东南大学自动控制原理 第2章解析
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【精编】自动控制原理第2章PPT课件
隙磁通的乘积成正比，又因磁通恒定，有Md Kmia，
联立求解，整理后得
w ww K L e a K J m d d 2 t2 K R e a K J m d d t K 1 eu a K R e K a m M L K L e K a m d M d tL
自动控制原理
6
（续上页）
w ww K L e a K J m d d 2 t2 K R e a K J m d d t K 1 eu a K R e K a m M L K L e K a m d M d tL
自动控制原理
15
2.3.1 传递函数的性质
(1)传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子的阶数m一 般低于或等于分母的阶数n， 即m≤n ，且所有系数均为 实数。
(2)传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用 及初始条件无关。
(3)一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，因
此传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。
的中间变量无法反映出来。
(6)一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系。
自动控制原理
16
2.3.1 典型环节及其传递函数
（1）比例环节 G(s)= K
（2）惯性环节 G(s) 1 Ts 1
T ——惯性环节时间常 数
（3）积分环节 G(s) 1 Ts
当积分环节的输入信号为单位阶跃 函数时，则输出为t/T，它随着时间直线 增长。
或
w ww T a T m d d 2 t2 T m d d t K 1 eu a T J m M L T a J T m d M d tL
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)
Ta
联立求解，整理后得
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自动控制原理
6
（续上页）
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自动控制原理
15
2.3.1 传递函数的性质
(1)传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子的阶数m一 般低于或等于分母的阶数n， 即m≤n ，且所有系数均为 实数。
(2)传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用 及初始条件无关。
(3)一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，因
此传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。
的中间变量无法反映出来。
(6)一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系。
自动控制原理
16
2.3.1 典型环节及其传递函数
（1）比例环节 G(s)= K
（2）惯性环节 G(s) 1 Ts 1
T ——惯性环节时间常 数
（3）积分环节 G(s) 1 Ts
当积分环节的输入信号为单位阶跃 函数时，则输出为t/T，它随着时间直线 增长。
或
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Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)
Ta
自动控制原理第二章.ppt
i 特征式中，将与第i条前向通路相接触的回
路各项全部去除后剩下的余子式。
例2－27 已知两级RC网络的结构图如图所示，
试用梅逊公式法求取传递函数。
解（1）独立回路L，3个 （2）写出互不接触回路乘积，L1,L2不接触，
（3）写出梅逊公式特征式 （4）写出前向通路 pi，仅一个 （5）写出各项余子式 i ，仅一个
2、化简原则： 保证化简前后的代数等价关系不变
（1）化简前后，前向通路传递函数的乘积 不变。
（2）化简前后，回路传递函数的乘积不变。
等效变换法则
（1）环节串联 减少方块
（2）环节并联 减少支路
（3）反馈回路化简
减少回路
证明 如果是正反馈：
G(s)
Y(s)
X (s)
1 G(s) H(s)
得到输出信号的拉氏变换
定义控制系统的传递函数为
二、传递函数的性质
只适用于线性定常系统。 基于线性常系数微分方程。
是在零初始条件之下定义的。 可以有量纲的。 只表示系统的端口关系。
输入————输出关系 是描述线性定常系统的参数模型。 传递函数的信息关系
