《实变函数》第一章 集合
第一章 集合 （总授课时数 8学时）
由德国数学家Cantor 所创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支，按其本性 而言，集合论是整个现代数学的逻辑基础；而就其发展历史而言，则与近代分析（包括 实变函数论）的发展密切相关，实变函数通常是第一门大量运用集合论知识的大学数学 课程．因此，在现代数学教育中，对集合论知识的较系统的介绍，通常构成实变函数教 材的第一章．不过，对于实变函数论来说，集合论毕竟只是一个辅助工具，因此，本章 仅介绍那些必不可少的集论知识．
§1、集合及其运算
教学目的 引入集的概念与集的运算, 使学生掌握集和集的基本运算规律.
本节重点 De Morgan 公式是常用的公式. 证明两个集相等和包含关系是经常要遇到的论
证, 通过例子使学生掌握其基本方法.集列的极限是一种新型的运算, 学生应理解其概念.
本节难点 对集列极限的理解. 授课时数 2学时
——————————————————————————————
一、集合的概念及其表示
集合也称作集，是数学中所谓原始概念之一，即不能用别的概念加以定义，它像几 何学中的“点”、“直线”那样，只能用一组公理去刻画．就目前来说，我们只要求掌握 以下朴素的说法：
“在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称 为一个集合，其中每个个体事物叫做该集合的元素．”
一个集合的元素必须彼此互异，而且哪些事物是给定集合的元素必须明确．以集合 作为元素的集合，也常称为集族或集类． 以后常用大写字母,,,,,,A B C D X Y Z
表示集合，用小写字母,,,,a b c x y
表示集合中的
元素．
如果a 是集合A 的元素，则说a 属于A ，记作a A ∈，或说A 含有a ．
如果a 不是集A 的元素，则说a 不属于A ，记作a A ?，或说A 不含有a ． 有些集合可用列举其元素的办法来表示，如：
只含有一个元素a 的集合称为单元素集或独点集，可表示为{}a ． 由n 个元素12
,n a a a 所组成的集合，可表示为12{,}n a a a
由全体自然数所组成的集合称为自然数集，可表示为{1,2,,,}n ．
当集A 是具有某性质P 的元素之全体时，我们用下面的形式表示A ：
{|}A x x p =具有性质
例如，方程2
10x -= 的解x 的全体组成的数集是2
{|10}x x -=，
实际上就是{1,1}-.
有时我们也把集{|,x x E x ∈具有性质}p 改写成[E x 具有性质]p ．例如，设()f x 是定义在集合E 上的一实函数，a 是一个实数，我们把集{|,()}x x E f x a ∈>写成
[()]E f x a >或[]E f a >．
不含任何元素的集合称为空集，记作?．
设A ，B 是两个集，若A 和B 的元素完全相同，就称A 和B 相等，记作A =B (或 B =A ).
若集合A 的元素都是集合B 的元素，就称为A 是B 的子集，记作A ∈B (或B ∈A )， 读作A 包含于B (或B 包含A )．
若A ∈B 且A B ≠,就称A 是B 的真子集，规定空集是任何集的子集． 由集的“相等”与“包含”的定义可得如下定理： 定理1 对任何集合A ，B ，C ，均有 （1）A A ?；
（2）若,A B B C ??，则A C ?； （3）A B A B =??且B A ?．
二 集合的运算
设A ，B 是两个集合，集合A 与B 的并集或并{:}A
B x x A x B =∈∈或
集合A 与B 的交集或交{:}A B x x A x B =∈∈且
特别地，若A B ?=?，称A 与B 不相交；反之，则称A 与B 相交．
集合A 减B 的差集或差:\{:}A B A B x x A x B -=∈?或但 当B A ?时，称差集A B -为B 关于A 的余集记作(A C B )．
当我们研究一个问题时，如果所讨论的集合都是某个固定集A 的子集时，就称A 为基本集或全集，并把A 的子集B 关于A 的余集A C B 简称为B 的余集，记为C
B 或CB .
并集与交集的概念可以推广到任意个集的情形，设Γ为一非空集合，并且对每一个
α∈Γ，指定了一个集合A α,此时我们称{|}A αα∈Γ是以Γ为指标集的集族，集族
{|}A αα∈Γ的并与交分别定义为:
{:,}A x x A αααα∈Γ
=?∈Γ∈使 {:,}A x x A αααα∈Γ
=?∈Γ∈有
例 设11
{:11},,n A x x n N n n
=--
<≤-∈则 1
[1,0]
n n A ∞
=?=-,1
(2,1)n n A ∞
=?=-
关于集合的并和交显然有下面的性质：(见课本P9-P10)
更一般地有:De Morgan 公式
(
)c c A A αααα∈Γ
∈Γ
=
,()c c
A A αααα∈Γ
∈Γ
=
证明（略）
注：通过取余集，使A 与C
A ，?与?互相转换.
三、集列极限
设12,,,,
n A A A 是一个集合序列，，其上限集和下限集分别定义为
上极限集：
lim (limsup ){:}{:}
n n n n n n n
A A x x A x A x A →∞
==∈或属于无限多个集合存在无限多个，使 {:,,}n x N n N x A =??≥∈使 1n N n N
A ∞∞
===
下极限集：
lim (n n A →∞
或liminf ){:n n
A x =除去有限个集外，有}{:n x A x ∈=当n 充分大时，有}n x A ∈
{:,,}n x N n N x A =??≥∈有 1n N n N
A ∞∞
===
注：
1
1
lim lim n n n n n n n n A A A A ∞∞
→∞
→∞
==???
例：设2n 21A [0,1],[1,2]n A +==，则上极限集为[0,2],下极限集为{1}. 极限集
如果集列{}n A 的上极限集与下极限集相等，即lim lim n n n n A A A →∞
→∞
==
则称集列{}n A 收敛，称其共同的极限为集列{}n A 的极限集，记为：lim n n A A →∞
=
单调增集列极限
1{}(),{};n n n n A A A n N A +??∈若集列满足则称为单调增加
1{}(),{};n n n n A A A n N A +??∈若集列满足则称为单调减少
定理2 ：单调集列是收敛的
1) 如果集列{}n A 单调增加，则1lim n n n n A A ∞→∞
==
2) 如果集列{}n A 单调减少，则1
lim n n n n A A ∞→∞
==
例1：设21211
(1,1),(,),,n n A A n n n N n n
-=-+
+=-+∈则 lim (,)n n A →∞
=-∞+∞，lim (1,1]n n A →∞
=-
例2：设2121111
[,4],[,1],,n n A A n N n n n n
-=-=-
+∈则 lim [0,4)n n A →∞
=，lim (0,1]n n A →∞
=
小 结 本节介绍了集的基本概念, 集的运算和运算性质. 这些知识是本课程的基础.
证明两个集的相等是经常会遇到的, 应掌握其证明方法. De Morgan 公式很重要, 以后
会经常用到. 集列的极限是一种与数列极限不同的极限, 应正确理解其概念.
