高中数学教学论文 巧用模型破解法解决平面向量问题
破解向量问题的常用方法
破解向量问题的常用方法
向量问题在模考和高考中是热点问题。
由于向量集形数于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，因此解决向量问题时应该从多个角度去思考，今天老师带大家一起来探究一下解决向量问题的常用方法。
1
利用定义求解
定义法是解决相关问题的最基本的方法。
对向量来说，知道了“模”和“夹角”，内积就知道了。
2
利用基底求解
所谓基底法就是指利用平面向量基本定理，将所求的两个向量转
化到题中已知的两个不共线向量来求解。
3
利用坐标求解
所谓坐标法就是建立适当的直角坐标系，将向量用坐标的形式表示出来，用函数与方程的思想求解。
事实上，基底法的几道例题都可以用坐标法处理，坐标法有时更能解决较为复杂的问题。
4
利用代数化求解
所谓代数化就是利用代数语言翻译已知条件和所求结论，借助代数运算解决问题。
体现等价转化的思想。
5
利用平面几何性质求解
所谓几何法就是把向量问题利用平面几何的思想和方法，转化为几何问题，再用几何方法解决。
几何法中有几个基本的问题必须十分清楚，共线问题、共点问题、构造三角形、解三角形等等。
来源 | 上海初高中数学错题集。
向量方法在高中数学教学中的应用(原创论文)
向量方法在高中数学教学中的应用摘 要：向量作为一种既有大小又有方向的量，它既具有数的特性，又有形的特性,因而它成为连结数和形的有力纽带。
根据向量的数形特性,作者尝试将几何图形数量化,并通过运算来解决立体几何中的平行、垂直、求距离、求角度等问题；尝试利用向量方法来解决代数中的不等式证明、等式证明、求函数最值、求变量取值范围等问题,这种尝试为作者的高中数学教学活动注入了新活力。
关键词：向量方法、几何、数形结合一、向量方法在几何中的应用在目前的中学数学立体几何教学中，传统的综合方法仍占主导地位，绝大多数学生仍用着这种方法处理立体几何问题，实际上利用向量的方法处理立体几何的空间问题比传统的综合方法有着明显的优势，特别是垂直的证明，角度与长度的计算问题，可以避免构图和推理的复杂过程，减少了解题琐碎的技巧，降低了题目的难度。
（一）利用向量证明平行问题1.设 a 、b 为两条不重合的直线，a 、b 分别为直线a 、b 的一个方向向量，那么 a ∥ b ⇔ a ∥b 根据实数与向量的积的定义a ∥b ⇔a =k b （k ∈R ，k ≠ 0）例1 已知直线 L 1: 0153=+-y x ， L 2: 05106=+-y x , L 1 与 L 2 不重合证明：L 1∥L 2 。
证明：∵L 1:0153=+-y x ， L 2: 05106=+-y x ∴ L 1 的方向向量1V =（5，3） L 2 的方向向量2V =（10，6） ∴ 1V =22V∴ L 1∥L 2 。
2.平面与平面平行可转化为两个平面法向量的平行例2 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，证明:面 ABCD ∥面A 1B 1C 1D 1。
证明：如图1所示： ∵ 长方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1∴ 1AA 为面 A 1B 1C 1D 1的一个法向量D∵ 1BB ⊥面 ABCD∴ 1BB 是面 ABCD 的一个法向量，又因为1AA ∥1BB ∴ 面 ABCD ∥面A 1B 1C 1D 1。
【巧解妙解】高考数学向量与其他问题结合的经典题型
平面向量综合应用与解题技巧【命题趋向】由2019年高考题分析可知：1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右．2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为：1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式．5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等．6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】1. 向量的概念，向量的基本运算(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式.例1（北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A ． 例2．（安徽卷）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =______.（用a b 、表示）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12AM a b =+，所以,3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+. 例3．（广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=( ) （A ）BA BC 21+- （B ） 21--（C ） 21- （D ）21+命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：21+-=+=，故选A.例4． (重庆卷)与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54 (B) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 （C ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 （D ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322或⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题.