第1章 线性规划及单纯形法

( 2) ( 3)
可行解(或可行点) 可行域 最优解
满足约束条件(2)、(3)的解 X ( x1 , x2 , xn )
全部可行解的集合 使目标函数(1)达到最大值的可行解
最优解集合 最优解的全体 最优值 最优解的目标函数值
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设Am×n为约束方程组(2)的系数矩阵(设n＞m), R(A)=m 不失一般性，设 基 B是矩阵A的m×m阶的满秩子矩阵， a11 a1m ( P , , P ) 基可行解 满足变量非负 B 1 m 约束条件(3)的基解 a m 1 a mm 基向量 基B的每一个列向量Pj ( j=1,…, m) 可行基 对应于基可行解的基 基变量 与基向量Pj 对应的变量xj 非基变量 线性规划中除基变量以外的其他变量 基解 在约束方程组(2)中, 令非基变量xm+1=…=xn=0,可解出 m个基变量的惟一解XB=(x1,…,xm), X=(x1,…,xm,0,…0)T,
n
ij
x j bi
xn1 a ij x j bi
j 1
n
剩余变量
a
j 1
n
ij
x j xn1 bi ( xn1 0)
说明：松弛变量和剩余变量在实际问题中分别表示未 被利用的资源和超用的资源数，均未转化为价值和利 润，所以引进模型后它们在目标函数中的系数均为零。
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1-1 问题的提出
例1.1 生产计划问题 常山机器厂生产I、II两种产品，这两种 产品都要分别在A、B、C三种不同设备上加工。生产三 种产品，已知的条件如下表所示，问该企业应安排生产 两种产品各多少件，使总的利润收入为最大。
生产每件产品占 产品 I 用设备时间(h) 设备A 设备B 设备C 单位产品的利润 （元） 产品 II 计划期内用于 生产的能力
x2 x 2 x3 x x 3 3
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1-4 线性规划问题的解
线性规划问题
max z c j x j
j 1 n
(1)
n a ij x j bi ( i 1,2, , m ) s .t . j 1 xj 0 ( j 1,2, , n)
5 x2 15 x1 , x2 0
Q4
Q3 Q2
o
Q1
x1
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图解法的启示
(1) 求解线性规划问题时，解的情况有：惟一最优解、无 穷多最优解、无界解、无可行解；
(2) 若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一个凸集； (3) 若线性规划问题的最优解存在，则最优解或最优解之一 (如果有无穷多的话)一定能够在可行域的某个顶点找到； (4) 解题思路：先找出凸集的任一顶点，计算在顶点处的目 标函数值，比较周围相邻顶点的目标函数值是否比这个值更 优，若为否，则该顶点就是最优解的点或最优解的点之一， 否则转到比这个点的目标函数值更优的另一顶点重复上述过 程，一直到找出使目标函数值达到最优的顶点为止。
「线性规划」带来巨额财富
与其他传统数学学门相比较, 线性规划 算是非常「年轻」却非常「实用」的一门应 用数学。根据对二十世纪八十年代的一项调 查, 在美国「财富」杂志(Fortune) 名列前 五百名的大公司中, 百分八十五均曾应用线 性规划的方法来协助公司的营运。由此可见 线性规划应用面的宽广与普及。
max z x1 x 2 x 3 2 x1 x 2 2 x 3 x4 2 x1 2 x 2 x5 2 s .t . x1 x 2 x 3 5 x 2 0, x i 0, i 1,4,5
max z x1 x ( x x ) 2 3 3 2 x1 x 2( x x ) x4 2 2 3 3 x1 2 x x5 2 2 s .t . 2 3 3 x1 x ( x x) 5 x 0, x 0, x 0, x i 0, i 1,4,5 3 3 2
max z 2 x1 3 x2 2 x1 2 x2 12
s.t.
x2
B(0,6) 2x1+2x2=12 4x1=16 Q4 Q3 Q2 A(6,0)
4 x1 16
5 x2 15 x1 , x2 0 z =15 z =12 z =9
5x2=15
z 2 x1 3 x2
矩阵表示形式
max(或min) z CX
AX (或 , )b s .t . X 0
a11 a 21 矩阵 A a m1
a12 a 22 am2
a1n a 2n a mn
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为系数矩阵(或约束矩阵)。
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内容小结
基本概念
线性规划、可行解、可行域、最优解、最优 值、基基向量、(非)基变量、基解、可行基 基本计算 把问题转化为标准形式 用图解法解线性规划
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§3 单纯形法原理

预备知识：凸集和顶点 几个基本定理的证明 确定初始基可行解 从初始基可行解转化为另一基可行解 最优性检验和判别
2 z x2 x1 3 3
o
Q1
x1
唯一最优解
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线性规划问题解的情况：



