简单几何体及空间图形的基本关系
空间立体几何知识点归纳
第一章 空间几何体知识点归纳1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。
简单组合体的构成形式：⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
1、空间几何体的三视图和直观图投影：中心投影 平行投影（1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.3、斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上）②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''x O y ∠=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半；4、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面 ⑶圆台侧面积：()S r R l π=+侧面⑷体积公式：h S V ⋅=柱体；h S V ⋅=31锥体； ()13V h S S =+下台体上⑸球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。
第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证1,,A l B ll A B ααα∈∈⎧⇒⊂⎨∈∈⎩ 公理1的作用：判断直线是否在平面内2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
北师大版(理)数学教案：第7章第1节 简单几何体、直观图与三视图含解析
北师大版（理）数学教案：第7章第1节简单几何体、直观图与三视图含解析[深研高考·备考导航] 为教师备课、授课提供丰富教学资源[五年考情]]综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：1．从考查题型、题量两个方面来看：一般是1～2个客观题，一个解答题；从考查分值看，该部分大约占17～22分．2．从考查知识点看：主要考查简单几何体的三视图及其表面积、体积、空间中线线、线面、面面的平行和垂直的关系以及空间向量在解决空间垂直、平行的证明，空间角的计算方面的应用，突出对空间想象能力、逻辑推理能力和正确迅速运算的能力，以及转化与化归思想的考查．3．从命题思路上看：(1)空间几何体的三视图及其表面积、体积的计算，主要以小题的形式考查．(2)空间点、线、面之间位置关系的判断与证明，特别是线线、线面、面面的平行与垂直，主要以解答题的形式考查．(3)构建恰当的空间直角坐标系利用空间向量对空间线线角、线面角、二面角求解，主要以解答题的形式考查．(4)根据近5年的高考试题，我们发现两大热点：①空间几何体的三视图及其表面积、体积的计算，空间位置关系有关命题的辨别．②空间平行、垂直关系的证明及利用空间向量计算空间角．[导学心语]根据近5年全国卷高考命题特点和规律，复习本章时，要注意以下几个方面：1．深刻理解以下概念、性质、定理及公式．简单几何体的结构特征；三视图及其表面积、体积公式；三个公理及线面、面面平行和垂直的八个判定定理与性质定理；空间三种角的概念及计算公式．2．抓住空间位置关系中平行、垂直这一核心内容进行强化训练，不仅要注意平行与平行、垂直与垂直间的转化，而且要重视平行与垂直间的化归转化．解题时要重视严谨性、规范性训练，避免因解题步骤混乱、条件的缺失等导致失分．3．重视向量的工具性作用，空间向量在解空间角中的应用是历年高考中的热点．抓住空间位置关系的特征，恰当建立坐标系，利用向量运算求解空间角，降低思维难度．4．把握命题新动向，空间平行与垂直的交汇，存在性折叠问题，空间角的探索与开放值得重视．第一节简单几何体、直观图与三视图[考纲传真]1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4.会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不做严格要求)．1．简单几何体(1)简单旋转体的结构特征①圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到．②圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到．③圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．④球可以由半圆或圆绕直径旋转得到．(2)简单多面体的结构特征①棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形．侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱．②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形．底面是正多边形，且各侧面全等的棱锥叫作正棱锥．③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．2．直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段；③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的.3．三视图(1)几何体的三视图包括主视图、左视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽；看不到的线画虚线．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝90°.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)如图711，长方体ABCDA′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是()图711A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．简单组合体C[由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．] 3．(2014·全国卷Ⅰ)如图712，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()图712A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱B[由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为如图所示的三棱柱．] 4．(2016·天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的主视图与俯视图如图713所示，则该几何体的侧(左)视图为()图713B[由几何体的主视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图②.]5．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于________．2π[由题意得圆柱的底面半径r＝1，母线l＝1，所以圆柱的侧面积S＝2πrl＝2π.](1)B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点(2)以下命题：①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3(1)B(2)B[(1)如图①所示，可知A错．如图②，当PD⊥底面ABCD，且四边形ABCD为矩形时，则四个侧面均为直角三角形，B正确．①②根据棱台的定义，可知C，D不正确．(2)由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误，③正确．对于命题④，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，④不正确．] [规律方法]1.