高中数学人教A版常用逻辑用语章末复习课

章末复习课

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1．有关真假命题的判断方法

(1)是灵活根据题干和选择项进行判断，主要是选出错误的命题，所以可以利用特例法确定选择项，即只需举出一个反例即可说明命题是假命题．

(2)对于较难判断的问题，可以转化为逆否命题来解决．

2．正确理解逻辑联结词的含义

(1)已知命题p、q，只要有一个命题为假，p∧q就为假；只要有一个为真，p∨q就为真，綈p与p真假相对．

(2)注意命题的否定与命题的否命题的区别，这是两个很容易混淆的概念，要准确把握它们的基本形式，不能混淆．

3．解决全称量词与存在量词问题需要注意的两个方面

(1)准确掌握含有全称量词与存在量词的命题的否定形式，这两类命题的否定形式有严格的格式，不要和一般命题的否命题的形式混淆．

(2)要掌握判断全称命题与特称命题的真假的特例法，即只要找出一个反例就可说明全称命题为假，只要找到一个正例就可以说明特称命题为真．

专题一 充分条件与必要条件的理解及判定

1．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件和结论之间的关系，解决此类问题的基本步骤是：

(1)确定条件是什么，结论是什么；

(2)把复杂的条件(结论)化简；

(3)尝试从条件推结论，从结论推条件；

(4)确定是什么条件．

2．充分条件与必要条件的判定是高考的热点内容，其考查形式主要以选择题或填空题为主，题目难度不大．

[例1] 已知p ：－2＜m ＜0，0＜n ＜1，q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正实根，试判断p 是q 的什么条件．

解：若关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正实根，则Δ＝m 2－4n ＞0，即m 2＞4n .

设方程的两根为x 1，x 2，则0＜x 1＜1，0＜x 2＜1，

有0＜x 1＋x 2＜2，且0＜x 1x 2＜1.

根据根与系数的关系，有?????x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n .

解得?????0＜－m ＜2，0＜n ＜1.

所以－2＜m ＜0，0＜n ＜1，且m 2＞4n ，即有q ?p .

反之，取m ＝－13，n ＝12

， 那么方程变为x 2

－13x ＋12＝0，Δ＝19－4×12＜0. 此时方程x 2＋mx ＋n ＝0无实根，所以p

q .

综上所述，p 是q 的必要不充分条件．

归纳升华 若p ?q ，但p ?/q ，则p 是q 的充分不必要条件；若p q ，但p ?q ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ?q ，则p 是q 的充要条件；若p q ，且p ?/q ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．

[变式训练] 下列各题中，p 是q 的什么条件？说明理由．

(1)p ：a 2＋b 2＝0；q ：a ＋b ＝0；

(2)p ：a ≤－2或a ≥2；q ：方程x 2＋ax ＋a ＋3＝0有实根；

(3)p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切；q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2.

解：(1)因为a 2＋b 2＝0?a ＋b ＝0，a ＋b ＝0?/ a 2＋b 2＝0，

所以p 是q 的充分不必要条件．

(2)当a ≤－2或a ≥2时，如a ＝3，则方程x 2＋3x ＋6＝0无实根，而x 2＋ax ＋a ＋3＝0有实根时，Δ≥0，得a ≤－2或a ≥6，可推出a ≤－2或a ≥2.所以p 是q 的必要不充分条件．

(3)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即r ＝|c |a 2＋b 2

，从而c 2＝(a 2＋b 2)·r 2，反之，也成立．所以p 是q 的充要条件．

专题二四种命题的关系及真假判断

命题“若p，则q”的逆命题为“若q，则p”，否命题为“若綈p，则綈q”，逆否命题为若“綈q，则綈p”．书写这四种命题时应注意：(1)分清命题的条件与结论，注意大前提不能当作条件来对待；

(2)要注意条件和结论的否定形式．在高考试题中，常以选择题的形式考查命题真假的判断．若以填空题形式出现，则往往要求写出命题的否定或逆否命题等．

[例2]给出下列命题：

①已知a＝(3，4)，b＝(0，－1)，则a在b方向上的投影为－4.

