高考数学试题分类汇编
2020年全国各地高考数学试卷分类汇编—函数(含解析)全文
2020年全国各地⾼考真题分类汇编—函数1．（2020•海南）已知函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（5，+∞）D．[5，+∞）2．（2020•天津）函数y＝的图象⼤致为（）A．B．C．D．3．（2020•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝x3﹣，则f（x）（）A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减4．（2020•新课标Ⅱ）若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（）A．ln（y﹣x+1）＞0B．ln（y﹣x+1）＜0C．ln|x﹣y|＞0D．ln|x﹣y|＜05．（2020•浙江）函数y＝x cos x+sin x在区间[﹣π，π]上的图象可能是（）A．B．C．D．6．（2020•海南）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满⾜xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（）A．[﹣1，1]∪[3，+∞）B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，0]∪[1，+∞）D．[﹣1，0]∪[1，3]7．（2020•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，则f（x）（）A．是偶函数，且在（，+∞）单调递增B．是奇函数，且在（﹣，）单调递减C．是偶函数，且在（﹣∞，﹣）单调递增D．是奇函数，且在（﹣∞，﹣）单调递减8．（2020•天津）设a＝30.7，b＝（）﹣0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的⼤⼩关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b9．（2020•新课标Ⅰ）设a log34＝2，则4﹣a＝（）A．B．C．D．10．（2020•新课标Ⅲ）设a＝log32，b＝log53，c＝，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b11．（2020•新课标Ⅲ）已知55＜84，134＜85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b12．（2020•新课标Ⅰ）若2a+log2a＝4b+2log4b，则（）A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2D．a＜b213．（2020•天津）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣）∪（0，2）C．（﹣∞，0）∪（0，2）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）14．（2020•⼭东）基本再⽣数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流⾏病学基本参数．基本再⽣数指⼀个感染者传染的平均⼈数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以⽤指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增⻓率r与R0，T近似满⾜R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ln2≈0.69）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天15．（2020•新课标Ⅲ）Logistic模型是常⽤数学模型之⼀，可应⽤于流⾏病学领域．有学者根据公布数据建⽴了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K为最⼤确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．69 16．（2020•北京）函数f（x）＝+lnx的定义域是．17．（2020•北京）为满⾜⼈⺠对美好⽣活的向往，环保部⻔要求相关企业加强污⽔治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污⽔排放量W与时间t的关系为W＝f（t），⽤﹣的⼤⼩评价在[a，b]这段时间内企业污⽔治理能⼒的强弱．已知整改期内，甲、⼄两企业的污⽔排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污⽔治理能⼒⽐⼄企业强；②在t2时刻，甲企业的污⽔治理能⼒⽐⼄企业强；③在t3时刻，甲，⼄两企业的污⽔排放都已达标；④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污⽔治理能⼒最强．其中所有正确结论的序号是．18．（2020•江苏）已知y＝f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝x，则f（﹣8）的值是．19．（2020•上海）若函数y＝a•3x+为偶函数，则a＝．20．（2020•上海）已知f（x）＝，其反函数为f﹣1（x），若f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有实数根，则a的取值范围为．21．（2020•上海）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满⾜下列两个条件：（1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02；（2）关于x的⽅程f（x）＝a⽆实数解，则a的取值范围是．