历考研数学三概率论与数理统计
2012年
1.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+P X Y ≤22
｛1｝（
）
（A ）1
4
（B ）12
（C ）8
π
（D ）4π
解析：D
1,0,1
)()()0,x y x y f x y f x f y <
?（，其他 2
2
{1}(,)4
D D
S P X Y f x y d D
S π
Ω+≤=σ==??
，选
2.设
1234
X X X X ，，，为来自总体
N σσ>2（1，）（0）的简单随机样本，则统计量
12
34|+-2|X X X X -的分布（
）
（A ）N （0，1）
（B ）
(1)t
（C ）
2(1)χ （D ）
(1,1)F
解析：
B
212~(0,2)~(0,1)X X N N -σ?
2342
2~(0,2)~(0,1)
X X X X N N +-+-σ?
~(1)t
即
12
34~(1),
2
X X t X X -+-选B
3.已知随机变量X,Y 以及XY 的分布律如下表所示：
求（1）P(X=2Y); （2）cov(,)XY X
Y Y -ρ与.
解析：1）
1
{4}{2,2}12P XY P X Y =====
{2}{2,1}{1,2}0P XY P X Y P X Y ====+=== {2,1}0,{1,2}0.P X Y P X Y ?======
1
{1}(1,1}.
3P XY P X Y =====
(,)X Y ∴联合分布律为
{2}{0,0}{2,1}P X Y P X Y P X Y ====+==
=1104
4+=
. 2）cov(,)cov(,).
X Y Y X Y DY
EXY EXEY DY -=-=
--
2
252,1,,.
333EX EY EY EXY ==== 2252cov(,)11.3333X Y Y ??
-=
-?--=- ???
cov(,)0,0.XY X Y EXY EXEY ρ=-=∴=
4.设随机变量X 和Y 相互独立，且均服从参数为1的指数分布，min(,),=max(,).V X Y U X Y =
求（1）随机变量V 的概率密度； （2）
()E U V +.
解析：
1）
10~(1)()0,0
x
X e x X E F x x -?->?=?
≤?
10~(1)()0,
y
Y e y Y E F y y -?->?=?
≤?.
(){min(,)}V F x P X Y x =≤
1{min(,)}1{,}P X Y x P X x Y x =->=->>
1{}{}P X x P Y x =->>
[][]11()1()X Y F x F x ---
21,000x e x x -?->=?
≤?. 220()0
x
v e x f x x -?>?=?
≤?.
2）(){max(,)}{,}U F x P X Y x P X x Y x =≤=≤≤
22
(1),0{}{}()0,0x X e x P X x P Y x x x F -?->=≤≤==?
≤?.
2(1),0
()0,0x x U e e x f x x --?->=?
≤?. 200
2(1)22x
x
x
x EU xe e dx xe dx xe dx
+∞
+∞+∞
----=-=-??
?
2012(2)(2)(2)
2x x e d x Γ+∞
-=-? 113
21(2)21-1=
222Γ=?-=?? 220
01112(2)(2)(2)222x
x
EV x e
dx x e d x Γ+∞+∞--=?===
?
?.
() 2.E U V ∴+=
2011年
1.设()()12,F x F x 为两个分布函数，其相应的概率密度()()12,f x f x 是连续函数，则必为概率密度的是 （A ）()()12f x f x （B ）()()212f x F x
（C ）()()12f x F x （D ）()()()()1221f x F x f x F x + 【解析】检验概率密度的性质：()()()()12210f x F x f x F x +≥；
()()()()()()1221121f x F x f x F x dx F x F x +∞
+∞
-∞-∞
+==?
。可知()()()()1221f x F x f x F x +为概率密度，故选（D ）。
2.设总体X 服从参数为λ()0λ>的泊松分布，()12,,
,2n X X X n ≥为来自总体的简单随机样本，则对应
的统计量111n i i T X n ==∑，121
11
1n i n i T X X n n -==+-∑
（A ）1212,ET ET DT DT >> （B ）1212,ET ET DT DT >< （C ）1212,ET ET DT DT <> （D ）1212,ET ET DT DT <<
【解析】111
111111n n
n i i i i i ET E X EX n n n λλ===??====????∑∑∑，
1
11211111111111111111n n n i n i n i i i ET E X X EX EX n n n n n n n λλλ---===????=+=+=+=+ ???---????∑∑∑，可知1ET ET <。 1222211
111111n n
n i i i i i DT D X DX n n n n λλ===??====????∑∑∑，
1122221111111111(1)n n i n i n i i DT D X X D X D X n n n n n n λλ--==??????
