微分中值定理及其应用详解

第三讲微分中值定理及其应用

基本信息

课时数 6课时

教学进度知识精讲课程—高等数学第三章

教学目标

1.掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打好坚实的理论基础.

2.熟练掌握洛比塔法则,会正确应用它求某些不定式的极限.

3.掌握泰勒公式,并能应用它解决一些有关的问题.

4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法,能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象.

5.会求函数的极值与最值.

6.弄清函数极值的概念,取得极值必要条件以及第一、第二充分条件；掌握求函数极值的一般方法和步骤；能灵活运用第一、第二充分条件判定函数的极值与最值；会利用函数的极值确定函数的最值.

7.掌握讨论函数的凹凸性和方法.

教学重点

中值定理和泰勒公式,利用导数研究函数单调性、极值与凸性,利用导数求极值的方法,利用导数研究函数的凸性.

教学难点

用辅助函数解决问题的方法,极值的判定,利用凸性证明相关命题.

教学过程

一、课程导入

上一讲我们介绍了导数、微分的概念及其简单的运算,这一讲来介绍一元微分学中另外一个重要的部分——微分中值定理及其应用.

有关中值定理的证明是历年出现频率较高的考点之一,而将中值定理与介值定理或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式.在这种题型中,有时候需要构造辅助函数,而构造辅助函数解决问题的方法一直以来都是大家复习的难点,因此在整个复习过程中,同学们应该注意总结.特别是一些比较好的方法和例子.由柯西中值定理推导得到的洛必达法,是求一些未定式极限的有力工具,大家要熟练掌握它的条件和结论.微分中值定理建立了导数值与函数值之间的联系,因此,我们就会想到去利用导数来讨论函数的单调性、极值点、凹凸性与拐点.微分学的另一个重要的应用就是求函数的最大值和最小值,我会给出同学们总结求函数最值的一般方法,希望同学掌握这些方法并会求简单的应用.下面我们先来学习中值定理的相关内容.

二、知识点详解

(一)微分中值定理

本部分考查目标级别：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打好坚实的理论基础;熟练掌握洛比塔法则,会正确应用它求某些不定式的极限;掌握泰勒公式,并能应用它解决一些有关的问题.

1.知识展开

(1)费马引理：若函数()f x 在0x 的某邻域0()U x 内0()x U x ∀∈,有

0()()f x f x ≤(0()()f x f x ≥)且()f x 在0x 可导⇒ 0()0f x '=.

注：若0x 是一个极值点且()f x 在0x 可导⇒ 0()0f x '=(驻点).

(2)罗尔中值定理 若()f x 满足条件： 1)在闭区间[,]a b 上连续； 2)在开区间(,)a b 内可导； 3)()()f a f b =,

则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使得0)(='ξf .

注：①几何意义

在每一点都可导的连续曲线,如果曲线两端点高度相同,则至少存在一水平切线.

②定理中的三个条件都是很重要的,缺了其中任何一个,结论就可能不成立.

例如：函数]1,0[,)(∈=x x x f 不满足条件⑶,显然无水平切线；

函数]1,1[,)(-∈=x x x f 不满足条件⑵,显然无水平切线； 函数⎩

⎨

⎧=<≤=1,010,)(x x x x f ；

不满足条件⑴,显然也无水平切线．

③考研中常利用来做中值等式的证明

导函数和高阶导函数零点的存在性的证明和个数的估计；一般的含有中值的等式证明.

(3)拉格朗日中值定理

若()f x 满足条件：1) 在闭区间[,]a b 上连续；2) 在开区间(,)a b 内可导,则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使得

)(')

()(ξf a

b a f b f =--,即

))((')()(a b f a f b f -=-ξ,或写成()()'[()]() (01)f b f a f a b a b a θθ-=+--<<.

注：1)函数是常数的充要条件：()()0f x C f x '=⇔=. 2)几何意义

可导曲线上存在一点,使其切线平行于端点的连线；Lagrang 定理中涉及的

公式：称之)(')

()(ξf a

b a f b f =--为“中值公式”.这个定理也称为微分基本定理.

中值公式有不同形式：

①()()()()f b f a f b a ξ'-=-,(),a b ξ∈； ②()()(())()f b f a f a b a b a θ'-=+--,01θ<<； ③()()()f a h f a f a h h θ'+-=+,01θ<<.

此处,中值公式对ab 均成立.此时ξ在a,b 之间；②、③的好处在于无论a,b 如何变化,(0,1)θ∈易于控制.

3)利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理

4)在考研中直接利用此定理主要是两方面 ① 证明含有中值的等式. ② 不等式的证明.

③ 利用拉格朗日中值定理研究函数的性态(有界性). 到此处为第1课时

(4)柯西中值定理

若()f x ,()g x 满足条件：

1)在闭区间[,]a b 上连续；2)在开区间(,)a b 内可导,且()0g x '≠

则在开区间

(,)a b 内至少存在一点ξ,使得

)

()

()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=

--. 注：1)几何意义

Cauchy 中值定理的几何意义：视为曲线的参数；()u f x =,()v g x =,[],x a b ∈,则以v 为横坐标,u 为纵坐标可得曲线上有一点,该处切线与曲线端点连线平行.

2)三个定理关系如下：()()()f a f b g x x

Rolle Lagrang Cauchy ==←−−−

−←−−−. 3)判断下列证明方法是否正确,不正确错误在哪里？

由于()f x 与()g x 都在 [,]a b 上满足拉格朗日中值定理,故(,)a b ξ∃∈使得

))((')()(a b f a f b f -=-ξ,()()'()()g b g a g b a ξ-=-,将两式相除则结论得证.

4)在考研中直接利用此定理主要是两方面

① 证明含有中值的等式. ② 不等式的证明. (5)洛必达法则 定理：设

1) 当x a →(或x →∞)时,()f x 及()F x 都趋于零；

2) 在点α的某去心领域内,()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠；

3) ()lim ()x a f x F x →''存在(或为无穷大),那么 ()()

lim lim ()()x a x a f x f x F x F x →→'='.

注：①利用洛必达法则求极限是要注意条件的验证,特别是()

lim

()

x a

f x F x →''不存在且不为无穷大时得不到()

lim

()

x a

f x F x →不存在. ②将0x x →改为00,,,,x x x +-→+∞-∞∞时,上述结论都对. ③0

()lim

()x x f x g x →''是分子,分母分别求导时极限和0()

lim(

)()

x x f x g x →'不同,更不能认为是