高三数学概率知识点
全概率公式、贝叶斯公式课件-2025届高三数学一轮复习
二、多个事件的全概率问题
例2 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据
以往的记录有如下表所示的数据：
元件制造厂
次品率
提供元件的份额
1
0.02
0.15
2
0.01
0.80
3
0.03
0.05
设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志. 在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率.
i＝1
问题中，当某一事件的概率难以求得时，可转 化为一系列条件下发生的概率的和.
例 1 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行 民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为 5∶3，其中甲班中女生 占35，乙班中女生占13.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好 是女生的概率.
n
P(Ai)P(B|Ai)
i＝1
.这个公式称为全概率公式(total probability formula).
注意点： 如图所示，B 发生的概率与 P(BAi)(i＝1,2，…， n)有关，且 B 发生的概率等于所有这些概率的
n
n
和，即 P(B)＝P(BAi)＝P(Ai)P(B|Ai).在实际
i＝1
解 设事件Bi表示所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的(i＝1,2,3)， 事件A表示取到的是一件次品. 其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一发生， 即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥， 运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得
P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A) ＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)(A|B3) ＝0.15×0.02＋0.80×0.01＋0.05×0.03 ＝0.012 5. 因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为0.012 5.
高三数学概率与统计的应用与解题技巧梳理
高三数学概率与统计的应用与解题技巧梳理概率与统计是数学中的重要分支，也是高中数学中的一门重要课程。
在高三阶段，概率与统计的应用与解题技巧成为了考试重点。
本文将围绕这一主题，对高三数学概率与统计的应用与解题技巧进行梳理。
一、概率的应用概率的应用是指在实际问题中运用概率理论进行计算和分析。
其中，常见的应用包括事件的概率计算、条件概率、独立事件、贝叶斯定理等。
以下将逐一介绍。
1. 事件的概率计算事件的概率是指某个事件发生的可能性大小。
计算事件的概率通常采用频率版概率或古典概率。
频率版概率是通过对事件进行多次实验，统计事件发生的频率来计算概率。
而古典概率是指事件的每种可能性发生的概率相等。
在解题时，根据题目给出的条件，运用频率版概率或古典概率来计算事件的概率。
2. 条件概率条件概率是指在某个条件下，事件发生的概率。
计算条件概率可以运用条件概率公式：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)。
其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
在解题时，根据题目给出的条件，结合条件概率公式计算所需的条件概率。
3. 独立事件独立事件是指两个或多个事件之间相互独立，一个事件的发生不会影响其他事件的发生。
对于独立事件，可以使用乘法原理进行计算。
乘法原理是指在独立事件中，多个事件同时发生的概率等于各事件发生概率的乘积。
在解题时，判断事件是否独立，并根据乘法原理计算所需的概率。
4. 贝叶斯定理贝叶斯定理是一种计算条件概率的方法，它基于已知的先验概率和相应的条件概率，求解出新的后验概率。
贝叶斯定理的公式为：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)。
其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(A)表示事件A发生的先验概率；P(B)表示事件B发生的先验概率。
高三文科数学概率知识点
高三文科数学概率知识点概率是数学中一个重要的分支，也是高中数学中的一门重要课程，它研究的是不确定事件发生的可能性。
在高三文科数学中，概率作为其中的一部分内容，涵盖了很多重要的知识点。
本文将针对高三文科数学中的概率知识点进行详细论述。
一、基本概率规则在概率的计算中，我们首先要掌握的是基本概率规则。
基本概率规则包括等可能概型、互斥事件与对立事件等概念。
等可能概型指的是实验中每个基本结果发生的概率相等的情况。
例如，掷一个均匀的六面骰子，每个面出现的概率都是1/6。
互斥事件指的是两个事件不能同时发生的情况。
例如，投篮比赛中不同队员投进的概率是互斥事件。
对立事件指的是两个事件至少有一个发生的情况。
例如，掷一个均匀的六面骰子，出现奇数点数和出现偶数点数是对立事件。
二、概率计算方法在计算概率时，我们有多种方法可供选择，如频率法、古典概型法、几何概型法等。
频率法是通过重复实验的统计结果来估计概率。
例如，我们可以通过掷一枚硬币多次，统计正面朝上的次数来估计正反面朝上的概率。
古典概型法适用于每个基本结果发生的概率相等的情况。
例如，两个均匀的骰子同时掷出，计算两个骰子之和为7的概率。
几何概型法适用于几何空间问题。
例如，在一个圆盘内随机放置一个点，计算该点落在一个扇形区域内的概率。
三、条件概率条件概率是指在某个条件下事件发生的概率。
例如，某次抽奖中，已知甲中奖的概率为1/10，已知乙中奖的概率为1/5，求在乙中奖的条件下，甲中奖的概率。
条件概率的计算方法可以通过乘法定理来实现。
乘法定理指出，如果事件A和事件B相互独立，那么事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B在事件A发生条件下发生的概率。
四、独立事件独立事件是指两个事件的发生与否相互独立，即一个事件的发生不会影响到另一个事件的发生。
例如，掷一颗骰子，第一次掷得6点，第二次掷得1点的概率。
独立事件的概率计算方法可以通过乘法定理来实现。
乘法定理指出，如果事件A和事件B相互独立，那么事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
高三概率与统计知识点总结高三网
高三概率与统计知识点总结高三网高三概率与统计知识点总结概率与统计是高三数学中的一个重要内容，它涉及到生活中各种随机事件的概率及统计分析。
在高三学习中，我们需要对概率与统计的相关概念和技巧进行总结和掌握。