解：设所求平面向量为,c 由433,,, 1.555c c ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4或-时5另一方面,当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⨯+⨯- ⎪⋅⎛⎫=-=== ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时 当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯ ⎪ ⎪⋅⎛⎫=-==- ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时 故平面向量c 与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹角相等.故选B. 例5．（天津卷）设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a，)1,1(2-=-a b ，则=θcos __． 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.解: ()()()()(),,22,3,323,231,1.b x y b a x y x y =-=-=--=-设由 ()2311,1,2.231 2.x xb y y -=-=⎧⎧⇒∴=⎨⎨-==⎩⎩得 2cos ,33a b a b a b⋅===⋅+例6.（2006年湖北卷）已知向量()3,1a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=，则b = （）（A ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21,23 （B ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 （D ） ()0,1 命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.解:设(),()b x y x y =≠，则依题意有1,y +=1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 故选B.例7.设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=.如果向量1b 、2b 、3b ，满足2i i b a =，且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向，其中1,2,3i =，则（ ）（A ）1230b b b -++= （B ）1230b b b -+= （C ）1230b b b +-= （D ）1230b b b ++=命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.常规解法：∵1230a a a ++=，∴ 1232220.a a a ++=故把2i a (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30 后与i b 重合，故1230b b b ++=，应选D.巧妙解法：令1a =0，则2a =3a -，由题意知2b =3b -，从而排除B ，C ，同理排除A ，故选(D). 点评：巧妙解法巧在取1a =0，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解.(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大. 例8．（2007年陕西卷理17.）设函数f (x )=a-b ,其中向量a =(m,cos2x ),b =(1+sin2x ,1),x ∈R ,且函数y=f (x )的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,4π，（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f (x )的最小值及此时x 的值的集合. 解：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，由已知πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 2124f x x x x ⎛⎫=++=+⎪⎝⎭，∴当πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1，由πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ， 例2．（2007年陕西卷文17）设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2π(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且.（Ⅰ）求实数m 的值; （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.解：（Ⅰ）()(1sin )cos f x m x x ==++a b ，πππ1sin cos 2222f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()sin cos 114f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴当πsin 14x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1例9．（湖北卷理16）已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π的最大 解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=． 例10．（广东卷理）已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) （1）若c=5，求sin ∠A 的值；（2）若∠A 为钝角，求c 的取值范围； 解：（1）(3,4)AB =--，(3,4)AC c =--，若c=5， 则(2,4)AC =-，∴cos cos ,A AC AB ∠=<>=sin ∠A ； （2）∠A 为钝角，则39160,0,c c -++<⎧⎨≠⎩解得253c >，∴c 的取值范围是25(,)3+∞例11．