流形学习问题总结
流形学习算法中的参数选择问题研究
ｏＮ ＰＡＲＡＭ ＥＴＥＲ ＳＥＬＥＣＴＩ ＯＮ Ｎ ＡＮＩ Ｉ Ｍ ＦｏＬＤ ＬＥＡＲＮＩ ＮＧ ＡＬＧＯｌ ＵＴＨＭ
求保持数据 内在几何特性 ， 于流形上所有 的点 ， ｏ ｐ用它们 对 Ｉ ｍａ ｓ
０ 引 言
流形学 习算法是近年来 发展起来 的一类机器 学 习算 法 ， 文
献［］ １ 提出的等度规特 征映射 （ｓｍａ ） Ｉ ｐ 算法 以及 文献 ［ ， ］ ｏ ２ ３ 提 出的局部线性嵌入 （ Ｌ ） Ｌ Ｅ 算法引领了该领 域快 速地发展 。流形 的定义是 ： 设 是一个 Ｈ ｕｄｒ ａ ｓｏｆ ｆ拓扑空 间 ， 对每 一点都 有 Ｐ 若 ∈Ｍ， 都有 Ｐ的一个 开邻域 Ｕ和 Ｒ 的一个开 子集 同胚 ， 则称
ｆ ｔ ｅｍａｐｎ Ｉ ｍａ ）ａ ｄｌ ａ ｌ ｅｒｅ ｂｄ ｉｇ（ Ｌ ｅ ｕ ｐ ｉｇ（ｓ ｐ ｎ ｏ ｌ ｉ ａ ｍ ｅｄｎ Ｌ Ｅ）ａｅｔｏｔ ｉａ ｍａｉｌ ａｎ ｇａ ｏｉ ｍｓＣ ｍ ａ ｓｎａｄａａ ｓ ｆｈ ａｒ ｏ ｃ ｎ ｒ ｐｃｌ ｎｏｄｌ ｒｉ ｌ ｒｈ ． ｏ ｐ ｉ ｎ ｎｌ ｉ ｏ ｅ ｗ ｙ ｆ ｅ ｎ ｇ ｔ ｒ ｏ ｙｓ ｔ
ＷａｇＺ ｊ Ｈ ａｍ ｎ ｎ ｅｉ ｅ ｕＨ ｏ ｉ
（ ｏ ｐ ｔ ｇ Ｃｎｅ，ｈ ｎ ｈｉＵ ｉ ｒｔ ｎｉ ｅ ｎ Ｃ ｍ ｕｉ ｅｔ Ｓ ａｇ ａ ｎ ｅ ｉ ｏ Ｅ ｇｎ ｒ ｇ＆ ，ｈ ｎ ｈｉ ０ ６０，ｈｎ ｎ ｒ ｖ ｓｙ ｆ ｅｉ ｅ Ｓ ａｇ ａ ２ １２ Ｃ ｉ Ｍｅ ａ）
04-流形学习
r
i, j 1,2,, n
则称 D 为欧氏距离阵 3．相似系数阵 定义 10.3 一个 n n 阶的矩阵 C (cij )nn ，如果满足条件： （1） C C （2） cij cii
i, j 1, 2,, n
8 2139 1858 949 1645 347 2594 2571 0 678 2442
9 2182 1737 1021 1891 959 2734 2408 678 0 2329
10 543 597
1494
1220 923 205
2300
2442 0
2329
1＝ Atlanta , 2＝Chicago,
则矩阵 C 为相似系数阵， cij 称为第 i 点与第 j 点间的相似系数。
20
MDS-Multidimensional Scaling
设 r 维空间中的 n 个点表示为 X1 , X 2 ,, X n ， 用矩阵表示为
X ( X1 , X 2 ,, X n ) 。在多维标度法中，我们称 X 为距离 ˆ 称为 D 阵 D 的一个拟合构图， 求得的 n 个点之间的距离阵 D ˆ D， ˆ 和 D 尽可能接近。 的拟合距离阵，D 如果 D 则称 X 为 D 的一个构图。
Best projection direction for classification
13
线性降维
主成分分析 (PCA) [Jolliffe, 1986] 线性判别分析 (LDA) [Fukunaga, 1991]
PCA
LDA
14
• 线性降维
– 主成分分析 (PCA) [Jolliffe, 1986] – 线性判别分析 (LDA) [Fukunaga, 1991] – 多维尺度变换 (MDS) [Cox, 1994]
数学中的流形与微分几何学
数学中的流形与微分几何学数学中的流形和微分几何学是现代数学中非常重要的一个领域，它们不仅在纯数学研究中起着关键作用，也在物理学、工程学等应用科学领域有着广泛的应用。
本文将介绍流形和微分几何学的基本概念、发展历史以及一些应用，并探讨它们在数学和其他领域中的重要性。
1. 流形的基本概念流形是现代微分几何学的重要概念，它是指一个局部上同胚于欧几里德空间的拓扑空间。
换句话说，流形是一个具有局部欧几里德空间结构的空间。
流形可以是有限维的，也可以是无限维的，其中最著名的就是黎曼流形。
在数学中，流形通常用拓扑空间和微分结构来定义。
拓扑空间可以描述流形的一般性质，而微分结构则赋予流形更多几何性质。
通过这种方式，我们可以将抽象的流形与我们熟悉的欧几里德空间联系起来，从而更好地理解其性质和结构。
