电磁场与电磁波第四章习题及参考答案
第四章 习题
4-1、 电量为nC 500的点电荷，在磁场)(?2.1T z
B =ρ
中运动，经过点)5,4,3(速度为 s m y x
/?2000?500+ 。求电荷在该点所受的磁场力。 解：根据洛仑兹力公式
B v q F ρ
ρρ?=N x y z y x 4491012?103?2.1?)?2000?500(10500---?+?-=?+??= N y x
4103)??4(-?-= 4-2、真空中边长为a 的正方形导线回路，电流为I ，求回路中心的磁场。
解：设垂直于纸面向下的方向为z 方向。长为a 的线电流I 在平分线上距离为a/2的点上的磁感应强度为
a
I
z
B πμ2?01=ρ 因而，边长为a 的正方形导线回路在中心点上的磁感应强度为
a
I
z B B πμ24?401==ρρ
题4-2图 题4-3图
4-3、真空中边长为a 的正三角形导线回路，电流为I ，求回路中心的磁场.
解：设垂直于纸面向下的方向为z 方向。由例4-1知，长为a 的线电流I 在平分线上距离为b 的点上的磁感应强度为
2
201)2(?a b a b
I
z B +=πμρ
所以
2
20)2
(3?a b a b
I
z B +=πμρ，其中)6
(2πtg a b =
4-4、真空中导线绕成的回路形状如图所示，电流为I 。求半圆中心处的磁场。
(c)
题4-4 图
解：设垂直于纸面向内的方向为z 方向。由例4-2知，半径为a 的半圆中心处的磁场为
a
I
z B 4?01μ=ρ （1）因为在载流长直导线的延长线上磁场为零，因此
a
I
z B 4?0μ=ρ （2）由例4-1知，本题半无限长的载流长直导线在距离为a 处的磁场为
a
I
z B πμ4?02=ρ 因此本题磁场为半圆环的磁场与两半无限长的直导线的磁场之和
)2(4?0+-=ππμa
I
z B ρ （3）本题磁场为电流方向相反的两不同半径的半圆环的磁场之和，即
)1
1(4?0b
a I z
B -=μρ 4-5、 在真空中将一个半径为a 的导线圆环沿直径对折，使这两半圆成一直角。电流为I ，
求半圆弧心处的磁场。
解：本题磁场为两相同半径但平面法线垂直的半圆环的磁场之和
)??(40y x a
I
B +=μρ x
?、y ?分别为两半圆环平面的法向单位矢。 4-6、 在氢原子中，电子绕半径为m 11
103.5-?的圆轨道运动，速度为s m /2200，求圆
轨道的圆心点的磁场。
解：分子电流
A a v e L v e I 6
11191006.110
3.528.62200106.12---?=???=?=?
=π 式中e 为电子的电量，v 为电子运动速度，L 为圆轨道运动的周长。半径为a ，电流强度为I 的圆环电流在轴线上的磁场为
z z a Ia B ?)
(22
/3222
0+=μρ 在圆心点的磁场为
T a I z a I B 211
677010256.110
3.51006.1102102?2-----?=???=??==ππμρ 4-7、对于以速度v ρ
运动的点电荷，证明E v B ρρρ?=00εμ，其中E ρ为此点电荷产生的电场强
度。
解：以速度v ρ
运动的点电荷q ，可以看成一电流元
v q dV v dV J l Id ρ
ρρ===ρ
电流元的磁场为
E v R R q v R R l Id r B ρρρρ
ρρ?=?=?=
002
020?41?4)(εμπμπμ 4-8、.半径为a 的均匀带电圆盘上电荷密度为，圆盘绕其轴以角速度
旋转，求轴线上
任一点的磁感应强度。
解：带电圆盘绕其轴以角速度旋转，其上电流密度为?
ωρρ?r v J s s s ==ρ
ρ。在带电圆盘上取宽度为dr 的小环，电流为rdr dI s ωρ=，由例4-2知，在轴线上产生的磁场为
2
/322
302
/322
20)
(2?)
(2?z r dr
r z
z r dI
r z B d s +=+=ωρμμρ
旋转带电圆盘在轴线上产生的磁场为
]22[
2
?)
(2?2
2
2
202
/322
300
z z
a z a z
z r dr
r z
B s s a -++=+=?ωρμωρμρ
4-9、宽度为w 的导电平板上电流面密度为
，如图所示，求磁感应强度。
题4-9图
解：在空间取场点),(z x ，在导电平板上'x 位置取宽度为'dx 的细长电流，在场点产生的磁场为 ]??)'[(?]
)'[(2'
??22
2000z z x x x y z x x dx J y dI B d +-?+-=?=
πμρπρμρ
导电平板上的电流产生的总场为
')'(??)'(22/2/2
200dx z
x x x
z z x x J B d B W W ??-+-+-==πμρρ )}2
/2/(2?)2/()2/(ln ?{22
22200z W x arctg z W x arctg x z
W x z W x z J --+++-++=πμ 4-10、 计算半径为a 、电流为I 的电流圆环在其轴线z 轴上产生的磁感应强度的线积
?∞
∞
-?dz z
B ?ρ
。 解：半径为a ，电流强度为I 的圆环电流在轴线上的磁场为
z
z a Ia B ?)
(22
/3222
0+=
μρ ?∞
∞
-?dz z
B ?ρ
I dz z a
Ia 02
/322
2
0)(2μμ=+=?∞
∞
-
4-11、如果z cz y y x
x B ??25?12++=ρ；求：c 解：
因为
02512=++=??c B ρ
所以 36-=c
4-12、真空中半径为a 的无限长导电圆筒上电流均匀分布，电流面密度为
，沿轴向流动。
求圆筒内外的磁场。
解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布。因此无限长导电圆筒内的磁场为零；无限长导电圆筒外的磁场可用安培环路定律计算。围绕无限长导电圆筒做一半径为ρ的圆环，利用安培环路定律
?=?l
I l d B 0μρ
ρ
在圆环上磁场?
??B B =ρ
相等，s aJ I π2=，因此
ρ
μπρμ?s
aJ I B 002==
4-13、如果上题中电流沿圆周方向流动，求圆筒内外的磁场。
解：由于导电圆筒内为无限长，且电流沿圆周方向流动，因此导电圆筒外磁场为零，导电圆筒内磁场为匀强磁场，且方向沿导电圆筒轴向，设为 z 方向。利用安培环路定律，取闭合回路为如图所示的矩形，长度为L ，则
I L B l d B l
z 0μ==??ρ
ρ
而 L J I s = 因此 s z J B 0μ=
题4-13图
4-14、真空中一半径为a 的无限长圆柱体中，电流沿轴向流动，电流分布为
，
求磁感应强度。
解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布，因此无限长载流导电圆柱的磁场可用安培环路定律计算。围绕无限长导电圆柱轴线做一半径为ρ的圆环，利用安培环路定律
?=?l I l d B 0μρ
ρ
左边 πρ?2?=?l
B l d B ρ
ρ
右边 ???????>=?<=?=?=????a a J d a
J a a J d a J S d J I a S ρπρπρρρρπρπρρρ;22;222
0022024
00220ρρ 因此有 ???????><=a a J a a J B ρρ
μρρμ?;4;42
002
3
00
4-15、在真空中，电流分布为
求磁感应强度。
解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布，因此磁场可用安培环路定律计算。围绕z 轴线做一半径为ρ的圆环，利用安培环路定律
?=?l I l d B 0μρ
ρ
左边 πρ?2?=?l
B l d B ρ
ρ
右边 ???????
