乘除法的关系和运算律

乘除法的关系和运算律

一、加法运算律只有：交换律和结合律。没有分配律

1、交换律：两个加数相加,交换加数的位置,和不变,这叫做加法交换律

例：a+b=b+a .

扩展：A+B+C=A+C+B=C+B+A

2、结合律：三个数相加,先把前两个数相加,再和第三个数

相加,或者先把后两个数相加,在和第一个数相加,和不变,这叫做加法结合律.。

(A+B)+C=A+（B+C）

二、乘法运算律：交换律、结合律和分配律。乘法才有分配律

乘法交换律是两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变。

a×b=b×a

三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘,再和另外一个数相乘，积不变。

如 a×b×c=a×(b×c) a×c+b×c=（a+b）×c

两个数的和同一个数相乘,等于把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积加起来,和不变。

字母表达是：a×(b+c) =a×b+a×c

扩展：变式一

a×(b-c) =a×b-a×c

变式二

a×b+a=a×(b+1)

乘法分配律的拓展：

两个数的差与一个数相乘，可以用这个数分别去乘相减的两个数，再把积相

减。用字母表示为：

(a-b)·c=a·c-b·c a·c-b·c=(a-b)·c

三、乘除法各部分之间的关系：

（1）乘法各部分之间的关系：

因数×因数=积一个因数=积÷另一个因数

（2）除法各部分之间的关系：

没有余数的除法：

有余数的除法：

被除数=商×除数被除数=商×除数+ 余数

除数=被除数÷商除数=（被除数-余数）÷商

商= 被除数÷除数商= （被除数-余数）÷除数

（3）乘、除法之间的关系：

除法是乘法的逆运算

注意：0不能作除数。

(4)整除：a÷b(b≠0)＝c 则a能被b整除，b能整除a。

(5)0乘任何数等于0，0除c 任数（不等于0）等于0

四、减法简便运算：

1、一个数连续减去两个数，可以用这个数减去这两个数的和。

用字母表示：a－b－c＝a－(b＋c)

2、一个数连续减去两个数，可以用这个数先减去后一个数再减去前一个数。

用字母表示：a－b－c＝a—c－b

五、除法简便运算：

1、一个数连续除以两个数，可以用这个数除以这两个数的积。

用字母表示：a÷b÷c＝a÷(b×c)

2、一个数连续除以两个数，可以用这个数先除以后一个数再除以前一个数。

用字母表示：a÷b÷c＝a÷c÷b

六、积的变化规律

①一个因数缩小（扩大）几倍，另一个因数扩大（缩小）相同的倍数，积不变。

②一个因数缩小(或扩大几倍)，另一个因数不变，积也随着

缩小(或扩大)几倍。

③一个因数扩大m倍，另一个因数扩大n，积扩大m×n倍；

一个因数缩小m倍，另一个因数缩小n，积缩小m×n 倍；

一个因数扩大（缩小）m倍，另一个因数缩小（扩大）n倍，积扩大或缩小m÷n倍。

七、解决问题：

1、相遇问题

相遇路程＝速度和×相遇时间

相遇时间＝相遇路程÷速度和

速度和＝相遇路程÷相遇时间

追及问题

追及距离＝速度差×追及时间

追及时间＝追及距离÷速度差

速度差＝追及距离÷追及时间

2、工程问题

工作效率×工作时间＝工作总量

工作总量÷工作效率＝工作时间

工作总量÷工作时间＝工作效率

3、最多、最少问题

人数最少多买贵的，人数最少多买便宜的。

4、购物、旅游合算问题

先计算后比较。

附：

一、常见乘法计算：

25×4＝100 125×8＝1000

二、加法交换律简算例子：三、加法结合律简算例子：

50+98+50

488+40+60

＝

50+50+98

＝488+（40+60）

＝

100+98

＝488+100

＝

198

＝588

四、乘法交换律简算例子：五、乘法结合律简算例子：

25×56×4

99×125×8＝

25×4×56

＝99×（125×8）

＝

100×56

＝99×1000

＝

5600

＝99000

六、含有加法交换律与结合律的简便计算：

65+28+35+72

＝（65+35）+（28+72）

＝100+100

＝200

七、含有乘法交换律与结合律的简便计算：

25×125×4×8

＝（25×4）×（125×8）

＝100×1000

＝100000

八、乘法分配律简算例子：

一、分解式

二、合并式

25×

（40+4）

135×12—135×2

＝

25×40+25×4

＝135×（12—2）

＝

1000+100

＝135×10

＝

1100

＝1350

三、特殊1

四、特殊2

99×256+256

45×102

＝

99×256+256×1