随机变量X 在区间(-1,3)上服从均匀分布(1)求X 的概率密度函数； (2)画出X 的分布函数；(3)求X 的取值落在区间(-1,0.5)上的概率。

5．以下函数是某连续型随机变量的概率分布函数，确定其中的常数a 并求其概率密度函数。

⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-0,0,0)(2x e a x x F x6．已知随机变量X 和Y 的联合概率密度函数为求：(1)常数A ；(2)分布函数F XY (x,y)； (3)P{X+Y<2}； (4)P{X ≤Y}。

7．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为212(,)0y f x y ⎧=⎨⎩01y x ≤≤≤其他 求E(X)，E(Y)，E(XY)，22()E X Y +。

8．随机变量X 的数学期望为3，方差为2，定义新的随机变量Y=-6X+22，问随机变量X 与Y 是否正交、不相关？为什么？9．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=else y x xyy x f XY ,030,20,9),( 问X 与Y 是否正交、不相关、独立？为什么？10．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为⎩⎨⎧≥≥=+-else y x e y x f y x XY ,00,0,),()( 求边缘分布)(),(y f x f Y X 。

11．已知二维随机变量(X 1, X 2)的概率密度函数为),(21x x f X ，求Y= X 1+X 2的概率密度函数)(y f Y 。

⎩⎨⎧≥≥=+-其它,00,0,),()2(y x Ae y x f y x12．设X 为二维随机向量，其分量X 1和X 2互为独立的随机变量，且分别具有概率密度)(11x f X 与)(22x f X 。

令Y 为新的二维随机向量，其分量由下列变换定义Y 1=X 1，Y 2=X 1X 2，试求(1)(Y 1,Y 2)的联合概率密度； (2)Y 2的边缘概率密度。

sin V A =Θ，其中A 是已知的正常数，相角Θ是一个随机变量，在区间(,)22ππ-服从均匀分布，试求电压V 的概率密度。

14．一正弦波随机过程为t A t X 0cos )(ω⋅=，其中A 是均匀分布在(0,1)内的随机变量(1) 写出随机变量A 的概率密度函数；(2) 画出A 分别为0.5和1时的样本函数的图形；(3) 求000,43,4,0ωπωπωπ=t 时)(t X 的一维概率密度； (4) 求02ωπ=t 时)(t X 的一维概率密度。

15．利用重复抛币试验定义一个随机过程⎩⎨⎧=出现反面出现正面,2,cos )(t t t X π“出现正面”和“出现反面”的概率各为1/2。

(1)求)(t X 的一维分布函数)21,(x F X 和)1,(x F X ；(2)求)(t X 的二维分布函数)1,21;,(21x x F X 。

16．设随机振幅信号t V t X 0sin )(ω⋅=，其中0ω是常数，随机变量V 是标准正态随机变量，求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。

17．设平稳过程)(t X 和)(t Y 的自协方差函数分别为τττττa a K e K Y a X sin )(,21)(||2==-式中a 为正常数，求它们的相关系数和相关时间，并判断哪个过程的起伏速度快。

18．给定一个随机过程)(t X 和任一实数a ，定义另一个随机过程⎩⎨⎧>≤=a t X at X t Y )(,0)(,1)( 已知)(t X 的一维分布函数和二维分布函数，求)(t Y 的数学期望和自相关函数。