??>+-=
?+?<<-=?<<=??b bJ b a b J d b
b a b a d b
a I s a a ρπππρρπρρρρπρπρρρρρ;23)
(222;3)
(220;
003333
因此有
????
????
?
>+-<<-<<=b bJ b a b b a b a a B ρρμρρρμρ?;/)3(;3)
(0;0033
0320 4-16、 在真空中，有一很长的、半径为cm 10的圆柱导体内电流分布为
25.0/200m A e J ρ-=ρ
，计算空间任意点的磁感应强度。（和4－14重复）
解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布，因此无限长载流导电圆柱的磁场可用安培环路定律计算。围绕无限长导电圆柱轴线做一半径为ρ的圆环，利用安培环路定律
?=?l
I l d B 0μρ
ρ
左边 πρ?2?=?l
B l d B ρ
ρ
右边 []
???????><--==?=????---cm
d e cm
e d e
S d J I a
S 10;220010;1)15.0(160022000
5.05.00
5.0ρρπρρρπρπρρρρ
ρ
ρρ
因此有
4-17、已知无限长导体圆柱半径为a ，其内部有一圆柱形空腔半径为b ，导体圆柱的轴线与圆柱形空腔的轴线相距为c ，如图所示。若导体中均匀分布的电流密度为，试求空
腔中的磁感应强度。
习题图4-17
解：利用叠加原理，空腔中的磁感应强度B ρ
为
21B B B ρρρ+= 1B ρ为电流均匀分布的实圆柱的磁感应强度；2B ρ
为与此圆柱形空腔互补而电流密度与实圆柱
的电流密度相反的载流圆柱的磁感应强度。利用安培环流定律
10011001?
2?2ρμ?ρμρ
ρ?==z J J B 20022002?2
?2ρμ?ρμρ
ρ?-=-=z J J B 式中1ρρ、2ρρ
分别为从圆柱中心轴和圆柱空腔中心轴指向场点的矢量。因此
c z J z J B ρ
ρρρ?=-?=?2
)(?2002100μρρμ c ρ
为从圆柱中心轴指向圆柱空腔中心轴的矢量。
4-18、已知真空中位于xy 平面的表面电流为
，求磁感应强度。
解：由于在无限大的平面上有均匀电流，因此产生匀强磁场。磁场方向在y 方向，跨电流面取一长为L 的矩形回路，利用安培环路定律得
002LJ L B μ= 因此 2
0J B μ=
写成矢量形式为
??
???>-<=0
;2?0;2?0
00
0z J y z J y B μμρ 题4-18 图
4-19、一长螺线管，每毫米绕两圈，在螺线管内部的磁感应强度为T 5.0，求线圈上的电流强度。
解：单位长度线圈匝数为N ＝2000，根据安培环路定律可得
s z J B 0μ= 其中
I NI J S 2000==
所以
A B I 19910
42005
.020007
0=??
==
-
πμ 4-20、壁很薄的、半径为cm 10的导体圆筒导体圆筒上的电流面密度上的电流在圆筒外产生
的磁场为m A B /?100
?ρ
μ=
ρ，求导体圆筒上的电流面密度。（少一条件） 解：当导体圆筒上的电流面密度为z
J J S S ?0=ρ
，由安培环路定律
?=?l
I l d B 0μρ
ρ
当l 为以导体圆筒上的电流面密度的轴线为中心，半径为ρ的圆时 0022S J B πμπρ?= ρμ?00S J B =
ρ
μ0
10= 因此 m A J S /100=
4-21、真空中边长为a 的正方形导线回路，电流为I ，求回路中心的矢量磁位。
解：首先计算载电流为I 、长度为21L L +的直线在距离为d 处的矢量磁位。设电流方向为l ?，如图所示。
题4-21图
矢量磁位为
22222
2110
2200ln
4?''
4?412
d
L L d L L I l d z dz I l R l d I
A L L ++-++=+==
??-πμπμπ
μρρ 当2/21a d L L ===时，
2
121ln 4?0+-+=πμI l A ρ
正方形导线回路的回路中心的矢量磁位为
04321=+++=A A A A A ρ
ρρρρ
4-22、真空中边长为a 的正三角形导线回路，电流为I ，求回路中心的矢量磁位。. 解：由上题可知，三角形导线的回路中心的矢量磁位也为0。
题4.23
4－23两根长直导线，平行放置，每个长度为m 10，携载相等的电流A 10，方向相反，间距为m 2。取坐标系，使两根长直导线在yz 面，且平行于z 轴，原点在两根长直导线之间的中点。右侧的导线电流为z 向，左侧的导线电流为z -向。计算在点m )0,4,3(的（1）矢量磁位；（2）磁感应强度。
解：长度为L 的电流在),0,(z ρ处的磁感应强度和矢量磁位分别为
])
2/(2
/)2/(2/[4?22220L z L z L z L z I B -+--+++=ρρπμ?ρ
22220)2/()2/()2/()2/(ln 4?ρ
ρπμ++++-+-+-=z L z L z L z L I
l A ρ
在)0,4,3(点
])2/(2
/)2/(2/[4??2
21
221011L L L L I z B +++?=ρρπμρρ2
2101)2(4??L
IL
z
+?=ρπμρ
])
2/(2
/)
2/(2
/[4??2
22222022L L L L I z B ++
+?-=ρρπμρρ2
2
202)2
(4??L IL
z
+?-=ρπμρ
2
2110)2
(1
?[?4L z
IL
B +?=ρρπ
μρ])2
(1
?2
2
22L
+-ρρ
21
221
2
01)2/()2/(2/()2/(ln
4?ρρπμ++-++=L L L L I l A ρ 22
222
2
02)2/()2/(2/()2/(ln
4?ρρπμ++-++-=L L L L I l A ρ 2122120)2/()2/(2/()2/([ln 4?ρρπμ++-++=L L L L I
z A ρ])2/()2/(2/()2/(ln 2222
22ρρ++-++-L L L L
18)14()03(221=-+-=ρ，y x ?3?31+=ρρ
34)14()03(222=++-=ρ， y x
?5?32+=ρρ
m L 10=，A I 10=
4-24 导线紧绕50圈，形成面积为2
20cm 的线圈，电流强度为A 10，位于 261243=++z y x 的平面，方向离开原点。求此线圈的磁矩。
解:
261243),,(-++=z y x z y x f
z y x
f ?12?4?3++=? 该面的法线方向为
169
?12?4?3?z y x f f n
++=??= 此线圈的磁矩为
????==-410201050?n
NIS M ρ169?12?4?3z y x
++=169
?12?4?3z y x ++
4-25、一块半径为a 长为d 的圆柱形导磁体沿轴向均匀磁化，磁化强度为
，求磁
化电流及磁化电流在轴线上产生的磁感应强度。
解：由于均匀磁化，圆柱形导磁体中的磁化体电流为零。圆柱形导磁体侧面的磁化面电流密度为
???'0M n
M J s =?=ρ
ρ 在圆柱形导磁体表面取一宽度为'dz 的电流环带，先计算此电流环带在轴线上的磁场，然后
对'dz 积分
?-+=d
z z a dz M a z
B 0
2
/322020])'([2'
?μρ
积分得
])([2?222200a
d z d z a z z M z B +---+=μρ
题4.25图
4-26、一段截面为a a ?长为d 的方柱形导磁体沿长度方向均匀磁化，磁化强度为
，求磁化电流及磁化电流在轴线上产生的磁感应强度。
解：由于均匀磁化，圆柱形导磁体中的磁化体电流为零。方柱形导磁体侧面的磁化面电流密度为
l M n
M J s ??'0=?=ρ
ρ，l ?为方柱形回路的方向。 2
2110)2
(??[?4a y y z
z x
Ia B +-?=ρρπμρ])2(1??2211
a y y z z ++-ρρ 2
2210)2
()2(?[
4a
a z z
a Ia B ++-=ρπμρ 4-27、在某种媒质中，当m A H /300=时，T B 2.1=；当H 增加到m A /1500时，B 增加到T 5.1；求对应的磁化强度的变化值。
解：)(0M H B ρρρ+=μ
H B M ?ρρ-=0
μ
)()(1
12120
12H H B B M M M ---=-=?μ
A 5.23765312005.238853)3001500()2.15.1(10
41
7
=-=---?=-π
4-28、一铁磁芯环，内半径为cm 30，外半径为cm 40，截面为矩形，高为cm 5，相对磁导率为500。均匀绕线圈500匝，电流强度为A 1。分别计算磁芯中的最大和最小磁感应强度，以及穿过磁芯截面的磁通量。
解：在铁磁芯环中取半径为R 的同心圆环，对于该圆环回路利用安培环路定律，得
NI RH =?π2
R NI
H π?2=
R
NI
B πμ?