②函数y＝tan(x＋π

3)的图象关于点(

π

6，0)成中心对称．

③命题“如果a·b＝0，则a⊥b”的否命题和逆命题都是真命题．

④若a≠0，则a·b＝a·c是b＝c成立的必要不充分条件．

其中正确命题的序号是________．

解析：①因为|a|＝5，|b|＝1，a·b＝－4，所以cos＝－4 5，

所以a在b方向上的投影为|a|·cos＝－4，①正确．

②当x＝π

6时，tan?

?

?

?

?

x＋

π

3

无意义，

由正切函数y＝tan x的图象的性质知，②正确．

③因为原命题的逆命题为“若a⊥b则a·b＝0”为真，所以其否命题也为真．所以③正确．

④当a≠0，b＝c时，a·b＝a·c成立．

(当a≠0，a·b＝a·c时不一定有b＝c.)

所以④正确．

答案：①②③④

归纳升华

要说明一个命题为真命题，应给出理论证明，如本例；而要说明一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．

[变式训练]有下列四种说法：(1)命题“若x2－x－6>0，则x>3”的否命题是“若x2－x－6<0，则x≤3”；(2)命题“等腰三角形的两边相等”的否命题是“等腰三角形的两边不相等”；(3)命题“若ab>0，则a>0，b>0”的逆命题是“若a>0，b>0，则ab>0”；

(4)命题“若直线l与平面α有交点，则l?α或l与α相交”的逆否命题是“若l?α或l与α不相交，则直线l与平面α没有交点”．其中正确的个数是________．

解析：(1)命题“若x2－x－6>0，则x>3”的否命题是“若x2－x －6≤0，则x≤3”，所以(1)错误．(2)命题“等腰三角形的两边相等”的否命题是“若一个三角形不是等腰三角形，则它的两边不相等”，所以(2)错误．(3)命题“若ab>0，则a>0，b>0”的逆命题是“若a>0，b>0，则ab>0”，(3)正确．(4)命题“若直线l与平面α有交点，则l?α或l与α相交”的逆否命题是“若l?α且l与α不相交，则直线l与平面α没有交点”，所以(4)错误．所以正确命题的个数为1.

答案：1

专题三简单的逻辑联结词“且”“或”“非”

复合命题的真假，要根据真值表准确判断，而知道复合命题的真假，也要能准确得出简单命题p、q的真假，在这个过程中，可以大胆假设推测，以便最后能确定，有些情况下推出的结果可能不唯一，要反过来检验．

[例3]已知命题p：?x∈R，2x＜3x；命题q：?x∈R；x3＝1－x2，则下列命题为真命题的是()

A ．p ∧q

B ．(綈p )∧q

C ．p ∧(綈q )

D ．(綈p )∧(綈q )

解析：对于命题p ，当x ≤0，2x ≥3x ，故p 为假命题，綈p 为真命题；对于命题q ，分别作出函数y ＝x 3和y ＝1－x 2的图象(图略)，易知q 为真命题．所以p ∧q 为假，(綈p )∧q 为真，p ∧(綈q )为假，(綈p )∧(綈q )为假．

答案：B

归纳升华

1．p ∧q 只有在p 、q 均为真命题时才是真命题，而p ∨q 在p ，q 均为假命题时才是假命题．解此类题目，要先判断p ，q 的真假．

2．“p ∨q ”成立有三种情形：只有p 成立，只有q 成立，p ，q 同时成立，这三种情况依次对应于集合并集中的(U B )∪A ，(U A )∪B ，A ∪B .

[变式训练] 已知命题p ：?x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0，命题q ：?x ∈?

????0，π2，cos x <1，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q

B ．p ∨(綈q )

C ．(綈p )∧q

D ．p ∧(綈q )

解析：当x 0<0时，2x 0>3x 0，所以不存在x 0∈(－∞，0)使得

2x 0<3x 0成立，即p 为假命题，显然?x ∈?

????0，π2，恒有cos x <1，所以命题q 为真，所以(綈p )∧q 是真命题．

答案：C

专题四 反证法 反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题：“若p ，则q ”的否定是“若p ，则綈q ”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p ，则綈q ”为假，从而可以得出“若p ，则q ”为真，从而达到证明的目的．反证法是高中数学的一种基本方法，在前面学习的不等式和立体几何的证明中已用到，在高考题中也经常涉及，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．

[例4] 设三个正实数a ，b ，c 满足条件1a ＋1b ＋1c

＝2，求证：a ，b ，c 中至少有两个数不小于1.

