电磁场与电磁波课后习题答案全杨儒贵
电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵编着)(第二版)第3章
可见，空间某点r对于任一参考点r0的电位为
对于本题，若取坐标原点作为电位参考点，因为原线电荷 离坐标原点的距离为2h，离场点P的距离为r0，那么该线电荷在P点产生的电位为
因为全部镜像电荷离坐标原点的距离均为2h，那么，劈间任一点P以坐标原点作为电位参考点的电位为
即
要使点电荷受力为零，则 应满足下列方程
求解此高次方程可用作图法。为此，先将上式化简为
再化为关于 的方程即
若 ，则上面的方程又可写为
令 ， ，分别作图求得y1和y2的交点，即是所要求的解。根据题意可知 ，由下图可见 的解位于 =1.5~2之间。其值近似为 ，即 时，点电荷q受力为零。
3-14试证位于内半径为a的导体球形空腔中的点电荷q受到的电场力大小为
答根据镜像法，如果劈形导体的夹角不为 的整数分之一时，则镜像电荷不能最终和原电荷重合，这样将会产生无限多个镜像电荷，每个镜像电荷都会产生一定的电位，导致合成电位无限大，因而无解。
当点电荷位于两块无限大导体板之间时，可采用镜像法求解。此时虽然也会产生无限多个镜像电荷，但是远处的镜像电荷对于两板之间的场点贡献越来越小，因
当球壳的电位为时，由上题获知位于球心的镜像电荷q应为
壳外的场强将由点电荷 及其镜像电荷 和q共同产生，壳外的合成电位为
式中镜像电荷 ，离球心的距离为 ，则壳外的电场强度为
2球壳表面的电荷密度为
其最大值为
③系统能量的改变来自外力作的功。已知点电荷 受到的电场力为
由此可见，若q>0q<0，又因<0，故电场力的实际方向为(-er)。在外力作用下，当点电荷q离开球心的距离增加一倍时，外力F作的功为
因为 ，即 ，代入上式，考虑到 ，即当 时，取上式极限，求得
电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵编着)(第二版)第8章
第八章 平面电磁波8-1 导出非均匀的各向同性线性媒质中，正弦电磁场应该满足的波动方程及亥姆霍兹方程。
解 非均匀的各向同性线性媒质中，正弦电磁场应该满足的麦克斯韦方程如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇)(),()(0),()(),()(),(),()(),(),(r r E r r H r r H r r E r E r r J r H ρεμμεt t t t t t t t t ， 分别对上面两式的两边再取旋度，利用矢量公式A A A 2)(∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇⋅-∇+∂∂+∂∂⨯∇=∂∂-∇)()(),(),(),()(),()(),()()(),(222r r r E r r J r r H r r E r r r E εερμμμεt t t t t t t t t ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇⋅∇-∂∂⨯∇-⨯-∇=∂∂-∇μμεμε)(),(),()(),(),()()(),(222r r H r E r r J r H r r r H t t t t t t t 则相应的亥姆霍兹方程为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇⋅-∇++⨯∇=+∇)()()()()()(j )()(j )()()()(22r r r E r r J r r H r r E r r r E εερωμμωμεω⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇⋅∇-⨯∇-⨯-∇=+∇μμεωμεω)()()()(j )()()()()(22r r H r E r r J r H r r r H 8-2 设真空中0=z 平面上分布的表面电流t J s x s sin 0ωe J =，试求空间电场强度、磁场强度及能流密度。
解 0=z 平面上分布的表面电流将产生向z +和z -方向传播的两个平面波，设z > 0区域中的电场和磁场分别为)(1z,t E ，)(1z,t H ，传播方向为z +；而z < 0区域中的场强为)(2z,t E 和)(2z,t H ，传播方向为z -。
电磁场与电磁波课后习题答案第3章(杨儒贵编着)
第三章 静电场3-1 已知在直角坐标系中四个点电荷分布如习题图3-1所示，试求电位为零的平面。