2?=ρ 当cm R 30=，磁感应强度最大
R
NI
B πμ?2?=ρ=T 1667.0103021500500104?2
7=??????--ππ? 当cm R 40=，磁感应强度最小
R
NI
B πμ?
2?=ρ=T 125.0104021500500104?27=??????--ππ? 穿过磁芯截面的磁通量为
Wb
NI dR R NIh S d B S m
474.03
.0102.72877.005.050050010234
ln
22--?=?????===?=Φ???πμπμρρ
4-29、0=z 是两种媒质的分界面。在0>z ，1=r μ，mT z y x
B ?6.0?8.0?5.1++=ρ
，求（1）在0 解： （1）11=r μ，mT z y x B ?6.0?8.0?5.11++=ρ ， 1002=r μ，z B y B x B B z y x ???2222++=ρ 有边界条件 n n B B 21=，mT B B z z 6.012== t t H H 21=， 1 12 2μμt t B B = ，t t t B B B 111 2 2100== μμ mT B B x x 15010012== mT B B y y 8010012== z y x B ?6.0?80?1502++=ρ （2）B B B B H B M r ρρρρρρρμ μμμμμμμμ10000-=-=-=-= 0111 11=-=B M r ρρμμ 222210099 1μμμ=-=B M r ρρ)?6.0?80?150(z y x ++ 界面磁化面电流密度 n M J S ?'?=ρ ρ=010099μ)?6.0?80?150(z y x ++z ??=0 10099 μ)?80?150(x y +- 4-30、0=z 的两种媒质的分界面上有面电流，其电流面密度为m kA y J s /?12=ρ 。在0>z ，200=r μ，m kA z y x H /?12?50?40++=ρ ，求在0 （1）S J H H n ρ ρρ&&=-?)(21 S z y x z y x J z H y H x H z H y H x H z ρ =++-++?)]???()???[(?222111 x H y H y k x H y H y x y x ???12??1122+-=+- k k k H H x x 28)1240(1212=-=-= k H H y y 5012== （2）n n B B 21= k H H z z 125 1 1212?== μμ m kA z y x H /)?5/12?50?28(2++=ρ 4-31、.在磁导率为 的媒质1及磁导率为 的媒质2中，距边界面为h 处，分别平行于边 界平面放置相互平行的电流 、 ，如图所示，求单位长度的载流导线所受的力。 题4-31图 解：用镜像法。在计算媒质1中的磁场时，在2区的镜像位置放置镜像电流2'I ；在计算媒 质2中的磁场时，在1区的镜像位置放置镜像电流1'I 。利用边界条件t t H H 21=、 n n B B 21=，可得方程 2121''I I I I -=- )'()'(212211I I I I +=+μμ 解此方程得 2211 2121112'I I I μμμμμμμ+-++= 22 12 1211222'I I I μμμμμμμ+++-= 电流1I 所受的力为 )?(4'?211211h h I I B l I F -=?=πμρρ 电流2I 所受的力为 )?(4'?212122h h I I B l I F -=?=πμρρ h ?-为引力方向。 4-32、证明在两种媒质界面上的磁化电流面密度为 解：跨两种均匀媒质的分界面取矩形回路l ，如图所示，对矩形回路 题4.32图 当0→?h 时，得 l J l B l B S t t ?=?-?'021μ 由此得 )(1 '210 t t S B B J -= μ 写成矢量形式就是 4-33、如图所示的磁路，图中所标尺寸为厘米，厚度均为2厘米，2000=r μ。线圈为1000匝，导线电流为A 2.0。求磁路中的磁通。 题4-33图 解：根据磁路的欧姆定律 m mi m i m i V R =Φ ∑=1 或 nI S L m i i i i m i =Φ∑=1μ 得 4 4 332211S L S L S L S L NI m +++=Φμ Wb 471096.102 .006.008 .04.002.004.06.0202.002.008.04.02 .010*********--?=?-+ ??+?-????=π 4-34、紧绕的矩形线圈有N 匝，如图所示，在匀强磁场B 中以角速度ω旋转。求感应电动 势。 题4-34图 解：与回路电流交链的磁链为 φcos 2NBDR NSB m ==ψ 感应电动势为 φωεsin 2NBDR dt d m =ψ-= 4-35、N 匝矩形线圈放在一对平行传输线之间，如图所示，求线圈中的感应电动势。 题4-35图 解：矩形线圈放在一对平行传输线之间距两导线距离相等，可以看出，两导线上的电流在矩形线圈中产生的磁链相同，但方向相反，因此总磁链为零，那么线圈中的感应电动势也就为零。 4-36、一宽度为w 、厚度为d 的矩形导体条放在匀强磁场B 中，磁场垂直穿过导体宽度为w 的导体面，如果流过导体条的电流强度为I ，导体条中的载流子密度为n ，每个载流子电量为e ，证明矩形导体条宽边两侧的霍耳电压为ned BI V =。 解： 题4.36图 电子垂直于磁场运动，单位正电荷受到磁场力为 B v E ρ ρ?=x vB ?= envwd Jwd JS I === enwd I v = x enwd IB x vB E ??==ρ 矩形导体条宽边两侧的电压为 end IB dx x E V w =?=?0 ?ρ 4-37、计算正方形截面的环形螺线管上绕N 匝线圈的自感。螺线管的内半径为1R ，外半径为2R ，相对磁导率为r μ。 解：在环形螺线管中取半径为R 的圆环，根据安培环路定律 NI RH =π2 R NI H π2= R NI H B πμμ2= = 磁链为 1 212212ln 21 )(2)(2 1 R R R R I N dR R NI R R N S d B N R R S m πμπμ-=-=?=ψ???ρρ 自感为 1 2122 ln )(2R R R R N I L m -=ψ=πμ 4-38、计算真空中放置的一对平行传输线单位长度的外自感。导线半径为a ，中心间距为D 。 解：设平行传输线电流为I ，那么在一根导线上的电流在平行传输线之间的磁场为 ?ρ πμ?20I B = ρ 在平行传输线之间的磁通为 a a D I d I S d B a D a S m -=?=??=Φ???-ln 22200πμρρπμρρ 平行传输线单位长度的外自感为 a a D I L m -=Φ=ln 0πμ 4-39、在截面为正方形 半径为 的磁环上，密绕了两个线圈，一个线圈为m 匝，另一个线圈为n 匝。磁芯的磁导率为100，分别近似计算两线圈的自感及互感。 解：近似认为密绕在磁环上的线圈无漏磁，及磁环中磁场相等。用安培环路定律 ?=?NI l d H ρ ρ N 为线圈匝数。取闭合回路沿磁环中心线，则磁环中 R NI H π2= 即 R NI B πμ2= 由于a R >>，穿过磁环截面的磁通近似为 ===Φ2 Ba BS m R NI a πμ22 因此 m m m 111Φ=ψR I m a πμ2122= = ψ=1 111I L m R m a πμ222 =ψm 22 R I n a n m πμ22222 =Φ = ψ=2 222I L m R n a πμ22 2 =ψm 21R mnI a n m πμ2121=Φ = ψ=1 21I M m R mn a πμ22 4-40、在一长直导线旁放一矩形导线框，线框绕其轴线偏转一角度为，如图所示。求长直导线与矩形导线框之间的互感并在图上画出互感为正时的电流方向。 解：长直导线到线框两边的距离分别为 αcos )2/(2 2 1ad d a r -+= αcos )2/(222ad d a r ++= 长直导线通过线框中的磁场为 x I B πμ?2?0=ρ 长直导线的磁场通过线框两边之间的磁通等于通过半径分别为1r 、2r 的圆弧之间的磁通，因此穿过线框的磁通可用下式计算 1200ln 222 1 r r Ib x Ibdx r r m πμπμ==Φ? 互感为12 0ln 2r r b I M m πμ=Φ= 互感为正时的电流方向如图所示。 题4-40图 题4-41图 4-41、在一长直导线旁放一等边三角形导线框，如图所示。求长直导线与等边三角形导线框之间的互感并在图上画出互感为正时的电流方向。 解：如图所示，长直导线在等边三角形导线框面上的磁场为 x I z B πμ2?0-=ρ 穿过三角形导线框中的磁通为 = =?=Φ???+S a d d m ydx x I S d B πμ20ρρ)]ln([230a d d d a I ++πμ 互感为 =Φ= I M m )]ln([230a d d d a ++πμ 4-42、.