下面是对高三概率与统计知识点的总结：一、概率的基本概念1. 事件与样本空间：事件是指我们关心的一个具体结果，而样本空间是一个随机事件所有可能结果的集合。
2. 定义域与频率：事件发生的频率与概率有联系，频率是指某个事件在样本空间中出现的次数占样本的比例。
3. 可能性与概率：概率是对事件发生的可能性的度量，它是一个介于0和1之间的实数。
二、概率的计算方法1. 古典概型：当随机事件有限且等可能发生时，我们可以直接使用古典概率计算公式来计算概率。
2. 几何概型：当样本空间为连续区间时，我们可以使用几何概率计算公式来计算概率。
3. 组合分析：当事件具有多个条件时，我们可以使用组合分析的方法来计算概率。
4. 条件概率：当事件A的发生与另一个事件B的发生有关时，我们可以使用条件概率计算公式来计算概率。
5. 独立事件：当两个事件发生与对方无关时，我们可以使用独立事件的概率计算公式来计算概率。
6. 事件的互斥与对立：当两个事件无相同结果时，我们可以使用互斥与对立事件的概率计算公式来计算概率。
7. 贝叶斯定理：当事件A和事件B之间发生依赖关系时，我们可以使用贝叶斯定理计算概率。
三、统计分析方法1. 随机变量：随机变量是指一个随机试验的结果所对应的某个数值。
2. 离散型随机变量：当随机变量只能取有限个或可数个数值时，我们称其为离散型随机变量。
3. 连续型随机变量：当随机变量可以取到某个区间范围内的任意一个值时，我们称其为连续型随机变量。
4. 离散型随机变量的分布：离散型随机变量的分布可以用概率分布列或概率质量函数来表示。
5. 连续型随机变量的分布：连续型随机变量的分布可以用概率密度函数来表示。
6. 期望：期望是对随机变量的平均值进行度量，可以用数学期望的定义来计算。
高三概率与统计知识点总结
高三概率与统计知识点总结1. 引言高三学习中，概率与统计是数学中的重要内容，也是考试中常常涉及到的知识点。
掌握概率与统计的基本概念、方法和技巧，对于解决实际问题和应对考试都有着重要的作用。
本文将对高三概率与统计的常见知识点进行总结，以帮助同学们更好地学习和复习。
2. 概率的基本概念概率是研究随机现象的规律性的数学方法。
在概率中，经常用到的基本概念有样本空间、随机事件和概率。
样本空间是一个随机试验中所有可能结果构成的集合，记作S。
随机事件是样本空间的子集，表示某种特定的结果。
概率表示一个随机事件发生的可能性大小，介于0和1之间。
3. 概率的计算方法计算概率需要使用到频率和几何概率两种方法。
频率概率是通过重复试验的次数和事件发生的次数之比来计算的。
例如，投掷一枚硬币，正面向上的次数除以总次数就是频率概率。
几何概率是通过样本空间和随机事件的关系来计算的。
例如，抽取一张红心牌的概率可以通过红心牌的数量除以总牌数来计算。
4. 概率的性质与运算概率的性质包括互斥事件、相互独立事件、对立事件等。
互斥事件指的是两个事件不能同时发生，相互独立事件指的是两个事件的发生与否彼此无关。
对立事件指的是一个事件的发生与否与另一个事件的发生与否相反。
概率的运算包括加法、乘法和条件概率等。
加法原理指的是计算两个事件至少发生一个的概率，乘法原理指的是计算两个事件同时发生的概率，条件概率则是在已知某一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
5. 统计的基本概念统计是处理和分析数据的科学方法。
在统计中，常用的基本概念包括总体、样本、参数和统计量。
总体是指研究对象的全体，样本是从总体中选取的一部分个体。
参数是用来刻画总体特征的数值，统计量是用来刻画样本特征的数值。
6. 统计的数据处理与分析数据处理与分析是统计学中的重要内容。
在数据处理中，我们常常需要计算数据的中心趋势和离散程度。
中心趋势包括平均数、中位数和众数，用来描述数据的集中程度。
第89讲、古典概型与概率的基本性质(教师版)2025高考数学一轮复习讲义
第89讲古典概型与概率的基本性质知识梳理知识点1、随机事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件A 的概率用()P A 表示．知识点2、古典概型（1）定义一般地，若试验E 具有以下特征：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．称试验E 为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．（2）古典概型的概率公式一般地，设试验E 是古典概型，样本空间Ω包含n 个样本点，事件A 包含其中的k 个样本点，则定义事件A 的概率()()()n A k P A n n ==Ω．知识点3、概率的基本性质（1）对于任意事件A 都有：0()1P A ≤≤．（2）必然事件的概率为1，即()=1P Ω；不可能事概率为0，即()=0P ∅．（3）概率的加法公式：若事件A 与事件B 互斥，则()()()P A B P A P B =+ ．推广：一般地，若事件1A ，2A ，…，n A 彼此互斥，则事件发生（即1A ，2A ，…，n A 中有一个发生）的概率等于这n 个事件分别发生的概率之和，即：1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A +++=+++．（4）对立事件的概率：若事件A 与事件B 互为对立事件，则()1()P A P B =-，()1()P B P A =-，且()()()1P A B P A P B =+= ．（5）概率的单调性：若A B ⊆，则()()P A P B ≤．（6）若A ，B 是一次随机实验中的两个事件，则()()()()P A B P A P B P A B =+- ．【解题方法总结】1、解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n 与事件A 中所包含的基本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：（1）本试验是否具有等可能性；（2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件A是什么．2、解题实现步骤：（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；（4）利用公式()AP A=包含的基本事件的个数基本事件的总数求出事件A的概率．3、解题方法技巧：（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和．②求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法．必考题型全归纳题型一：简单的古典概型问题例1．（2024·高一课时练习）下列概率模型中，是古典概型的个数为（）①从区间[]1,10内任取一个数，求取到1的概率；②从1，2，3，…，10中任取一个数，求取到1的概率；③在正方形ABCD内画一点P，求点P恰好为正方形中心的概率；④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的，并且每个样本点发生的可能性相等，故②是古典概型；①和③中的样本空间中的样本点个数不是有限的，故不是古典概型；④由于硬币质地不均匀，因此样本点发生的可能性不相等，故④不是古典概型.