多项式表示
参数为ai,i=1,2,…n，bj,j=1,2,…,m， m≤n
§2.6 一般反馈控制系统
一、一般系统
1、单位反馈系统 今后除了个别 情况之外，只 考虑单位化后 的系统结构。
2、开环传递函数 3、闭环传递函数 4、系统的输出 5、误差信号
6、误差传递函数
则误差传递函数为 闭环传递函数
二、一般控制作用 串联控制方式：
G0(s)——固有对象 Gc(s)——控制作用
n
i pi
P i1
pi从输入到输出的第i条前向通路总增益； 梅逊公式特征式；
自动控制原理第2章
建立系统数学模型的方法
实验法 解析法
第一节 动态微分方程的编写
用解析法建立系统微分方程的一般步骤 根据基本的物理定律，列写出系统中一个元件的输入与 输出的微分方程式 确定系统的输入量与输出量，消去其余的中间变量，求 得系统输出与输入的微分方程式
例2-1求Uc与Ur的微分方程式 解：由基尔霍夫定律得
y
f x
f
x0
df dx
1 d2f
xx0 x x0 2! dx2
xx0 x x0 2
由于增量Δx x x0较小，故可略去式中的（x x0）2项及 其后面的所有的高阶项，于是得线性化方程
或写为
y y0 Kx x0
y Kx
式中y f x0 ,
K df dx
, x x0
y y y0， x x x0
举例
上节在推导直流他励发电动机的微分方程式时，曾假设其磁化曲线为 直线，实际上发电机的磁化曲线如图2-10所示。
设发电机原工作于磁化曲线的A点，若发电机的励磁电压增加△U1， 求其增量电势△EG的变化规律。
第二章 控制系统的数学模型
2.1列写系统微分方程 2.2非线性数学模型的线性化 2.3 传递函数 2.4 对控制系统的基本要求 2.5 信号流程图 2.6 脉冲响应函数
描述系统运动的数学模型 输入－输出描述
微分方程是这种描述的最基本形式。传递函数、 方框图等其它模型均由它而导出
状态变量描述 状态方程是这种描述的最基本形式
1
1
C2 i2dt i2 R2 C1 (i1 i2 )dt
1
C2 i2dt uc
消去中间变量i1 、 i2 得
实验法 解析法
第一节 动态微分方程的编写
用解析法建立系统微分方程的一般步骤 根据基本的物理定律，列写出系统中一个元件的输入与 输出的微分方程式 确定系统的输入量与输出量，消去其余的中间变量，求 得系统输出与输入的微分方程式
例2-1求Uc与Ur的微分方程式 解：由基尔霍夫定律得
y
f x
f
x0
df dx
1 d2f
xx0 x x0 2! dx2
xx0 x x0 2
由于增量Δx x x0较小，故可略去式中的（x x0）2项及 其后面的所有的高阶项，于是得线性化方程
或写为
y y0 Kx x0
y Kx
式中y f x0 ,
K df dx
, x x0
y y y0， x x x0
举例
上节在推导直流他励发电动机的微分方程式时，曾假设其磁化曲线为 直线，实际上发电机的磁化曲线如图2-10所示。
设发电机原工作于磁化曲线的A点，若发电机的励磁电压增加△U1， 求其增量电势△EG的变化规律。
第二章 控制系统的数学模型
2.1列写系统微分方程 2.2非线性数学模型的线性化 2.3 传递函数 2.4 对控制系统的基本要求 2.5 信号流程图 2.6 脉冲响应函数
描述系统运动的数学模型 输入－输出描述
微分方程是这种描述的最基本形式。传递函数、 方框图等其它模型均由它而导出
状态变量描述 状态方程是这种描述的最基本形式
1
1
C2 i2dt i2 R2 C1 (i1 i2 )dt
1
C2 i2dt uc
消去中间变量i1 、 i2 得
自动控制原理B2讲解
s0
t
有存在的条件f(t)及其导数是可拉氏变换的，且要sF(s)在虚轴（除原点） 和右半平面上没有极点。
初值定理： lim sF (s) lim f (t)
s
t 0
卷积定理：
已知函数f(t)和g(t)，其卷积定义为
f (t) g(t) 0 f (t )g( )d 0 f ( )g(t )d
0
f
(t )e st
dt
------F (s)为f (t)的拉氏变换,也称F (s)为f (t)像函数
f (t) 1
2 j
j j
F
(s)est
ds----f
(t )为F
(s)的拉氏反变换,也称f
(t )为F
(s)的原函数
自动控制原理
第二章 线性系统的数学模型
其中，
a1,..., an1, an , b0, b1,..., bm1, bm是实常数，m, n是正整数，通常m n
实行分母因式分解
F(s) B(s) b0sm b1sm1 ...... bm1s bm A(s) (s s1)(s s2)....(s sn )
2.出现r个重根及n个非重根时，象函数因式分解结果的表达式为：
F (s) B(s) b0sm b1sm1 ...... bm1s bm
A(s)
(s s1)(s s2 )....(s sn )
=
cr (s s1)r
+
(s
cr 1 s1)r1
+...+
s1
1) 2
s(s
s2 1)2 (s
自动控制原理第二章PPT课件
(2)实验法
.