在4-41题中如果两导线回路的电流分别为、 ，求等边三角形载流导线框所受的 磁场力。 解：系统的磁场能量为 2122112 1 21I MI I L I L W m ++= 对于常电流系统，磁场力为 ?? ? ??+=??=??= a d a I I d M I I d W F m π μ2302 121 4-43、在4-40题中如果两导线回路的电流分别为、 ，求矩形载流导线框所受的磁场力 矩。 解：系统的磁场能量为 2122112 1 21I MI I L I L W m ++= 对于常电流系统，磁场力矩为 αα??=??= T M I I W m 21 12 0ln 2r r b I M m πμ=Φ= =T ]1 1[4sin 21 222 10r r ad I bI +παμ 式中 αcos )2/(2 2 1ad d a r -+= αcos )2/(2 2 2ad d a r ++= 一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ； （4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C g 和()?A B C g ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= ==-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11 （4）由 cos AB θ ===A B A B g ，得 1cos AB θ- =(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ ==A B B g （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 电磁场与电磁波实验报告 班级： 学号： 姓名： 同组人： 实验一电磁波的反射实验 1.实验目的： 任何波动现象（无论是机械波、光波、无线电波），在波前进的过程中如遇到障碍物，波就要发生反射。本实验就是要研究微波在金属平板上发生反射时所遵守的波的反射定律。 2.实验原理： 电磁波从某一入射角i射到两种不同介质的分界面上时，其反射波总是按照反射角等于入射角的规律反射回来。 如图（1-2）所示，微波由发射喇叭发出，以入射角i设到金属板M M',在反射方向的位置上，置一接收喇叭B，只有当B处在反射角i'约等于入射角i时，接收到的微波功率最大，这就证明了反射定律的正确性。 3.实验仪器： 本实验仪器包括三厘米固态信号发生器，微波分度计，反射金属铝制平板，微安表头。 4.实验步骤： 1）将发射喇叭的衰减器沿顺时针方向旋转，使它处于最大衰减位置； 2）打开信号源的开关，工作状态置于“等幅”旋转衰减器看微安表是否有显示，若有显示，则有微波发射； 3）将金属反射板置于分度计的水平台上，开始它的平面是与两喇叭的平面平行。 4）旋转分度计上的小平台，使金属反射板的法线方向与发射喇叭成任意角度i，然后将接收喇叭转到反射角等于入射角的位置，缓慢的调节衰减器，使微 μ）。 安表显示有足够大的示数（50A 5）熟悉入射角与反射角的读取方法，然后分别以入射角等于30、40、50、60、70度，测得相应的反射角的大小。 6）在反射板的另一侧，测出相应的反射角。 5.数据的记录预处理 记下相应的反射角，并取平均值，平均值为最后的结果。 5.实验结论：?的平均值与入射角0?大致相等，入射角等于反射角，验证了波的反射定律的成立。 6.问题讨论： 1.为什么要在反射板的左右两侧进行测量然后用其相应的反射角来求平均值？ 答：主要是为了消除离轴误差，圆盘上有360°的刻度，且外部包围圆盘的基座上相隔180°的两处有两个游标。，不可能使圆盘和基座严格同轴。 在两者略有不同轴的情况下，只读取一个游标的读数，应该引入离轴误差加以考虑——不同轴的时候，读取的角度差不完全等于实际角度差，圆盘半径偏小 A．电磁场理论B基本概念 1．什么是等值面？什么是矢量线？ 等值面——所有具有相同数值的点组成的面 ★空间中所有的点均有等值面通过； ★所有的等值面均互不相交； ★同一个常数值可以有多个互不相交的等值面。 矢量线（通量线）---- 一系列有方向的曲线。 线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向， 而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。 例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线。 2．什么是右手法则或右手螺旋法则？本课程中的应用有哪些？（图） 右手定则是指当食指指向矢量A的方向，中指指向矢量B的方向，则大拇指的指向就是矢量积C=A*B的方向。 右手法则又叫右手螺旋法则，即矢量积C=A*B的方向就是在右手螺旋从矢量A转到矢量B的前进方向。 本课程中的应用： ★无限长直的恒定线电流的方向与其所产生的磁场的方向。 ★平面电磁波的电场方向、磁场方向和传播方向。 3．什么是电偶极子？电偶极矩矢量是如何定义的？电偶极子的电磁场分布是怎样的？ 电偶极子——电介质中的分子在电场的作用下所形成的一对等值异号的点电荷。 电偶极矩矢量——大小等于点电荷的电量和间距的乘积，方向由负电荷指向正电荷。 4.麦克斯韦积分和微分方程组的瞬时形式和复数形式； 积分形式： 微分方式： （1）安培环路定律 （2）电磁感应定律 （3）磁通连续性定律 （4）高斯定律 5.结构方程 6.什么是电磁场边界条件？它们是如何得到的？（图） 边界条件——由麦克斯韦方程组的积分形式出发，得到的到场量在不同媒质交界面上应满足的关系式（近似式）。 边界条件是在无限大平面的情况得到的，但是它们适用于曲率半径足够大的光滑曲面。 7.不同媒质分界面上以及理想导体表面上电磁场边界条件及其物理意义； （1）导电媒质分界面的边界条件 ★ 导电媒质分界面上不存在传导面电流，但可以有面电荷。 在不同媒质分界面上，电场强度的切向分量、磁场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量永远是连续的 （2）理想导体表面的边界条件 ★ 理想导体内部，时变电磁场处处为零。导体表面可以存在时变的面电流和面电荷。 第六章 时变电磁场 6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场 5cos mT z e t ω=B 之中，如题6.1图所示。滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i. 解 穿过导体回路abcda 的磁通为 5cos 0.2(0.7) cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==?=?-=--=+? B S e e 故感应电流为 11 0.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mA in d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ = =-=-+-+E 6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。设棒以角 速度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。 解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为 00z r r r B φωω=?=?=E v B e e B e 故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X 极化电荷体密度为 200 00 11()()2()P rP r B r r r r B ρεεωεεω?? =-??=- =--??=--P 极化电荷面密度为 0000()()P r r r a e r a B σεεωεεω==?=-?=-P n B e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为 220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=??=--=??=- 6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。设0.2a m =、0.1m b c d ===、7 1.0cos(210)A i t π=?，求回路中的感应电动势。 