故选：A.例2．（2024·全国·高一专题练习）下列关于古典概型的说法正确的是（）①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则()kP An=.A．②④B．②③④C．①②④D．①③④【答案】D【解析】在①中，由古典概型的概念可知：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，故①正确；在②中，由古典概型的概念可知：每个基本事件出现的可能性相等，故②错误；在③中，由古典概型的概念可知：每个样本点出现的可能性相等，故③正确；在④中，基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则由古典概型及其概率计算公式知()kP An=，故④正确．故选：D．例3．（2024·全国·高三专题练习）下列有关古典概型的四种说法：①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率()kP An=.其中所正确说法的序号是（）A．①②④B．①③C．③④D．①③④【答案】D【解析】根据古典概型的基本概念及概率公式，即可得出结论②中所说的事件不一定是样本点，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确.故选:D.变式1．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选6只小白鼠，随机地将其中3只分配到试验组且饲养在高浓度臭氧环境，另外3只分配到对照组且饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.则指定的两只小鼠分配到不同组的概率为（）A．310B．25C．12D．35【答案】D【解析】指定的两只小鼠分配到相同组的概率为2124362C C2 C5=，所以指定的两只小鼠分配到不同组的概率为23155-=.故选：D变式2．（2024·青海西宁·高三统考开学考试）乒乓球是中国的国球，拥有广泛的群众基础，老少皆宜，特别适合全民身体锻炼．某小学体育课上，老师让小李同学从7个乒乓球（其中3只黄色和4只白色）中随机选取2个，则他选取的乒乓球恰为1黄1白的概率是（）A ．47B ．37C ．914D ．12【答案】A【解析】根据古典概型，从7个乒乓球中随机选取2个，基本事件总数有27C 21=个，其中恰为1黄1白的基本事件有4311C C 12⋅=个，所以概率124217P ==．故选：A ．变式3．（2024·河北保定·统考二模）三位同学参加某项体育测试，每人要从100m 跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个项目参加测试，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（）A ．112B ．13C ．512D ．712【答案】C【解析】三个同学选择两个项目的试验的基本事件数有234(C )个，它们等可能，有且仅有两人选择的项目完全相同的事件A 含有的基本事件数有222344C C (C 1)-个，所以有且仅有两人选择的项目完全相同的概率222344234C C (C 1)5()(C )12P A -==.故选：C变式4．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）将2个不同的小球随机放入甲、乙、丙3个盒子，则2个小球在同一个盒子的概率为（）A ．35B ．12C ．38D ．13【答案】D【解析】将2个不同的小球随机放入甲、乙、丙3个盒子，共有：239=种方法，2个小球在同一个盒子有3种情况，所以2个小球在同一个盒子的概率为3193=.故选：D.题型二：古典概型与向量的交汇问题例4．（2024·重庆·高三统考阶段练习）已知正九边形129A A A ，从122391,,,A A A A A A ⋯中任取两个向量，则它们的数量积是正数的概率为（）A ．12B ．23C ．49D ．59【答案】A 【解析】可以和向量12A A 构成数量积有2391,,A A A A ⋯一共8个向量，其中数量积为的正数的向量有：23348919,A A A A A A A A，，一共4个，由对称性可知，任取两个向量，它们的数量积是正数的概率为：41=82.故选：A例5．（2024·全国·高三专题练习）已知,{2,1,1,2}a b ∈--，若向量(,)m a b =，(1,1)n =r ，则向量m 与n所成的角为锐角的概率是（）A ．316B ．14C ．38D ．716【答案】B【解析】向量m 与n 所成的角为锐角等价于0m n ⋅>，且m 与n 的方向不同，即(,)(1,1)0m n a b a b ⋅=⋅=+>，则满足条件的向量m有(1,2),(1,1),(1,2),(2,1),(2,1),(2,2)--，其中(1,1)m =或(2,2)m = 时，与n 同向，故舍去，故共有4种情况满足条件，又m的取法共有4416⨯=种，则向量m 与n 所成的角为锐角的概率是41164=．故选：B ．例6．（2024·甘肃武威·甘肃省武威第一中学校考模拟预测）连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，则向量(,)m n 与向量(1,1)-的夹角2πθ>的概率是（）A ．12B ．13C ．712D ．512【答案】D【解析】由题设，向量(,)m n 的可能组合有36种，要使向量(,)m n 与向量(1,1)-的夹角2πθ>，则(1,1)(,)0n m n m ⋅-=-<，即n m <，满足条件的情况如下：2m =时，{1}n ∈，3m =时，{1,2}n ∈，4m =时，{1,2,3}n ∈，5m =时，{1,2,3,4}n ∈，6m =时，{1,2,3,4,5}n ∈，综上，共有15种，故向量(,)m n 与向量(1,1)-的夹角2πθ>的概率是1553612=.故选：D变式5．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a ，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b ，则向量(,)m a b = 与向量(2,1)n =-垂直的概率为（）A ．19B ．29C ．13D ．23【答案】B【解析】求出组成向量(,)m a b = 的个数和与向量(2,1)n =-垂直的向量个数，计算所求的概率值．从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a ，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b ，可以组成向量(,)m a b =的个数是339⨯=（个)；其中与向量(2,1)n =- 垂直的向量是(1,2)m = 和(2,4)m =，共2个；故所求的概率为29P =．故选：B ．变式6．（2024·云南楚雄·高三统考期末）从集合{}0,1,2,3中随机地取一个数a ，从集合{}3,4,6中随机地取一个数b ，则向量(),m b a = 与向量()1,2n =-垂直的概率为（）A ．