——————————————————————————————
作业：P30 5, 7, 8
练习题
1. 设{}n A 为一集列： （1）作1111
,(1)n n n k k B A B A A n -===-
>，证明{}n B 为一列互不相交的集列，且
1
1
(1,2,)n n k k k k A B n ===
=
（2）若{}n A 是单调减少的集列，证明
1122311
()()()(
),n n k k A A A A A A A A ∞+==-?-?
?-?
?
并且其中各项互不相交. 2. 证明:
(1) lim n n A →∞
1n N n N
A ∞
∞
===
,lim n n A →∞
1n N n N
A ∞∞
===
(2) lim n n A →∞
?lim n n A →∞
(3) {}n A 单调递增时，有lim n n A →∞
=lim n n A →∞
=1lim n n n n A A ∞→∞
==
(4) {}n A 单调递减时，有lim n n A →∞
=lim n n A →∞
=1
lim n n n n A A ∞→∞
==
3. 已知221,,(1,2,)n n A E A F n -===，求lim n n A →∞
和lim n n A →∞
，并问lim n n A →∞
是否存在？
§2 对等与基数
教学目的 介绍映射, 基数,等概念和它们的属性.
本节要点 一一对应的思想与方法是贯穿本节的核心.基数的概念，讨论都要用一一对
应的方法.证明两个集对等或具有相同的基数,有时需要一定的技巧, 因而具有一定难度, 通过较多的例题和习题, 使学生逐步掌握其中的技巧.
本节难点证明两个集对等或具有相同的基数. 授课时数 2学时
——————————————————————————————
1 映射的定义
在数学分析课程中我们对函数已经很熟悉. 其中函数的定义域通常是n R 的子集, 值域是实数集或者复数集. 若将函数的定义域和值域换成一般的集, 可得到映射的概念. 定义：设X ,Y 是两个非空集合，若依照对应法则f ，对X 中的每个x ，均存在Y 中唯一的y 与之对应，则称这个对应法则f 是从X 到Y 的一个映射，记作:f X Y →
或：设X ,Y 是两个非空集合，f 是X Y ?的子集，且对任意x X ∈，存在唯一的y Y ∈使(,)x y f ∈，则f 是从X 到Y 的一个映射.
注：集合，元素，映射是一相对概念.
略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射，一一映射（双射）
在数学分析课程中研究的函数当然是一种映射. 除此之外, 我们还经常会遇到许多其它的映射. 例如, 定积分可以看作是可积函数集到实数集的映射, 求导运算可以看作是可导函数集到函数集的映射, 线性代数中的线性变换就是线性空间到线性空间的映射等.
2 集合运算关于映射的性质（像集）
定理1 ：设:,,,()f X Y A B A αα→∈Γ是X 的子集，称{():}f x x A ∈为A 的像集，记作()f A ，则有：
1)()();A B f A f B ??? 2)()()
(),f A
B f A f B =一般地有(
)();f A f A αααα∈Γ
∈Γ
=
3)()()(),f A B f A f B ?一般地有(
)();f A f A αααα∈Γ
∈Γ
?
证明的过程略 注：()()()f A
B f A f B = 一般不成立，如常值映射，等号成立当且仅当f 为单射.
集合运算关于映射的性质（原像集）
定理2：设:,,,,()f X Y A X C D C αα→?∈Γ是Y 的子集，称{:()}x f x C ∈为C 的原像集，记作1
()(f
C f -不一定有逆映射），则有：
111)()();C D f C f D --??? 1112)()()(),f C D f C f D ---=一般地有：11(
)();f C f C αααα--∈Γ
∈Γ
=
1113)()()
(),f C
D f C f D ---=一般地有：11(
)();f C f C αααα--∈Γ
∈Γ
=
111111
14)(\)()\();5)()[()];6)[()];7)[()];
c c f C D f C f D f C f C A f f A f f C C -------==??
证明略.
注：6），7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当f 为单射，7）等号成立当且仅当f 为满射.
3 对等与势
1）定义
设A ，B 是两非空集合，若存在着A 到B 的一一映射（既单又满），则称A 与B 对等,记作~A B . 约定~??.
注：（1）称与A 对等的集合为与A 有相同的势（基数），记作A . （2）势是对有限集元素个数概念的推广. 2）性质
)a 自反性：~;A A
)b 对称性：~~;A B B A ? )c 传递性：~,~~;A B B C A C ?
例：1)~~~N N N Z 奇数偶数
2)(1,1)~(,)--∞+∞
证明：令:()2
f x t g
x π
→，则f 是(1,1)-到(,)-∞+∞的一一映射.故
(1,1)~(,)--∞+∞
注：有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能. 3)基数的大小比较
)a 若~,A B 则称A B =；
)b 若1~,A B B ?则称A B ≤；相当于：A 到B 有一个单射，也相当于B 到A 有一个满射. )c 若,A B ≤且A B ≠，
则称A B <. 注：不能用A 与B 的一个真子集对等描述. 如：(1,1)~(1,1)(,)--?-∞+∞ 4 Bernstein 定理
引理：设{:}{:A B λλλλ∈Λ∈Λ，是两个集族，Λ是一个指标集，又,~,A B λλλ?∈Λ而且{:}A λλ∈Λ中的集合两两不交，{:}B λλ∈Λ中的集合两两不交，
那么：
~
A B λλλλ∈Λ
∈Λ
证明略
定理3:（Bernstein 定理）若有A 的子集*A ，使*
~,B A 及B 的子集*
B ，使*
~,A B 则
~.A B 即：若,,A B B A ≤≤则.A B =
证明：根据题设，存在A 到*
B 上的一一映射f ，以及B 到*
A 上的一一映射g .令
*1\A A A =，11()B f A =，21()A g B =，22()B f A =，32()A g B =，33()B f A =，
由*
()g B A =知*21(),A g B A =?而*1\A A A =，故1A 与2A 不交. 从而12,A A 在f 的
像12,B B 不交，12,B B 在g 下的像23,A A 不交.
由*
3,A A ?知1A 与3A 不交，故123,,A A A 两两不交.从而123,,A A A 在f 的像123
,,B B B 也两两不交，
从而123,,,A A A 两两不交，123,,,
B B B 也两两不交且~(1,2,
),f
n n A B n =
所以
1
1
~
f
n n n n A B ∞∞
==
另外由1~(1,2,
),g
k k B A k +=可知
11
1
~
g k k k k B A ∞∞+==
又*
~,g
B A 所以
*
11
1
\
~\
g
k k k k B B A A ∞
∞
+==，*
11111
1
\
(\)\
\
k k k k k k A A A A A A A ∞∞∞
++=====
∴ 11\
~\
k k k k B B A A ∞
∞
==
∴ 1
1
1
1
(\
)(
)~(\
)(
)k k k k k k k k A A A A B B B B ∞
∞
∞
∞
======
证毕．
注：要证A B =，需要在A 与B 间找一个既单又满的映射；而要证A B ≤，，只需找一个单射即可；从而我们把找既单又满的映射转化成找两个单射.