4
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的
物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并 实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信号
（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根 据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识
出系统的数学模型。
.
5
总结： 解析方法适用于简单、典型、
常见的系统，而实验方法适用于复杂、 非常见的系统。实际上常常是把这两 种方法结合起来建立数学模型更为有 效
Mc转(t)矩-电（动N机·m和/ra负d载/s）折合到电动机轴上的等效负载
.
18
将式①-④联立求解：
T lT m d 2 d t ( t) T m d d t ( t) ( t) K u U r ( t) K m [ T ld M d c t( t) M c ( t) ]⑤
Tl
L R
——电动机电磁时间常数（s）
m
F2阻尼器的阻力
整 理 得 到 ： m d 2x(t)fd x(t) k x(t)F (t)
d t2
d t
.
11
d2x(t) dx(t) mdt2 f dt ky(t)F(t)
式中：x——m的位移（m）； f——阻尼系数（N·s/m); k ——弹簧刚度（N/m)。
将上式的微分方程标准化
m kdd 2x t2 (t)kf dx d(tt)x(t)k 1F(t)
F(t) f
.
k M x(t)
10
输入F(t)，输出x(t)理论依据:牛顿第二定律, 物体所受的合外力等于物体质量与加速度的
乘积. Fma
F1kx(t),F2
f
dx(t) dt
自动控制原理：第二章 系统的数学模型
于是，传递函数为：
G(s)
Y (s) R(s)
(s
s2 3)(s2 2s
2)
分别求取从输入到中间变量，从中间变量到输出的传递函数， 也可以得到：
G(s) Y(s) X (s)
s2
X (s) R(s) (s 3)(s2 2s 2)
例2.12
G
s
s
3
s2 (s2 2s
2)
z1=-2；p1=-3, p2=-1+j, p3=-1-j。
传递函数，用G(s)表示。
G(s) Y (s) R(s)
[性质]
（1）传递函数的概念只适用于线性定常
系统，它是在零初始条件下定义的。
（2）传递函数是复变量 S 的有理分式函
数，即：n m；各系数均为实数。
是系统元件参 数的函数
物理系统的固有特性是因果性；若m>n, 则这是物理不可实现的系统。
（3） 传递函数是系统的数学描述。物理 性质不同的系统可以具有相同的传递函数 （相似系统）。在同一系统中，当取不同 的物理量作输入或输出时，其传递函数也 可以不同。
图2.8 RLC电路
依据：电学中的基尔霍夫定律
r
L
ur(t)
i(t) C
di(t)ur (t) ri( Nhomakorabea) L 1
dt
uc (t)
uC
(t )
C
i(t)dt
du (t)
i(t) C C
dt
消去中间变量i(t)，得到:
uc(t)
（两边求导）
ur
(t)
rC
duC (t) dt
LC
d
2uC (t dt 2
2、 控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达 式即为数学模型。数学模型是分析和设计自动控制 系统的基础。
自动控制原理_第二章
Gk ( s) G ( s) H ( s)
B( s) G1 ( s)G2 ( s) H ( s) E ( s)
注意：这里的开环传递函数是针对闭环系统而言的，而不是指开环系 统的传递函数。
解：首先对小车进行受力分析，在水平方向应 用牛顿第二定律可写出：
dy(t ) d 2 y (t ) F (t ) f Ky (t ) m dt dt 2
令
2
T
m f , 可得 K 2 mK
图2 弹簧-质量-阻尼器系统图
d 2 y( t ) dy(t ) F (t ) T 2 T y ( t ) dt 2 dt K
用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤是：