（山东卷文17）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ；（2）若52CB CA =，且9a b +=，求c ．解：（1）sin tan cos CC C=∴=又22sin cos 1C C +=解得1cos 8C =±． tan 0C >，C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=． （2）52CB CA =， 5cos 2ab C ∴=，20ab ∴=． 又9a b += 22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．6c ∴=．例12. （湖北卷）设函数()()f x a b c =⋅+，其中向量()()sin ,cos ,sin ,3cos a x x b x x =-=-, ()cos ,sin ,c x x x R =-∈.（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d . 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a ·(b c +)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx －3cosx)＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π).所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π＝π.（Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ，于是d ＝（832ππ-k ，－2），(k d π=-k ∈Z.因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π，―2）即为所求.例13．（2006年全国卷II ）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．（Ⅰ）若a ⊥b ，求θ；（Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值． 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力.解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，由此得 tan θ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以 θ＝－π4；（Ⅱ）由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin(θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |最大值为2＋1．例14．（2006年陕西卷）如图，三定点(2,1),(0,1),(2,1);A B C --,,AD t AB BE tBC == ,[0,1].DM tDE t =∈（I ）求动直线DE 斜率的变化范围； （II ）求动点M 的轨迹方程。
平面向量的极化恒等式解题研究
)
１
３
→ →
由极化恒 等 式,得BM
D(
t,
２－t), ＜t＜ ．
BN ＝
２
２
１
３
→ １ →
２
２
BD２ － MN２ ＝t２ ＋ (
２－t)－ ＝２(
t－１)
＋ ,又
４
２
２
１
３
３
é
→
→
＜t＜ ,所以BM BN 的取值范围是 êê ,
２ ．
２
２
ë２
点评:从例 １ 及 其 变 式 的 解 法 可 以 发 现,使 用 常
１
又 ０＜a ＜１,所 以 当 a ＝ 时,
２＝２ a－
＋ ．
２
２
２
３
→
→
→
→
BM BN 取得最小值 ;当a＝０ 或 １ 时,
BM BN ＝
２
(
)
解题研究
２０２３ 年 １２ 月上半月
é３ ,
２ ．
ë２
解法 ２:(极 化 恒 等 式 法 )设 MN 的 中 点 为 D ,点
→
→
综上,
２,无最大值 ．
第二个推广 ．
推 广 ２ 如 图 ２,在 △ABC
→
中,
有A→
I 为 BC 的中点,
BAC＝
→ １ →
→
→
AI２ － BC２ ＝AI２ －BI２ ．
４
２ 极化恒等式的优越性
图２
例 １ (
２０１７ 年新 课 标 Ⅱ 卷)已 知 △ABC 是 边 长
→
为 ２ 的等 边 三 角 形,
高考文科数学命题热点名师解密专题：两招破解平面向量难题
专题13两招破解平面向量难题【学习目标】1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2 •会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题方法总结二. 【平面向量解题方法规律】1•用向量解决平面几何问题的步骤(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3) 把运算结果翻译”成几何关系•2•应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结构，选择使用向量的某些性质解决相应的问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等，总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用，如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题3.几点注意事项(1) 在处理三点共线问题时，转化为两个向量共线解决，需说明两个向量有公共点，两直线不能平行，只能重合•(2) 在解决夹角问题时，应注意向量的方向，向量的夹角与所求角可能相等，也可能互补(3) 证明垂直问题一般要经过向量的运算得到数量积ab= 0,尽量用坐标运算.三. 【平面向量题型分析】(一)平面向量基本定理的应用例1•设：为山八所在平面内一点，若门:-…亍，怎沁心心；，则 ()1 1A . -2 B. C. D. 2【答案】A【解析】由',根据向量运算的三角形法则”可得蠢匸一灶m闕，结合鉗-也!