关于简单几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种简单几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．3．因为棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．[变式训练1] 下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线D[如图①知，A不正确．如图②，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确．①②C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．由母线的概念知，选项D正确．]☞角度1一几何体的直观图如图714，下列给出的四个俯视图中正确的是()【导学号：57962325】图714ABCDB[该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选项B适合．]已知三视图，判断几何体☞角度 2棱锥的三视图如图715所示，该四棱锥最长棱棱长为()(1)某四图715A．1B．C.D．2 (2)(2016·全国卷Ⅱ)如图716是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()图716A．20πB．24πC．28πD．32π(1)C(2)C[(1)由三视图知，该四棱锥的直观图如图所示，其中PA⊥平面ABCD.又PA＝AD＝AB＝1，且底面ABCD是正方形，所以PC为最长棱．连接AC，则PC＝＝＝. (2)由三视图可知圆柱的底面直径为4，母线长(高)为4，所以圆柱的侧面积为2π×2×4＝16π，底面积为π·22＝4π；圆锥的底面直径为4，高为2，所以圆锥的母线长为＝4，所以圆锥的侧面积为π×2×4＝8π.所以该几何体的表面积为S＝16π＋4π＋8π＝28π.] [规律方法]1.由实物图画三视图或判断选择三视图，按照“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”的特点确认．2．根据三视图还原几何体．(1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉．(2)明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图．(3)根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．易错警示：对于简单组合体的三视图，应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同.△A′B′C′的面积为()A.a2B.a2C.a2D.a2D[如图①②所示的实际图形和直观图，由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a，所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.] [规律方法]1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握．对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量．2．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝S原图形．[变式训练2](2017·邯郸三次联考)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图717所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．图7172＋[如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E.①②在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝.又四边形AECD为矩形，AD＝EC＝1，∴BC＝BE＋EC＝＋1.由此还原为原图形如图②所示，是直角梯形A′B′C′D′.在梯形A′B′C′D′中，A′D′＝1，B′C′＝＋1，A′B′＝2，∴这块菜地的面积S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′＝××2＝2＋.] [思想与方法]1．画三视图的三个原则：(1)画法规则：“长对正，宽相等，高平齐”．(2)摆放规则：左视图在主视图的右侧，俯视图在主视图的正下方．(3)实虚线的画法规则：可见轮廓线和棱用实线画出，不可见线和棱用虚线画出．2．棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以在解决棱台和圆台的相关问题时，常“还台为锥”，体现了转化的数学思想．[易错与防范]1．确定主视、左视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同．2．对于简单几何体的组合体，在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，然后再画其三视图，易忽视交线的位置，实线与虚线的不同致误．。
【人教A版】高中数学必修第二册：8.1基本立体图形 同步讲义
【人教A 版】8.1 基本立体图形 同步讲义1、空间几何体（1）空间中的物体都占据着空间的一部分，若只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体． （2）多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点． 2、棱柱、棱锥、棱台的概念多面体定义图形及表示相关概念棱柱有两个互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些边所围成的多面体叫做棱柱如图可记作：棱柱AC ′或 ABCD A ′B ′C ′D ′底面(底)：两个相互平行的面 侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫棱锥如图可记作：棱锥SABCD底面(底)：多边形面．侧面：有公共顶点的各个三角形 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点. 棱台用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台如图可记作：棱台ABCDA ′B ′C ′D ′上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面．侧棱：相邻侧面的公共边．顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点3、棱柱、棱锥、棱台的分类 （1）棱柱的分类①按底面多边形的边数分类．⎩⎪⎨⎪⎧三棱柱底面是三角形四棱柱底面是四边形五棱柱底面是五边形…n 棱柱底面是②按侧棱与底面是否垂直分类．知识梳理n 变形⎩⎨⎧直棱柱⎩⎪⎨⎪⎧正棱柱其他直棱柱斜棱柱（2）棱锥的分类(棱台分类)①按底面多边形的边数分类． 三棱锥、四棱锥、五棱锥等． ②按底面多边形是否为正多边形分类． 正棱锥和一般棱锥． 4、旋转体由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴． 5、圆柱、圆锥、圆台的概念 旋转体结构特征图示表示法圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴边都叫做圆柱侧面的母线。
基本立体图形(第一课时) 课件
学习目标
1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结 构特征. 2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系. 3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单 几何体的结构并进行有关计算.