无可行解(可行域是空集) 无界解或无最优解(可行域无界) 最优解存在且唯一，则一定在顶点上达到 最优解存在且不唯一(无穷多最优解)，一定存 在顶点是最优解
x2
(1)无可行解
max z 2 x1 3 x2 2 x1 2 x2 12 2x1+2x2=12 x1 2 x2 14
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3-1 预备知识：凸集和顶点
凸集 如果集合C中任意两个点X1、X2，其连线上的所有点 也都是集合C中的点， 即对任何X 1 C , X 2 C 有aX1 (1 a ) X 2 C (0 a 1) 顶点 如果集合C中不存在任何两个 不同的点X1、X2，使X成为这 两个点连线上的一个点，
解： 系数矩阵
P1 P2 P3 P4 1 2 3 4 A 2 2 1 2
基 x1 x2
基解 x3 x4
是基可行解？
目标函数值
P1 P2 -4 5.5 0 0 P1 P3 2/5 0 11/5 0 P1 P4 -1/3 0 0 11/6 P2 P3 0 1/2 2 P2 P4 0 -1/2 0 0 1 P3 P4 0
2 4 0 2
2 0 5 3
12 16 15
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占用设备 产品 产品 可用的 I 时间(h) 能力 II 设备A 设备B 设备C 利润（元） 2 4 0 2 2 0 5 3 12 16 15
问 题 分 析
可控因素(所求变量): 设在计划期内生产I、II两 种产品的数量分别为 x1 , x2
目标：使得总利润最大，即利润函数： x1 3 x2 达到最大. 2 计划期内设备的使用量不超过可用量： 受制条件： 设备A： 2 x1 2 x2 12 设备B： 4 x1 16 设备C：
0 2 1
R(A)=2
× √ × √ × √
43/5 5 5
√ √
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§2 图解法

优点： 直观性强、计算方便 缺点：只适用问题中有两个变量的情况 步骤：建立坐标系，将约束条件在图上表示； 确立满足约束条件的范围； 绘制出目标函数的图形； 确定最优解
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例2.1 用图解法解线性规划
1-3 线性规划问题的标准形式
(1)标准形式
max z c j x j
j 1 n
取极大
bi≥0,等式约束
n a ij x j bi ( i 1,2, , m ) s .t . j 1 xj 0 ( j 1,2, , n)
非负约束
n n
(2)化为标准形式的方法 n min z c x z z
模 型
max 2 x1 3 x2 2 x1 2 x2 12
s.t.
5 x2 15
蕴含约束：产量为非负数
4 x1 16
5 x2 15 x1 , x2 0
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x1 , x2 0
1-2 线性规划问题的数学模型
(1) 规划问题的数学模型的3个组成要素： 决策变量、目标函数、约束条件 (2) 线性规划问题的数学模型：
m Cn 基解总数
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例1.3 列出下述线性规划问题的全部基、基解、 基可行解、最优解
min z 5 x1 2 x 2 3 x 3 2 x4 x1 2 x 2 3 x3 4 x4 7 s .t . 2 x1 2 x 2 x3 2 x4 3 x 0, j 1,2,3,4 j
x1 , x2 0
x1+2x2=14
s.t.
o
x1
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x2
(2)无界解
max z 2 x1 3 x2
4x1=16
4 x1 16
s.t.
x1 , x2 0
o x1
(3)无穷多最优解
max z 3 x1 3 x2
x2
2 x1 2 x2 12
s.t.
4 x1 16
目标函数
约束条件
x j ; j 1,2,..., n
以上模型的简写形式
max(或min) z c j x j
a ij x j (或 , )bi ( i 1,2, , m ) s .t . j 1 xj 0 ( j 1,2, , n)
①

j 1
j
j
max z c j x j ( c j ) x j
j 1 j 1
②
a
j 1
n
ij
x j bi
Leabharlann Baidu
xn1 bi aij x j
j 1
n
松弛变量
a
j 1
n
ij
x j xn1 bi ( xn1 0)
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a
j 1
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第1章 线性规划及单纯形法 §1 一般线性规划问题的数学模型 §2 图解法 §3 单纯形法原理 §4 单纯形法的计算步骤

主 要 内 容
§5单纯形法的进一步讨论 §6 数据包络分析
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§1 一般线性规划问题的数学模型

问题的提出 线性规划问题的数学模型 线性规划问题的标准形式 线性规划问题的解
决策变量为可控的连续变量、 目标函数和约束条件都是线性
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(3) 一般线性规划问题的数学模型的表示形式：
max(或min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn (或 , )b1 a x a x a x (或 , )b 22 2 2n n 2 21 1 s.t . a x a x a x (或 , )b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x2 , , xn 0
③
x j 取值无约束
x j x j x j
x j 0, x j 0
xj 0
xj x j
xj 0
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例1.2 把问题转化为标准形式
min z x1 x 2 x 3 2 x1 x 2 2 x 3 2 x1 2 x 2 2 s .t . x1 x 2 x 3 5 x1 0, x 2 0
n
n
为待定的 决策变量
c j ; j 1,2,..., n
j 1
价值 系数
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向量表示形式
max(或min) z CX
n Pj x j (或 , )b s .t . j 1 X 0
其中
价值 向量
右端 向量
C (c1 , c2 , , cn ) a1 j x1 b1 a x b 2j 2 2 X ; P j ; b a mj xn bm