=+=+=+??????---??????∑∑，可知12DT DT <。 故选（D ）
3.设二维随机变量(,)X Y 服从22(,;,;0)N μμσσ，则2()E XY = 【解析】：由于0ρ=，可知,X Y 独立，故()()22()E XY E X E Y =。 其中()()()2
222,()E X E Y D Y EY μσμ==+=+，故223()E XY σμμ=+。
4.
()221P X Y ==
求：（1）(),X Y 的分布； （2）Z XY =的分布；
（3）XY ρ.
【解析】：（1）由于()221P X Y ==，因此()220P X Y ≠=。 故()0,10P X Y ===，因此
()()()()1,11,10,111/3P X Y P X Y P X Y P Y =====+===== 再由()1,00P X Y ===可知
()()()()0,01,00,001/3P X Y P X Y P X Y P Y =====+===== 同样，由()0,10P X Y ==-=可知
()()()()0,11,10,111/3P X Y P X Y P X Y P Y ==-===-+==-==-= 这样，我们就可以写出(),X Y 的联合分布如下： Y X
1-
1 0
0 1/3 0 1
1/3
1/3
其中(1)(1,1)1/3P Z P X Y =-===-=，(1)(1,1)1/3P Z P X Y =====， 则有(0)1/3P Z ==。 因此，Z XY =的分布律为
Z -1 0 1 P 1/3 1/3
1/3
（3）2/3EX =，0EY =，0,cov(,)0EXY X Y EXY EXEY ==-= 故0XY DX DY
ρ=
=
0,2x y x y -=+=与
5. (),X Y 在G 上服从均匀分布，G 由
0y =围成。
①求边缘密度()X f x ；②求|(|)X Y f x y
【解析】：①平面区域G 如右图所示。由于()
,X Y 在G 上服从均匀分布，
不难得到(),X Y 的联合概率密度为
1,(,)(,)0,(,)x y G
f x y x y G ∈?=?
??
则020,01
,01()(,),122,120,0,x x X dy x x x f x f x y dy dy x x x +∞
--∞
?<≤?<≤???
==<<=-<
??
?其它
其它
②2,0222,02()(,)0,0,y y Y dy y y y f x f x y dx -+∞
-∞
?<<-<
===???????
其它其它
故当02y <<时，|1
,2(,)(,)22(|)()220,X Y Y y x y f x y f x y y
f x y f y y ?<<-?
-===?-?
?其它
。 2010年
1.设随机变量的分布函数00
1()01211
x x F x x e
x -
=≤
?-≥??，则{}1P X ==(C) （A ）0 （B ）
12
（C ）11
2e -- （D ）11e --
2.设1()f x 为标准正态分布的概率密度，2()f x 为[]1,3-上的均匀分布的概率密度，若
12()0
()(0,0)()0
af x x f x a b bf x x ≤?=>>?>?为概率密度，则,a b 应满足(A)
（A ）234a b += （B ）324a b += （C ）1a b += （D ）2a b +=
3.设1x ，2x ，n x 为来自整体2
(,)(0)N μσσ>的简单随机样本，记统计量2
1
1n i i T X n ==∑，则
ET =_22μσ+_____.
4. 设二维随机变量()X Y ，的概率密度为2
2
22()x xy y f x y Ae -+-=，，x -∞<<+∞,y -∞<<+∞,求常数A
及条件概率密度()
Y X f y x
.
,1
1
11
)(),()(),(.1
,)(1,
,),()(2
2
2
22
22
2
2
2
2
22
2)(222)()(22+∞<<-∞=
=
=
=+∞-∞∈=
===+∞<<-∞=====---+---+-∞
+∞
--∞
+∞
--∞
+∞
----+∞
∞
----+∞
∞
--+-+∞
∞
-??
?
???y e e e
e
x f y x f x y f x A A dx e
A dx x f x e A dy e
Ae
dy
e
A dy e
A dy y x f x f y x y xy x
x y xy x X X Y x X x x y x x x y y xy x X π
π
π
π
π
πππ时，当从而所以解：因
5.箱内有6个球，其中红，白，黑球的个数分别为1，2，3，现在从箱中随机的取出2个球，设X 为取出的红球个数，Y 为取出的白球个数，
（Ⅰ）求随机变量()X Y ，的概率分布 （Ⅱ）求()Cov X Y ，
.
45
4
3231152)(),(.
15
2
)(.3215121581520,
15
1
}2{,158}1{,52}0{31
311320,31}1{,32}0{-=?-=?-===?+?+?========?+?=====EY EX XY E Y X Cov XY E EY Y P Y P Y P EX X P X P 所以又所以，因为。
所以因为
2009年
1.设事件A 与事件B 互不相容，则 (A)()0P AB =.
