简谐运动 振幅 周期和频率 相位(大学物理)

9
v A sin(t ) π A cos(t ) 2 2 a A cos( t )
A cos( t π)
2
x A cos(t ) 2π T 取 0
A A
x
x t图
T
o
t
t
A
v
v t 图
7
k 令 m
解方程
d x 2 x 2 dt 设初始条件为:
2
简谐运动的微分方程
t 0 时，x x0 ，v=v0
解得 x A cos(t )
简谐运动方程
积分常数，根据初始条件确定
8
由 x A cos(t ) 简谐运动方程 dx 得 v A sin(t ) dt d2 x 2 a 2 A cos(t ) dt v0 2 2 A x0 ( ) 其中 arctan( v0 ) x0
o
x
x t 图
T
T 2
A
o
A
t
18
旋转矢量
自Ox轴的原点 O作一矢量 A，使 它的模等于振动的 振幅A ，并使矢量A 在 Oxy平面内绕点 O作逆时针方向的 匀角速转动，其角 速度 与振动频率 相等，这个矢量就 叫做旋转矢量.
19
x A cos(t )
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
15
四 相位 t
x A cos(t )
相位 (位相) (t) t
初相位 t 0时，(t ) 相位的意义: 表征任意时刻（t）物体振 动状态（相貌）. 物体经一周期的振动， 相位改变 2π .
16
五 常数 A 和 的确定 x A cos( t )
（1）对同一简谐运动，相位差可以给出 两运动状态间变化所需的时间．
x1 Acoswenku.baidu.com t1 )
(t2 ) (t1 )
t t 2 t1
x2 Acos( t2 )

25
x
A A2
a
b
t
o
A
v
A
x o A ta A
（3）总能量；
（4）物体在何处其动能和势能相等？
40
已知 m 0.10 kg，A 1.0 10 m， 2 amax 4.0 m s 求:(1)T ；(2) Ek,max
2
amax 1 20 s 解（1）amax A A 2π T 0.314 s
2

（2）Ek ,max
2
（4）Ek Ep 时
Ep 1.0 10 3 J
由
x
2
1 2 1 Ep kx m 2 x 2 2 2
2 Ep m
2
0.5 10 4 m2
x 0.707 cm
42
2 1
27
2 1
0 同步
π 反相 为其它
超前
落后
x
x
x
o
t
o
t
o
t
28
例 一质量为0.01 kg的物体作简谐运动， 其振幅为0.08 m，周期为4 s，起始时刻物体在 x=0.04 m处，向ox轴负方向运动（如图）.试求 （1）t=1.0 s时，物体所处的位置和所 受的力；
T
o
A
A 2
a
a t图
o
A
2
t
T
10
简谐运动方程
2π x A cos( t ) A cos( t ) T
x
二 振幅
A xmax
x t 图
T
T 2
A
o
A
t
11
三 周期、频率 x A cos(t ) A cos[ (t T ) ]
周期 T
2π

A
x
注意
弹簧振子周期
x t 图
T
T 2
o
A
t
m T 2π k
12
x A cos(t ) A cos[ (t T ) ] 1 频率 T 2π x
圆频率
x t 图
T 2
A
2π 2 π T
o
A
T
t
周期和频率仅与振动系统本身的 物理性质有关
k m
2
m
O x X
35
1 2 1 2 （2） 势能 Ep kx kA cos2 (t ) 2 2 1 1 2 2 2 （3） 机械能 E Ek Ep m A kA 2 2
线性回 复力是保守 力，作简谐 运动的系统 机械能守恒.
m
O x X
36
x, v
简谐运动势能曲线
E
Ek
Ep
A
O
B
x
A
x
38
能量守恒 简谐运动方程 1 2 1 2 E mv kx 常量 2 2 d 1 2 1 2 ( mv kx ) 0 dt 2 2 dv dx mv kx 0 dt dt 2 d x k x0 2 dt m
39
推导
例 质量为0.10 kg 的物体，以振幅1.0 10 2 m 作简谐运动，其最大加速度为 4.0 m s 2 ，求： （1）振动的周期； （2）通过平衡位置的动能；
一 简谐运动
1 机械振动 物体或物体的某一部分在一定位置 a 定义： 附近来回往复的运动 平衡位置 b 实例: 心脏的跳动， 钟摆，乐器， 地震等 c 周期和非周期振动
1
口琴的发音机理
？
1 2 3
4 5 6
7
7 6 5 4 3 2 1
？
2
提琴弦线的振动