例：(1,1)~[1,1]--
证明：由(1,1)[1,1](,)~(1,1)-?-?-∞+∞-可知，(1,1)~[1,1]--
——————————————————————————————
作业：P30 9, 10
练习题
1. 1R 上以有理数为端点的区间的全体所成之集与自然数集之间能否建立一一对应？ 2．证明:若,,A B C A C ??则A B C .
3. 证明：若A B ?，A
A C ?，则有B
B C ?.
4.设F 是[0,1]上的全体实函数所成的集合，而M 是[0,1]的全体子集所成的集合，则
F M .
§3、可数集合
教学目的 介绍可数集概念及其运算它们的属性.
本节要点 可数集是具有最小基数的无限集.可数集性质十分重要，不少对等问题可以
与可数集联系起来, 可数集证明技巧较强 通过较多的例题和习题, 使学生逐步掌握.
本节难点证明集合可数.
授课时数 2学时
——————————————————————————————
１ 可数集的定义
与自然数集N 对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为a 或0?
1,2,3,4,5,6
123456
,,,,,a a a a a a
注：A 可数当且仅当A 可以写成无穷序列的形式
123456{,,,,,}a a a a a a
例：1）Z={0,1,-1,2,-2,3,-3
}
2）[0,1]中的有理数全体={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,
}
２ 可数集的性质（子集）
定理1 任何无限集合均含有可数子集.
证明：设M 是一个无限集，取出其中的一个元素从M 中任取一元素，记为1e .则
M 1{}e -≠?,在M 1{}e -中取一元素2e ,显然21e e ≠.设从M 中已取出n 个互异元素
1,2,
n e e e ,由于M 是无限集，故1,2{,
}n M e e e -≠?,于是又可以从1,2{,
}n M e e e -中
取出一元素1n e +,它自然不同于1,2,
n e e e .
所以，由归纳法，我们就找到M 的一个无限子集1,2{,,}n
e e e 它显然是一个可数集．证
毕．
这个定理说明可数集的一个特征：它在所有无限集中有最小的基数． 可数集的性质（并集）
有限集与可数集的并仍为可数集 有限个可数集的并仍为可数集
可数个可数集的并仍为可数集
{}123,,,A a a a =，{}12,,,n B b b b =，{}123,,,C c c c =
假设,,A B C 两两不交，则
{}1212,,
,,,,
n A B b b b a a ?= （当集合有公共元素时，不重复排）
{}112233,,,,,,A C a c a c a c ?=
关于可数个可数集的并仍为可数集的证明
11,a 12,a
13,a 14a ， 21,a 22,a 23,a 24a ， 31,a 32,a 33,a 34a ， 41,a 42,a 43,a 44a ，
,,,，
当i A 互不相交时，按箭头所示，我们得到一个无穷序列; 当i A 有公共元时，在排列的过程中除去公共元素；
因此
1
n n A ∞
=是可数集。
说明: 与Hilbert 旅馆问题比较; 如何把无限集分解成无限个无限集合的并?
例 全体有理数之集Q 是可数集
首先[0,1]中的有理数全体={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …}是可数集，
([0,1])([1,0])([1,2])([2,1])Q Q Q Q Q =???-????--?
所以Q 是可数集（可数个可数集的并）
说明：有理数集在直线上稠密,但仍与稀疏分布在直线上的整数集有相同多的点(对等意义下).
3 可数集的性质（卡氏积）
定理：有限个可数集的卡氏积是可数集
只须证：设,A B 是可数集，则A B ?也是可数集（利用数学归纳法即得有限个乘积的情形）
{(,)|,}x A B x y x A y B ∈?=∈∈=?从而A B ?
例1 平面上以有理点为圆心，有理数为半径的圆全体A 为可数集
证明：平面上的圆由其圆心(,)x y 和半径r 唯一决定,从而
~{(,,)|,,}A Q Q Q x y r x y Q r Q ++??=∈∈
例2 代数数全体是可数集
整系数多项式方程的实根称为代数数；不是代数数的实数成为超越数。
x
固定，
y 在变
设P 是整系数多项式全体所成之集, n P 是n 次整系数多项式全体
110{|,1,2,
,,0}n n n n n i n P a x a x a a Z i n a --=++
+∈=≠
首先 0
P Z ，~({0})n n P Z Z Z Z -???
?个
（有限个可数集的卡氏积）
故 0
n n P P ∞
==
为可数集（可数个可数集的并）
由代数基本定理知任意n 次整系数多项式至多有有限个实根，从而结论成立.
例3 设A 是一个无限集，则必有*A A ?，使*
A A ，而*A A - 可数
证明：由A 是一个无限集，则A 包含可数子集{}123,,,
e e e ，令
{}0123,,,
A A e e e =-，{}*135,,,A A e e e =-，
则
*A A ?，{}{}*0
2460
123,,,,,,A A e e e A e e e A == 且
{}*135,,,
A A e e e -=
是可数集，证毕.
小 结 本节利用一一对应的思想, 给出了集的基数和可数集的定义. 集的基数是有限 集元素的个数在无限集的推广. 可数集是具有最小基数的无限集. 可数集经过有限或 可数并运算后仍是可数集. 有理数集是一个重要的可数集
——————————————————————————————
作业：P30 12, 15
练习题
1、 设A 中的元素是直线上两两不交的开区间，则A 为至多可数集.
2、 怎样建立无限集与它的一个真子集的一一对应关系？
3、 证明任一可数集的所有有限子集全集是可数集.
4、 证明递增函数的不连续点的全体为至多可数集.
§4、 不可数集合
教学目的 介绍不可数集概念及其属性.
本节要点 区间[0,1]是典型不可数集，注意比较可数集与不可数集性质的异同，利用R 集
证明相关问题具有重要意义 ，相应的证明技巧较强，通过较多的例题和习题,使学生逐步掌握.
本节难点证明集合不可数. 授课时数 2学时
——————————————————————————————
不是可数集的无限集称为不可数集． 1 不可数集的存在性
定理1 区间[]0,1是一个不可数集．
证明： 假设[]0,1可数，则[]0,1上的点可以排成一个无穷序列：
12,,,,
n x x x
记[]0,1为0I ，把0I 三等分于其中取一不含1x 的闭区间，记为1I ，则1I 的长度11||3
I =.再把1I 三等分，取其中不含2x 的闭区间，记为2I ，则221
||3
I =，这样下去，可以得到一列闭区间{}n I 满足：
0121
,||,3n n n n n
I I I I I x I ?????=
? 故{}n I 形成闭区间套，因此存在唯一点0(0,1,2,)n x I n ∈=，而由假设，0n N ?∈使
得00n x I ?，这与0(0,1,2,
)n x I n ∈=矛盾，故[]0,1是不可数集.
2 连续势集的定义
定义1：与区间[]0,1对等的集的基数称为连续基数（连续势），这个基数记作c ． 推论1 c a >
证明： 由定理1.4.1 知，a c ≠．但[]{}11
0,11,,,1,2,3,23???????
，故c a >.