(B)()()()P AB P A P B =. (C)()1()P A P B =-.
(D)()1P A B ?=.
因为,A B 互不相容，所以()0P AB =
(A)()()1()P AB P A B P A B ==-，因为()P A B 不一定等于1，所以(A)不正确. (B)当(),()P A P B 不为0时，(B)不成立，故排除. (C)只有当,A B 互为对立事件的时候才成立，故排除. (D)()()1()1P A B P AB P AB ==-=，故(D)正确.
2.设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为
1
{0}{1}2
P Y P Y ====
，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为 (A) 0. (B)1. (C)2. (D)3.
()()(0)(0)(1)(1)Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y =≤=≤==+≤==
1
[(0)(1)]2
1
[(00)(1)]2
P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=+≤==?≤=+≤=
,X Y 独立
1
()[(0)()]2
Z F z P x z P x z ∴=?≤+≤
（1）若0z <，则1
()()2Z F z z =Φ
（2）当0z ≥，则1
()(1())2
Z F z z =+Φ
0z ∴=为间断点，故选(B).
3. 设1X ，2X ,…,m X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2
S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2T X S =-，则ET = . 由222()(1)ET E X S E X ES np np p np =-=-=--=.
4.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为
0(,)0
x
e y x
f x y -?<<=?
?其他
（Ⅰ）求条件概率密度()Y X f y x ； （Ⅱ）求条件概率{}11P X Y ≤≤.
（Ⅰ）由0(,)0x y x
e f x y -<
0()0x
x x x f x e dy xe x --== >?
故 |(,)1
(|)0()y x x f x y f y x y x f x x
=
= << 即 |1
(|)0y x y x
f y x x ? 0<
（Ⅱ）[1,1]
[1|1][1]
P X Y P X Y P Y ≤≤≤≤=
≤
而1
1
10
11
[1,1](,)12x
x x x y P X Y f x y dxdy dx e dy xe dx e ---≤≤≤≤====-?????
()|
,0x x y Y y
f y e dx e e y y
+∞
---+∞==-= >?
11101
[1]|110
y y P Y e dy e e e ----∴ ≤==-=-+=-?
11122
[1|1]11
e e P X Y e e ----∴ ≤≤==--.
5.袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X 、Y 、
Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.
（Ⅰ）求{}10P X Z ==；
（Ⅱ）求二维随机变量(,)X Y 的概率分布.
（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回
摸两次，其中摸了一个红球
12113324
(10)9
C P X Z C C ?∴====?.
（Ⅱ）X ，Y 取值范围为0，1，2，故
()()()()()()()()()1111332311116666111
2231111
6666112211661122116611
0,0,1,046111
2,0,0,13631
1,1,2,10
91
0,29
1,20,2,20
C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ??========
????========???=======??====
?======
2008年
1.随机变量,X Y 独立同分布，且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（ ） （A ）()2F x .
（B ）()()F x F y .
（C ）()2
11F x --????.
（D ）()()11F x F y --????????.
()(){}{}max ,F Z P Z z P X Y z =≤=≤()()()()()2P X z P Y z F z F z F z =≤≤== 2.随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（ ）
（A ）{}211P Y X =--=.
（B ）{}211P Y X =-=.
（C ）{}211P Y X =-+=. （D ）{}211P Y X =+=.
选D. 用排除法
设Y aX b =+，由1XY ρ=，知道,X Y 正相关，得0a >，排除（A ）（C ） 由~(0,1),~(1,4)X N Y N ，得
0,1,()()EX EY E Y E aX b aEX b ===+=+ 10, 1a b b =?+=
排除（C ）
故选择（D ）
3.设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == . 因为 22()DX EX EX =-，所以 22EX =，X 服从参数为1的泊松分布，
所以 {}11
22
P X e -==
4.设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为{}()1
1,0,13
P X i i ==
=-，Y 的概率密度为()101
0Y y f y ≤≤?=?
?其它
，记Z X Y =+ （Ⅰ）求102P Z X ??
≤=????；（Ⅱ）求Z 的概率密度()Z f z ．
1.
011
()110(1)33z F z dy z ??=++=+?
????
1
201111(0)(0)()12222
P z X P X Y X P Y dy ≤==+≤==≤==?
2. 当2z ≥时，()1F z = 当1z <-时，()0F z =
当12z -≤<时，()()()F z P Z z P X Y z =≤=+≤
(1)(1)(0)(0)(1)(
P X Y z X P X P X Y z X P X P X Y z X P =+≤=-?=-++≤=?=++≤=? []1
(1)()(1)3P Y z P Y z P Y z =
≤++≤+≤- 当10z -≤<时，1011
()1(1)33
z F z dy z +==+?