112B ．13C ．14D ．16【答案】D【解析】计算出所有的基本事件数，记事件:A m n ⊥，列举出事件A 所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可计算出事件A 的概率.从集合{}0,1,2,3中随机地取一个数a ，从集合{}3,4,6中随机地取一个数b ，基本事件总数4312N =⨯=.记事件:A m n ⊥ ，当向量(),m b a = 与向量()1,2n =- 垂直时，202m n b a b a ⋅=-=⇒=，则事件A 包含的基本事件有：()2,4、()3,6（形如(),a b ），共2个，因此，()21126P A ==.故选：D.变式7．（2024·湖北·高考真题）连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(),a m n =与向量()1,1b =- 的夹角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的概率是（）A ．512B ．12C ．712D ．56【答案】C【解析】0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，0a b m n ∴⋅=-≥ ，即m n ≥，事件“0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦”所包含的基本事件有：()1,1、()2,1、()2,2、()3,1、()3,2、()3,3、()4,1、()4,2、()4,3、()4,4、()5,1、()5,2、()5,3、()5,4、()5,5、()6,1、()6,2、()6,3、()6,4、()6,5、()6,6，共21个，所有的基本事件数为2636=，因此，事件“0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦”的概率为2173612=.故选：C.题型三：古典概型与几何的交汇问题例7．（2024·全国·高三专题练习）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上面画点或用小石子表示数，他们将1，3，6，10，15，…，()12n n +，称为三角形数；将1，4，9，16，25，…，2n ，称为正方形数．现从200以内的正方形数中任取2个，则其中至少有1个也是三角形数的概率为（）A ．2591B ．2491C ．2378D ．1126【答案】A【解析】令2200n ≤，∵*n ∈N ，故200以内的正方形数有14个：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，其中是三角形数的仅有1与36，故所求概率1121222214C C C 25C 91P +==.故选：A ．例8．（2024（比值约为0.618，称为黄金比）（比值约为1.414，称为和美比）的矩形叫和美矩形.树叶、花瓣、向日葵、蝴蝶等都有黄金比.在中国唐、宋时期的单檐建筑中存在较多的的比例关系，常用的A 4纸的长宽比为和美比.图一是正五角星（由正五边形的五条对角线构成的图形），AD =.图二是长方体，EF 22EG EH ==.在图一图二所有三角形和矩形中随机抽取两个图形，恰好一个是黄金三角形一个是和美矩形的概率为（）A ．13B ．16C ．14D ．18【答案】B【解析】在如下图所示的正五角星中，该图中共有10个三角形，且等腰CDM V 的腰底之比大于1，等腰ABN 的腰底之比小于1，且12AN AD AB ==，则等腰ABN的腰底之比为1::12AN AB =，则在该五角星中，黄金三角形的个数为5，在如下图所示的长方体中，EF 22EG EH ==，则:EF EH =，:2:1EG EH =，:EG EF =，所以，矩形EHQF 、EFPG 均为和美矩形，所以，长方体中共6个矩形，其中和美矩形的个数为4，所以，图一和图二中共10个三角形，6个矩形，在图一图二所有三角形和矩形中随机抽取两个图形，恰好一个是黄金三角形一个是和美矩形的概率为1154216C C 201C 1206P ===.故选：B.例9．（2024·江西·高三校联考阶段练习）如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现用红色和蓝色给这4个三角形区域涂色，每个区域只涂一种颜色，则相邻的区域所涂颜色不同的概率是（）A ．18B ．14C ．13D ．12【答案】A【解析】将四块三角形区域编号如下，由题意可得总的涂色方法有4216=种，若相邻的区域所涂颜色不同，即12同色，34同色，故符合条件的涂色方法有2种，故所求概率21168P ==.故选：A变式8．（2024·江西·校联考二模）圆周上有8个等分点，任意选这8个点中的4个点构成一个四边形，则四边形为梯形的概率是（）A ．1035B ．1235C ．1435D ．1635【答案】B【解析】依题意，从8个点中任取4个点构成有48C 70=个四边形，构成梯形就只有以下两种情况：以某相邻两个点（如点A ，B ）构成的线段为边的梯形有2个，共有2816⨯=个，以某间隔一个点的两点（如点A ，C ）构成的线段为边的梯形有1个，共有188⨯=个，于是构成的四边形中梯形有16824+=个，所以四边形为梯形的概率是24127035=.故选：B变式9．（2024·广东深圳·高三深圳市福田区福田中学校考阶段练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学巨著，大约成书于公元前300年．汉语的最早译本是由中国明代数学家、天文学家徐光启和意大利传教士利玛窦合译，成书于1607年.该书前6卷主要包括：基本概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相似形这7章，几乎包含现今平面几何的所有内容．某高校要求数学专业的学生从这7章里任选4章进行选修，则学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章的概率为（）A ．37B ．47C ．57D ．67【答案】B【解析】数学专业的学生从这7章里任选4章进行选修共有：47C =35种选法；学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章共有：36C =20种选法，故学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章的概率为：204357==P .故选：B.变式10．（2024·河北张家口·张家口市宣化第一中学校考三模）如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，截取后的剩余部分称为“阿基米德多面体”，它是一个24等边半正多面体．从它的棱中任取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率为（）A ．1023B ．1223C ．2969D ．