证毕．
推论2 开区间()0,1的基数也是c ． 定理2 全体实数所成之集R 的基数是c ． 证明 令 21
()tan ,2
x x ?π-= (0,1)x ∈，则?是()0,1到(),-∞+∞上的一一映射，所以R 的基数是c .
推论1 全体无理数所成之集的基数是c ．
3 连续势集的性质（卡氏积）
（1）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集
定理3 设12{(,,
,,):(0,1)}n i A x x x x =∈，则A =?（证明略）
推论 n 维Euclid 空间n R 的势为? （2） 连续势集的性质（并集）
连续势集的（有限个，可数个，连续势个）并仍为连续势集
定理4 实数列全体所成之集E ∞的基数是c ．（证明略）
4 无最大势定理
定理5（Cantor ）：设A 是一个任意给定的非空集合，则2.A A >.
证明：首先A 与2A 的一个子集对等是显然的，只考虑~{{}:}2A
A a a A ∈?即可。
假设~2A A ，则存在A 到2A
上的一一映射:~2A
A ?，令*
{:,()}A a a A a a ?=∈?， 由于*A 是A 的子集，即*2A
A ∈，因此存在*a A ∈，使得*
*
()a A ?= （1） 若**a A ∈，则由*
A 的定义，有*
*
*
()a a A ??= （2） 若*
*
*
()a A a ??=，则由*
A 的定义，有**a A ∈
这是矛盾的.故2.A A >.
5 可数势与连续势
定理6：2N R =或{01}N
R =，（即02?
?=）
证明：由于N 的子集全体与特征函数全体存在一一对应关系，故2N
与{}0,1N
对等；
下证：{01}N
=?，
对任意的{01},N
?∈，
令1
()
();3n
n n f ??∞
==∑
易知:{01}[0,1]N f →，
是单射，所以{01}N ≤?，.
另一方面，对(0,1)x ?∈，设1,2
n
n
n a x ∞
==∑ 0,1n a =（有无穷多1）（即：将x 写成二进制小数123
a a a 0.，且要求不以0为循环节）.
作:(0,1){0,1}N
g →；{0,1}N x
?∈，其中(),1,2,3,
n n a n ?==（即将小数
123a a a 0.对应到序列{123,,,
a a a }）
易证(0,1){0,1}N
g →：
是单射，因此2N ≥?. 由Bernstein 定理知2N =?. 连续统假设
Cantor 认为在0?与?之间不存在别的基数，即不存在这样的集合A,使得0A ?<
Hilbert 在1900年第二届国际数学家大会上将它列为二十三个难题的第一个问题。
小 结. 直线上的区间是典型的不可数集. 证明一个给定的集是可数集或不可数集是应
当掌握的基本技巧.
——————————————————————————————
作业：P30 17, 18
练习题
1. 直线1R 中任何包含非空开区间的点集都具有连续势?.
2. 设,A B ?=?则A B ，中至少有一个势为?.
3. 设1,n n A ∞
=?=?则n A 中至少有一个势为?.
4. [0,1]上的全体连续函数集E 的势为?.
必修一第一章集合与函数概念同步练习(含答案)
第一章 集合与函数概念同步练习 1.1.1 集合的含义与表示 一. 选择题： 1.下列对象不能组成集合的是（ ） A.小于100的自然数 B.大熊猫自然保护区 C.立方体内若干点的全体 D.抛物线2x y =上所有的点 2.下列关系正确的是（ ） A.N 与+Z 里的元素都一样 B.},,{},,{c a b c b a 与为两个不同的集合 C.由方程0)1(2=-x x 的根构成的集合为}1,1,0{ D.数集Q 为无限集 3.下列说法不正确的是（ ） A.*0N ∈ B.Z ?1.0 C.N ∈0 D.Q ∈2 4.方程???-=-=+3 212y x y x 的解集是（ ） A.}1,1{- B.)1,1(- C.)}1,1{(- D.1,1- 二.填空题： 5.不大于6的自然数组成的集合用列举法表示______________. 6.试用适当的方式表示被3除余2的自然数的集合____________. 7.已知集合}7,3,2,0{=M ，由M 中任取两个元素相乘得到的积组成的集合为 ________. 8.已知集合}012{2=++∈=x ax R x M 只含有一个元素，则实数=a ______,若M 为空集,可a 的取值范围为_________. 三.解答题： 9.代数式}{)8(2x x x ∈-- ，求实数x 的值。 10.设集合A=},,2),{(N y x x y y x ∈+-=，试用列举法表示该集合。 11.已知}33,2{12+++∈x x x 试求实数x 的值。
1.1.2 集合的含义与表示 一. 选择题： 1.集合Φ与}0{的关系，下列表达正确的是（ ） A.φ=}0{ B.φ?}0{ C.}0{∈φ D.φ}0{? 2.已知集合A=}3,2,1{，则下列可以作为A 的子集的是（ ） A.}4,1{ B.}3,2{ C.}4,2{ D.}4,3,1{ 3.集合},,{c b a 的非空真子集个数是（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 4.已知集合M={正方形}，N={菱形}，则（ ） A.N M = B.N M ∈ C.M ≠?N D.N ≠?M 二.填空题 5.用适当的符号填空 ① },2_____{0Z n n x x ∈= ② }_____{ 1质数 ③ },,_____{}{c b a a ④ }0))((_____{},{=--b x a x x b a ⑤},12______{},14{++∈+=∈+=N k k x x N k k x x 6.写出集合}1{2=x x 的所有子集_______________________ 7.设集合}{},63{a x x B x x A <=≤<-=，且满足A ≠?,B 则实数a 的取值范围是_________ 三.解答题 8.已知集合B 满足}2,1{≠?B ?}5,4,3,2,1{，试写出所有这样的集合 9.已知}5{>=x x A ，}3{x x B <=，试判断A 与B 的关系 10.已知A=}3,4,1{},2,1{a B a =+，且B A ?，求a 的值
实变函数第一章复习题及解答(1)
第一章 复习题（一） 一、判断题 1、大人全体构成集合。（× ） 2、小个子全体构成集合。（× ） 3、所有集合都可用列举法表示。（× ） 4、所有集合都可用描述法表示。（√ ） 5、对任意集合A ，总有A ??。（√ ） 6、()A B B A -?=。（× ） 7、()()A B B A B B A A -?=?=-?。（√ ） 8、若B A ?，则()A B B A -?=。（√ ） 9、c A A ?≠?，c A A X ?=，其中X 表示全集。（× ） 10、A B B A ?=?。（× ） 11、()c c c A B A B ?=?，()c c c A B A B ?=?。（× ） 12、()()()A B C A C B C ??=???，()()()A B C A C B C ??=???。（√ ） 13、若A B ，B C ，则A C 。（√ ） 14、若A B ，则A B =，反之亦然。（√ ） 15、若12A A A =?，12B B B =?，且11A B ，22A B ，则A B 。（× ） 16、若A B ?，则A B ≤。（√ ） 17、若A B ?，且A B ≠，则A B <。（× ） 18、可数集的交集必为可数集。（× ） 19、有限或可数个可数集的并集必为可数集。（√ ） 20、因整数集Z ?有理数集Q ，所以Q 为不可数集。（× ） 21、()c c A A =。（√ ） 二、证明题 1、证明：c A B A B -=?。 证明：对任意x A B ∈-，有x A ∈且x B ?，从而x A ∈且c x B ∈，即c x A B ∈?， 所以 c A B A B -??；反之，对任意c x A B ∈?，有x A ∈且c x B ∈，从而x A ∈且x B ?，