弓

琴码
5 26 3

3
2 简谐振动 简谐运动 简谐运动 最简单、最基本的振动 合成 复杂振动
v
0.08 0.04
x/m
o
0.04
0.08
29
已知 m 0.01 kg, A 0.08 m, T 4 s
t t 0, x 0.04 m, v0 0 求（1） 1.0 s, x, F 2 π π 1 解 A 0.08 m s T 2 t 0，x 0.04 m π 代入 x A cos( t ) 3 π v0 0 A 3 π x/m 3
v A sin(t )
初始条件 t 0 x x0 v v0
A x0
2

v0
2 2
v0 tan x0
对给定振动 系统，周期由系 统本身性质决定， 振幅和初相由初 始条件决定.
17
讨论
已知t 0, x 0, v0 0 求
v
x
π 0 A cos 2 v0 A sin 0 π sin 0 取 2 π x A cos(t ) 2
v
0.08 0.04
x/m
o
0.04
0.08
33
法二
t
时刻

t
π3 π3
起始时刻
x/m
0.08
0.08 0.04
o
0.04
π π 2 1 rad s t 0.667 s t 3 2 3
34
（1） 动能 (以弹簧振子为例) 1 2 1 2 Ek mv m A sin(t ) 2 2 1 2 2 2 m A sin (t ) 2
y
t
O
vm
an
π t 2
vm A
A
v Asin(t )
x A cos(t )
a
v

x
an A
2
a A 2 cos( t )
23
用旋转矢量图画简谐运动的x t图
24
讨论

相位差：表示两个相位之差
13
例如，心脏的跳动80次/分 1 60 周期为 T (min ） (s) 0.75 s 80 80 频率为 1 / T 1.33Hz
动物的心跳（次/分）
大象 猪 松鼠 25~30 60~80 380 马 兔 鲸 40~50 100 8
14
昆虫翅膀振动的频率（Hz） 雌性蚊子 雄性蚊子 苍 黄 蝇 蜂 355~415 455~600 330 220
0.08 0.04
v
o
0.04 0.08
x/m
31
（2）由起始位置运动到x = -0.04 m处所需 要的最短时间.
法一 设由起始位置运动到x= -0.04 m处所 需要的最短时间为t
v
0.08 0.04
x/m
o
0.04
0.08
32
π π π π x 0.08 cos( t ) 0.04 0.08 cos( t ) 2 3 2 3 1 π arccos( ) 2 3 2 0.667 s t π2 3
分解
谐振子
作简谐运动的物体
4
弹簧振子的振动
l0 k
m
x
A
o
A
x0 F 0
5
振动的成因
a 回复力 b 惯性
6
3 弹簧振子的运动分析
F
o
m
x
2
x
F kx ma
2
d x 2 x 得 a 2 x 即 2 dt 具有加速度 a 与位移的大小x成正比,而方 向相反特征的振动称为简谐运动
2
tb
π 3
π3 1 t T T 2π 6
26
（2）对于两个同频率的简谐运动，相位 差表示它们间步调上的差异（解决振动合成 问题）.
x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
(t 2 ) (t 1 )
简谐运动能量图
o
能量
T
xt t
o
T 4
T 2
3T T 4
x A cost v A sin t vt 1 2 E kA 2 1 2 2 Ep kA cos t 2 1 t 2 2 2 Ek m A sin t 2
37
0
简谐运动能量守 恒，振幅不变
Ep
C
1 E kA2 2
20

t 0
A
o

x0
x
x0 A cos
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
21

t t
t
A
x
o
x A cos(t )
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
22
1 2 1 2 2 mvmax m A 2 2
2.0 10
3
J
41
已知 m 0.10 kg，A 1.0 10 m， 2 amax 4.0 m s 求:(3) Esum ； (4)何处动势能相等? 解（3）Esum Ek ,max 2.0 10 3 J
0.08 0.04
o
0.04
0.08
30
π 3 π π x 0.08 cos( t ) 2 3 t 可求（1） 1.0 s, x, F t 1.0 s 代入上式得 x 0.069 m
F kx m 2 x 1.70 10 3 N
m 0.01 kg