当01z ≤<时，011
()110(1)33z F z dy z ??=++=+?
????
当12z ≤<时，1011
()111(1)33z F z dy z -??=++=+?
????
所以 0 1
1
()(1) 1231 z 2z F z z z <-???=+-≤
，则1,12
()30,z f z ?-≤
5.设12,,
,n X X X 是总体为2
(,)N μσ的简单随机样本.记11n i i X X n ==∑，2
21
1()1n i i S X X n ==--∑，221
T X S n
=-.（Ⅰ）证明T 是2μ的无偏估计量.（Ⅱ）当0,1μσ==时，求DT .
(1)221()()E T E X S n =-221()E X E S n =-221
E X n
σ=-
因为：2
(,)X N μσ, 2
(,
)X
N n σμ,而 22()EX DX EX =+221
n
σμ=+ 222211
()E T n n
σμσμ=+-=,所以 T 是2μ的无偏估计
(2) 2
2
()()D T ET ET =-,()0E T =, 4
4
22
222()S ET E X X S n n
=-?+
因为 1
(0,)X
N
n
(0,1)1X N
令1X X =
(
)22
42
4
22233x x E X dx dx EX +∞+∞---∞-∞====??
所以 4
2
3E X n =
222222()E X S E X ES n n ?=?22
(())DX E X n
=+ 21(0)n n
=+22n =
44221
()S E ES n n
= 42222()1ES DS ES DS =+=+
因为 2
22
(1)(1)n S W n χσ
-=
- 且21σ=
22(1)2(1)DW n DS n =-=-
22(1)DS n =
-,421
1(1)1
n ES n n +=+=--
所以 22
2232111
n ET n n n n +=
-+?-
2007年
1. 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（）
（A ）23(1)p p - (B) 26(1)p p - (C) 223(1)p p - (D) 226(1)p p - p ＝｛前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标｝
1
2223
(1)3(1)C p p p p p =-=-， 故选（C ）.
2. 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()x y f x f y 分别表示X, Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y f x y 为（）
（A ）()X f x (B) ()Y f y (C)()()X Y f x f y (D)
()
()X Y f x f y
因为(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，所以X 与Y 独立，所以(,)()()X Y f x y f x f y =.
故|()()
(,)(|)()()()
X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y ===，应选（A ）.
3.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为
2,01,0 1.
(,)0,x y x y f x y --<<<
（Ⅰ）求{}2P X Y >；
（Ⅱ）求Z X Y =+的概率密度()Z f z 。 （I ）{}()()1
200
2722d d d 2d 24
x x y
P X Y x y x y x x y y >>=
--=--=
????. (II) 利用卷积公式可得 ()(,)d Z f z f x z x x +∞
-∞
=-?
20121(2)d ,01201(2)d ,12(2)120,0,z z x x z z z z x x z z z -?-<
=-<<=-≤
??其他其他.
4.设总体X 的概率密度为
1
0,21(;),1,2(1)0x f x x θθθθθ?<
，，其他. 其中参数(01)θθ<<未知，12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值。
（Ⅰ）求参数θ的矩估计量θ；
（Ⅱ）判断2
4X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由。 I ）()
10
1()d d d 22124x x EX xf x x x x θ
θθθθ+∞
-∞
==+=+-?
?
?，
令11
22
42
X X θ
θ=
+
?=-. （II ）()()()()22221
4444E X E X DX EX DX EX n ????==+=+??????
，
而()
22212
2
1
()d d d 221336x x EX x f x x x x θ
θθθθθ+∞
-∞
==+=++-?
?
?，
所以 ()2
2
2
5
1212
48
DX EX EX θθ
=-=-
+
， 所以
()()2222
11115441133412E X DX EX n n n n θθθ????????=+=++-++≠ ? ? ???????????
，
故24X 不是2θ的无偏估计量.
2006年
1.设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=_______.
【详解】 由题设知，X Y 与具有相同的概率密度
1
,3
()30,x f x ?≤≤?=??? 0 其他
.
则 {}{}{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤
{}()
2
12
011
1d 39
P X x ??=≤== ????.
2. 设总体X 的概率密度为()()121,,,,2
x
n f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其样
本方差为2S ，则2____.ES =
()d e d 02
x
x EX xf x x x +∞+∞
--∞
-∞
===?
?， 22
2
220
00
()d e d e d e 2e d 2
x
x x
x x EX x f x x x x x x x x +∞
+∞+∞+∞
---+∞--∞
-∞
====-+?