集合与函数概念单元测试题_有答案
高一数学集合与函数测试题 一、 选择题（每题5分，共60分） 1、下列各组对象：○12008年北京奥运会上所有的比赛项目；○2《高中数学》必修1中的所有难题；○3所有质数；○4平面上到点(1,1)的距离等于5的点的全体；○5在数轴上与原点O 非常近的点。其中能构成集合的有（ ） A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组 2、下列集合中与集合{21,}x x k k N +=+∈不相等的是（ ） A ．{23,}x x k k N =+∈ B ．{41,}x x k k N +=±∈ C ．{21,}x x k k N =+∈ D ．{23,3,}x x k k k Z =-≥∈ 3、设221()1x f x x -=+，则(2)1()2 f f 等于（ ） A ．1 B ．1- C ．35 D ．35- 4、已知集合2{40}A x x =-=，集合{1}B x ax ==，若B A ?，则实数a 的值是（ ） A ．0 B ．12± C ．0或12± D ．0或12 5、已知集合{(,)2}A x y x y =+=，{(,)4}B x y x y =-=，则A B =I （ ） A ．{3,1}x y ==- B ．(3,1)- C ．{3,1}- D ．{(3,1)}- 6、下列各组函数)()(x g x f 与的图象相同的是（ ） （A ）2)()(,)(x x g x x f == （B ）22)1()(,)(+==x x g x x f （C ）0)(,1)(x x g x f == （D ）???-==x x x g x x f )(|,|)( )0()0(<≥x x 7、是定义在上的增函数,则不等式的解集
(完整版)中职数学集合单元测试
9．方程组229 1 x y x y ?-=?+=? 的解集是 A ．()5,4 Ｂ． (){}5,4- C ．()5,4- D ．(){}5,4- 10．集合{}|32x N x +∈-<用列举法可表示为 A ．{}1,2,3,4 Ｂ．{}1,2,3,4,5 C ．{}0,1,2,3,4 D ．{}0,1,2,3,4,5 11．下列四个集合中，空集的是 A ．{}|x x x 且>7<4 Ｂ．{}0 C ．{} 2 |10x N x ∈-= D ．{}|4x x < 12．"5"x <是""x <3的 A ．充分条件 Ｂ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 二．填空题（5×6＝30分） 13．方程2 230x x --=的解集与集合A 相等。若集合A 中的元素是,a b ，则a b += 。 14．指出下列集合间的关系：{} 2 |90A x x =-=，{}3,3B =-，则A B 。 15．若{ }{}2 1,1,1,0,1x -=-，则x = 。 16．{}{}|2|x x x x -=I ><3 17．设全集{}|9x N x S ∈=<，{}0,1,2,3,4,5A =，{}2,4,6B =，则s A =C { }， s B =C { }， 18．设全集{}0,1,2,3S =,{} 2 |0A x S x mx =∈+=，若{ }1,2s A =C ，则实数m = 。 三．综合题（10×6＝60分）
20．已知2A -∈，A 中含有的元素有2 3,22,2a a a --+，求a 的值。 22．指出下列命题中，p 是q 的什么条件？ （1）p ：x >5 ，5y >，q ：25xy > （2）p ：这个整数各个数位上的数字之和是3的倍数，q ：这个整数能被3整除。 （3） p ：两个角是对顶角，q ：这两个角相等。 21．请分别用列举法和描述法表示下列集合： (1)方程2 40x -=的所有实数根组成的集合； (2)由大于10小于15的所有整数组成的集合。
人教版高一数学必修一第一章 集合与函数概念知识点
高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
胡适耕实变函数答案第一章(B)
第一章习题 B 36．若A ΔB =A ΔC ，则B =C ． 证一：（反证）不妨设，?x 0∈B ,且x 0?C 1) x 0∈A ,则x 0?A ΔB ，x 0∈A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾 2) x 0?A ，则x 0∈A ΔB ，x 0?A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾 所以假设不成立，即B =C ． 证二：()B A A ??()[]()[]A B A B A A \\??= =()()B A B B A =\ 同理()C C A A =??，现在已知A B A C ?=?故上两式左边相等，从而C B =． 37．集列{A n }收敛?{A n }的任何子列收敛． 证 由习题8集列{}n A 收敛?特征函数列{} n A χ收敛，由数分知识得数列 {}n A χ收敛?{}n A χ的任一子列{}j n A χ 均收敛，又由习题8可得{}j n A 收敛． 38．设)2,1}(:/{ =∈=n Z m n m A n ,则lim n n A =Z ，lim n n A =Q ． 证 显然有lim lim n n n n Z A A Q ??? 1） 假设?x \,Q Z ∈使x ∈lim n n A ∴?N >0,当n>N 时，有n x A ∈，特别地， n x A ∈，1n x A +∈ ∴?m 1,m 2∈Z ,使x =1m n ,x =21m n + ∴1m n =21 m n + 从而1 21,m m m n =+ 这与m 2∈Z 矛盾，所以假设不成立，即：lim n n A =Z ． 2）?x ∈Q,则?m,n ∈Z,使得x = m n ∴x=m n =2m n n ?=…=1k k m n n +?=… ∴x ∈k n A ,(k =1,2…),从而x ∈lim n n A ∴lim n n A =Q ．
集合与函数概念测试题
新课标数学必修1第一章集合与函数概念测试题(1) 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。 1．用描述法表示一元二次方程的全体，应是 （ ） A ．｛x ｜ax 2 +bx +c =0，a ，b ，c ∈R ｝ B ．｛x ｜ax 2 +bx +c =0，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ C ．｛ax 2 +bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ｝ D ．｛ax 2 +bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ 2．图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3．设集合P=｛立方后等于自身的数｝，那么集合P 的真子集个数是 （ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 4．设P=｛质数｝，Q=｛偶数｝，则P ∩Q 等于 （ ） A ． B ．2 C ．｛2｝ D ．N 5．设函数x y 111+ = 的定义域为M ，值域为N ，那么 （ ） A ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ≠0｝