（1）根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输
入、输出变量；
（2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量 所遵循的物理（或化学）定律，列写出各元部件的动态方程， 一般为微分方程组； （3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； （4）将微分方程标准化。即将与输入有关的各项放在等 号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。
以工作点处的切线代替曲线，得到变量在工作点的增量方程， 经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。
二、复频域模型 – 传递函数
（1）利用时域卷积获得：
如果已知系统单位脉冲响应为g(t),则任意输入r(t)的响应输出c(t):
c( t )
r ( ) g(t )d
c(t ) r ( ) g(t )d
0 t
考虑到物理可实现性，上式改为： 对上式做拉氏变换得：
C ( s) R( s)G( s) G( s)
C ( s) R( s )
自动控制原理第2章
M (t)
Mc (t)
(t) d (t)
dt
2.2.3 举例说明建立传递函数的方法
G(s)
(s)
Ua (s)
sLa s
Cm
Ra Js
f
CeCm
电枢时间常数 a La Ra 可以忽略不计
G(s)
(s)
U a (s)
sRa Js
Cm
f
CeCm
K1
sTms 1
如果电枢电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽略不计时
L
dt
C
i(t)dt Ri(t) ui (t)
uo
(t
)
1 C
i(t)dt
L i(t) ui (t)
R C
消去中间变量 i(t) ，可得该无源网络的微分方程为
uo (t)
LC
d2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo
(t)
ui
(t)
2.1.2 电路系统
相似系统:
L i(t) ui (t)
R4
1
Z1
R2 C1s
R2
1 C1s
R2 1 R2C1s
uo
Z2
R4
1 C2s
Z Z1 Z2
R2 1 R4C2s
Z1 Z2 R2C2s 1 R2C1s1 R4C2s
ui uo R1 R3 Z
G s uo R3 Z
ui
R1
Gs
k1
k2 k3s T1s 2 T2 s 1
2.2.1 传递函数定义 2.2.2 典型环节传递函数 2.2.3 举例说明建立传递函数的方法
2.2.1 传递函数定义
自动控制原理 第二章
C1
U c1 R2i2 U c 2
③
U 2 U c2 ⑤
由④、⑤得
dU c 2 dU 2 i2 C 2 C2 dt dt
由②导出 dUc1 dUc1 dU 2 i1 C1 i2 C1 C2 dt dt dt 将i1、i2代入①、③，则得
U1 R1 R2 i2 U c 2
ts 0
拉氏变换函数 （象函数）
原函数
衰减因子，其中： τ -时间常数 s = -σ+jω 为拉氏变换算 子，其中： σ-衰减系数 ω -振荡频率（rad/s）
由拉氏变换的定义得1(t)的象函数为
F ( s ) L[1(t )] 1 e dt
st 0
1 st 1 e |0 s s
例2-1： 如图所示，由一RC组成的四端无源网络。 试列写以U1(t)为输入量，U2(t)为输出量 的网络微分方程。
R1 R2
U1
C1
C2
U2
图2-1
RC组成的四端网络
解：设回路电流i1、i2，根据克希霍夫定律，列写 方程如下：
R1 R2
U1
I1
C1
I2
C2
U2
U1 R1i1 U c1图2-1 ①RC组成的四端网络 1 U i dt 1 ④ c 2 2 ② U c1 C2 (i1 i2 )dt
控制系统数学模型的类型
时域（t）模型 微分方程
复域（S）模型 传递函数
结构图=原理图 ＋传递函数
频域（ω）模型 频率特性
常见数学模型： 时域：微分方程；差分方程；状态方程 复数域：传递函数 频域：频率特性
表达形式 时域：微分方程、差分方程、状态方程 复域：传递函数、动态结构图 频域：频率特性