本科实验报告 课程名称：电磁场与微波实验 姓名：wzh 学院：信息与电子工程学院 专业：信息工程 学号：xxxxxxxx 指导教师：王子立 选课时间：星期二9-10节 2017年 6月 17日 Copyright As one member of Information Science and Electronic Engineering Institute of Zhejiang University, I sincerely hope this will enable you to acquire more time to do whatever you like instead of struggling on useless homework. All the content you can use as you like. I wish you will have a meaningful journey on your college life. ——W z h 实验报告 课程名称：电磁场与微波实验指导老师：王子立成绩：__________________ 实验名称： CST仿真、喇叭天线辐射特性测量实验类型：仿真和测量 同组学生姓名： 矩形波导馈电角锥喇叭天线CST仿真 一、实验目的和要求 1. 了解矩形波导馈电角锥喇叭天线理论分析与增益理论值基本原理。 2．熟悉 CST 软件的基本使用方法。 3．利用 CST 软件进行矩形波导馈电角锥喇叭天线设计和仿真。 二、实验内容和原理 1. 喇叭天线概述 喇叭天线是一种应用广泛的微波天线,其优点是结构简单、频带宽、功率容量大、调整与使用方便。合理的选择喇叭尺寸,可以取得良好的辐射特性：相当尖锐的主瓣,较小副瓣和较高的增益。因此喇叭天线在军事和民用上应用都非常广泛,是一种常见的测试用天线。喇叭天线的基本形式是把矩形波导和圆波导的开口面逐渐扩展而形成的,由于是波导开口面的逐渐扩大,改善了波导与自由空间的匹配,使得波导中的反射系数小,即波导中传输的绝大部分能量由喇叭辐射出去,反 电磁场与电磁波理论基础自学指导书 课程简介：电磁场理论是通信技术的理论基础，是通信专业本科学生必须具备的知识结构的重要组成部分之一。使学生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数学表达式。使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。培养学生正确的思维方法和分析问题的能力，使学生对"场"与"路"这两种既密切相关又相距甚远的理论有深刻的认识，并学会用"场"的观点去观察、分析和计算一些简单、典型的场的问题。为以后的学习和工作打下坚实的理论基础。 第一章矢量分析场论初步 1主要内容 本章从矢量分析入手，介绍了标量场和矢量场的基本概念，学习了矢量的通量、散度以及散度定理，矢量的环流、旋度以及斯托克斯定理，标量的梯度，以及上述的物理量在圆柱和球坐标系下的表达形式，最后介绍了亥姆霍兹定理，该定理说明了研究一个矢量场从它的散度和旋度两方面入手。通过本章的学习，使学生掌握场矢量的散度、旋度和标量的梯度的概念和数学计算为以后的电磁场分析打下基础。 2学习要求 深刻理解标量场和矢量场的概念；深刻理解散度、旋度和梯度的概念、物理意义及相关定理； 熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行矢量的微积分运算； 了解亥姆霍兹定理的内容。 3重点及难点 重点：在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积分、面积分和体积分。 难点：正确理解和掌握散度、旋度和梯度的概念及定理，可以借助流体的流量和涡旋等自然界中比较具体而形象的相似问题来理解。 4思考题合作业 1.4, 1.8, 1.9, 1.11, 1.14, 1.16, 1.24 第二章静电场 1主要内容 本章我们从点电荷的库仑定律发，推导出静电场的基本方程（微分表达及积分表达），该基本方程第一组与静电场的散度和通量有关（高斯定律），第二组有关静电场的环量和旋度，推导的过程运用了叠加原理。由静电场的基本方程中的环量和旋度的基本方程，我们引入了电位的概念，并给出了电场强度与电位之间的关系以及电位的计算公式。运用静电场的基本方程及电位可以解决静电场中的场源互求问题（已知源求场或已知场求源）。然后介绍了电偶极子的概念，推导了电偶极子的电场强度与电位的表达式。接着介绍了介质的极化，被极化的分子可等效为电偶极子，所以介质极化产生的电位就可以借用电偶极子的相关结论。由极化介质的电位公式我们推导了介质中的高斯定律，在该定律中引入了一个新的量— 电磁场与电磁波复习材料 简答 1． 简述恒定磁场的性质，并写出其两个基本方程。 2． 试写出在理想导体表面电位所满足的边界条件。 3． 试简述静电平衡状态下带电导体的性质。 答：静电平衡状态下，带电导体是等位体，导体表面为等位面；（2分） 导体内部电场强度等于零，在导体表面只有电场的法向分量。（3分） 4． 什么是色散？色散将对信号产生什么影响？ 答：在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为色散。 （3分） 色散将使信号产生失真，从而影响通信质量。 （2分） 5．已知麦克斯韦第二方程为t B E ??- =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 6．试简述唯一性定理，并说明其意义。 7．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 8．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 9．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 答：当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。 （3分） 亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究 10．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电场。 （3分） 方程的微分形式： 11．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。（2分） 极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。 12．已知麦克斯韦第一方程为 t D J H ??+ =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 重庆大学 电磁场与电磁波课程实践报告 题目：点电荷电场模拟实验 日期：2013 年12 月7 日 N=28 《电磁场与电磁波》课程实践 点电荷电场模拟实验 1.实验背景 电磁场与电磁波课程内容理论性强，概念抽象，较难理解。在电磁场教学中，各种点电荷的电场线成平面分布，等势面通常用等势线来表示。MATLAB 是一种广泛应用于工程、科研等计算和数值分析领域的高级计算机语言，以矩阵作为数据操作的基本单位，提供十分丰富的数值计算函数、符号计算功能和强大的绘图能力。为了更好地理解电场强度的概念，更直观更形象地理解电力线和等势线的物理意义，本实验将应用MATLAB 对点电荷的电场线和等势线进行模拟实验。 2.实验目的 应用MATLAB 模拟点电荷的电场线和等势线 3.实验原理 根据电磁场理论，若电荷在空间激发的电势分布为V ，则电场强度等于电势梯度的负值，即： E V =-? 真空中若以无穷远为电势零点，则在两个点电荷的电场中，空间的电势分布为： 1 212010244q q V V V R R πεπε=+=+ 本实验中，为便于数值计算，电势可取为 1212 q q V R R =+ 4.实验内容 应用MATLAB 计算并绘出以下电场线和等势线，其中q 1位于(-1,0,0)，q 2位于(1,0,0)，n 为个人在班级里的序号： (1) 电偶极子的电场线和等势线（等量异号点电荷对q 2:q 1 = 1，q 2为负电荷）； (2) 两个不等量异号电荷的电场线和等势线（q 2:q 1 = 1 + n /2，q 2为负电荷）； (3) 两个等量同号电荷的电场线和等势线； (4) 两个不等量同号电荷的电场线和等势线（q 2:q 1 = 1 + n /2）； (5) 三个电荷，q 1、q 2为(1)中的电偶极子，q 3为位于(0,0,0)的单位正电荷。、 n=28 （1） 电偶极子的电场线和等势线（等量异号点电荷对q 2:q 1 = 1，q 2为负电荷）； 程序1： clear all q=1; xm=2.5; ym=2; x=linspace(-xm,xm); y=linspace(-ym,ym); [X,Y]=meshgrid(x,y); R1=sqrt((X+1).^2+Y.^2); R2=sqrt((X-1).^2+Y.