B ．M=｛x ｜x ＜0且x ≠－1，或x ＞0}， N={y ｜y ＜0，或0＜y ＜1，或y ＞1} C ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ∈R ｝ D ．M=｛x ｜x ＜－1，或－1＜x ＜0，或x ＞0｝ ，N=｛y ｜y ≠0｝ 6．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50t C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150) 5.20(,60t t t t D ．x =? ????≤<--≤<≤≤) 5.65.3(),5.3(50150) 5.35.2(,150) 5.20(,60t t t t t 7．已知g (x )=1-2x , f [g (x )]=)0(122 ≠-x x x ,则 f (2 1)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 8．函数y= x x ++ -1912是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶数 9．下列四个命题 （1）f(x)= x x -+-12有意义; （2）函数是其定义域到值域的映射; （3）函数 y=2x(x N ∈)的图象是一直线；
中职数学第一章练习题
1.1集合的概念 知识梳理 1.集合的概念：由某些的对象组成的叫做集合，简称集；组成集合的对象叫做这个集合的。 2.集合的表示:一般采用大写英文字母A、B、C表示，小写英文字母a、b、c，…表示集合中的。 3.几个常用数集的表示：自然数集记作；正整数集记作 ；整数集记作；有理数集记作；实数集记作；空集记作。 4.集合与元素之间的关系：如果a是集合A的元素，就说a A,记作，如果a不是集合A的元素，就说a A，记作。 5.集合的分类：含有元素的集合，叫做有限集，含有无限多个元素的集合叫做。不含叫空集，记作。 6.集合的表示法：集合的表示法分为和。 训练题 A组 1.用符号“∈”或“?”填空： (1)3.14 R (2) (3) 1 2 N (4)-2 N (5) (6) πR 2.选择题：
（1）下列对象能组成集合的是（ ） A ．大于5的自然数 B.一切很大的数 C ．班上个子很高的同学 D.班上考试得分很高的同学 （2）下列对象不能组成集合的是（ ） A ．不大于8的自然数 B.很接近于1的数 C ．班上身高超过1.8米的同学 D.班上数学小测中得分在85分以上的同学 3.下列对象能否组成集合？若能组成集合，判断哪些是有限集？哪些是无限集？哪些是空集？ （1）某班学习成绩好的同学； （2）绝对值不小于3的所有整数； （3）方程x-6=0的解集； （4）方程2x +2=0的解集。 B 组 1. 用符号“∈”或“?”填空： (1) 0 ?； （2）0 ｛0｝ （3）1 2 - Q （4）2 2{x |x 40}+= 2.选择题： （1）以下集合中是有限集的是（ ） A ．{x Z |x 3}∈< B.｛三角形｝ C ．{x |x 2n,n Z}=∈ D.2{x |10}R x ∈-= （2）下列关系正确的是（ ）
高中数学第一章集合与函数概念1.1.1.1集合的含义练习(含解析)新人教A版必修1
高中数学第一章集合与函数概念1.1.1.1集合的含义练习（含解 析）新人教A 版必修1 知识点一 集合的概念 1.下列对象能组成集合的是( ) A ．中央电视台著名节目主持人 B ．我市跑得快的汽车 C ．上海市所有的中学生 D ．香港的高楼 答案 C 解析 对A ，“著名”无明确标准；对B ，“快”的标准不确定；对D ，“高”的标准不确定，因而A ，B ，D 均不能组成集合．而对C ，上海市的中学生是确定的，能组成集合． 2．由实数－a ，a ，|a |，a 2 所组成的集合最多含有的元素个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B 解析 当a ＝0时，四个数都是0，组成的集合只有一个数0，当a ≠0时，a 2 ＝|a |＝ ? ?? ?? a a >0，－a a ＜0，所以组成集合中有两个元素，故选B. 知识点二 元素与集合的关系 3.给出下列关系式：2∈R,0.3∈Q,0?N,0∈N * ，2∈N *，－π?Z .其中正确的有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 答案 A 解析 正确的有2∈R,0.3∈Q ，－π?Z . 4．已知集合A 中元素满足2x ＋a ＞0，a ∈R ，若1?A ，2∈A ，则( ) A ．a ＞－4 B ．a ≤－2 C ．－4＜a ＜－2 D ．－4＜a ≤－2
答案 D 解析 ∵1?A ，∴2×1＋a ≤0，a ≤－2. 又∵2∈A ，∴2×2＋a ＞0，a ＞－4， ∴－4＜a ≤－2. 知识点三 集合中元素特性的应用 2 ＝B ，求实数c 的值． 解 分两种情况进行讨论． ①若a ＋b ＝ac ，a ＋2b ＝ac 2 ，消去b ，得a ＋ac 2 －2ac ＝0. 当a ＝0时，集合B 中的三个元素均为0，与集合中元素的互异性矛盾，故a ≠0.所以c 2 －2c ＋1＝0，即c ＝1，但c ＝1时，B 中的三个元素相同，不符合题意． ②若a ＋b ＝ac 2 ，a ＋2b ＝ac ，消去b ，得2ac 2 －ac －a ＝0. 由①知a ≠0，所以2c 2 －c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0. 解得c ＝－12或c ＝1(舍去)，当c ＝－1 2时， 经验证，符合题意． 综上所述，c ＝－1 2 . 易错点 忽视集合中元素的互异性致误 易错分析 本题产生错误的原因是没有注意到字母a 的取值带有不确定性而得到错误答案两个元素．事实上，当a ＝1时，不满足集合中元素的互异性． 正解 x 2－(a ＋1)x ＋a ＝(x －a )(x －1)＝0，所以方程的解为x 1＝1，x 2＝a . 若a ＝1，则方程的解集中只含有一个元素1；若a ≠1，则方程的解集中含有两个元素1， a .
实变函数第一章答案
习题1.1 1．证明下列集合等式． (1) ()()()C A B A C B A \\=； (2) ()()()C B C A C B A \\\ =； (3) ()()()C A B A C B A \\\=． 证明 (1) )()C \B (c C B A A = )()( c c C B A A B A = c C A B A )()( = )(\)(C A B A = . (2) c C B A A )(C \B)(= )()(c c C B C A = =)\()\(C A C A . (3) )(\C)\(B \c C B A A = c c C B A )( = )(C B A c = )()(C A B A c = )()\(C A B A =. 2．证明下列命题． (1) ()A B B A = \的充分必要条件是：A B ?； (2) ()A B B A =\ 的充分必要条件是：=B A ?； (3) ()()B B A B B A \\ =的充分必要条件是：=B ?． 证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c c ==== )()()()\(的充要条 是：.A B ? (2) c c c c B A B B B A B B A B B A ===)()()(\)( 必要性. 设A B B A =\)( 成立，则A B A c = , 于是有c B A ?, 可得.?=B A 反之若,?≠B A 取B A x ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ?∈且与c B A ?矛盾.