5069【答案】B【解析】当一条直线位置于上（或下）底面，另一条不在底面时，共有10880⨯=对异面直线，当两条直线都位于上下底面时，有428⨯=对异面直线，当两条直线都不在上下底面时，有7856⨯=对异面直线，所以，两条棱所在的直线为异面直线的概率为224805681223P C ++==故选：B变式11．（2024·全国·高三专题练习）《九章算术·商功》指出“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”意为将一个正方体斜切，可以得到两个壍堵，将壍堵斜切，可得到一个阳马，一个鳖臑（四个面都是直角三角形的三棱锥），如果从正方体的8个顶点中选4个顶点得到三棱锥，则得到的三棱锥是鳖臑的概率为（）A ．1829B ．1629C ．1229D ．829【答案】C 【解析】从正方体的8个顶点中任选4个顶点，共有48C 70=（种）情况，其中4点在同一平面的情况共有两种，第一种是当取正方体的一个面上的4个点时，共有6种情况；第二种是当取上下､左右､前后斜切面的4个点时，共有6种情况，所以从正方体的8个顶点选4个顶点得到三棱锥共有706658--=（种）.因为鳖臑是四个面都是直角三角形的三棱锥，所以以1AA 为例，1AA 与下底面组成的鳖臑有111A A C D -和111A A B C -，与上底面构成的鳖臑也有两个，鳖臑共有4416⨯=（个）.又AD 与侧面组成的4个鳖臑有两个与前面得到的重复，有2个不重合，故有248⨯=（个），所以一共有24个鳖臑，所以得到的三棱锥是鳖臑的概率为24125829=，故选：C.题型四：古典概型与函数的交汇问题例10．（2024·四川遂宁·统考三模）已知3541lg 2lg5,log 3,,tan12m -⎧⎫⎪⎪⎛⎫∈+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，从这四个数中任取一个数m ，使函数2()21f x x mx =++有两不相等的实数根的概率为.【答案】12/0.5【解析】函数2()21f x x mx =++有两不相等的实数根，则2440m ->，解得1m <-或1m >.lg 2lg 5lg101+==，4440log 1log 3log 41=<<=，30511122->⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭.因为ππ142<<，所以πtan1tan 14>=.即从这四个数中任取一个数m ，使函数2()21f x x mx =++有两不相等的实数根的概率为2142P ==.故答案为：12例11．（2024·全国·高三专题练习）已知四个函数：（1）()1f x x =，（2）()2sin f x x =，（3）()3tan f x x =，（4）()4e x f x -=，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为.【答案】13【解析】如图所示，()1f x x =与()3tan f x x =，()2sin f x x =与()3tan f x x =，()2sin f x x =与()4e xf x -=，()3tan f x x =与()4e x f x -=均有多个公共点，令()()()112sin g x f x f x x x =-=-，则()11cos 0g x x '=-≥，∴()1g x 在R 上单调递增，又∵()100g =，∴()()()112g x f x f x =-有唯一零点，∴()1f x x =与()2sin f x x =的图象有且仅有一个公共点；令()()()214e xg x f x f x x -=-=-，则()21e 0x g x -'=+>，∴()1g x 在R 上单调递增，又∵()2010g =-<，()21110eg =->∴存在()00,1x ∈，使()200g x =，且0x x =是()()()214g x f x f x =-的唯一零点，∴()1f x x =与()4e xf x -=的图象有且仅有一个公共点.∴从四个函数中任选2个，共有24C 6=种可能，“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点的有()1f x x =与()2sin f x x =和()1f x x =与()4e x f x -=共2种可能，∴“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为2163=.故答案为：13.例12．（2024·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）在2-，1-，0，1，2的五个数字中，有放回地随机取两个数字分别作为函数232y ax bx =+-中a ，b 的值，则该函数图像恰好经过第一、三、四象限的概率为．【答案】15/0.2【解析】五个数字任取一个作数字作系数a ，放回后随机任取一个数作为b ，有5525⨯=种不同取法.当0a =时，函数图像为一条直线32y bx =-，若图像恰好经过第一、三、四象限，则0b >，即有0a =，1b =；0a =，2b =两组数满足；0a ≠时，二次函数经过第一、三、四象限则开口向下，又图像过点()0,2-，顶点必在第一象限，即满足0<a ，302ba->，0∆>，有2a =-，2b =；1a =-，1b =；1a =-，2b =三组数满足．故共有5组满足，所求概率为51255=．故答案为：15变式12．（2024·四川遂宁·统考一模）若函数()y f x =的定义域和值域分别为{}1,2,3A =和{}1,2B =，则满足(1)(3)f f ≠的函数概率是．【答案】23【解析】因函数()y f x =的定义域和值域分别为{}1,2,3A =和{}1,2B =，则函数()y f x =有6个，它们是：()()()121,32f f f ===；()()()122,31f f f ===；()()()11,232f f f ===；()()()12,231f f f ===；()()()131,22f f f ===；()()()132,21f f f ===，满足(1)(3)f f =的函数有2个数，它们是(1)(3)1,(2)2f f f ===或(1)(3)2,(2)1f f f ===，因此满足(1)(3)f f ≠的函数有4个，所以满足(1)(3)f f ≠的函数概率是4263=.故答案为：23变式13．（2024·全国·高三专题练习）一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：1()f x x =，22()f x x =，33()f x x =，4()sin f x x =，5()cos f x x =，6()2||1f x x =+．现从盒子中逐一抽取卡片并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X ，则3X <的概率为．【答案】45/0.8【解析】易判断()22f x x =，()5cos f x x =，6()2||1f x x =+为偶函数，所以写有偶函数的卡片有3张，X 的取值范围是{}1,2,3,4．()1316C 11C 2P X ===，()11331165C C 32C C 10P X ===，所以()()()1384312210105P X P X P X <==+==+=．