^2); U=1./R1-q./R2; u=-4:0.5:4; figure contour(X,Y,U,u,'--'); hold on plot(-1,0,'o','MarkerSize',12); plot(1,0,'o','MarkerSize',12); [Ex,Ey]=gradient(-U,x(2)-x(1),y(2)-y(1)); 第一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）A B θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C 和()?A B C ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= = =e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （ 4 ） 由 c o s AB θ =1 1 2 3 8 = A B A B ， 得 1 c o s A B θ- =(135.5- = （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ = =- A B B （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 1 230 4 1 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502 x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 （1）判断123P P P ?是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 习题解答 如题图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的 电位为零，上边盖板的电位为 U ，求槽内的电位函数。 解 根据题意，电位(,)x y ?满足的边界条件为 ① (0,)(,)0y a y ??== ② (,0)0x ?= ③ 0(,)x b U ?= 根据条件①和②，电位(,)x y ?的通解应取为 1 (,)sinh( )sin()n n n y n x x y A a a ππ?∞ ==∑ 由条件③，有 01 sinh( )sin()n n n b n x U A a a ππ∞ ==∑ 两边同乘以 sin( ) n x a π，并从0到a 对x 积分，得到 00 2sin()d sinh()a n U n x A x a n b a a ππ== ? 02(1cos )sinh()U n n n b a πππ-=04,1,3,5,sinh()02,4,6,U n n n b a n ππ? =? ? ? = ?， 故得到槽内的电位分布 1,3,5, 41(,)sinh()sin() sinh()n U n y n x x y n n b a a a ππ?π π== ∑ 两平行无限大导体平面，距离为b ，其间有一极薄的导体片由d y =到b y =)(∞<<-∞x 。上板和薄片保持电位 U ，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从0=y 到 d y =，电位线性变化，0(0,)y U y d ?=。 ~ a > 题图 解 应用叠加原理，设板间的电位为 (,)x y ?=12(,)(,)x y x y ??+ 其中， 1(,)x y ?为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为 U ）的电位，即 10(,)x y U y b ?=；2(,)x y ?是两个电位为零 的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为： ① 22(,0)(,)0x x b ??== ② 2(,)0() x y x ?=→∞ ③ 002100(0)(0,)(0,)(0,)() U U y y d b y y y U U y y d y b d b ????-≤≤??=-=? ?-≤≤?? # 根据条件①和②，可设2 (,)x y ?的通解为 21(,)sin()e n x b n n n y x y A b π π?∞ -==∑ 由条件③有 00100(0)sin()() n n U U y y d n y b A U U b y y d y b d b π∞ =? -≤≤??=??-≤≤??∑ 两边同乘以 sin( ) n y b π，并从0到b 对y 积分，得到 0002211(1)sin()d ()sin()d d b n d U U y n y n y A y y y b b b b d b b ππ=-+-=??022sin() ()U b n d n d b ππ 故得到 (,)x y ?=0022 121sin()sin()e n x b n U bU n d n y y b d n b b π πππ∞-=+∑ 求在上题的解中，除开0U y 一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按 2 02U W C e f =定出边缘电容。 解 在导体板（0=y ）上，相应于 2(,)x y ?的电荷面密度 题 图 邮电大学 电磁场与微波测量实验报告 实验六布拉格衍射实验 一、实验目的 1、观察微波通过晶体模型的衍射现象。 2、验证电磁波的布拉格方程。 二、实验设备与仪器 DH926B型微波分光仪，喇叭天线，DH1121B型三厘米固态信号源，计算机 三、实验原理 1、晶体结构与密勒指数 固体物质可分成晶体和非晶体两类。任何的真实晶体，都具有自然外形和各向异性的性质，这和晶体的离子、原子或分子在空间按一定的几何规律排列密切相关。 晶体的离子、原子或分子占据着点阵的结构，两相邻结点的距离叫晶体的晶 10ｍ，与X射线的波长数量级相当。因此，格常数。晶体格点距离的数量级是-8 对X射线来说，晶体实际上是起着衍射光栅的作用，因此可以利用X射线在晶体点阵上的衍射现象来研究晶体点阵的间距和相互位置的排列，以达到对晶体结构的了解。 图4.1 立方晶格最简单的晶格是立方体结构。 如图6.1这种晶格只要用一个边长为ａ的正立方体沿3个直角坐标轴方向重复即可得到整个空间点阵，ａ就称做点阵常数。通过任一格点，可以画出全同的晶面和某一晶面平行，构成一组晶面，所有的格点都在一族平行的晶面上而无遗漏。这样一族晶面不仅平行，而且等距，各晶面上格点分布情况相同。 为了区分晶体中无限多族的平行晶面的方位，人们采用密勒指数标记法。先找出晶面在ｘ、ｙ、ｚ3个坐标轴上以点阵常量为单位的截距值，再取3截距值的倒数比化为最小整数比（ｈ∶ｋ∶ｌ），这个晶面的密勒指数就是（ｈｋｌ）。当然与该面平行的平面密勒指数也是（ｈｋｌ）。利用密勒指数可以很方便地求出一族平行晶面的间距。对于立方晶格，密勒指数为（ｈｋｌ）的晶面族，其面 间距 hkl d可按下式计算：2 2 2l k h a d hkl + + = 图6.2立方晶格在ｘ—ｙ平面上的投影 如图6.2，实线表示（100）面与ｘ—ｙ平面的交线，虚线与点画线分别表示（110）面和（120）面与ｘ—ｙ平面的交线。由图不难看出 2、微波布拉格衍射 根据用X射线在晶体原子平面族的反射来解释X射线衍射效应的理论，如有一单色平行于X射线束以掠射角θ入射于晶格点阵中的某平面族，例如图4.2所示之（100）晶面族产生反射，相邻平面间的波程差为 θ sin 2 100 d QR PQ= +（6.1） 式（6.1）中 100 d是（100）平面族的面间距。若程差是波长的整数倍，则二反射波有相长干涉，即因满足 电磁场与微波测量实验报告 学院： 班级： 组员： 撰写人： 学号： 序号： 实验一电磁波反射和折射实验 一、实验目的 1、熟悉S426型分光仪的使用方法 2、掌握分光仪验证电磁波反射定律的方法 3、掌握分光仪验证电磁波折射定律的方法 二、实验设备与仪器 S426型分光仪 三、实验原理 电磁波在传播过程中如遇到障碍物，必定要发生反射，本处以一块大的金属板作为障碍物来研究当电磁波以某一入射角投射到此金属板上所遵循的反射定律，即反射线在入射线和通过入射点的法线所决定的平面上，反射线和入射线分居在法线两侧，反射角等于入射角。 四、实验内容与步骤 1、熟悉分光仪的结构和调整方法。 2、连接仪器，调整系统。 仪器连接时，两喇叭口面应相互正对，它们各自的轴线应在一条直线上，指示 两喇叭的位置的指针分别指于工作平台的90刻度处，将支座放在工作平台上， 并利用平台上的定位销和刻线对正支座，拉起平台上的四个压紧螺钉旋转一个 角度后放下，即可压紧支座。 3、测量入射角和反射角 反射金属板放到支座上时，应使金属板平面与支座下面的小圆盘上的某一对刻 线一致。而把带支座的金属反射板放到小平台上时，应使圆盘上的这对与金属 板平面一致的刻线与小平台上相应90度的一对刻线一致。这是小平台上的0刻 度就与金属板的法线方向一致。 