观察 这些图片中的物体具备怎么样的形状？在日常
生活中我们把这些物体的形状叫做什么？如何描述它们 的形状？
面；
侧面：除底面外的其余
各面；
侧棱：相邻侧面的 公共
； 边 顶点：侧面与底面的
公
共顶点
有一个面是 多
边形，其余各面
都是有一个公
棱锥 共顶点的 三角
形，由这些面 所围成的多面 体叫做棱锥
如图可记作：棱锥 S ABCD
底面： 多边形面； 侧面：有公共顶点 的各个 三角形面； 侧棱：相邻侧面 的 公共边； 顶点：各侧面的 公 共顶点
上底面：原棱锥的 截面；
下底面：原棱锥的 底面 ；侧
面：除 上下底以面外的面； 侧 棱： 相邻侧的面公共边；顶
点： 侧面与上(下)底的面公共顶点.
棱台的分类及表示
由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台我们分别叫 做三棱台、四棱台、五棱台……
A
B
C
A
B
C
三棱台
棱台ABC－ABC
B A
C
D
B
C
A
D
四棱台
棱台ABCD－ABCD
棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1
补充：几种四棱柱（六面体）的关系：
底面是 平行四边形
侧棱与底面 垂直
四棱柱
平行六面体
直平行六面体
底面是 矩形
长方体
底面为 正方形
侧棱与底面 边长相等
空间几何体的结构(教师版) (2)
空间几何体的结构____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________掌握棱柱、棱锥、棱台等多面体结构特征．掌握圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的结构特征．概括简单组合体的结构特征．1．几何体只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．2．构成空间几何体的基本元素(1)构成空间几何体的基本元素：点、线、面是构成空间几何体的基本元素．(2)平面及其表示方法：①平面的概念：平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的．②平面的表示方法：图形表示：在立体几何中，通常画平行四边形表示一个平面并把它想象成无限延展的符号表示：平面一般用希腊字母α，β，γ…来命名，还可以用表示它的平行四边形对角顶点的字母来命名．深刻理解平面的概念，搞清平面与平面图形的区别与联系是解决相关问题的关键．平面与平面图形的区别与联系为：平面是没有厚度、绝对平展且无边界的，也就是说平面是无限延展的，无厚薄，无大小的一种理想的图形．平面可以用三角形、梯形、圆等平面图形来表示．但平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们是有大小之分的，不能说三角形、正方形、梯形是平面，只能说平面可以用平面图形来表示．(3)用运动的观点理解空间基本图形之间的关系：①点动成线：运动方向始终不变得到直线或线段；运动方向时刻变化得到的是曲线或者曲线的一段．②线动成面：直线平行移动可以得到平面或者曲面；固定射线的端点，让其绕一个圆弧转动，可以形成锥面．③面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体． 3．棱柱 (1)棱柱的定义一般地，由一个平面多边形（凸多边形）沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱。
8.1 基本立体图形(第1课时)棱柱、棱锥、棱台的结构特征【优创课堂】2022-2023学年高一数学
A.该几何体是一个多面体
B.该几何体有9条棱，5个顶点
C.该几何体有7个面
D.该几何体是旋转体
答案：D.
).
例析
例1.将下列各类几何体之间的关系用图表示出来：
多面体，长方体，棱柱，棱锥，棱台，直棱柱，四面体，平行六面体.
解：如图所示：
练习
题型一：棱柱的结构特点
举反例 通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不
吻合，给予排除
练习
题型二：棱锥、棱台的结构特点
例2.下面是关于棱锥、棱台的四种说法：
①棱锥的侧面只能是三角形；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③由四
个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是
棱锥.
其中说法错误的是（
A.①
形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面；有公
共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.
探索新知
棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母来表示，如图中的棱锥记作棱锥
− .棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……，我们把这样的棱
棱、顶点.
棱台用表示底面各顶点的字母来表示，如图中的棱台记作棱台 − ’ ’ ’ ’ .