22．（2020•上海）已知⾮空集合A⊆R，函数y＝f（x）的定义域为D，若对任意t∈A且x∈D，不等式f（x）≤f（x+t）恒成⽴，则称函数f（x）具有A性质．（1）当A＝{﹣1}，判断f（x）＝﹣x、g（x）＝2x是否具有A性质；（2）当A＝（0，1），f（x）＝x+，x∈[a，+∞），若f（x）具有A性质，求a的取值范围；（3）当A＝{﹣2，m}，m∈Z，若D为整数集且具有A性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m的值．23．（2020•上海）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上⼀定时间内通过的⻋辆数除以时间，⻋辆密度是该路段⼀定时间内通过的⻋辆数除以该路段的⻓度，现定义交通流量为v＝，x为道路密度，q为⻋辆密度．v＝f（x）＝．（1）若交通流量v＞95，求道路密度x的取值范围；（2）已知道路密度x＝80，交通流量v＝50，求⻋辆密度q的最⼤值．24．（2020•上海）有⼀条⻓为120⽶的步⾏道OA，A是垃圾投放点ω1，若以O为原点，OA 为x轴正半轴建⽴直⻆坐标系，设点B（x，0），现要建设另⼀座垃圾投放点ω2（t，0），函数f t（x）表示与B点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若t＝60，求f60（10）、f60（80）、f60（95）的值，并写出f60（x）的函数解析式；（2）若可以通过f t（x）与坐标轴围成的⾯积来测算扔垃圾的便利程度，⾯积越⼩越便利．问：垃圾投放点ω2建在何处才能⽐建在中点时更加便利？参考答案与试题解析⼀．选择题（共15⼩题）1．（2020•海南）已知函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（5，+∞）D．[5，+∞）【解答】解：由x2﹣4x﹣5＞0，得x＜﹣1或x＞5．令t＝x2﹣4x﹣5，∵外层函数y＝lgt是其定义域内的增函数，∴要使函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增，则需内层函数t＝x2﹣4x﹣5在（a，+∞）上单调递增且恒⼤于0，则（a，+∞）⊆（5，+∞），即a≥5．∴a的取值范围是[5，+∞）．故选：D．2．（2020•天津）函数y＝的图象⼤致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数y＝的定义域为实数集R，关于原点对称，函数y＝f（x）＝，则f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除C，D，当x＞0是，y＝f（x）＞0，故排除B，故选：A．3．（2020•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝x3﹣，则f（x）（）A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减【解答】解：因为f（x）＝x3﹣，则f（﹣x）＝﹣x3+＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，根据幂函数的性质可知，y＝x3在（0，+∞）为增函数，故y1＝在（0，+∞）为减函数，y2＝﹣在（0，+∞）为增函数，所以当x＞0时，f（x）＝x3﹣单调递增，故选：A．4．（2020•新课标Ⅱ）若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（）A．ln（y﹣x+1）＞0B．ln（y﹣x+1）＜0C．ln|x﹣y|＞0D．ln|x﹣y|＜0【解答】解：⽅法⼀：由2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，可得2x﹣3﹣x＜2y﹣3﹣y，令f（x）＝2x﹣3﹣x，则f（x）在R上单调递增，且f（x）＜f（y），所以x＜y，即y﹣x＞0，由于y﹣x+1＞1，故ln（y﹣x+1）＞ln1＝0．⽅法⼆：取x＝﹣1，y＝0，满⾜2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，此时ln（y﹣x+1）＝ln2＞0，ln|x﹣y|＝ln1＝0，可排除BCD．故选：A．5．（2020•浙江）函数y＝x cos x+sin x在区间[﹣π，π]上的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：y＝f（x）＝x cos x+sin x，则f（﹣x）＝﹣x cos x﹣sin x＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C，D，当x＝π时，y＝f（π）＝πcosπ+sinπ＝﹣π＜0，故排除B，故选：A．6．（2020•海南）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满⾜xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（）A．[﹣1，1]∪[3，+∞）B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，0]∪[1，+∞）D．[﹣1，0]∪[1，3]【解答】解：∵定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，f（x）的⼤致图象如图：∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0；故f（﹣1）＜0；当x＝0时，不等式xf（x﹣1）≥0成⽴，当x＝1时，不等式xf（x﹣1）≥0成⽴，当x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2时，即x＝3或x＝﹣1时，不等式xf（x﹣1）≥0成⽴，当x＞0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≥0，此时，此时1＜x≤3，当x＜0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≤0，即，得﹣1≤x＜0，综上﹣1≤x≤0或1≤x≤3，即实数x的取值范围是[﹣1，0]∪[1，3]，故选：D．