充分性. 假设?=B A 成立, 则c B A ?, 于是有A B A c = , 即.\)(A B B A = (3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\( =, 即.\c C A B A B A == 若,?≠B 取,B x ∈ 则,c B x ? 于是,c B A x ? 但,B A x ∈ 与c C A B A =矛盾. 充分性. 假设?=B 成立, 显然B A B A \= 成立, 即B B A B B A \)()\( =. 3．证明定理1.1.6． 定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 ;lim n n n n A A (2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 . lim n n n n A A 证明 (1) 设),1(1≥??+n A A n n 则对任意 ∞ =∈ 1 ,n n A x 存在N 使得,N A x ∈ 从而 ),(N n A x N ≥?∈ 所以,lim n n A x ∞ →∈ 则.lim 1 n n n n A A ∞→∞ =? 又因为 ∞ =∞ →∞ →??1 ,lim lim n n n n n n A A A 由此可见{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 ;lim n n n n A A (2) 当)1(1≥??+n A A n n 时, 对于, lim n n A x ∞ →∈存 )1(1≥?<+k n n k k 使得 ),1(≥?∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0 n n A A x k ?∈ 可见.lim 1 ∞ =∞ →?n n n n A A 又因为,lim lim 1 n n n n n n A A A ∞ →∞ →∞ =?? 所以可知{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 .lim n n n n A A 4．设f 是定义于集合E 上的实值函数，c 为任意实数，证明： (1) ??? ???+≥=>∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (2) ?? ? ???+<=≤∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞ →，则对任意实数c 有 ?????? ->=????? ?->=≥∞→∞=∞ =∞ =∞ =k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111 ． 证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+ ∈Z n 使得n c x f 1)(+ ≥成
集合与函数概念测试题
修文县华驿私立中学2012-2013学年度第一学期单元测试卷（四） （内容：集合与函数概念 满分：150 时间：120 制卷人：朱文艺） 班级： 学号： 姓名： 得分： 一、选择题：（以下每小题均有A,B,C,D 四个选项，其中只有一个选项正确，请把你的正确答案填入相应的括号中，每小题5分，共60分） 1. 下列命题正确的是 （ ） A ．很小的实数可以构成集合 B ．集合{} 1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合 C ．自然数集N 中最小的数是1 D ．空集是任何集合的子集 2. 已知{}32|≤≤-=x x M ，{}41|>-<=x x x N 或， 则N M 等于 （ ） A. {}43|>≤=x x x N 或 B. {}31|≤<-=x x M C. {}43|<≤=x x M D.{}12|-<≤-=x x M 3. 函数2() = f x （ ） A. 1 [,1]3- B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3 -∞- 4. 下列给出函数()f x 与()g x 的各组中，是同一个关于x 的函数的是 （ ） A ．2 ()1,()1x f x x g x x =-=- B ．()21,()21f x x g x x =-=+ C ．2(),()f x x g x == D ．0()1,()f x g x x == 5. 方程组? ??-=-=+122 y x y x 的解集是 （ ） A ．{}1,1==y x B ．{}1 C.{})1,1(|),(y x D ． {})1,1( 6．设{} 是锐角x x A |=，)1,0(=B ，从A 到B 的映射是“求正切”，与A 中元素0 60相对应的B 中元素是 （ ） A ．3 B ． 33 C ．21 D ．2 2
必修一第一章集合及函数概念同步练习(含答案)
（ 第一章 集合与函数概念同步练习 1.1.1 集合的含义与表示 一. 选择题： 1.下列对象不能组成集合的是（ ） A.小于100的自然数 B.大熊猫自然保护区 C.立方体内若干点的全体 D.抛物线2x y =上所有的点 2.下列关系正确的是（ ） 与+Z 里的元素都一样 B.},,{},,{c a b c b a 与为两个不同的集合 : C.由方程0)1(2=-x x 的根构成的集合为}1,1,0{ D.数集Q 为无限集 3.下列说法不正确的是（ ） A.*0N ∈ B.Z ?1.0 C.N ∈0 D.Q ∈2 4.方程???-=-=+3 212y x y x 的解集是（ ） A.}1,1{- B.)1,1(- C.)}1,1{(- D.1,1- 二.填空题： 5.不大于6的自然数组成的集合用列举法表示______________. 6.试用适当的方式表示被3除余2的自然数的集合____________. > 7.已知集合}7,3,2,0{=M ，由M 中任取两个元素相乘得到的积组成的集合为 ________. 8.已知集合}012{2=++∈=x ax R x M 只含有一个元素，则实数=a ______,若M 为空集,可a 的取值范围为_________. 三.解答题： 9.代数式}{)8(2x x x ∈-- ，求实数x 的值。
10.设集合A=},,2),{(N y x x y y x ∈+-=，试用列举法表示该集合。 11.已知}33,2{12+++∈x x x 试求实数x 的值。
1.1.2 集合的含义与表示 一. 选择题： | 1.集合Φ与}0{的关系，下列表达正确的是（ ） A.φ=}0{ B.φ?}0{ C.}0{∈φ D.φ}0{? 2.已知集合A=}3,2,1{，则下列可以作为A 的子集的是（ ） A.}4,1{ B.}3,2{ C.}4,2{ D.}4,3,1{ 3.集合},,{c b a 的非空真子集个数是（ ） 4.已知集合M={正方形}，N={菱形}，则（ ） A.N M = B.N M ∈ C.M ≠?N D.N ≠?M & 二.填空题 5.用适当的符号填空 ① },2_____{0Z n n x x ∈= ② }_____{1质数 ③ },,_____{}{c b a a ④ }0))((_____{},{=--b x a x x b a ⑤},12______{},14{++∈+=∈+=N k k x x N k k x x 6.写出集合}1{2=x x 的所有子集_______________________ 7.设集合}{},63{a x x B x x A <=≤<-=，且满足A ≠?,B 则实数a 的取值范围是_________ 三.解答题 ） 8.已知集合B 满足}2,1{≠?B ?}5,4,3,2,1{，试写出所有这样的集合 9.已知}5{>=x x A ，}3{x x B <=，试判断A 与B 的关系
集合与函数概念单元测试
集合与函数概念单元测试 一、选择题 1．集合},{b a 的子集有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2、已知函数x x f -=21)(的定义域为M ，2)(+=x x g 的定义域为N ，则=?N M A.{}2-≥x x B.{}2
10.已知函数212x y x ?+=?-? (0)(0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是（ ） A ．-2 B ．2或52- C ． 2或-2 D ．2或-2或52 - 11.下列四个函数中，在（0，∞）上为增函数的是 （A ）f （x ）＝3－x （B ）f （x ）＝x 2－3x （C ）f （x ）＝－｜x ｜ （D ）f （x ）＝－2 3+x 12、定义在R 上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞]上是减函数，又6)7(=f ，则)(x f A 、在[－7，0]上是增函数，且最大值是6 B 、在[－7，0]上是增函数，且最小值是6 C 、在[－7，0]上是减函数，且最小值是6 D 、在[－7，0]上是减函数，且最大值是6 二、填空题 13.已知集合M={(x ，y )|x ＋y =2}，N={(x ，y )|x －y =4}，那么集合M∩N＝ ． 14.已知f （x ）是偶函数，当x ＜0时，f （x ）＝x （2x －1），则当x ＞0时，f （x ）＝＿＿ 15． 设f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x-1)，则g(x)= ． 16．定义域为2[32,4]a a --上的函数f(x)是奇函数，则a= ． 17．设32()3,()2f x x x g x x =-=-，则(())g f x = ． 三．解答题 18．.已知集合A={-1，a 2+1,a 2-3},B={-4,a-1,a+1},且A∩B={-2}，求a 的值.