?
??
2e 2e d 2e 2x
x x
x x +∞
-+∞--+∞=-+=-=?，
所以 ()2
2202DX EX EX =-=-=，又因2S 是DX 的无偏估计量， 所以 22ES DX ==.
3.设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，随机变量Y 服从正态分布2
22
(,)N μσ，且 {}{}1211P X P Y μμ-<>-<
则必有（）
(A) 12σσ< (B) 12σσ> (C) 12μμ< (D) 12μμ> 由题设可得
12112
211X Y P P μμσσσσ?-??-?
<>
则 12112121σσ????
Φ->Φ- ? ?????，即1211σσ????Φ>Φ ? ?????.
其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数，则
12
11
σσ>，即12σσ<.
故选(A).
4.设随机变量X 的概率密度为
()1
,1021
,024
0,X x f x x ?-<
其他，
令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数。
（Ⅰ）求Y 的概率密度()Y f y ； （Ⅱ）Cov(,)X Y ；
（Ⅲ）（I ） 设Y 的分布函数为()Y F y ，即2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤，则 1) 当0y <时，()0Y F y =；
2) 当01y ≤<时，
(2()()Y F y P X y P X =<=<<
00d 4x x =+=?
3) 当14y ≤<
时，(2()()1Y F y P X y P X =<=-<<
1011d d 242x x -=+=?
. 4) 当4y ≥，()1Y F y =. 所以
1
()()4
0,
Y Y
y
f y F y y
<<
?
'
==≤<
?
?
其他
.
（II）22232
Cov(,)Cov(,)()()
X Y X X E X EX X EX EX EXEX
==--=-，
而02
10
1
d d
244
x x
EX x x
-
=+=
??，22
02
2
10
5
d d
246
x x
EX x x
-
=+=
??，
33
02
3
10
7
d d
248
x x
EX x x
-
=+=
??，
所以
7152
Cov(,)
8463
X Y=-?=.
(Ⅲ)
1
,4
2
F
??
-
?
??
2
11
,4,4
22
P X Y P X X
????
=≤-≤=≤-≤
? ?
????
11
,222
22
P X X P X
????
=≤--≤≤=-≤≤-
? ?
????
1
2
1
11
d
24
x
-
-
==
?.
1
,4
2
F
??
-
?
??
。
5.设总体X的概率密度为
()
,01,
;1,12,
0,
x
f x x
θ
θθ
<<
?
?
=-≤<
?
?
?其他,
其中θ是未知参数()
01
θ
<<，
12n
,...,
X X X为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值
12
,...,
n
x x x中小于1的个数。
（Ⅰ）求θ的矩估计；（Ⅱ）求θ的最大似然估计。
详解】（Ⅰ）因为()
12
01
3
(;)d d1d
2
EX xf x x x x x x
θθθθ
+∞
-∞
==+-=-
???，
令
3
2
X
θ
-=，可得θ的矩估计为
3
2
X
θ=-.
（Ⅱ）记似然函数为()L θ，则
()()()()()111(1)N n N N n N L θθθθθθθθθ--=??
?-?-?
?-=-个
个
.
两边取对数得
ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--， 令
d ln ()0d 1L N n N θθθθ
-=-=-，解得N
n θ=为θ的最大似然估计.
2005年
1.从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y, 则
}2{=Y P =
【详解】 }2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P +}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P
=.48
13
)4131210(41=+++?
2.设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为
X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1
已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a= , b= .
详解】 由题设，知 a+b=0.5
又事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，于是有 }1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P ， 即 a=))(4.0(b a a ++, 由此可解得 a=0.4, b=0.1
3. 设一批零件的长度服从正态分布),(2σμN ，其中2,σμ均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值)(20cm x =，样本标准差)(1cm s =，则μ的置信度为0.90的置信区间是
(A) )).16(4120),16(4120(05.005.0t t +- (B) )).16(41
20),16(4120(1.01.0t t +-
(C))).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-(D))).15(4
1
20),15(4120(1.01.0t t +- [ ]
【详解】 由正态总体抽样分布的性质知，
)1(~--n t n
s x μ
， 故μ的置信度为0.90的置信区间是))1(1
),1(1(2
2
-+
--
n t n x n t n
x αα，即)).15(41
20),15(4120(05.005.0t t +-故应选(C).
4.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
.,
20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<
求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ； （II ） Y X Z -=2的概率密度).(z f Z ( III ) }.2
1
21{≤≤
X Y P 【详解】 （I ） 关于X 的边缘概率密度
)(x f X =?