解 已知点电荷q 的电位为rq 4πεϕ=，令)0,1,0(1q q -=，)0,1,3(2q q +=，)0,0,1(3q q -=，)0,0,0(4q q +=，那么，图中4个点电荷共同产生的电位应为∑=414ii r q πεϕ令0=ϕ，得 0 4 4 4 44321=+-+-r qr q r q r q πεπεπεπε 由4个点电荷的分布位置可见，对于x =1.5cm 的平面上任一点，4321 ,r r r r ==，因此合成电位为零。
同理，对于x =0.5cm 的平面上任一点，3241 ,r r r r ==，因此合成电位也为零。
所以，x =1.5cm 及x =0.5cm 两个平面的电位为零。
3-2 试证当点电荷q 位于无限大的导体平面附近时，导体表面上总感应电荷等于)(q -。
证明 建立圆柱坐标，令导体表面位于xy 平面，点电荷距离导体表面的高度为h ，如图3-2所示。
那么，根据镜像法，上半空间的电场强度为32023101 4 4r q r q πεπεr r E -=X 习题图3-1(r , z )习题图3-2电通密度为)(43223110r r q r r E D -==πε 式中 232231])([h z r r -+=； 232232])([h z r r ++=那么，⎥⎥⎥⎦⎤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-++-+⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++++--+-+=z z zh z r hz h z r h z h z r r h z r r q h z r h z r h z r h z r q e e e e e e D r r r 232223222322232223222322])([])([ ])([])([4 ])([)(])([)(4ππ 已知导体表面上电荷的面密度n s D =ρ，所以导体表面的感应电荷为2322232223220)(2][][4h r qh h r h h r h q D z zs +-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++-+-===ππρ 则总的感应电荷为q h r r r qh r r S q s ss -=+-===⎰⎰⎰∞∞2322)(d d 2d 'πρρ3-3 根据镜像法，说明为什么只有当劈形导体的夹角为π的整数分之一时，镜像法才是有效的？当点电荷位于两块无限大平行导体板之间时，是否也可采用镜像法求解。
(完整版)电磁场与电磁波(杨儒贵_版)课后思考题答案.docx
电磁场与波课后思考题1-1 什么是标量与矢量?举例说明 .仅具有大小特征的量称为标量.如:长度 ,面积 ,体积 ,温度 ,气压 ,密度 ,质量 ,能量及电位移等.不仅具有大小而且具有方向特征的量称为矢量 .如:力 ,位移 ,速度 ,加速度 ,电场强度及磁场强度 .1-2 矢量加减运算及矢量与标量的乘法运算的几何意义是什么矢量加减运算表示空间位移.矢量与标量的乘法运算表示矢量的伸缩.1-3矢量的标积与矢积的代数定义及几何意义是什么?矢量的标积 : A B A x B x A y B y A z B z A B cos ,A 矢量的模与矢量 B 在矢量 A方向上的投影大小的乘积 .矢积 :e x e y e z矢积的方向与矢量A,B 都垂直 ,且A B A x A y A z e z A B sin由矢量 A 旋转到 B,并与矢积构成右B x B y B z旋关系 ,大小为 A B sin1-4什么是单位矢量 ?写出单位矢量在直角坐标中的表达式.模为 1的矢量称为单位矢量. e a cos e x cos e y cos e z1-5梯度与方向导数的关系是什么?试述梯度的几何意义,写出梯度在直角坐标中的表示式 .标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数, 方向为该点具有最大方向导数的方向.梯度方向垂直于等值面，指向标量场数值增大的方向在直角坐标中的表示式:x e x y e y z e z1-6什么是矢量场的通量 ?通量值为正 ,负或零时分别代表什么意义?矢量 A 沿某一有向曲面S 的面积分称为矢量 A 通过该有向曲面S 的通量 ,以标量表示，即Ψ A dS通量为零时表示该闭合面中没有矢量穿过.S; 通量为负时表示闭合面中有洞 .通量为正时表示闭合面中有源1-7给出散度的定义及其在直角坐标中的表示式.d 散度：当闭合面S向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面S的通量div Alim S 与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该点的散度。
