关于求二元函数最值问题

关于求二元函数最值问题

引言

我们知道，一元函数的极值是讨论函数在某一点的局部性的概念，而二元函数的最值是研究函数在某一区域内的最大值与最小值。在这里，我们可以将二元函数的最值问题转化为我们熟知的一元函数的最值。同样，我们需要考察函数在所有稳定点、无偏导点以及属于区域的界点上的函数值。

例一：求函数F(x,y)=x 3+2x 2-2xy+y 2的极值和在D=[]2,2-×[]2,2-上的最大值与最小值。 解：F X (x,y)=3x 2-4x-2y=0 得F 的稳定点P 1(0,0)，P 2(-23

,-

23

)

F Y (x,y)=-2x+2y=0

而F x x (x,y)=6x+4,F X Y (x,y)=-2,F YY (x,y)=2 (F x x (0,0)F X Y (0,0)-F YY (0,0)2)=4, F x x (-23

,-

23

)F X Y (-

23

,-

23

)-F YY (-

23

,-

23

)2=-4

则F(x,y)在P 1(0,0)处取得极小值，F(x,y)在P 2(-23

,-

23

)处不取得极值。且F(0,0)=0

现在讨论边界

①x=-2,F(2,y)=y 2+4y,y ∈[]2,2-

F '(-2,y)=2y+4>0,F(-2,y)在[]2,2-上单调递增。 F(-2,-2)=-4,F(-2,2)=12

②x=2,F(2,y)=y 2-4y+16,y ∈[]2,2- F '(2,y)=2y-4<0,F(2,y)在[]2,2-上单调递减 F(2,-2)=28,F(2,2)=12

③y=-2,F(x,-2)=x 3+2x 2+4x+4,x ∈[]2,2- F '(x,-2)=3x 2+4x+4=3(x+

23

)2+

83

>0,F(x,-2)在[]2,2-上单调递增

F(-2，-2)=-4，F(2，-2)=28

④y=2,F(x,2)=x 3+2x 2-4x+4,x []2,2∈-

F '(x,2)=3x 2+4x-4,的极值点（-2,2）（23

,2）

F(-2,2)=12，F(2,2)=12，F(

23

,2)=

6827

综上所述：最大值为28，在（2，-2）处取得，最小值为-4，在（-2，-2）取得。 总结：

⑴,求偏导，得稳定点，对函数求二阶偏导。 ⑵求出稳定点的极值。

⑶定一求二，求出区域界点上的函数值。 ⑷求出最大值与最小值。

例二：求Z=x 2-y 2,在(){}22,/4x y x y +≤范围内的最大值与最小值。 解:Z X =2x=0 得稳定点（0，0） Z Y =2y=0

由于Z X X =-2,Z YY =-2,Z X Y =0 (Z X X Z YY -Z 2

X Y

)(0,0)=-4<0,即（0，0）不是极值点。

在边界224x y +=上，

Z=224x -,Z '=4x,y []2,2∈-,得稳定点（0，-2）（0，2） Z=4-2y 2, Z '=4y,x []2,2∈-,得稳定点（-2,0）（2,0） Z(0,2)=Z(0，-2)=-4，Z(-2,0)=Z(2,0)=4

综上所述：最大值为4，在（-2,0）（2,0）处取得。最小值为-4，在（0，-2）（0，2）处取得。 例三，Z=

2

2

1

x y x y +++的最大值与最小值。

解;定义域x (),∈-∞+∞,y (),∈-∞+∞

Z X =

2

2

2

22

(1)2()(1)

X

Y X X Y X

Y ++-+++=

22

2

2

2

21

(1)

Y X XY X

Y --+++=0

Z Y =

2

2

2

22

(1)2()(1)

X

Y Y X Y X

Y ++-+++=

2

2

2

22

21

(1)

X Y XY X Y --+++=0

得稳定点1

1,

2

2⎛⎫

⎪⎝

⎭，11,22⎛⎫

-- ⎪⎝⎭

2

2

,lim

01

x y x y x y →∞→∞

+=++，则Z 在定义域上连续。

则最大值为Z 11,

2

2⎛⎫ ⎪⎝

⎭=22，最小值Z 11,22⎛

⎫-- ⎪⎝

⎭=22-