+∞∞
-dy y x f ),(=.,
10,
0,20其他<
=.,
10,0,2其他<
关于Y 的边缘概率密度
)(y f Y =?+∞∞-dx y x f ),(=.,
20,
0,1
2其他<
=.,
20,0,21其他<
（II ） 令}2{}{)(z Y X P z Z P z F Z ≤-=≤=， 1） 当0 2） 当20<≤z 时，}2{)(z Y X P z F Z ≤-= =2 4 1z z - ; 3) 当2≥z 时，.1}2{)(=≤-=z Y X P z F Z 概率论与数理统计习题及答案 习题一 1.见教材习题参考答案. 2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C （1）A发生，B，C都不发生； （2）A与B发生，C （3）A，B，C都发生； （4）A，B，C （5）A，B，C都不发生； （6）A，B，C （7）A，B，C至多有2个发生； （8）A，B，C至少有2个发生. 【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC （4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC (5) ABC=A B C(6) ABC (7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC 3.. 4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）. 【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7, （1）在什么条件下P（AB （2）在什么条件下P（AB） 【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6. （2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3. 6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率. 【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) = 14+14+13-112=34 7. 52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？ 【解】 p =5332 131313131352C C C C /C 8. （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）= 517=（17 ）5 （亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故 P （A 2）=5567 =(67)5 (3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日} P （A 3）=1-P (A 1)=1-( 17 )5 9..见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n 《概率论与数理统计》实验报告 学生姓名李樟取 学生班级计算机122 学生学号201205070621 指导教师吴志松 学年学期2013-2014学年第1学期 实验报告一 成绩 日期 年 月 日 实验名称 单个正态总体参数的区间估计 实验性质 综合性 实验目的及要求 1．了解【活动表】的编制方法； 2．掌握【单个正态总体均值Z 估计活动表】的使用方法； 3．掌握【单个正态总体均值t 估计活动表】的使用方法； 4．掌握【单个正态总体方差卡方估计活动表】的使用方法； 5．掌握单个正态总体参数的区间估计方法． 实验原理 利用【Excel 】中提供的统计函数【NORMISINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值Z 估计活动表】，在【单个正态总体均值Z 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【总体标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 1设总体2~(,)X N μσ，其中2σ已知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为 样本的观测值 于是得到μ的置信水平为1-α 的置信区间为 利用【Excel 】中提供的统计函数【TINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值t 估计活动表】，在【单个正态总体均值t 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【样本标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 2.设总体2~(,)X N μσ，其中2 σ未知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为样本的观测值 整理得 /2/21X z X z n n P αασαμσ? ?=-??? ?-<<+/2||1/X U z P n ασμα????==-??????- 第1章随机事件及其概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的 概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P 概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020 一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为 考研真题一 ( ). ,4,"",,,.,41.)4()3()2()1(0E T T T T E t ≤≤≤等于则事件个温控器显示的按递增顺序为设电炉断电事件以电炉就断电只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度在使用过程其显示温度的误差是随机的个温控器在电炉上安装了中排列的温度值表示}. {(D)}; {(C)};{(B)};{(A)0)4(0)3(0)2(0)1(t T t T t T t T ≥≥≥≥数三、四考研题 00. (D); (C);(B);(A)( ). ,,,,,2.