电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵编着)(第二版)全套完整版
2-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为：)0,1,0( ,4 )1,0,1( ,1 )1,0,0( ,1332211P C q P C q P C q === 试求位于)0,1,0(-P 点的电场强度。
解 令321,,r r r 分别为三个电电荷的位置321,,P P P 到P 点的距离，则21=r ，32=r ，23=r 。
利用点电荷的场强公式r e E 204rq πε=，其中r e 为点电荷q 指向场点P 的单位矢量。
那么，1q 在P 点的场强大小为021011814πεπε==r q E ，方向为()z yr e ee +-=211。
2q 在P 点的场强大小为0220221214πεπε==r q E ，方向为()z y xr e e ee ++-=312。
3q 在P 点的场强大小为023033414πεπε==r q E ，方向为y r e e -=3则P 点的合成电场强度为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=++=z e e e E E E E y x 312128141312128131211 0321πε2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为6102-⨯C ，相距为2cm ， 如习题图2-4所示。
试求：①P 点的电位；②将电量为6102-⨯C 的点电荷由无限远处缓慢地移至P 点时，外力必须作的功。
解 根据叠加原理，P 点的合成电位为()V 105.24260⨯=⨯=rq πεϕ因此，将电量为C 1026-⨯的点电荷由无限远处缓慢地移到P 点，外力必须做的功为()J 5==q W ϕ2-6 已知分布在半径为a 的半圆周上的电荷线密度πφφρρ≤≤=0 ,sin 0l ，试求圆心处的电场强度。
解 建立直角坐标，令线电荷位于xy 平面，且以y 轴为对称，如习题图2-6所示。
那么，点电荷l l d ρ在圆心处产生的电场强度具有两个分量E x 和E y 。
由于电荷分布以y 轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的y E 分量，即习题图2-4习题图2-6φπερsin 4d d d 20a lE E l y ==考虑到φρρφsin ,d d 0==l a l ，代入上式求得合成电场强度为y y aa e e E 0002008d sin 4ερφφπερπ==⎰2-12 若带电球的内外区域中的电场强度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=a r aqr a r r q, ,2r e E试求球内外各点的电位。
电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵编着)(第二版)全套完整版
r1 r2 r1r2 因此，
cos sin1 sin2 (cos1 cos2 sin1 sin2 ) cos1 cos2 sin1 sin2 cos(1 2 ) cos1 cos 2
cos( ) cos cos sin sin 证明 由于两矢量位于 z 0平面内，因此均为二维矢量， 它们可以分别表示为
A ex A cos ey A sin B ex B cos ey B sin
已 知 A B A B c o s ， 求 得
cos A B cos cos A B sin sin
AB
即
cos( ) cos cos sin sin
1-3 已 知 空 间 三 角 形 的 顶 点 坐 标 为 P1(0, 1, 2) ， P2 (4, 1, 3) 及 P3 (6, 2, 5) 。试 问 ：① 该 三 角 形 是 否 是 直 角 三 角形；②该三角形的面积是多少？ 解 由题意知，三角形三个顶点的位置矢量分别为
解 ① A Ax2 Ay2 Az2 12 22 32 14
B
Bx2
B
2 y
Bz2
32 12 22 14
C Cx2 Cy2 Cz2 22 02 12 5
②
ea
A A