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱
台……
新知探索
辨析1：判断正误.
（1）一个多面体至少有六条棱.
(
)
（2）封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.
(
)
答案：√，√.
锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫四面体.底面是正
数学-直线、平面、简单几何体
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一、 !""# 年全国各省市高考对该部分内容的考查要点和命题趋势
$% 立体几何考查的立足点仍在空间图形上， 突出了对空间观念和空间想象能力的考查% 立体几 何的基础是对点、 线、 面的各种位置关系的讨论和研究， 进而讨论几何体， 而且采用了公理化体系的 方法% 高考命题中， 突出了空间图形的特点， 侧重于对直线与直线、 直线与平面、 平面与平面的各种 位置关系的考查， 审核考生立体几何的知识水平和能力% !% 多面体和旋转体考题多是在空间直线与平面的理论基础上， 研究以柱、 锥、 台、 球为代表的最 基本的几何体的概念、 性质、 各主要元素间的关系、 直观图画法、 侧面展开图以及表面和体积的求法 等问题% &% 在高考中不仅有直接求多面体、 旋转体的面积和体积问题， 也有已知面积或体积求某些系问题， 多以几何体为依托%
.# （’ $% ・湖北） （ 文） 已知 ,、 -、 . 是直线， " 是平 面， 给出下列命题： - $.， 则 , %.； $若 , $- ， - $.， 则 , $.； %若 , %- ，
则!%" ! !， 其中真命题是 !! !和" !和$ %&’ （ ’ &( ・天津） 设 !、 "、 #、 $ 为直 "、 # 为平面， 线， 则"$"的一个充分条件是 !’ !$"， "$$ !’" ) $ ， "’ !’# ) "， !$# ， " $# #’ !$#， "$! " $# ， $’ #$!， # $" ， "$! %% ! （’ &( ・重庆） （ 理） 对于不重合的两个平面 ! 与 "， 给定下列条件： 使得 !、 !存在平面 #， " 都垂直于 #； 使得 !、 "存在平面 #， " 都平行于 #； #! 内有不共线的三点到 " 的距离相等； "， 使得 $%!， $ %" ， "%!， $存在异面直线 $、 "%" ! 其中， 可以判定 ! 与 " 平行的条件有 !* % 个 -个 %+ ! （’ &( ・北京） 在正四面体的 % —&’( 中， )、 *、 + 分别是 &’ 、 ’( 、 (& 的中点， 下面四个结 论中不成立的是 !* ’( %平面 %)+ #* 平面 %)+ $ 平面 &’( 面 &’( %,* （’ &( ・广东） 给出下列关于互不相同的直线 "、 $、 # 和平面 !、 " 的四个命题： $ ’! ) &， 点 &("， 则 $ 与 " 不共 !若 "&!， 面； "* )+ $平面 %&* $* 平面 %&* $ 平 "* + 个 #* , 个 $* "! ! 和 # #! # 和 $ $!
简单几何体的表面积和体积(1)课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的体积
问题4：由祖暅原理可知，底面面积相等，高相等的两个棱锥，体 积相等．那么如果棱锥的底面积是S，高为h，则棱锥的体积公式 是什么？
因为棱锥2、3的底面积相等，即: SBBC SBCC 高也相等，即:点 到平面B 所以棱锥2、3的体积相等.
分析：正四棱台的上底面和下底面均为正方形，侧面是由四个等腰梯形组成的．
小结与反思
要计算棱台的体积关键是要弄清楚棱台的五个基本量（上、下 底面边长、高、斜高、侧棱），然后将基本量转化到直角三角形中 求解，最后再代入体积公式求出体积．
课堂检测
5-1、（金太阳P1141题）已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1 的正三角形，如图所示，则三棱锥B1-ABC求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体的各个面的面积之和． 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
问题2：在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体 和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积
展开图
空间问题
平面图形面积 平面问题
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧 面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面 积和底面面积之和．
这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形、梯 形的面积问题.
