希望杯第一届(1990年)初中一年级第二试试题

希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题

一、选择题（每题1分，共5分）

1．某工厂去年的生产总值比前年增长a%，则前年比去年少的百分数是( )

A．a%．B．(1+a)%． C.

1

100

a

a

+

D.

100

a

a

+

2．甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里,0＜a＜m，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时( )

A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少．

B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多．

C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同．

D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定．

3.已知数x=100,则( )

A．x是完全平方数．B．(x－50)是完全平方数．

C．(x－25)是完全平方数．D．(x+50)是完全平方数．

4．观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数,则

111

,,

ab b a c

-

的

大小关系是( )

A.

111

ab b a c

<<

-

; B.

1

b a

-

<

1

ab

<

1

c

; C.

1

c

<

1

b a

-

<

1

ab

; D.

1

c

<

1

ab

<

1

b a

-

.

5．x=9，y=－4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解，这个方程的不同的整数解共有( )

A．2组．B．6组．C．12组．D．16组．

二、填空题（每题1分，共5分）

1．方程|1990x－1990|=1990的根是______．

2．对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），则m 的数值是______．

3．新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他最多要试开______次．

4．当m=______时，二元二次六项式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解为两个关于x，y 的二元一次三项式的乘积．

5．三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某个自然数的平方．

三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共15分）

1．两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里？

2．如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S－1)，直线m，

n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S

1，S

2

，S

3

满足关系式S

3

=

1

3

S

1

=

1

3

S

2

,求S．

3.求方程1115

6

x y z

++=的正整数解.

答案与提示

一、选择题

1．D 2．C 3．C 4．C 5．D

提示：

1．设前年的生产总值是m，则去年的生产总值是

前年比去年少

这个产值差占去年的应选D．

2．从甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后：

再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：

乙杯中含有的红墨水的数量是①乙杯中减少的蓝墨水的数量是②

∵①=②∴选C．

∴x－25=(10n+2+5)2

可知应当选C．

4．由所给出的数轴表示（如图3）：

可以看出

∴①＜②＜③，∴选C．

5．方程2x2+5xy+3y2=30可以变形为(2x+3y)(x+y)=1·2·3·5

∵x，y是整数，

∴2x+3y，x+y也是整数．

由下面的表

可以知道共有16个二元一次方程组，每组的解都是整数，所以有16组整数组，应选D．二、填空题

提示：

1．原方程可以变形为|x－1|=1，即x-1=1或-1，∴x=2或0．

2．由题设的等式x*y=ax+by-cxy

及x*m=x(m≠0)

得a·0+bm-c·0·m=0，

∴bm=0．

∵m≠0，∴b=0．

∴等式改为x*y=ax-cxy．

∵1*2=3，2*3=4，

解得a=5，c=1．

∴题设的等式即x*y=5x-xy．

在这个等式中，令x=1，y=m，得5-m=1，∴m=4．

3．∵打开所有关闭着的20个房间，

∴最多要试开

4．利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式6x2+mxy-4y2-x+17y-15

中划波浪线的三项应当这样分解：

3x -5

2x +3

现在要考虑y，只须先改写作

然后根据-4y2，17y这两项式，即可断定是：

由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x2+5xy-4y2-x+17y-15就是原六项式，所以m=5．

5．设三个连续自然数是a-1，a，a+1，则它们的平方和是(a-1)2+a2+(a+1)2=3a2+2，显然，这个和被3除时必得余数2．

另一方面，自然数被3除时，余数只能是0或1或2，于是它们可以表示成

3b，3b+1，3b+2（b是自然数）中的一个，但是它们的平方

(3b)2=9b2

(3b+1)2=9b2+6b+1，

(3b+2)2=9b2+12b+4

=(9b2+12b+3)+1

被3除时，余数要么是0，要么是1，不能是2，所以三个连续自然数平方和不是某个自然数的平方．

三、解答题

1．设两辆汽车一为甲一为乙，并且甲用了x升汽油时即回返，留下返程需的x桶汽油，将多余的(24-2x)桶汽油给乙．让乙继续前行，这时，乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油，依题意，应当有48-3x≤24，∴x≥8．

甲、乙分手后，乙继续前行的路程是

这个结果中的代数式30(48-4x)表明，当x的值愈小时，代数式的值愈大，因为x≥8，所以当x=8时，得最大值30(48-4·8)=480（公里），

因此，乙车行驶的路程一共是2(60·8+480)=1920（公里）．

2．由题设可得

即2S-5S

=8……②

3

∴x，y，z都＞1，

因此，当1＜x≤y≤z时，解

(x，y，z)共(2，4，12)，(2，6，6)，

(3，3，6)，(3，4，4)四组．

由于x，y，z在方程中地位平等．所以可得如下表所列的15组解．