A 14
1 14
ex 2ey 3ez
4
将点 P(1,2,3)
的
坐
标
代
入
，
得
P
e y
6
e3
ez
3 e3 。 2
那么，在 P 点的最大变化率为
电磁场与波(杨儒贵_第一版)课后作业答案
1-1 已知三个矢量分别为z y e e e A x 32-+=；z y e e e B x 23++=；z e e C x -=2。
试求①|| |,| |,|C B A ；②单位矢量c b a e e e , ,；③B A ⋅；④B A ⨯；⑤C B A ⨯⨯)(及B C A ⨯⨯)(；⑥B C A ⋅⨯)(及C B A ⋅⨯)(。
解 ① ()14321222222=-++=++=z y x A A A A14213222222=++=++=z y x B B B B ()5102222222=-++=++=z y x C C C C② ()z y e e e A A A e x a 3214114-+===()z y e e e B B B e x b 2314114++===()z e e C C C e x c -===2515 ③ 1623-=-+=++=⋅z z y y x x B A B A B A B A④ z y zy zyxz y xz y B B B A A A e e e e e e e e e B A x x x5117213321--=-==⨯ ⑤ ()z y zy e e e e e e C B A x x 223111025117+-=---=⨯⨯ 因z y zy zyxz y xC C C A A A e e e e e e e e e C A x x x x x45212321---=--==⨯ 则()z y zy e e e e e e B C A x x 1386213452+--=---=⨯⨯⑥ ()()()152131532=⨯+⨯-+⨯-=⋅⨯B C A()()()1915027=-⨯-++⨯=⋅⨯C B A 。
1-5 设标量32yz xy +=Φ，矢量z y e e e A x -+=22，试求标量函数Φ在点)1 ,1 ,2(-处沿矢量A 的方向上的方向导数。
电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵编着)(第二版)
第五章 恒定磁场重点和难点该章重点及处理方法与静电场类似。
但是磁感应强度的定义需要详细介绍，尤其要强调磁场与运动电荷之间没有能量交换，电流元受到的磁场力垂直于电流的流动方向。
说明磁导率与介电常数不同，磁导率可以小于1，而且大多数媒质的磁导率接近1。
讲解恒定磁场时，应与静电场进行对比。
例如，静电场是无散场，而恒定磁场是无旋场。
在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，而磁感应强度的法向分量是连续的。
重要公式磁感应强度定义：根据运动电荷受力： B v F ⨯=q 根据电流元受力： B l F ⨯=d I 根据电流环受力： B m T ⨯=真空中恒定磁场方程： 积分形式： I ⎰=⋅ll B 0d μ⎰=⋅SS B 0d微分形式：J B 0 μ=⨯∇0=⋅∇B已知电流分布求解电场强度：1，A B ⨯∇=V V ''-'=⎰'d )(4)( 0 r r r J r A πμ2，V V ''-'-⨯'=⎰'d )()( 4)(3 0 r r r r r J r B πμ 毕奥─萨伐定律。
3，I ⎰=⋅ll B 0d μ安培环路定律。
面电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为S ''-'=⎰'d )(4)(0r r r J r A S S πμS ''-'-⨯'=⎰'d )()(4)( 30 r r r r r J r B S S πμ 线电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为⎰''-'=l r r l r A d 4)(0I πμ ⎰''-'-⨯'=l r r r r l r B 30 )(d 4)(I πμ矢量磁位满足的微分方程：J A 0 2μ-=∇无源区中标量磁位满足的微分方程： 0 2=∇m ϕ 媒质中恒定磁场方程： 积分形式： I l =⋅⎰l H d⎰=⋅SS B 0d微分形式：J H =⨯∇ 0=⋅∇B磁性能均匀线性各向同性的媒质：场方程积分形式：⎰=⋅lI d μl B⎰=⋅BS H 0d场方程微分形式： J B μ=⨯∇ 0=⋅∇H矢量磁位微分方程：J A 2μ-=∇ 矢量磁位微分方程的解：V V ''-'=⎰'d )(4)(r r r J r A πμ 恒定磁场边界条件：1，t t H H 21=。