证明：假设a ，b ，c 中至多有一个数不小于1，这包含下面两种情况．

(1)a ，b ，c 三数均小于1，即0＜a ＜1，0＜b ＜1，0＜c ＜1，则1a

＞1，1b ＞1，1c ＞1.所以1a ＋1b ＋1c

＞3，与已知条件矛盾； (2)a 、b 、c 中有两个数小于1，不妨设0＜a ＜1，0＜b ＜1，而c ≥1，则1a ＞1，1b ＞1.所以1a ＋1b ＋1c ＞2＋1c

＞2，也与已知条件矛盾．所以假设不成立．

所以a ，b ，c 中至少有两个数不小于1.

归纳升华

1．作出正确反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，要注意一些常用的“结论否定形式”．

2．需注意作出的反设必须包括与结论相反的所有情况．

[变式训练] 判断命题“如果m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2”的真假．

解：“如果m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“如果m＋n>2，则m2＋n2≠2”．

由于m＋n>2，则m2＋n2≥1

2(m＋n)2>

1

2×22＝2，

所以m2＋n2≠2.

这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题.

专题五转化与化归思想的应用

将此问题转化为彼问题来解决是数学中常用的手段，一个数学问题难度较大或过于抽象时可等价转化为较直观或较易解决的问题，也就是将“未知”的问题“已知化”，将复杂的问题简单化，这样有助于问题的解决，此即为等价转化．

[例5]判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．解：法一(直接法)．

逆否命题：已知a、x为实数，如果a＜1，

则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．

判断如下：

抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2图象的开口向上，

判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.

因为a＜1，所以4a－7＜0.

即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，

所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．

法二(先判断原命题的真假)．

因为a、x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，

则4a －7≥0，解得a ≥74

， 因为a ≥74

＞1，所以原命题为真． 又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．

归纳升华

转化与化归思想主要体现在：

1．原命题与其逆否命题之间的等价转化；

2．命题的等价性与充要条件之间的等价转化；

3．充要条件与集合包含关系之间的转化．

[变式训练] 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＜0，q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．

解：令A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＜0}＝{x |3a ＜x ＜a ，a ＜0}，

B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0}

＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x ＜－4或x ＞2}

＝{x |x ＜－4或x ≥－2}．

因为綈p 是綈q 的必要不充分条件，

所以綈q ?綈p ，且綈p

綈q ，

则{x |綈q }{x |綈p }． 而{x |綈q }＝R B ＝{x |－4≤x ＜－2}，

{x |綈p }＝R A ＝{x |x ≤3a 或x ≥a ，a ＜0}．

因为{x |－4≤x ＜－2}

{x |x ≤3a 或x ≥a ，a ＜0}，

所以?????3a ≥－2，a ＜0或?????a ≤－4，a ＜0.

所以－23

≤a ＜0或a ≤－4， 故a 的取值范围是(－∞，－4]∪????

??－23，0. 专题六 分类讨论思想

分类讨论思想使复杂的问题化整为零，要注意讨论中的不重不漏．

[例6] 已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p ∨q ”是真命题，“p ∧q ”是假命题，求实数a 的取值范围．

解：p 真：Δ＝(－a )2－4×4≥0，所以a ≤－4或a ≥4.

q 真：－a 4

≤3，所以a ≥－12. 由“p ∨q ”是真命题，“p ∧q ”是假命题得：p 、q 两命题一真一假．

当p 真q 假时，a ＜－12；当p 假q 真时，－4＜a ＜4.

综上，a 取值范围为(－∞，－12)∪(－4，4)．

归纳升华

若命题“p ∨q ”“p ∧q ”中含有参数，在求解时，可以先等价转化命题p ，q ，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p ∨q ”“p ∧q ”的真假情况分类讨论参数的取值范围．[变式训练] 已知命题p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根；命题q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围．

解：x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根?

?????m 2－4＞0，－m ＜0，

? m ＞2. 4x 2＋4(m －2)＋1＝0无根实?16(m －2)2－16＜0?m 2－4m ＋3＜0

?1 ＜m ＜3.

因为p ∨q 为真，p ∧q 为假，所以p 和q 一真一假，

所以当p 真q 假时，有?????m ＞2，

m ≤1或m ≥3，解得m ≥3；

当p 假q 真时，有?????m ≤2，

1＜m ＜3，解得1＜m ≤2.

所以所以m 取值范围为{m |1＜m ≤2或m ≥3}．