心曲,求得的值，从而可得结果•［详解】、*补二肛7 CD 二Kjic + CD)A f.7J = AC - 21/（；=- CA +—■'< ■■■'■—Ml34]CD3.-1]=- L/i = 2其=-2」 ，故选A.【详解】依题|诂曲=］磁屉阿机聪亦®丹，由图易知向量 所成角为钝角，所以 昭曲蛀总頤，所以当最小时，即为向量 在向量 方向上的投影最小，数形结合易知点P 在点D 时，最小（如图所示），111 … 4J?在三角形ADE 中，由等面积可知，所以【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及运算，向量的线性运算，考查了数形结合的思想，考查了计 算能力，属于中档题 （二）向量中的最值问题例2•设| '是半径为2的圆.上的两个动点，点-为」中点，则茂•廿的取值范围是（）【答案】A【分析】将「两个向量，都转化为 ■''两个方向上，然后利用数量积的公式和三角函数的值域，求得题目所求数量积的取值范围【解析】依题意CO -C3 =C0 - （CQ^OB"） = CG--CG 囲=厨二+在•亦=1 + lx 2阿詔』 其中&是51疋两个向量锻角，范18是。
高中数学平面向量及其应用的解题技巧
高中数学平面向量及其应用的解题技巧高中数学中，平面向量是一个重要的概念，它在各个数学分支中都有广泛的应用。
掌握平面向量的解题技巧，不仅能够帮助我们更好地理解数学知识，还能够提高解题的效率和准确性。
本文将从基本概念、解题方法和应用举例三个方面，介绍高中数学平面向量的解题技巧。
一、基本概念平面向量是空间中的一个有向线段，可以用有序数对表示。
在平面直角坐标系中，向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影。
向量的模表示向量的长度，记作|AB|或||AB||。
向量的方向可以用与x轴正方向的夹角表示。
二、解题方法1. 向量的表示与运算在解题过程中，我们需要掌握向量的表示与运算方法。
例如，已知向量A(3,4)和向量B(-2,1)，求向量A与向量B的和、差以及数量积。
解答：向量A与向量B的和为A+B=(3+(-2),4+1)=(1,5)；向量A与向量B的差为A-B=(3-(-2),4-1)=(5,3)；向量A与向量B的数量积为A·B=3×(-2)+4×1=-6+4=-2。
2. 向量的模和方向在解题过程中，我们需要计算向量的模和方向。
例如，已知向量A(3,4)，求向量A的模和方向。
解答：向量A的模为|A|=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5；向量A的方向可以用与x轴正方向的夹角表示，tanθ=4/3，所以θ=arctan(4/3)≈53.13°。
3. 向量的共线与垂直在解题过程中，我们需要判断向量的共线与垂直关系。
例如，已知向量A(3,4)和向量B(6,8)，判断向量A与向量B是否共线或垂直。
解答：向量A与向量B的方向相同，且比值相等，即3/6=4/8=1/2，所以向量A与向量B共线。
三、应用举例1. 平面向量的线性运算已知向量A(2,3)和向量B(1,2)，求2A-3B的模和方向。
解答：2A-3B=2(2,3)-3(1,2)=(4,6)-(3,6)=(1,0)；2A-3B的模为|2A-3B|=√(1²+0²)=√1=1；2A-3B的方向与x轴正方向平行，即与x轴的夹角为0°。
向量法在高中数学中的应用_毕业设计(论文)
向量法在高中数学中的应用the application of vector method in high school mathematics摘要向量是高中数学的一个重要的知识点，运用于方方面面，主要运用在圆锥曲线与立体几何两方面。
由于联系到许多其他知识点，向量掌握的好与坏，直接影响学生的高中数学学习质量。
近几年的高考趋势表明，向量在高中扮演的角色越来越重要。
Vector Method is a significant and widely-used knowledge point in high school mathematics, and it mainly used in terms of conic section and solid geometry. As Vector Method is linked to many other math knowledge points, therefore, students’mastery degree of it directly influences the quality of high school math studies. Furthermore, the trend of College Entrance Examination in recent years has clearly indicated the increasing importance of Vector Method in high school mathematics.关键词：向量；平面几何；立体几何；代数Keyword：Vector；planimetry；stereometry；algebra目录引言 (4)1、平面几何 (6)1.1、利用向量解决基础平面图形问题 (6)1.2、利用向量求解圆锥曲线问题 (7)2、立体几何 (9)2.1、利用向量解决平行问题 (9)2.2、利用向量解决垂直问题 (10)2.3、利用向量来求空间角问题 (11)2.4、空间距离 (13)2.4.1、两点距离 (13)2.4.2、点到直线距离 (13)2.4.3、点到平面距离 (14)2.4.4、异面直线距离 (14)3、代数 (15)3.1、不等式问题 (15)3.2、求最值问题 (16)3.3、三角函数中的应用 (16)结论 (17)参考文献 (18)致谢 (18)引 言向量是高中数学的重要内容，也是数学的重要概念之一，由于它既有几何的表示方法又有代数表示方法，与中学数学的许多主干知识交汇。
高考数学突破140 掌握规律 攻克平面向量的破解技巧.doc