2
PART TWO
例题精讲
例1.(教材P114)四面体P-ABC的各棱长均为a，求它的表面积 ．
=
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1•简单几何体及空间图形的基本关系1、柱、锥.台、球的结构特征（1）棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面.对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等：平行于底面的截而绘与底而全等的多边形。
（2）棱锥几何特征：侧而、对角而都是三角形；平行于底而的截面与底而相似，其相似比等于顶点到截而距离与高的比的平方。
（3）棱台：几何特征：①上下底而是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行：③轴与底面圆的半径亚口：④侧面展开图足一个矩形。
（5）圆锥；定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①底而出一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧而展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：以直角梯形的亚直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①上下底而是两个圆；②侧而母线交于原圆锥的顶点；③侧而展开图泉一个弓形。
（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆而旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截而是圆；②球而上任总一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图定义三视图：主视图（光线从几何体的前面向后而正投影）：左视图（从左向右）、俯视图（从上向下〉注：主视图反映了物体的高度和长度：俯视图反映了物体的长度和宽度：左视图反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的亶观图一一二测画法斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。
4、空间点、直线、平面的位置关系公理1:如果一条直线的两点在一个平而内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
应用：判断直线是否在平面内用符号语言表示公理h Aw【、Bwl、Awa、Bwanlua公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平而；两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用：①它是空间内确定平而的依据②它是证明平而重合的依据公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有口只有一条过该点的公共直线符号：平而a和B相交.交线是s记作a A p =ao符号语言：PeAC\B^Ar\B = hPel公理3的作用①它是判定两个平而相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依拯。
公理4：平行于同一条宜线的两条直线互相平行空间直线与直线之间的位置关系①异面宜线定义：不同在任何一个平面内的两条直线②异面直线性质：既不平行，又不相交。
③异面直线判定*过平而外一点与平面内一点的直线与平而内不过该店的直线是异面直线④异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角。
两条异面直线所成角的范闱是（0> , 90。
］,若两条异而直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。
求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移穷一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位S±o B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补.（8）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内一无数个公共点.直线不在平面内J相交一一只有一个公井点.（或直线在平面外）（平行一一没有公共点.三种位置关系的符号表示* aC a aCl a =A a 〃 a（9）平面与平面之间的位置关系：平行一一没有公共点：o 〃 B相交一一有一条公共直线。
o一、单选題1. 以一个等边三角形的底边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是（） A. 一个圆柱B.两个圆锥C. 一个圆台D. 一个圆锥2. 以一个直角三角形的斜边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是（） A. 一个圆柱B. 一个圆锥C. 一个圆台D.两个圆锥3. 直角三角形绕着它的一条直角边旋转而成的几何体是（ ）A.圆锥B.圆柱C.圆台 D •球4. 正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周形成的几何体是A.②®⑤B.③④⑤C.③⑤D.①③9. 底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥（）A. 一定是正三棱锥 E. —定是正四面体 C.不是斜三棱锥D ・可能是斜三棱锥 10.棱柱的侧面一定是（ ）5・关于棱柱有下列四个命题，其中判断错误的是（ ）A. 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B.平行六面体可能是直棱柱C.直棱柱的每个侧面都是矩形D ・斜棱柱的侧面中可能有矩形 6•卞列命题正确的是（） A.棱柱的侧面都是长方形 C.棱柱的侧棱不一定相等 7.如右图所示的几何体是（E.棱柱的所有面都是四边形 D.—个棱柱至少有五个面）五棱台 c ・五棱柱 D.五面体8・如图所示的几何体是棱柱的有①己知正zXABC 的边长为建立如图1所示的直角坐标系xOy ,则它的直观图的面积是（）15. 己知水平放置的“ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中 BO=CO=1, AO=字，那么原"BC 的面积是（ ）17. 下列说法正确的是A.相等的角在直观图中仍然相等B.相等的线段在直观图中仍然相等C.正方形的直观图是正方形D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行18•图中的几何体可由一平面图形绕轴旋转360。