故答案为：45变式14．（2024·全国·高三专题练习）对于定义域为D 的函数()f x ，若对任意的12,x x D ∈，当12x x <时都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 为“不严格单调增函数”，若函数()f x 的定义域{}1,2,3,4,5D =，值域为{}6,7,8A =，则函数()f x 为“不严格单调增函数”的概率是．【答案】125/0.04【解析】基本事件总数为：把D 中的5个数分成三堆：①1，1，3：3510C =，②1，2，2：22532215C C A ⋅=,则总共有33(1015)150A +⋅=种，求函数()f x 是“不严格单调增函数”的情况，等价于在1，2，3，4，5中间有4个空，插入2块板分成3组，分别从小到大对应6,7,8共有246C =种情况，∴函数()f x 是“不严格单调增函数”的概率是6115025=故答案为：125.变式15．（2024·上海·高三专题练习）从3个函数：123,y x y x -==和y x =中任取2个，其积函数在区间(,0)-∞内单调递增的概率是.【答案】23【解析】从三个函数中任取两个函数共有3种取法，若取123,y x y x -==，积函数为53y x =，所以2'353y x =，因为当0x <时，3'2503y x >=，所以函数53y x =在(,0)-∞单调递增；若取13y x -=和y x =，积函数23y x =，所以1'323y x -=，因为当0x <时，1'3203y x -<=，所以函数23y x =在(,0)-∞单调递减；若取2y x =和y x =，积函数3y x =，所以'23y x =，因为当0x <时，2'30y x =>，所以函数3y x =在(,0)-∞单调递增；故满足题意的有2个积函数，所以概率值为23，故答案为：23.题型五：古典概型与数列的交汇问题例13．（2024·江西鹰潭·统考一模）斐波那契数列{}n F 因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardodaFibonaci ）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”.因n 趋向于无穷大时，1nn F F +无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列{}n F 满足121F F ==，21n n n F F F ++=+，若从该数列前10项中随机抽取2项，则抽取的2项至少有1项是奇数的概率为（）A ．115B ．1315C ．215D ．1415【答案】D【解析】依题意可知，数列{}n F 的前10项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，其中偶数有3个，所以从该数列前10项中随机抽取2项，则抽取的2项都是偶数的概率为23210C 1C 15P ==，所以至少有1项是奇数的概率为11411515-=.故选：D.例14．（2024·全国·高三专题练习）斐波那契数列又称黄金分割数列，也叫“兔子数列”，在数学上，斐波那契数列被以下递推方法定义：数列{}n a 满足121a a ==，21++=+n n n a a a ，先从该数列前12项中随机抽取1项，是质数的概率是（）A ．512B ．14C ．13D ．712【答案】A【解析】由斐波那契数列的递推关系可知，前12项分别为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，所以基本事件数共有12，其中质数有2，3，5，13，89，共5种，故是质数的概率为512P =.故选：A .例15．（2024·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）已知某抽奖活动的中奖率为12，每次抽奖互不影响．构造数列{}n c ，使得1,1,n n c n ⎧=⎨-⎩第次中奖，第次未中奖，，记()12*n n S c c c n =+++∈N ，则51S =的概率为（）A ．58B ．12C ．516D ．34【答案】A【解析】由51S =，可得51S =±，抽奖5次，出现3次中奖2次未中奖或2次中奖3次未中奖，故51S =的概率为32555C C 528P +==．故选:A.变式16．（2024·山东潍坊·高三统考阶段练习）数列{}n a 共有10项，且满足：11a =，1011a =，每一项与前一项的差为2或2-，从满足上述条件的所有数列中任取一个数列，则取到的数列满足每一项与前一项的差为2-的项都相邻的概率为（）A ．29B ．13C ．49D ．518【答案】A【解析】由于1011052a a -==⨯，{}n a 从1a 至10a ，“2+”或“2-”共9次，所以“2+”共7次，“2-”共2次，基本事件的总数有29C 36=种，“每一项与前一项的差为2-的项都相邻”的事件有8种，故取到的数列满足每一项与前一项的差为2-的项都相邻的概率为82369=.故选：A变式17．（2024·全国·高三专题练习）斐波那契数列{}n F 因数学家莱昂纳多·斐波那契（LeonardodaFibonaci ）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．因n 趋向于无穷大时，1nn F F +无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列{}n F 满足121F F ==，21n n n F F F ++=+，若从该数列前10项中随机抽取1项，则抽取项是奇数的概率为（）A ．12B ．310C ．23D ．710【答案】D【解析】依题意可知，数列{}n F 的前10项为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，其中奇数有7个，所以从该数列前10项中随机抽取1项，则抽取项是奇数的概率为710.故选：D变式18．（2024·全国·高三专题练习）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知24n S an an b =-+，在数集{}1,0,1-中随机抽取一个数作为a ，在数集{}3,0,3-中随机抽取一个数作为b .在这些不同数列中随机抽取一个数列{}n a ，则{}n a 是递增数列的概率为（）A ．13B ．29C ．23D ．34【答案】B【解析】由已知，当1n =时，113a S b a ==-，当2n ≥时，()()()221414125n n n a S S an an b a n a n b an a -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦，因为数列{}n a 为单调递增数列，则120a a a <⎧⎨>⎩，即30b a a a -<-⎧⎨>⎩，即20b aa <⎧⎨>⎩，所有样本点(),a b 有：()1,3--、()1,0-、()1,3-、()0,3-、()0,0、()0,3、()1,3-、()1,0、()1,3，共9个，其中，满足{}n a 是递增数列的样本点(),a b 有：()1,3-、()1,0，共2个，故所求概率为29P =.