高考数学突破140 掌握规律攻克平面向量的破解技巧【考纲解读】掌握向量的加法和减法，掌握实数与向量的积，解两个向量共线的充要条件，解平面向量基本定，解平面向量的坐标概念，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件.【命题规律】平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数学思想，在解答题中常与三角函数相结合，或作为解题工具应用到解析几何问题中.【学法导航】1．(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．2．数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义．可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．3．在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．【高频考点突破】考点1 平面向量的线性运算【规律方法】用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式即可得λ1，λ2的值．考点2 平面向量的数量积【规律方法】1.在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，在利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.2.注意向量的数量积不满足消去率和结合律.4.在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已计算，可以利用向量数量积的几何意义计算.考点3 平面向量和三角函数的综合问题【规律方法】在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题．在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．。
高中数学经典解题技巧和方法_平面向量
高中数学经典解题技巧：平面向量【编者按】平面向量是高中数学考试的必考容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考容之一。
因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这局部的容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。
好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。
首先，解答平面向量这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的根本概念性问题，同学们应该先把根本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．平面向量的实际背景及根本概念（1）了解向量的实际背景。
（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
（3）理解向量的几何意义。
2．向量的线性运算（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。
（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。
（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。
3．平面向量的根本定理及坐标表示（1）了解平面向量的根本定理及其意义。
（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
4．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进展平面向量数量积的运算。
（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
5. 向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
好了，搞清楚平面向量的上述容之后，下面我们就看下针对这方面容的具体的解题技巧。
一、向量的有关概念及运算考情聚焦：1．向量的有关概念及运算，在近几年的高考中年年都会出现。
2．该类问题多数是单独命题，考察有关概念及其根本运算；有时作为一种数学工具，在解答题中与其他知识点交汇在一起考察。
如何解决高考数学中的平面向量题
如何解决高考数学中的平面向量题高考数学中的平面向量题是一个常见且复杂的考点，对于许多学生来说，解决这类问题常常是一项挑战。
然而，只要我们能够掌握一些基本的解题技巧和方法，就能够轻松解决这些题目。
本文将介绍一些解决高考数学中平面向量题的方法，希望对广大考生有所帮助。
一、理解平面向量的基本概念在解决平面向量题之前，首先需要理解平面向量的一些基本概念，包括向量的表示方法、向量的运算法则以及向量的性质等。
只有对这些基本概念有了深入的理解，才能更好地解决相关的题目。
二、掌握平面向量的坐标表示方法在解题过程中，平面向量的坐标表示方法是一个非常重要的工具。
对于给定的平面向量，可以将其分解为两个分量，分别表示在x轴和y 轴上的投影。
利用这种表示方法，可以简化平面向量的运算，进而解决相关的题目。
三、了解平面向量的运算法则平面向量具有加法、减法和数量乘法等运算法则。
掌握这些运算法则是求解平面向量问题的关键。
需要熟练掌握向量的加法减法运算法则，以及数量乘法的运算规律。
通过灵活运用这些法则，可以大大简化解题的过程。
四、熟练掌握平面向量的性质平面向量具有一些独特的性质，如平行四边形定理、三角形面积公式等。
对这些性质的熟悉和理解，对于解决相关题目至关重要。
例如，利用平行四边形定理，可以推导出两个向量平行的条件；而利用三角形面积公式，可以计算两个向量构成的三角形的面积。
通过应用这些性质，可以更加高效地解答相关问题。
五、多加练习，熟悉各种题型解决高考数学中的平面向量题，需要进行大量的练习，熟悉各种题型。
只有通过不断地练习，才能够在考试中熟练灵活地应用解题方法，提高解题的速度和准确性。
建议考生多做真题和模拟题，尽可能涵盖各个难度层次的题目，从而全面提高解题能力。
六、培养逻辑思维和分析问题的能力解决平面向量题需要良好的逻辑思维和分析问题的能力。
在处理复杂的向量运算时，需要思考运算的顺序和方法，找到合适的转化和计算方式。
通过培养逻辑思维和分析问题的能力，可以更加迅速地捕捉到解题的关键点，提高解题的效率。