独立与独立与独立与独立与相互独立的充分必要条件是则三个事件两两独立设C A B A AC AB C A AB BC A C B A C B A 数四考研题00( ).,3.=B B A B A 不等价的是与和对于任意二事件 数四考研题 01. (D); (C); (B); (A)?=?=??B A B A A B B A . ) |()|(1,0,,独立的充分必要条件与是事件证明 和的概率不等于其中是任意二事件设B A A B P A B P A B A =4.数四考研题 02;,,;,,( ). }, {},{}, {}, {: ,5.4323214321相互独立相互独立则事件正面出现两次正、反面各出现一次掷第二次出现正面掷第一次出现正面引进事件将一枚硬币独立地掷两次A A A A A A A A A A ====数三考研题 03(B)(A). ,,;,,432321两两独立两两独立A A A A A A . ,,; ,,;,,;,,( ).6.一定不独立则若一定独立则若有可能独立则若一定独立则若和对于任意两个事件B A AB B A AB B A AB B A AB B A ?=?=?≠?≠数四考研题03(D)(C)(D)(C)(B)(A)7.从数1,中任取一个数, 记为X , 再从X ,,1 中任取一个数, 为Y , 则. __________}2{==Y P 2,3,4三、四考研题 05记1. . 概率论与数理统计 实验报告 概率论部分实验二 《正态分布综合实验》 实验名称：正态分布综合实验 实验目的：通过本次实验，了解Matlab在概率与数理统计领域的应用，学会用matlab做概率密度曲线，概率分布曲线，直方图，累计百分比曲线等简单应用；同时加深对正态分布的认识，以更好得应用之。 实验内容： 实验分析： 本次实验主要需要运用一些matlab函数，如正态分布随机数发生器normrnd函数、绘制直方图函数hist函数、正态分布密度函数图形绘制函数normpdf函数、正态分布分步函数图形绘制函数normcdf等；同时，考虑到本次实验重复性明显，如，分别生成100,1000,10000个服从正态分布的随机数，进行相同的实验操作，故通过数组和循环可以简化整个实验的操作流程，因此，本次实验程序中要设置数组和循环变量。 实验过程： 1.直方图与累计百分比曲线 1）实验程序 m=[100,1000,10000]; 产生随机数的个数 n=[2,1,0.5]; 组距 for j=1:3 for k=1:3 x=normrnd(6,1,m(j),1); 生成期望为6，方差为1的m(j)个 正态分布随机数 a=min(x); a为生成随机数的最小值 b=max(x); b为生成随机数的最大值 c=(b-a)/n(k); c为按n(k)组距应该分成的组数 subplot(1,2,1); 图形窗口分两份 hist(x,c);xlabel('频数分布图'); 在第一份里绘制频数直方图 yy=hist(x,c)/1000; yy为各个分组的频率 s=[]; s(1)=yy(1); for i=2:length(yy) s(i)=s(i-1)+yy(i); end s[]数组存储累计百分比 x=linspace(a,b,c); subplot(1,2,2); 在第二个图形位置绘制累计百分 比曲线 plot(x,s,x,s);xlabel('累积百分比曲线'); grid on; 加网格 figure; 另行开辟图形窗口，为下一个循 环做准备 end end 2）实验结论及过程截图 实验结果以图像形式展示，以下分别为产生100,1000,10000个正态分布随机数，组距分别为2,1,0.5的频数分布直方图和累积百分比曲线，从实验结果看来，随着产生随机数的数目增多，组距减小，累计直方图逐渐逼近正态分布密度函数图像，累计百分比逐渐逼近正态分布分布函数图像。 概率论与数理统计必考大题解题索引 编制：王健 审核： 题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有： 贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地： 当n 2时，有： 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求： （1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件 表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工 厂生产的”（i =123，，）。 则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得 （1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?= 第二章随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数 一、随机变量 随机试验的结果是事件，就“事件”这一概念而言，它是定性的。要定量地研究随机现象，事件的数量化是一个基本前提。很自然的想法是，既然试验的所有可能的结果是知道的，我们就可以对每一个结果赋予一个相应的值，在结果(本事件)数值之间建立起一定的对应关系，从而对一个随机试验进行定量的描述。 例2-1 将一枚硬币掷一次，观察出现正面H、反面T的情况。这一试验有两个结果：“出现H”或“出现T”。为了便于研究，我们将每一个结果用一个实数来代表。比如，用数“1”代表“出现H”，用数“0”代表“出现T”。这样，当我们讨论试验结果时，就可以简单地说成结果是1或0。建立这种数量化的关系，实际上就相当于引入一个变量X，对于试验的两个结果，将X的值分别规定为1或0。如果与样本空间 { } {H,T}联系起来，那么，对于样本空间的不同元素，变量X可以取不同的值。