转动小平台，使固定臂指针指在某一角度处，这角度读书就是入射角， 五、实验结果及分析 记录实验测得数据，验证电磁波的反射定律 表格分析： （1）、从总体上看，入射角与反射角相差较小，可以近似认为相等，验证了电磁波的反射定律。 （2）、由于仪器产生的系统误差无法避免，并且在测量的时候产生的随机误差，所以入射角 第2章习题解答 2.2已知半径为a 、长为l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度()0V a ρρρρ =， ()0a ρ≤≤。试求总电量Q 。 解：2π20000 2d d d d π3 l a V V Q V z la a ρρ ρρρ?ρ= ==? ? ?? 2.3 半径为0R 的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q 。当球以角速度ω绕某一直径(z 轴)旋转时，试求 其表面上的面电流密度。 解：面电荷密度为 2 04πS Q R ρ= 面电流密度为 002 00 sin sin sin 4π4πS S S Q Q J v R R R R ωθ ρρωθωθ=?== = 2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流0S S J e J ?=。已知导线的直径为d ，导线中的电流为0I ，试 求0S J 。 解：每根导线的体电流密度为 00 22 4π(/2)πI I J d d = = 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 04πS I J Jd d == 因此，等效面电流密度为 04πS I J e d ?= 2.6 两个带电量分别为0q 和02q 的点电荷相距为d ，另有一带电量为0q 的点电荷位于其间。为使中间的 点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为-0q 时，结果又如何？ 解：设实验电荷0q 离02q 为x ，那么离0q 为x d -。由库仑定律，实验电荷受02q 的排斥力为 12 214πq F x ε= 实验电荷受0q 的排斥力为 022 1 4π()q F d x ε= - 要使实验电荷保持平衡，即21F F =，那么由0022 211 4π4π() q q x d x εε=-，可以解得 d d x 585.01 22=+= 如果实验电荷为0q -，那么平衡位置仍然为d d x 585.01 22=+=。只是这时实验电荷与0q 和02q 不 是排斥力，而是吸引力。 2.7 边长为a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为0q 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E 。 解：设点电荷的位置分别为()00,0,0q ，()0,0,0q a 和()00,,0q a ，由库仑定律可得点(),,0P a a 处的电 场为 ( ) ( 00 2 22 00001114π4π4π221x y y x x y q q q E e e e e a a q e e εεε? =+++ ?+=+ 《电磁场与电磁波》试题1 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为，则磁感应强度和磁场满足的方程为：。 2．设线性各向同性的均匀媒质中，称为方程。 3．时变电磁场中，数学表达式称为。 4．在理想导体的表面，的切向分量等于零。 5．矢量场穿过闭合曲面S的通量的表达式为：。 6．电磁波从一种媒质入射到理想表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。 8．如果两个不等于零的矢量的等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用函数的旋度来表示。 二、简述题（每小题5分，共20分） 11．已知麦克斯韦第二方程为，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 12．试简述唯一性定理，并说明其意义。 13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 三、计算题（每小题10分，共30分） 15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。 16．矢量，，求 （1） （2） 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 （1）试写出其时间表达式； （2）说明电磁波的传播方向； 四、应用题（每小题10分，共30分） 18．均匀带电导体球，半径为，带电量为。试求 （1）球内任一点的电场强度 （2）球外任一点的电位移矢量。 19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示）， （1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）；（2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。 20．如图2所示的导体槽，底部保持电位为，其余两面电位为零，（1）写出电位满足的方程； （2）求槽内的电位分布 《电磁场与电磁波》仿真实验 2016年11月 《电磁场与电磁波》仿真实验介绍 《电磁场与电磁波》课程属于电子信息工程专业基础课之一，仿真实验主要目的在于使学生更加深刻的理解电磁场理论的基本数学分析过程，通过仿真环节将课程中所学习到的理论加以应用。受目前实验室设备条件的限制，目前主要利用 MATLAB 仿真软件进行，通过仿真将理论分析与实际编程仿真相结合，以理论指导实践，提高学生的分析问题、解决问题等能力以及通过有目的的选择完成实验或示教项目，使学生进一步巩固理论基本知识，建立电磁场与电磁波理论完整的概念。 本课程仿真实验包含五个内容： 一、电磁场仿真软件——Matlab的使用入门 二、单电荷的场分布 三、点电荷电场线的图像 四、线电荷产生的电位 五、有限差分法处理电磁场问题 目录 一、电磁场仿真软件——Matlab的使用入门……………............................................... .4 二、单电荷的场分 布 (10) 三、点电荷电场线的图像 (12) 四、线电荷产生的电位 (14) 五、有限差分法处理电磁场问题 (17) 实验一电磁场仿真软件——Matlab的使用入门 一、实验目的 1. 掌握Matlab仿真的基本流程与步骤； 2. 掌握Matlab中帮助命令的使用。 二、实验原理 （一）MATLAB运算 1.算术运算 (1)．基本算术运算 MATLAB的基本算术运算有：＋(加)、－(减)、*(乘)、/(右除)、\(左除)、 ^(乘方)。 注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是 一种特例。 (2)．点运算 在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。点运算符有.*、./、.\和.^。两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。 例1：用简短命令计算并绘制在0≤x≦6范围内的sin(2x)、sinx2、sin2x。 程序：x=linspace(0,6) y1=sin(2*x),y2=sin(x.^2),y3=(sin(x)).^2; plot(x,y1,x, y2,x, y3) （二）几个绘图命令 1. doc命令：显示在线帮助主题 调用格式：doc 函数名 例如：doc plot，则调用在线帮助，显示plot函数的使用方法。 2. plot函数：用来绘制线形图形 plot(y),当y是实向量时，以该向量元素的下标为横坐标，元素值为纵坐标画出一条连续曲线，这实际上是绘制折线图。 plot(x,y),其中x和y为长度相同的向量，分别用于存储x坐标和y 坐标数据。 plot(x,y,s) 第1章习题解答 1.4 计算下列标量场u 的梯度u ? ： （1）234u x y z =； （2）u xy yz zx =++； （3）222323u x y z =-+。 解：（1） 34224233234x y z x y z u u u u e e e e xy z e x y z e x y z x y z ????=++=++??? （2）()()()x y z x y z u u u u e e e e y z e x z e y x x y z ????=++=+++++??? （3）646x y z x y z u u u u e e e e x e y e z x y z ????=++=-+??? 1.6 设()22,,1f x y z x y y z =++。