[VIP专享]电磁场与电磁波课后答案(杨儒贵第二版)-2
已知电荷分布求解电场强度：
1， E(r) (r) ；
(r) 1
(r) dV
4 0 V | r r |
2， E(r)
(r)(r r) dV V 4 0 | r r |3
3， E dS q
S
0
高斯定律
介质中静电场方程：
积分形式： 0
微分形式： D
2
er
q 4 0
(r1
r)(r1 r 2 r12
r) er
43m1m“-”J520Gm01m24“492k-Z(1)g2L3-”3060@k%3-g“/1”7mD2%BJ/Tg0d1-ZP318¬-A_2"o70)Xc0?y258z6n”217 NE)
式中
r11
r 2 l 2 2rl cos
1 2
iQi
分布电荷的能量：
We
1 dV V2
S
1 2
S
dS
l
1 2
l
dl
静电场的能量密度：
we
1 2
DE
2
对于各向同性的线性介质，则
电场力：
库仑定律：
F
qq 4 r 2
er
常电荷系统：
F dWe dl
q 常数
we
1 2
E2
常电位系统：
F dWe dl
常数
题解
2-1 若真空中相距为 d 的两个电荷 q1 及 q2 的电量分别为 q 及 4q，当点电荷 q 位于 q1 及 q2 的连线 上时，系统处于平衡状态，试求 q 的大小及位置。
2r1 ，同时考虑到
r1 r2 d ，求得
r1
1 3
d,
r2
【精品】电磁场与电磁波课后习题答案杨儒贵编着第二版第4章
第四章静电场4-1已知一根长直导线的长度为1km ，半径为0.5mm ，当两端外加电压6V 时，线中产生的电流为61A ，试求：①导线的电导率；②导线中的电场强度；③导线中的损耗功率。
解（1） 由IR V =，求得 ()Ω==366/16R 由SR σ=，求得导线的电导率为 ()()m S 1054.3105.036107233⨯=⨯⨯⨯==-πσRS 导线中的电场强度为()m V 10610633-⨯===V E 单位体积中的损耗功率2E P l σ=，那么，导线的损耗功率为()W 122==L r E P πσ4-2设同轴线内导体半径为a ，外导体的内半径为b ，填充媒质的电导率为σ。
根据恒定电流场方程，计算单位长度内同轴线的漏电导。
解设0;,====ϕϕ时，时b r V a r 。
建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程为0d d d d 12=⎪⎭⎫⎝⎛=∇r r r r ϕϕ求得同轴线中的电位ϕ及电场强度E 分别为则 re E J ⎪⎭⎫ ⎝⎛-==b a Vr ln 1σσ单位长度内通过内半径的圆柱面流进同轴线的电流为⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=⎰b a VI sln 2d πσs J 那么，单位长度内同轴线的漏电导为 ⎪⎭⎫⎝⎛===b a V I R G ln 21πσ()m S 4-3设双导线的半径a ，轴线间距为D ，导线之间的媒质电导率为σ，根据电流场方程，计算单位长度内双导线之间的漏电导。
解设双导线的两根导线上线电荷密度分别为+和，利用叠加原理和高斯定理可求得两导线之间垂直连线上任一点的电场强度大小为⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=r D r E 112περ那么，两导线之间的电位差为 aaD V ad a-=⋅=⎰-lnd περr E 单位长度内两导线之间的电流大小为()a D D I ss-=⋅=⋅=⎰⎰ερσσs E s J d d 则单位长度内两导线之间的漏电导为()⎪⎭⎫⎝⎛--===a a D a D DVI R G ln 1πσ()m S 若a D >>则单位长度内双导线之间的漏电导为⎪⎭⎫⎝⎛=a D G ln πσ()m S 4-4已知圆柱电容器的长度为L ，内外电极半径分别为a 及b ，填充的介质分为两层，界面半径为c 。
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1-13试证式（1-7-11）及式（1-7-12）。
证明①式（1-7-11）为 （ 为常数）
令 ， ，则
②式（1-7-12）为
令 ， ，则
若将式（1-7-12）的右边展开，也可证明。
1-14试证 ， 及 。
证明已知在球坐标系中，矢量A的旋度为
对于矢量 ，因 ， ， ，代入上式，且