2. 微分几何学的基本概念微分几何学是研究流形上切丛、度量以及曲率等性质的数学分支。
它通过微积分和代数拓扑等方法研究流形上的函数、曲线、曲面等对象，并探讨它们之间的关系。
微分几何学主要关注流形上的切空间、黎曼度量、测地线以及李群等概念。
微分几何学在数学中有着广泛的应用，例如在爱因斯坦相对论中描述时空结构、在地图投影中处理地球表面的曲率以及在最优控制理论中最小路径规划等方面都有着重要作用。
它不仅帮助我们更好地理解现实世界中复杂的几何问题，也推动了数学理论的发展。
3. 流形与微分几何学的发展历史流形和微分几何学作为数学领域中重要的研究方向，其发展历史可以追溯到19世纪。
黎曼创立了黎曼几何，奠定了现代微分几何学的基础。
后来爱因斯坦运用了黎曼几何建立了广义相对论，开辟了时空几何研究新领域。
20世纪以来，微分几何学经历了长足发展，取得了许多重要成果。
例如庞加莱猜想、李群理论、仿射几何等都是微分几何学家们努力研究得出的成果，这些成果深刻影响了整个现代数学领域。
4. 数学中的应用和未来发展流形和微分几何学不仅在数学领域有着广泛应用，也在物理学、计算机科学、工程学等其他领域有着重要影响。
流形学习算法中的参数选择问题研究
第27卷第6期 计算机应用与软件Vol 127No .62010年6月 Computer App licati ons and Soft w are Jun .2010流形学习算法中的参数选择问题研究王泽杰 胡浩民(上海工程技术大学计算中心 上海201620)收稿日期:2008-11-17。
上海市选拔培养优秀青年教师基金项目(06XPY Q48)。
王泽杰,硕士,主研领域:模式识别,计算机视觉和机器学习。
摘 要 流形学习(Manifold Learning )算法是近年来发展起来的非线性降维机器学习算法。
等度规特征映射Is omap (Is ometricfeature mapp ing )和局部线性嵌入LLE (Locally L inear E mbedding )是两种典型的流形学习算法。
通过实验比较和分析两种算法中邻接参数K 和采样点数N 的选取对降维结果以及执行时间的影响,实验结果表明Is omap 对邻接参数K 和采样点数N 具有较高的容忍度,而LLE 算法在计算速度上优势明显。
关键词 等度规特征映射 局部线性嵌入 流形学习 非线性降维O N PARAM ETER SEL ECT I O N I N M AN I FOLD L EARN I NG AL GO R I TH MW ang Zejie Hu Haom in(Co m puting Center ,Shanghai U niversity of Engineering Science,Shanghai 201620,China )Abstract Manifold learning algorith m s are nonlinear di m ensi onality reducti on machine learning algorith m s rising in recent years .Is ometric feature mapp ing (Is omap )and l ocal linear e mbedding (LLE )are t w o typ ical manif old learning algorith m s .Comparis on and analysis of the effect of the selecti on of adj oining para meter K and sa mp ling point nu mber N in t w o algorith m s on the reducti on results and computati onal effi 2ciency are perf or med thr ough experi m ent .Experi m ental results suggested that Is omap has higher t olerance