形成，该平面图形是平行四边形 E.矩形 C.正方形D.菱形卜•列几何体是台体的是（14. A孚r 和 c.铮D.和16. 如图，AO ,A ,B ,是水平放置的40他的直观图, 则404B 的周长为（）A. 10 + 2A /13B. 3^2C.10 + 4V13 D. 12A. 是棱柱的是（）12. A. V3 B. 2^2 C.空220.如图所示，若G, H, M, N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH, MN是异面直线的图形有22•下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.共点的三条直线确定一个平面D.梯形一定是平面图形23.空间中可以确定一个平面的条件是（）A.三个点 E.四个点 C.三角形 D.四边形24.给出下列语句:①一个平面长3口宽2m：②平面内有无数个点，平面可以看成点的集合;③空间图形是由空间的点、线、面所构成的.其中正确的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 425•下列图形中，不一定是平面图形的是（）A. 一组对边平行的四边形E.两组对边延长后，都相交的四边形C.四边相等的四边形D.对角线相交的四边形26.下列命题正确的是A.四边形确定一个平面E.经过一条直线和一个点确定一个平面C.经过三点确定-一个平面D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面27.下列命题一定正确的是（）A.三点确定一个平面B.依次首尾相接的四条线段必共面C.直线与直线外一点确定一个平面D.两条直线确定一个平面28.己知两条不同的直线仃加和两个不同的平面a、卩、有如下命题：①若lua，mua, /〃0,加||0,则a〃0；②若/UQ，/〃0, a^\P = m ,贝ij/||/n :③若a丄0, /丄0,贝ij/ca.其中正确的命题个数为A. 0B. 1C. 2D. 329.在空间四边形ABCD的各边43、BC、CD、04上的依次取点E、F、G、H ,若EF、GH所在直线相交于点P,则（）A.点p必在直线上B.点P必在直线4C上C.点P必在平面DBC内D.点P必在平面ABC外31.已知a、b是两条异面直线，c〃a,那么C与b的位置关系（）A. 一定是异面B. 一定是相交C.不可能相交D.不可能平行32.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且m ua,?iu0,下列命题中正确的是（）A.若a丄0,则m丄八B.若Q//0,贝恤//九C.若m丄？i,则a丄0D.若n丄a,则a丄033.和直线/都平行的直线a,b的位置关系是（）A.相交B.异面C.平行D.平行、相交或异面34.在空间四边形ABCD中，4C = BD,顺次连接它的各边中点£、F、G、H,所得四边形的形状是（）A.梯形B.矩形C.正方形D.菱形35.设加，"是两条不同的直线，Z0是两个不同的平面，给出下列四个命题：① 如果m//a, n//a t那么m//n；② 如果m//a f mu（3 , aC\p = n ,那么m //n；③如果加丄a,加u0,那么a丄0 :④如果a〃0,加ua, 〃//0,那么m //n. 其中正确的是（）A.①② E.②③ C.②④ D.③④36.已知加，刀是两条不重合的直线，0是两个不重合的平面，下面四个结论中正确的是（）A.若〃7ua, 〃u0, 丄”则Q丄0B.若in//a »加丄〃则〃丄aC.若a!/m » P//tn则a//0D.若a丄加，0丄加则a!![537.下列命题错误的是（）A. 不在同一直线上的三点确定一个平面B. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C. 如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面D.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面39.已知正方体AECD —AQCD ，则异面直线AQ 与BQ 】所成角为（）7T241.如图，ABCD-AxBxCxDx 为正方体，异面直线AD 与CB 】所成的角是（ ）异面直线AD k 与EF 所成角人小为（）・B. 45° C ・ 605 D ・ 9042.如图，在正方体ABCD-^C^中,M = 艮F 分别是BC.DC 中点，则B. 30°C. 60°D. 90°I)A.A. 30二填空题45・己知水平放置的△磁是按“斜二测画法”得到如卞图所示的直观图，其中孚则原△遊的面积为—BO = CO = 1,/48.三条直线两两平行，则过其中任意两条直线最多共可确定—个平面.49.在空间内，如果两条直线a和b没有公共点，那么。
与b的位置关系是50・如图，正方体ABCD-AWD、中，判断下列直线的位置关系：②直线月”与直线EC的位置关系是③直线与直线2C的位置关系是④直线AB与直线氏。
的位置关系是.51・如图，在过正方体ABCD-的任意两个顶点的所有直线中，与直线AC】异面的直线的条数为________三、解答题53.在长方体ABCP-A風GR中，0是/UG与另久的交点，长方体体对角线/UO交截面AB4于点R求证：6 P、S三点在同一条直线上.本卷由系统门动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
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