因r与角度，无关，那么，由上式获知 。
解利用高斯定理， ，则
第二章静电场
2-1若真空中相距为d的两个电荷q1及q2的电量分别为q及4q，当点电荷 位于q1及q2的连线上时，系统处于平衡状态，试求 的大小及位置。
解要使系统处于平衡状态，点电荷 受到点电荷q1及q2的力应该大小相等，方向相反，即 。那么，由 ，同时考虑到 ，求得
可见点电荷 可以任意，但应位于点电荷q1和q2的连线上，且与点电荷 相距 。
2-17若在一个电荷密度为 ，半径为a的均匀带电球中，存在一个半径为b的球形空腔，空腔中心与带电球中心的间距为d，试求空腔中的电场强度。
2-3直接利用式（2-2-14）计算电偶极子的电场强度。
解令点电荷 位于坐标原点， 为点电荷 至场点P的距离。再令点电荷 位于+ 坐标轴上， 为点电荷 至场点P的距离。两个点电荷相距为 ，场点P的坐标为（r, ,）。
根据叠加原理，电偶极子在场点P产生的电场为
考虑到r>>l， =er， ，那么上式变为
因两个边矢量 ，意味该两个边矢量相互垂直，所以该三角形是直角三角形。
因
，
所以三角形的面积为
1-4已知矢量 ，两点P1及P2的坐标位置分别为 及 。若取P1及P2之间的抛物线 或直线 为积分路径，试求线积分 。
解①积分路线为抛物线。已知抛物线方程为 , ，则
②积分路线为直线。因 , 两点位于 平面内，过 , 两点的直线方程为 ，即 ， ，则
求得
即该矢量在球坐标下的表达式为 。
1-21已知圆柱坐标系中的矢量 ，式中a,b,c均为常数，A是常矢量吗？试求 及 以及A在相应的直角坐标系及圆球坐标系中的表示式。
解因为虽然a,b,c均为常数，但是单位矢量er和e均为变矢，所以 不是常矢量。
已知圆柱坐标系中，矢量A的散度为
将 代入，得
矢量A的旋度为
， ，
因此，该点在直角坐标下的位置为
; ;z= 3
同样，根据球坐标系和直角坐标系坐标变量之间的转换关系，
； ；
可得该点在球坐标下的位置为
； ；
1-20已知直角坐标系中的矢量 ，式中a,b,c均为常数，A是常矢量吗？试求该矢量在圆柱坐标系及圆球坐标系中的表示式。
解由于 的大小及方向均与空间坐标无关，故是常矢量。
因此，
2-12若带电球的内外区域中的电场强度为
试求球内外各点的电位。
解在 区域中，电位为
在 区域中，
2-13已知圆球坐标系中空间电场分布函数为
试求空间的电荷密度。
解利用高斯定理的微分形式 ，得知在球坐标系中
那么，在 区域中电荷密度为
在 区域中电荷密度为
2-14已知真空中的电荷分布函数为
式中r为球坐标系中的半径，试求空间各点的电场强度。
对于矢量 ，因 ， ， ，显然 。
对于矢量 ，因 ， ， ，同理获知
。
1-15若C为常数，A及k为常矢量，试证：
① ；
② ；
③ 。
证明①证明 。
利用公式 ，则
而
求得 。
②证明 。
利用公式 ，则
再利用①的结果，则
③证明 。
利用公式 ，则
再利用①的结果，则 。
1-16试证 ，式中k为常数。
证明已知在球坐标系中
的电位为
式中 。故
因 ，可知电场强度的z分量为
电场强度的r分量为
式中 ，那么，合成电强为
当L时， ，则合成电场强度为
可见，这些结果与教材2-2节例4完全相同。
2-6已知分布在半径为a的半圆周上的电荷线密度 ，试求圆心处的电场强度。
解建立直角坐标，令线电荷位于xy平面，且以y轴为对称，如习题图2-6所示。那么，点电荷 在圆心处产生的电场强度具有两个分量Ex和Ey。由于电荷分布以y轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的 分量，即
因此，将电量为 的点电荷由无限远处缓慢地移到 点，外力必须做的功为
2-5通过电位计算有限长线电荷
的电场强度。
解建立圆柱坐标系。令先电
荷沿z轴放置，由于结构以z轴对称，场强与 无关。为了简单起见，令场点位于yz平面。
设线电荷的长度为 ，密度为
，线电荷的中点位于坐标原
点，场点ห้องสมุดไป่ตู้的坐标为 。
利用电位叠加原理，求得场点
解因为虽然a,b,c均为常数，但是单位矢量er，e，e均为变矢，所以 不是常矢量。
在球坐标系中，矢量A的散度为
将矢量A的各个分量代入，求得 。
矢量A的旋度为
利用矢量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系
以及 ， ，求得该矢量在直角坐标下的表达式为
利用矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系
已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为