故选：B.变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知数列{}()n a n *∈N 的前n 项和为1,1n S a =，且21n n S a =-，若数列{}n b 满足21132=-+-n n a b n n ，从510,*≤≤∈N n n 中任取两个数，则至少一个数满足1n n b b +=的概率为（）A ．12B ．35C ．712D ．23【答案】B【解析】由于21n n S a =-①，当1n =时，得1121a a =-，解得11a =；当2n ≥时，1121n n S a --=-②，①-②化简可得12n n a a -=，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a -=；因为21132=-+-n n a b n n ，所以2111322n n n n b --+-=，令1n n b b +=得221922212213n n n n n n --+-=-+-，解得6n =或7，从510,*≤≤∈N n n 中任取两个数共有()5,6，()5,7，()5,8，()5,9，()5,10，()6,7，()6,8，()6,9，()6,10，()7,8，()7,9，()7,10，()8,9，()8,10，()9,1015种，其中至少一个6或7的有9种，所以至少一个数满足1n n b b +=的概率为35，故选：B.变式20．（2024·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 的首项为1，公比为-2，在该数列的前六项中随机抽取两项m a ，()*,n a m n ∈N ，则8m n a a ⋅≥的概率为（）A ．25B ．34C ．13D ．12【答案】C【解析】由题意知：11a =，22a =-，34a =，48a =-，516a =，632a =-，由80m n a a ⋅≥>，则m ，n 奇偶相同，若m ，n 都为偶数时，符合题意，情况数为233C =种；若m ，n 都为奇数时，仅有1348a a ⋅=<不符题意，情况数为2312C -=种，综上，符合题意的情况数为325+=种，而总情况数为2615C =种，∴概率51153P ==．故选：C.题型六：古典概率与统计的综合例16．（2024·四川宜宾·统考二模）2022年中国新能源汽车销量继续蝉联全球第一，以比亚迪为代表的中国汽车交出了一份漂亮的“成绩单”，比亚迪新能源汽车成为2022年全球新能源汽车市场销量冠军，为了解中国新能源车的销售价格情况，随机调查了10000辆新能源车的销售价格，得到如图的样本数据的频率分布直方图：(1)估计一辆中国新能源车的销售价格位于区间[5,35)（单位：万元）的概率，以及中国新能源车的销售价格的众数；(2)现有6辆新能源车，其中2辆为比亚迪新能源车，从这6辆新能源车中随机抽取2辆，求至少有1辆比亚迪新能源车的概率.【解析】（1）一辆中国新能源车的销售价格位于区间[)5,35的概率()0.0220.040.017100.79,++⨯= 中国新能源车的销售价格的众数为(1525)220+÷=（2）记2辆比亚迪新能源车为,A B ，其余4辆车为1,2,3,4，从6辆新能源车中随机抽取2辆的情况有：()()()()()()(),,,1,,2,,3,,4,,1,,2A B A A A A B B ，()()()()()()()(),3,,4,1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4B B ，共15种情况.其中至少有1辆比亚迪新能源车的情况有：()()()()()()(),,,1,,2,,3,,4,,1,,2A B A A A A B B ，()(),3,,4B B ，共有9种情况.至少有1辆比亚迪新能源车的概率93155P ==例17．（2024·北京西城·高三北京市第三十五中学校考开学考试）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的(1)班 (8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x 轴表示对应的班号，y 轴表示对应的优秀人数）：(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；(2)若从以上统计的高一（2）班和高一（4）班的学生中各抽出1人，设X 表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X 的分布列及其数学期望；(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“1k ξ=”表示第k 班抽到的这名同学身体素质优秀，“0k ξ=”表示第k 班抽到的这名同学身体素质不是优秀（1,2,...,8k =）．写出方差()()()()1234,,,D D D D ξξξξ的大小关系（不必写出证明过程）．【解析】（1）从高一年级（1）班~（8）班学生中抽测了80人，其中身体素质检测成绩优秀的人数有8694759856+++++++=人，所以，优秀的概率是710因为是随机抽样，所以用样本估计总体，可知从高一年级学生中任意抽测一人，该生身体素质检测成绩达到优秀的概率是710（2）因为高一（2）班抽出的10名同学中，身体素质监测成绩达到优秀的人数有6人，不优秀的有4人，因为高一（4）班抽出的10名同学中，身体素质监测成绩达到优秀的人数有4人，不优秀的有6人，所以从中抽出2人，X 的可能取值为0,1,2()23605525P X ==⨯=，()3322131555525P X ==⨯+⨯=，()32625525P X ==⨯=，所以X 的分布列为X12P6251325625数学期望()61360121252525E X =⨯+⨯+⨯=（3）4213=>>D D D D ξξξξ，理由：由于()()()()123410.8,10.6,10.9,10.4,P P P P ξξξξ========且k ξ服从二点分布，所以()()()()()211=1=24k k k k D P P P ξξξξ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭，由于()()()()31241110.810.610.4,2P P P P ξξξξ=>==>==>>==()()211=24k k D P ξξ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以()()()()4213D D D D ξξξξ=>>.例18．（2024·四川成都·校联考模拟预测）某重点大学为了解准备保研或者考研的本科生。
(完整版)高三数学概率统计知识点归纳