U c1 R2i2 U c 2
③
U 2 U c2 ⑤
由④、⑤得
dU c 2 dU 2 i2 C 2 C2 dt dt
由②导出 dUc1 dUc1 dU 2 i1 C1 i2 C1 C2 dt dt dt 将i1、i2代入①、③，则得
U1 R1 R2 i2 U c 2
ts 0
拉氏变换函数 （象函数）
原函数
衰减因子，其中： τ -时间常数 s = -σ+jω 为拉氏变换算 子，其中： σ-衰减系数 ω -振荡频率（rad/s）
由拉氏变换的定义得1(t)的象函数为
F ( s ) L[1(t )] 1 e dt
st 0
1 st 1 e |0 s s
例2-1： 如图所示，由一RC组成的四端无源网络。 试列写以U1(t)为输入量，U2(t)为输出量 的网络微分方程。
R1 R2
U1
C1
C2
U2
图2-1
RC组成的四端网络
解：设回路电流i1、i2，根据克希霍夫定律，列写 方程如下：
R1 R2
U1
I1
C1
I2
C2
U2
U1 R1i1 U c1图2-1 ①RC组成的四端网络 1 U i dt 1 ④ c 2 2 ② U c1 C2 (i1 i2 )dt
控制系统数学模型的类型
时域（t）模型 微分方程
复域（S）模型 传递函数
结构图=原理图 ＋传递函数
频域（ω）模型 频率特性
常见数学模型： 时域：微分方程；差分方程；状态方程 复数域：传递函数 频域：频率特性
表达形式 时域：微分方程、差分方程、状态方程 复域：传递函数、动态结构图 频域：频率特性
自动控制原理第二章
解.
求
t2
L
2
?
L t2 2 L
t2 t dt
2 11
t dt s s2
1 t2
s2
1 s3
t0
2-1 控制系统的时域数学模型
（4）实位移定理 L f (t 0 ) eτ0s F(s)
证明：左
0
f (t
0 ) etsdt
令 t 0
f ( ) es( 0 )d e0s f ( ) e sd 右
1 2j
1
s
j
e (s j)t
0
1
s j
e (s j)t
0
1 1
1 1 2 j
2j
s
j
s
j
2j
s2
2
s2
2
2-1 控制系统的时域数学模型
■拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)
（2）微分定理 L f t s F s f 0
uc
(t)
ur
(t)
d 2 y(t) m
f
dy(t)
ky(t)
F (t)
dt 2
dt
2-1 控制系统的时域数学模型
2.非线性微分方程线性化
实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等非线性 特性，严格地讲，任何一个元件或系统都不同程度地具 有非线性特性。
在研究系统时尽量将非线性在合理、可能的条件下 简化为线性问题，即将非线性模型线性化。
则系统的微分方程为
J
d 2
dt 2
f
d
dt
Mi
2-1 控制系统的时域数学模型
求
t2
L
2
?
L t2 2 L
t2 t dt
2 11
t dt s s2
1 t2
s2
1 s3
t0
2-1 控制系统的时域数学模型
（4）实位移定理 L f (t 0 ) eτ0s F(s)
证明：左
0
f (t
0 ) etsdt
令 t 0
f ( ) es( 0 )d e0s f ( ) e sd 右
1 2j
1
s
j
e (s j)t
0
1
s j
e (s j)t
0
1 1
1 1 2 j
2j
s
j
s
j
2j
s2
2
s2
2
2-1 控制系统的时域数学模型
■拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)
（2）微分定理 L f t s F s f 0
uc
(t)
ur
(t)
d 2 y(t) m
f
dy(t)
ky(t)
F (t)
dt 2
dt
2-1 控制系统的时域数学模型
2.非线性微分方程线性化
实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等非线性 特性，严格地讲，任何一个元件或系统都不同程度地具 有非线性特性。
在研究系统时尽量将非线性在合理、可能的条件下 简化为线性问题，即将非线性模型线性化。
则系统的微分方程为
J
d 2
dt 2
f
d
dt
Mi
2-1 控制系统的时域数学模型