； ；
求得 ； ；
；
又知矢量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为
将上述结果代入，求得
即该矢量在圆柱坐标下的表达式为
直角坐标系和球坐标系的坐标变量之间的转换关系为
； ；
由此求得
； ；
矢量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为
求得其在圆柱坐标下的表达式为
。
1-23若标量函数 ， ， ，试求 ， 及 。
解
1-24若
试求 ， 及 。
解① ；
；
；
②
；
（此处利用了习题26中的公式）
③
；
；
将矢量 的各个坐标分量代入上式，求得
1-25若矢量 ，试求 ，式中V为A所在的区域。
解在球坐标系中， ，
将矢量 的坐标分量代入，求得
1-26试求 ，式中S为球心位于原点，半径为5的球面。
2-2已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为：
试求位于 点的电场强度。
解令 分别为三个电电荷的位置 到 点的距离，则 ， ， 。
利用点电荷的场强公式 ，其中 为点电荷q指向场点 的单位矢量。那么，
在P点的场强大小为 ，方向为 。
在P点的场强大小为 ，方向为 。
在P点的场强大小为 ，方向为
则 点的合成电场强度为
解已知若同轴线单位长度内的电荷量为q1，则同轴线内电场强度 。为了使同轴线获得最高耐压，应在保持内外导体之间的电位差V不变的情况下，使同轴线内最大的电场强度达到最小值，即应使内导体表面 处的电场强度达到最小值。因为同轴线单位长度内的电容为
则同轴线内导体表面 处电场强度为
令b不变，以比值 为变量，对上式求极值，获知当比值 时， 取得最小值，即同轴线获得最高耐压。
1-7已知标量函数 ，试求该标量函数在点P(1,2,3)处的最大变化率及其方向。
解标量函数在某点的最大变化率即是函数在该点的梯度值。已知标量函数的梯度为
那么
将点P(1,2,3)的坐标代入，得 。那么，在P点的最大变化率为
P点最大变化率方向的方向余弦为
； ；
1-8若标量函数为
试求在 点处的梯度。
解已知梯度 ，将标量函数代入得
已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为
; ;
;
又知矢量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为
将上述接结果代入，得
即该矢量在直角坐标下的表达式为
，其中 。
矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系
以及 ， ，求得
即该矢量在球坐标下的表达式为 。
1-22已知圆球坐标系中矢量 ，式中a,b,c均为常数，A是常矢量吗？试求 及 ，以及A在直角坐标系及圆柱坐标系中的表示式。
1-11已知两个位置矢量 及 的终点坐标分别为 及 ，试证 与 之间的夹角为
证明根据题意，两个位置矢量在直角坐标系中可表示为
已知两个矢量的标积为 ，这里为两个矢量的夹角。因此夹角为
式中
因此，
1-12试求分别满足方程式 及 的函数 及 。
解在球坐标系中，为了满足
即要求 ，求得
即
在球坐标系中，为了满足
由于 ， ，即上式恒为零。故 可以
由电场强度法向边界条件获知，
即
由此求得
根据叠加定理，各区域中的电场强度应为
2-11若在球坐标系中，电荷分布函数为
试求 及 区域中的电通密度 。
解作一个半径为r的球面为高斯面，由对称性可知
式中q为闭合面S包围的电荷。那么
在 区域中，由于q= 0，因此D= 0。
在 区域中，闭合面S包围的电荷量为
因此，
在 区域中，闭合面S包围的电荷量为
2-8设宽度为W，面密度为 的带状电荷位于真空中，
试求空间任一点的电场强度。
解建立直角坐标，且令带状电荷位于xz平面内，如习题图2-8所示。带状电荷可划分为很多条宽度为 的无限长线电荷，其线密度为 。那么，该无限长线电荷产生的电场强度与坐标变量z无关，即
式中
得
那么
2-9已知均匀分布的带电圆盘半径为a，面电荷密度
2-10已知电荷密度为 及 的两块无限大面电荷分别位于x= 0及x= 1平面，试求 及 区域中的电场强度。
解无限大平面电荷产生的场强分布一定是均匀的，其电场方向垂直于无限大平面，且分别指向两侧。因此，位于x= 0平面内的无限大面电荷 ，在x< 0区域中产生的电场强度 ，在x> 0区域中产生的电场强度 。位于x=1平面内的无限大面电荷 ，在x< 1区域中产生的电场强度 ，在x> 1区域中产生的电场强度 。