t o the parameter K and sa mp ling points nu mber N than LLE,but LLE has cons p icuous advantage in computati onal s peed .Keywords Is ometric feature mapp ing Local linear e mbedding M ainfold learning Nonlinear di m ensi onality reducti on0 引 言流形学习算法是近年来发展起来的一类机器学习算法,文献[1]提出的等度规特征映射(Is omap )算法以及文献[2,3]提出的局部线性嵌入(LLE )算法引领了该领域快速地发展。
流形学习算法综述
流形学习算法综述流形学习(manifold learning)是一种无监督学习方法，用于在数据集中发现潜在的低维流形结构。
与传统的线性降维方法相比，流形学习算法可以更好地捕捉非线性结构，并在保持数据结构的同时降低数据的维度。
在本文中，我们将综述流形学习算法的主要方法和应用领域。
首先，我们将介绍几种常用的流形学习算法。
其中一种是主成分分析(PCA)。
PCA是一种线性降维算法，通过计算数据的协方差矩阵的特征向量，将数据投影到低维空间中。
然而，PCA只能发现线性结构，对于复杂的非线性数据，效果较差。
另一种常用的算法是多维缩放(MDS)，它通过最小化高维数据点之间的欧氏距离和降维空间点之间的欧氏距离之间的差异，来获取降维的坐标。
然而，MDS在处理大规模数据集时计算复杂度较高。
还有一种被广泛研究的算法是局部线性嵌入(LLE)，它通过保持每个样本与其邻居样本之间的线性关系来进行降维。
LLE能够很好地处理非线性结构，但对于高维稀疏数据表现不佳。
除了以上提到的算法，还有一些流行的流形学习方法。
其中之一是等距映射(Isomap)，它通过计算数据点之间的最短路径距离来构建邻接图，然后使用MDS将数据映射到低维空间。
Isomap能够很好地处理数据中的非线性流形结构，但对于高维数据计算开销较大。
另一个流行的算法是局部保持投影(LPP)，它通过最小化数据点之间的马氏距离来进行降维。
LPP能够保持数据的局部关系，并且对于高维数据有较好的效果。
除了上述算法，还有一些最新的流形学习算法。
其中之一是随机投影流形学习(SPL)，它使用随机投影技术来近似流形嵌入问题，从而提高了运行效率。
另一个新算法是自编码器(Autoencoder)，它通过训练一个神经网络来学习数据的非线性特征表示。
自编码器在流形学习中被广泛应用，并取得了很好的效果。
流形学习算法在许多领域中有广泛的应用。
其中一个应用是图像处理领域，例如图像分类和人脸识别。
流形学习可以帮助将图像特征降维到低维空间，并保留图像之间的相似性。
数值流形方法的几个基本探讨
数值流形方法的几个基本探讨随着计算机技术的不断发展，越来越多的科学问题需要采用数值计算的方法来解决。
在数值计算领域中，流形方法是一种重要的技术手段，可以有效地处理高维数据。
本文将从流形方法的基本概念、流形学习方法、流形降维方法、流形插值方法等几个方面探讨数值流形方法的基本问题。
一、流形方法的基本概念流形方法是一种基于流形理论的数值计算方法，主要用于处理高维数据。
所谓流形，就是指一个局部与欧几里得空间同胚的拓扑空间。
在实际应用中，流形通常是指一个低维嵌入在高维空间中的子空间。
流形方法的基本思想是通过局部拓扑结构来描述高维数据的整体几何结构。
具体来说，就是将高维数据映射到流形上，然后在流形上进行计算。
二、流形学习方法流形学习是一种基于流形方法的机器学习方法，主要用于处理高维数据的分类、聚类等问题。
流形学习方法的基本思想是通过学习数据的流形结构来实现数据的分类、聚类等操作。
常见的流形学习方法包括局部线性嵌入法（LLE）、等距映射法（Isomap）、拉普拉斯特征映射法（LE）等。
局部线性嵌入法是一种基于局部线性关系的流形学习方法，其基本思想是通过局部线性关系来描述数据的流形结构。
具体来说，就是将每个数据点表示为其邻域内其他数据点的线性组合，然后通过优化线性组合系数来实现数据的流形嵌入。