(13分) 19．已知集合A={} 71<≤x x ，B={x|2 中职数学----第一章- -集合--习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第一节集合的概念 1 .下列对象能否组成集合： （1）所有小于10的自然数；（2）某班个子高的同学； （3）方程210 x->的所有解x-=的所有解；（4）不等式20 2．用符号“∈”或“?”填空： （1）?3 N，0.5 N，3 N； （2）1.5 Z，?5 Z，3 Z； （3）?0.2 Q，πQ，7.21 Q； （4）1.5R，?1.2 R，πR． (5) 0 ?； 0 N；3 R； 0.5 Z； (6) 1 {1,2,3}； 2 {x|x<1}； 2 {x|x=2k+1, k∈Z}． 3．指出下列各集合中，哪个集合是空集？ （1）方程210 x+=的解集． x+=的解集；（2）方程22 4．用列举法表示下列集合： （1）由大于4-且小于12的所有偶数组成的集合； （2）方程x2=1的解集． （3）方程x2=9的解集； （4）方程430 x+=的解集； （5）由数1，4，9，16，25组成的集合； （6）所有正奇数组成的集合． 5．用描述法表示下列各集合： （1）不等式2x+1>3的解集； （2）所有奇数组成的集合； （3）由第一象限所有的点组成的集合． （4）大于3的实数所组成的集合； （5）方程240 x-=的解集； （6）大于5的所有偶数所组成的集合； （7）不等式253 x->的解集． 4 用适当的方法表示下列集合： （1）方程x+5=0的解集； （2）不等式3x-7>5的解集； （3）大于3且小于11的偶数组成的集合； 必修一数学第一章集合与函数概念知识点总结 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P ,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆ 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1） 列举法：{a,b,c ……} 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x ∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4） Venn 图: 4、集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x 2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。 反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A B 或B A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x 2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。A ?A ②真子集:如果A ?B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C ④ 如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 ◆ 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n-1个真子集 B A ?? /?/ 第一章习题解答 1、证明 A Y(B I C)＝(A Y B)I(A Y C) 证明：设x∈A Y(B I C)，则x∈A或x∈(B I C)，若x∈A，则x∈A Y B，且 x∈A Y C，从而x∈(A Y B)I(A I C)。若x∈B I C，则x∈B且x∈C，于是x∈A Y B 且x∈A Y C，从而x∈(A Y B)I(A Y C)，因此 A Y(B I C) ? (A Y B)I(A Y C) (1) 设x∈(A Y B) I(A Y C)，若x∈A，则x∈A Y(B I C)，若x∈A，由x∈A Y B 且x∈A Y C知x∈B且x∈C，所以x∈B I C，所以x∈A Y(B I C)，因此 (A Y B)I(A Y C) ? A Y(B I C) (2) 由(1)、(2)得，A Y(B I C)＝(A Y B)I(A Y C) 。 2、证明 ①A－B＝A－(A I B)＝(A Y B)－B ②A I(B－C)＝(A I B)－(A I C) ③(A－B)－C＝A－(B Y C) ④A－(B－C)＝(A－B)Y(A I C) ⑤(A－B)I(C－D)＝(A I C)－(B Y D) (A－B)＝A I B A－(A I B)＝A I C(A I B)＝A I(CA Y CB) ＝(A I CA)Y(A I CB)＝φY(A I CB)＝A－B (A Y B)－B＝(A Y B)I CB＝(A I CB)Y(B I CB) ＝(A I CB)Yφ＝A－B ②(A I B)－(A I C)＝(A I B)I C(A I C) ＝(A I B)I(CA Y CC)＝(A I B I CA)Y(A I B I CC)＝φY[A I(B I CC)]＝ A I(B－C) ③(A－B)－C＝(A I CB)I CC＝A I C(B Y C) ＝A－(B Y C) ④A－(B－C)＝A I C(B I CC)＝A I(CB Y C) ＝(A I CB) Y(A I C)＝(A－B)Y(A I C) ⑤(A－B)I(C－D)＝(A I CB)I(C I CD) ＝(A I C)I(CB I CD)＝(A I C)I C(B Y D) 集合与函数概念测试题 一、选择题（每小题5分，满分60分） 1．已知(){},3A x y x y =+=，(){},1B x y x y =-=，则A B = （ ）. A ．{}2,1 B ．(){}2,1 C ．{}2,1x y == D ．()2,1 2．如图，U 是全集，,,M P S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ）. A ．()M P S B ．()M P S C ．()()U M P C S D ．()()U M P C S 3．下列各组函数表示同一函数的是（ ）． (A) 2 (),()f x g x = = (B) 0 ()1,()f x g x x == (C) 2 1()1,()1 x f x x g x x -=+=- （D ）2 (),()f x g x = = 4．函数{}()1,1,1,2f x x x =+∈-的值域是（ ）． (A) 0,2,3 (B) 30≤≤y (C) }3,2,0{ （D ）]3,0[ 5．已知函数2 2 1()12,[()](0)x g x x f g x x x -=-= ≠，则(0)f 等于（ ） ． (A) 3- (B) 32 - (C) 32 （D ） 3 6．函数2 ()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上递减，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．3a ≥- (B) 3a ≤- (C) 5a ≤ （D ）3a ≥ 7．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，1)(+-=x x f ，则当0 1．2.1集合之间的关系 学习目标 1.理解子集、真子集的概念. 2.理解集合相等并能用符号和Venn图表达集合间的关系. 3.掌握列举有限集的所有子集的方法． 知识点一子集与真子集 思考1如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？ 答案所有的白马都是马，马不一定是白马． 思考2我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？答案用真子集． 梳理 1.子集与真子集 2.子集的性质 (1)规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有??A. (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即A?A. (3)如果A?B，B?C，则A?C. (4)如果A?B，B?C，则A?C. 知识点二集合的相等 思考“中国的直辖市”构成的集合记为A，由北京、上海、天津、重庆四个城市构成的集 合记为B，请问集合A与集合B的元素有什么关系？你认为集合A与集合B有什么关系？答案A中的元素与B中的元素完全相同，A与B相等． 梳理集合的相等 知识点三集合关系与其特征性质之间的关系 1．一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A?B，则x∈A?x∈B，于是x具有性质p(x)?x具有性质q(x)，即p(x)?q(x)． 反之，如果p(x)?q(x)，则A一定是B的子集，其中符号“?”是“推出”的意思． 2．如果命题“p(x)?q(x)”和命题“q(x)?p(x)”，都是正确的命题，这时我们常说，一个命题的条件和结论可以互相推出，互相推出可用符号“?”表示，于是，上述两个正确的互逆命题可表示为p(x)?q(x)，显然，如果p(x)?q(x)，则A＝B；反之，如果A＝B，则p(x)?q(x)． 类型一集合间关系的判断 命题角度1概念间的包含关系 例1设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为() A．P?N?M?Q B．Q?M?N?P中职数学----第一章--集合--习题
必修一数学第一章集合与函数概念知识点总结
实变函数习题解答
第一章 集合与函数概念测试题
高中数学：第一章 集合与函数的概念 1.2.1