试求在点()2,1,3A 处f 的方向导数最大的方向的单位矢量及其方向导 数。方向导数最小值是多少？它在什么方向？ 解： ()2222x y z x y z f f f f e e e e xy e x yz e y x y z ????=++=+++??? 因为410x y z x y z A f f f f e e e e e e x y z ????=++=++??? 所以 ( max 410l x y z f e e e e l ?==++? ( min 410l x y z f e e e e l ?==-++? 1.10 求下列矢量场在给定点的散度值： （1）()x y z A xyz e x e y e z =++ 在()1,3,2M 处； （2）242x y z A e x e xy e z =++ 在()1,1,3M 处； （3）())1222x y z A e x e y e z x y z =++++ 在()1,1,1M 处。 解：（1） 222636y x z M A A A A xyz xyz xyz xyz A x y z ?????=++=++=??=??? （2）42212y x z M A A A A x z A x y z ?????= ++=++??=??? （3）y x z A A A A x y z ?????=++ ??? ( )( )( ) 2222 2222 2222 3 3 3 x y z x x y z y x y z z ++-++-++ -= + + = M A ??= 《电磁场与电磁波》试题2 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为ε，则电位移矢量D ?和电场E ? 满足的 方程为： 。 2．设线性各向同性的均匀媒质中电位为φ，媒质的介电常数为ε，电荷体密度为V ρ，电位 所满足的方程为 。 3．时变电磁场中，坡印廷矢量的数学表达式为 。 4．在理想导体的表面，电场强度的 分量等于零。 5．表达式()S d r A S ? ????称为矢量场)(r A ? ?穿过闭合曲面S 的 。 6．电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生 。 7．静电场是保守场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。 8．如果两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个矢量必然相互 。 9．对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分量为 。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是 场，因此，它可用磁矢位函数的旋度来表示。 二、简述题 （每小题5分，共20分） 11．试简述磁通连续性原理，并写出其数学表达式。 12．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 13．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???????-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 14．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 三、计算题 （每小题10分，共30分） 15．矢量函数 z x e yz e yx A ??2+-=? ，试求 （1）A ? ?? （2）A ? ?? 16．矢量 z x e e A ?2?2-=? ， y x e e B ??-=? ，求 （1）B A ? ?- （2）求出两矢量的夹角 实验一 静电场仿真 1．实验目的 建立静电场中电场及电位空间分布的直观概念。 2．实验仪器 计算机一台 3．基本原理 当电荷的电荷量及其位置均不随时间变化时，电场也就不随时间变化，这种电场称为静电场。 点电荷q 在无限大真空中产生的电场强度E 的数学表达式为 204q E r r πε= （r 是单位向量） （1-1） 真空中点电荷产生的电位为 04q r ?πε= （1-2） 其中，电场强度是矢量，电位是标量，所以，无数点电荷产生的电场强度和电位是不一样的，电场强度为 1221014n i n i i i q E E E E r r πε==+++=∑ （i r 是单位向量）（1-3） 电位为 121014n i n i i q r ????πε==+++=∑ （1-4） 本章模拟的就是基本的电位图形。 4．实验内容及步骤 （1） 点电荷静电场仿真 题目：真空中有一个点电荷-q ，求其电场分布图。 程序1: 负点电荷电场示意图 clear [x,y]=meshgrid(-10:1.2:10); E0=8.85e-12; q=1.6*10^(-19); r=[]; r=sqrt(x.^2+y.^2+1.0*10^(-10)) m=4*pi*E0*r; m1=4*pi*E0*r.^2; E=(-q./m1).*r; surfc(x,y,E); 负点电荷电势示意图 clear [x,y]=meshgrid(-10:1.2:10); E0=8.85e-12; q=1.6*10^(-19); r=[]; r=sqrt(x.^2+y.^2+1.0*10^(-10)) m=4*pi*E0*r; m1=4*pi*E0*r.^2; z=-q./m1 surfc(x,y,z); xlabel('x','fontsize',16) ylabel('y','fontsize',16) title('负点电荷电势示意图','fontsize',10) 电磁场与电磁波实验报告 实验一 电磁场参量的测量 一、 实验目的 1、 在学习均匀平面电磁波特性的基础上，观察电磁波传播特性互相垂直。 2、 熟悉并利用相干波原理，测定自由空间内电磁波波长λ，并确定电磁波 的相位常数β和波速υ。 二、 实验原理 两束等幅、同频率的均匀平面电磁波，在自由空间内从相同（或相反） 方向传播时，由于初始相位不同发生干涉现象，在传播路径上可形成驻波场分布。本实验正是利用相干波原理，通过测定驻波场节点的分布，求得自由空间内电磁波波长λ的值，再由 λ πβ2=，βωλν==f 得到电磁波的主要参量：β和ν等。 本实验采取了如下的实验装置 设入射波为φj i i e E E -=0，当入射波以入射角1θ向介质板斜投射时，则在 分界面上产生反射波r E 和折射波t E 。设介质板的反射系数为R ，由空气进入介质板的折射系数为0T ，由介质板进入空气的折射系数为c T ，另外，可动板 2r P 和固定板1r P 都是金属板，其电场反射系数都为-1。在一次近似的条件下， 接收喇叭处的相干波分别为1001Φ--=j i c r e E T RT E ，2002Φ--=j i c r e E T RT E 这里 ()13112r r r L L L ββφ=+=；()()231322222L L L L L L r r r r βββφ=+?+=+=； 其中12L L L -=?。 又因为1L 为定值，2L 则随可动板位移而变化。当2r P 移动L ?值，使3r P 有零指示输出时，必有1r E 与2r E 反相。故可采用改变2r P 的位置，使3r P 输出最大或零指示重复出现。从而测出电磁波的波长λ和相位常数β。下面用数学式来表达测定波长的关系式。 在3r P 处的相干波合成为()210021φφj j i c r r r e e E T RT E E E --+-=+= 或写成 () ?? ? ??+-?Φ-=200212cos 2φφj i c r e E T RT E （1-2） 式中L ?=-=?Φβφφ221 为了测量准确，一般采用3r P 零指示法，即02cos =?φ 或 π)12(+=?Φn ，n=0,1,2...... 这里n 表示相干波合成驻波场的波节点（0=r E ）数。同时，除n=0以外的n 值，又表示相干波合成驻波的半波长数。故把n=0时0=r E 驻波节点为参考节点的位置0L 又因 L ??? ? ??=?λπφ22 （1-3） 故 ()L n ??? ? ??=+λππ2212 或 λ)12(4+=?n L (1-4) 由（1-4）式可知，只要确定驻波节点位置及波节数，就可以确定波长的 值。当n=0的节点处0L 作为第一个波节点，对其他N 值则有： n=1，()λ24401=-=?L L L ,对应第二个波节点，或第一个半波长数。 n=1，()λ24412=-=?L L L ,对应第三个波节点，或第二个半波长数。(完整版)电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方
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