7．（2020•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，则f（x）（）A．是偶函数，且在（，+∞）单调递增B．是奇函数，且在（﹣，）单调递减C．是偶函数，且在（﹣∞，﹣）单调递增D．是奇函数，且在（﹣∞，﹣）单调递减【解答】解：由，得x．⼜f（﹣x）＝ln|﹣2x+1|﹣ln|﹣2x﹣1|＝﹣（ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数；由f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|＝，∵＝＝．可得内层函数t＝||的图象如图，在（﹣∞，）上单调递减，在（，）上单调递增，则（，+∞）上单调递减．⼜对数式y＝lnt是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减．故选：D．8．（2020•天津）设a＝30.7，b＝（）﹣0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的⼤⼩关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：a＝30.7，b＝（）﹣0.8＝30.8，则b＞a＞1，log0.70.8＜log0.70.7＝1，∴c＜a＜b，故选：D．9．（2020•新课标Ⅰ）设a log34＝2，则4﹣a＝（）A．B．C．D．【解答】解：因为a log34＝2，则log34a＝2，则4a＝32＝9则4﹣a＝＝，故选：B．10．（2020•新课标Ⅲ）设a＝log32，b＝log53，c＝，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵a＝log 32＝＜＝，b＝log53＝＞＝，c＝，∴a＜c＜b．故选：A．11．（2020•新课标Ⅲ）已知55＜84，134＜85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵＝＝log53•log58＜＝＜1，∴a＜b；∵55＜84，∴5＜4log58，∴log58＞1.25，∴b＝log85＜0.8；∵134＜85，∴4＜5log138，∴c＝log138＞0.8，∴c＞b，综上，c＞b＞a．故选：A．12．（2020•新课标Ⅰ）若2a+log2a＝4b+2log4b，则（）A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2D．a＜b2【解答】解：因为2a+log2a＝4b+2log4b＝22b+log2b；因为22b+log2b＜22b+log22b＝22b+log2b+1即2a+log2a＜22b+log22b；令f（x）＝2x+log2x，由指对数函数的单调性可得f（x）在（0，+∞）内单调递增；且f（a）＜f（2b） a＜2b；故选：B．13．（2020•天津）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣）∪（0，2）C．（﹣∞，0）∪（0，2）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【解答】解：若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，则f（x）＝|kx2﹣2x|有四个根，即y＝f（x）与y＝h（x）＝|kx2﹣2x|有四个交点，当k＝0时，y＝f（x）与y＝|﹣2x|＝2|x|图象如下：两图象只有两个交点，不符合题意，当k＜0时，y＝|kx2﹣2x|与x轴交于两点x1＝0，x2＝（x2＜x1）图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意，当k＞0时，y＝|kx2﹣2x|与x轴交于两点x1＝0，x2＝（x2＞x1）在[0，）内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需y＝x3与y＝kx2﹣2x在（，+∞）还有两个交点，即可，即x3＝kx2﹣2x在（，+∞）还有两个根，即k＝x+在（，+∞）还有两个根，函数y＝x+≥2，（当且仅当x＝时，取等号），所以，且k＞2，所以k＞2，综上所述，k的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．故选：D．14．（2020•⼭东）基本再⽣数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流⾏病学基本参数．基本再⽣数指⼀个感染者传染的平均⼈数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以⽤指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增⻓率r与R0，T近似满⾜R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ln2≈0.69）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天【解答】解：把R0＝3.28，T＝6代⼊R0＝1+rT，可得r＝0.38，∴I（t）＝e0.38t，当t＝0时，I（0）＝1，则e0.38t＝2，两边取对数得0.38t＝ln2，解得t＝≈1.8．故选：B．15．（2020•新课标Ⅲ）Logistic模型是常⽤数学模型之⼀，可应⽤于流⾏病学领域．