因此，X是定义在样本空间上的函数，具体地说是 1,当 H X X( ) 0,当 T 由于试验结果的出现是随机的，因而X(ω)的取值也是随机的，为此我们称 X( )X(ω)为随机变量。 例2-2 在一批灯泡中任意取一只，测试它的寿命。这一试验的结果（寿命）本身就是用数值描述的。我们以X记灯泡的寿命，它的取值由试验的结果所确定，随着试验结果的不同而取不同的值，X是定义在样本空间 {t|t 0}上的函数 X X(t) t,t 因此X也是一个随机变量。一般地有 定义2-1 设 为一个随机试验的样本空间，如果对于 中的每一个元素 ，都有一个实数X( )与之相对应，则称X为随机变量。 一旦定义了随机变量X后，就可以用它来描述事件。通常，对于任意实数集合L,X在 L上的取值，记为{X L}，它表示事件{ |X( ) L}，即 。 {X L} { |X( ) L} 例2-3 将一枚硬币掷三次，观察出现正、反面的情况。设X为“正面出现”的次数，则X是一个随机变量。显然，X的取值为0，1，2，3。X的取值与样本点之间的对应关系如表2-1所示。 表2-1 表2-1 概率论与数理统计实验报告 一、实验目的 1.学会用matlab求密度函数与分布函数 2.熟悉matlab中用于描述性统计的基本操作与命令 3.学会matlab进行参数估计与假设检验的基本命令与操作 二、实验步骤与结果 概率论部分： 实验名称：各种分布的密度函数与分布函数 实验内容： 1.选择三种常见随机变量的分布，计算它们的方差与期望<参数自己设 定）。 2.向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5,。记正面向上的次数 为x， （1）计算x=45和x<45的概率， （2）给出随机数x的概率累积分布图像和概率密度图像。 3.比较t(10>分布和标准正态分布的图像<要求写出程序并作图）。 程序： 1.计算三种随机变量分布的方差与期望 [m0,v0]=binostat(10,0.3> %二项分布，取n=10,p=0.3 [m1,v1]=poisstat(5> %泊松分布，取lambda=5 [m2,v2]=normstat(1,0.12> %正态分布，取u=1,sigma=0.12 计算结果： m0 =3 v0 =2.1000 m1 =5 v1 =5 m2 =1 v2 =0.0144 2.计算x=45和x<45的概率，并绘图 Px=binopdf(45,100,0.5> %x=45的概率 Fx=binocdf(45,100,0.5> %x<45的概率 x=1:100。 p1=binopdf(x,100,0.5>。 p2=binocdf(x,100,0.5>。 subplot(2,1,1> plot(x,p1> title('概率密度图像'> subplot(2,1,2> plot(x,p2> title('概率累积分布图像'> 结果： Px =0.0485 Fx =0.1841 3.t(10>分布与标准正态分布的图像 subplot(2,1,1> ezplot('1/sqrt(2*pi>*exp(-1/2*x^2>',[-6,6]> title('标准正态分布概率密度曲线图'> subplot(2,1,2> ezplot('gamma((10+1>/2>/(sqrt(10*pi>*gamma(10/2>>*(1+x^2/10>^(-(10+1>/2>',[-6,6]>。b5E2RGbCAP title('t(10>分布概率密度曲线图'> 结果： 第3章 数字特征 1． （1987年、数学一、填空） 设随机变量X 的概率密度函数,1 )(1 22 -+-= x x e x f π 则 E(X)=( ),)(X D =( ). [答案 填：1； 2 1.] 由X 的概率密度函数可见X ～N(1, 21 ),则E(X)=1，)(X D =2 1. 2． （1990年、数学一、填空） 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2, 则E(X)=( ). [答案 填：4] 3． （1990年、数学一、计算） 设二维随机变量(X,Y)在区域D:0 4． （1991年、数学一、填空） 设X ～N(2，2 σ）且P{2 《概率论与数理统计》课程自学指导书 前言 . . 《概率论与数理统计》是城市规划专业和地理信息系统专业的专业必修课。《概率统计》教材系统阐述了概率论和数理统计的基本内容、理论和应用方法。概率统计是研究随机现象客观规律的数学学科，它的应用非常广泛，并具有独特的思维和方法。通过概率论的学习能使学生了解概率与数理统计的基本概念和基本理论，初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。通过本课程的学习，能够为学生学习后继课程及进一步提高打下必要的数学基础。其内容可分为三大部分。第一部分概率论部分，包括第一、二、三、四、五章。作为基础知识，为读者提供了必要的理论基础。第二部分数理统计部分，包括第六、七、八、九章，主要讲述参数估计和假设检验，并介绍了方差分析和回归分析。第三部分随机过程部分，主要讨论了平稳随机过程，还介绍了马尔可夫过程。 本指导书是作为函授学员在集中授课后，指导自学而编制的。内容较为简明扼要。主要是为了让学员能够抓住要领，掌握重点，理解难点，从而达到能够融会贯通、灵活掌握概率统计的基本概念、基本理论从而解决实际问题的目的。 本指导书的主要参考书目： 1． 景泰等编。概率论与数理统计.上海科学技术文献出版社,1991. 2． 玉麟主编。概率论与数理统计.复旦大学出版社，1995。 3．大茵，陈永华编。概率论与数理统计。浙江大学出版 社.1996 本课程的考核内容以教学大纲为依据，注重基本概念、基本理论的掌握和应用的考核。主要考核方式为笔试。 第一章概率论的基本概念 一、内容概述 # 本章介绍了概率论的基本概念：随机试验、样本空间、随机事件、频率与概率，讨论研究等可能概型问题、条件概率及独立性问题。 二、教学目的要求 # （1） 理解并掌握概率论的基本概念。 概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】概率论与数理统计习题及答案
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