概率统计知识点归纳平均数、众数和中位数平均数、众数和中位数．要描述一组数据的集中趋势，最重要也是最常见的方法就是用这“三数”来说明．一、正确理解平均数、众数和中位数的概念平均数平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化．2．众数在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个（或几个）数据就可以了．当一组数据中有数据多次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势．3．中位数中位数就是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数（或处在最中间的两个数的平均数）．一组数据中的中位数是唯一的．二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同．在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势，那得看数据的特点和要关注的问题．三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题由于平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以利用平均数、众数和中位数可以来解决现实生活中的问题．极差、方差、标准差极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动大小的量.极差一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围,差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.二、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一组数据x1、x2、x3、…、xn 的平均数为x ，则该组数据方差的计算公式为：])()()[(1222212x x x x x x n S n -++-+-=Λ.三、标准差在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差.即标准差=方差.四、极差、方差、标准差的关系方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比较两组数据的波动大小.两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标准差，是因为标准差的单位和原数据的单位一致，且能缓解方差过大或过小的现象.一、 随机事件的概率1、必然事件：一般地，把在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件。
[数学]高三文科数学概率复习课
![[数学]高三文科数学概率复习课](https://img.taocdn.com/s3/m/2ef50027cc17552707220829.png)
1. “一个骰子掷一次得到6的概率是
1 6
,这说明一个骰子掷6次会出现一
1
次6”,这种说法对吗?请说明你的理由. 解析：这种说法是不对的.虽然每次掷骰子出现6点的概率是 6,但连续
掷6次骰子不一定会1,2,3,4,5,6各出现一次,可能出现某个数的次数多
一些,其他的数少一些,这正好体现了随机事件发生的随机性.但随着试 验次数的增加,出现1,2,3,4,5,6各数的频率大约相等,即都为试验次数 的
1
女孩 P
2
2002
2003 2004 2005 2006 5年总计
0.516
0.518 0.515 0.518 0.516 0.517
0.484
0.482 0.485 0.482 0.484 0.483
2. 某批乒乓球产品质量检查结果如下表所示: 抽取球数n 50 100 200 500 1000 2000
题型二
随机事件的概率问题
例2某地区近5年出生婴儿的调查表如下：
出生数 出生年份 2002 男孩 m
1
共计n=
2
出生频率 男孩 P
1
女孩 m
m m
1
2
女孩 P
2
52807
49473
102280
2003
2004 2005 2006 5年总计
51365
49698 49654 48243 251767
47733
概率复习课
第三章
第1课时
基础梳理
1. 事件 (1)必然事件:
概率
随机事件的概率
在条件S下, 一定会发生的事件,叫做相对于条件S的必然事件. (2) 不可能事件: 在条件S下, 一定不会发生 的事件,叫做相对于条件S的不可能事件. (3) 确定事件: 必然事件与不可能事件 统称为相对于条件S的确定事件. (4) 随机事件 在条件S下, 可能发生也可能不发生 的事件,叫做相对于条件S的随机事件.
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高三数学概率知识点
概率，作为数学中的一个重要概念，是研究随机事件发生可能性的一门学科。
在高三数学中，概率是一个重要的考点。
下面将介绍几个高三数学概率知识点。
一、基本概率原理
基本概率原理是概率论的基础，它指出，如果一个随机事件可以通过n种可能的方式发生，而这n种可能性是等可能的且互不影响的，那么事件发生的概率就是1/n。
二、事件的相容性与独立性
事件A和事件B是相容的，指的是事件A和事件B可以同时发生，记作A∩B≠Ø。
事件A和事件B是独立的，指的是事件A 的发生与否不会影响事件B的发生，反之亦然。
三、条件概率
条件概率是指在某一条件下的事件发生的概率。
事件B在事件A发生的条件下发生的概率可以表示为P(B|A)，即在已知A发生的情况下，B发生的概率。
四、乘法定理与全概率公式
乘法定理是概率论中的重要定理，它表明P(A∩B)=P(A)P(B|A)。
全概率公式则是利用条件概率和乘法定理计算复杂事件的概率的
方法，它可以表示为
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+...+P(An)P(B|An)，其中A1、
A2、...、An是一组互不相容的事件，且它们的并集构成了样本空间。
五、贝叶斯定理
贝叶斯定理是条件概率的一种重要应用，它可以用于计算逆条
件概率。
根据贝叶斯定理，事件A在事件B发生的条件下发生的
概率可以表示为P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B)，其中P(A)是事件A的
先验概率，P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，
P(B)是事件B的先验概率。
六、独立事件的概率
如果事件A和事件B是独立的，那么P(A∩B)=P(A)P(B)。
如果事件A和事件B是互斥的，那么P(A∩B)=0。
根据互斥事件和独
立事件的概率，我们可以推导出许多数学概率题目的解答方法。
七、排列与组合
排列和组合是概率论中的重要概念，它们用来计算事件发生的可能性。
排列指的是从n个不同元素中取出r个元素并按照一定的顺序排列的方式，组合指的是从n个不同元素中取出r个元素的方式。
总结：
高三数学概率知识点涉及基本概率原理、事件的相容性与独立性、条件概率、乘法定理与全概率公式、贝叶斯定理、独立事件的概率以及排列与组合等内容。
掌握这些知识点对于高三学生来说是非常重要的，对于解题和应用数学都有着重要的作用。
在平时的学习中，需要通过大量的练习来巩固和加深理解，提高自己的解题能力。
希望本文所介绍的高三数学概率知识点能够对同学们的学习和考试带来帮助。