等距映射法是一种基于距离的流形学习方法，其基本思想是通过保持数据点之间的距离不变来实现数据的流形嵌入。
具体来说，就是通过计算数据点之间的距离来构建数据的近邻图，然后通过最小化近邻图中数据点之间的距离来实现数据的流形嵌入。
拉普拉斯特征映射法是一种基于拉普拉斯矩阵的流形学习方法，其基本思想是通过优化拉普拉斯矩阵的特征向量来实现数据的流形嵌入。
具体来说，就是通过构建拉普拉斯矩阵来描述数据的流形结构，然后通过优化拉普拉斯矩阵的特征向量来实现数据的流形嵌入。
三、流形降维方法流形降维是一种基于流形方法的数据降维方法，主要用于将高维数据映射到低维空间中。
流形学习方法中的若干问题分析
流形学习方法中的若干问题分析
高小方
【期刊名称】《计算机科学》
【年(卷),期】2009(36)4
【摘要】流形学习是近年来机器学习与认知科学中的一个新的研究热点,其本质在于根据有限的离散样本学习和发现嵌入在高维空间中的低维光滑流形,从而揭示隐藏在高维数据中的内在低维结构,以实现非线性降维或者可视化.介绍了几种主要的流形学习算法,分析了它们的优势与不足,总结了流形学习方法中需要解决的若干问题及其研究现状,并展望了流形学习未来的研究前景.
【总页数】5页(P25-28,59)
【作者】高小方
【作者单位】山西大学计算智能与中文处理教育部实验室,太原,030006
【正文语种】中文
【中图分类】TP3
【相关文献】
1.判定局部共形K(a)hler流形为Vaisman流形的若干定理 [J], 杨永举;王学强
2.基于流形学习方法的大数据分析技术在检验检疫行业中应用探讨 [J], 徐胜林;魏颖昊;仵冀颖
3.LLE流形学习的若干问题分析 [J], 罗芳琼
4.流形学习方法及其在头部姿势估计中的应用 [J], 刘志勇;王珏
5.欧勇盛团队提出一种基于流形浸入与浸没的机器人动态系统精确稳定学习方法[J],
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
流形在计算机图形学和机器学习中的应用
流形在计算机图形学和机器学习中的应用流形（Manifold）是数学中的一个重要概念，它是一种具有特殊拓扑结构的集合。
在计算机图形学和机器学习领域，流形的概念被广泛应用，可以用来处理高维数据，并提高数据处理的效率和精度。
下面将详细讲解流形在计算机图形学和机器学习中的应用。
一、流形在计算机图形学中的应用流形在计算机图形学中的应用非常广泛，它主要用来处理高维数据和点云数据。
在计算机图形学中，常常需要处理的是三维物体，这些物体的形状复杂，表面拓扑结构也很复杂。
流形的概念可以用来描述这些复杂的形状和拓扑结构。
流形可以被看作是一个局部与欧几里德空间同胚的空间，在图形学中，为了实现这个同胚，可以使用一些方法来进行数学映射，将高维数据降维到低维空间中进行处理。
其中，最常用的方法是局部线性嵌入（LLE）和等度量映射（Isomap）。
这些方法能够将高维数据映射到低维空间中，并保留原有数据的拓扑结构和几何特征。
二、流形在机器学习中的应用流形在机器学习中的应用相对于计算机图形学来说，更加广泛而深入。
在机器学习中，常常需要对高维数据进行处理和分析，这些数据存在于高维空间中，但是它们之间存在着某种联系和拓扑结构。
流形学习（Manifold Learning）是机器学习领域中的一个重要分支，它的目的是在高维空间中寻找数据的低维表示，同时保留数据之间的相似性和拓扑结构。
流形学习可以帮助我们在处理高维数据时避免维度灾难的问题，并且可以保留原有数据的特征信息。
流形学习的一种常用方法是主成分分析（PCA），它可以将高维数据映射到低维空间中，并且保留原有数据的主要特征。
同时，PCA还可以用来去除数据中的噪声和冗余信息，提高数据处理的效率和准确性。
另外，近年来，深度学习在机器学习领域中得到了广泛的应用，而流形理论也被引入到深度学习中，用来设计更加高效和优秀的深度学习模型。
例如，流形卷积神经网络（Manifold ConvolutionalNeural Network）利用流形的拓扑结构处理高维数据，提高了卷积神经网络的性能和效率。