有学者根据公布数据建⽴了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K为最⼤确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．69【解答】解：由已知可得＝0.95K，解得e﹣0.23（t﹣53）＝，两边取对数有﹣0.23（t﹣53）＝﹣ln19，解得t≈66，故选：C．⼆．填空题（共6⼩题）16．（2020•北京）函数f（x）＝+lnx的定义域是{x|x＞0}．【解答】解：要使函数有意义，则，所以，所以x＞0，所以函数的定义域为{x|x＞0}，故答案为：{x|x＞0}．17．（2020•北京）为满⾜⼈⺠对美好⽣活的向往，环保部⻔要求相关企业加强污⽔治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污⽔排放量W与时间t的关系为W＝f（t），⽤﹣的⼤⼩评价在[a，b]这段时间内企业污⽔治理能⼒的强弱．已知整改期内，甲、⼄两企业的污⽔排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污⽔治理能⼒⽐⼄企业强；②在t2时刻，甲企业的污⽔治理能⼒⽐⼄企业强；③在t3时刻，甲，⼄两企业的污⽔排放都已达标；④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污⽔治理能⼒最强．其中所有正确结论的序号是①②③．【解答】解：设甲企业的污⽔排放量W与时间t的关系为W＝f（t），⼄企业的污⽔排放量W与时间t的关系为W＝g（t）．对于①，在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污⽔治理能⼒为，⼄企业的污⽔治理能⼒为﹣．由图可知，f（t1）﹣f（t2）＞g（t1）﹣g（t2），∴＞﹣，即甲企业的污⽔治理能⼒⽐⼄企业强，故①正确；对于②，由图可知，f（t）在t2时刻的切线的斜率⼩于g（t）在t2时刻的切线的斜率，但两切线斜率均为负值，∴在t2时刻，甲企业的污⽔治理能⼒⽐⼄企业强，故②正确；对于③，在t3时刻，甲，⼄两企业的污⽔排放都⼩于污⽔达标排放量，∴在t3时刻，甲，⼄两企业的污⽔排放都已达标，故③正确；对于④，由图可知，甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]的污⽔治理能⼒最强，故④错误．∴正确结论的序号是①②③．故答案为：①②③．18．（2020•江苏）已知y＝f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝x，则f（﹣8）的值是﹣4．【解答】解：y＝f（x）是奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），当x≥0时，f（x）＝x，可得f（8）＝8＝4，则f（﹣8）＝﹣f（8）＝﹣4，故答案为：﹣4．19．（2020•上海）若函数y＝a•3x+为偶函数，则a＝1．【解答】解：根据题意，函数y＝a•3x+为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即a•3（﹣x）+＝a•3x+，变形可得：a（3x﹣3﹣x）＝（3x﹣3﹣x），必有a＝1；故答案为：1．20．（2020•上海）已知f（x）＝，其反函数为f﹣1（x），若f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有实数根，则a的取值范围为[，+∞）．【解答】解：因为y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）互为反函数，若y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）有实数根，则y＝f（x+a）与y＝x有交点，所以，即a＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+≥，故答案为：[，+∞）．21．（2020•上海）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满⾜下列两个条件：（1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02；（2）关于x的⽅程f（x）＝a⽆实数解，则a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．【解答】解：根据条件（1）可得f（0）＝0或f（1）＝1，⼜因为关于x的⽅程f（x）＝a⽆实数解，所以a≠0或1，故a∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．三．解答题（共3⼩题）22．（2020•上海）已知⾮空集合A⊆R，函数y＝f（x）的定义域为D，若对任意t∈A且x∈D，不等式f（x）≤f（x+t）恒成⽴，则称函数f（x）具有A性质．（1）当A＝{﹣1}，判断f（x）＝﹣x、g（x）＝2x是否具有A性质；（2）当A＝（0，1），f（x）＝x+，x∈[a，+∞），若f（x）具有A性质，求a的取值范围；（3）当A＝{﹣2，m}，m∈Z，若D为整数集且具有A性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m的值．【解答】解：（1）∵f（x）＝﹣x为减函数，∴f（x）＜f（x﹣1），∴f（x）＝﹣x具有A性质；∵g（x）＝2x为增函数，∴g（x）＞g（x﹣1），∴g（x）＝2x不具有A性质；（2）依题意，对任意t∈（0，1），f（x）≤f（x+t）恒成⽴，∴为增函数（不可能为常值函数），由双勾函数的图象及性质可得a≥1，当a≥1时，函数单调递增，满⾜对任意t∈（0，1），f（x）≤f（x+t）恒成⽴，综上，实数a的取值范围为[1，+∞）．（3）∵D为整数集，具有A性质的函数均为常值函数，∴当t＝﹣2，f（x）＝f（x﹣2）恒成⽴，即f（2k）＝p（k∈Z），f（2n﹣1）＝q（n∈Z），由题意，p＝q，则f（2k）＝f（2n﹣1），当x＝2k，f（x）＝f（x+2n﹣2k﹣1），∴m＝2n﹣2k﹣1（n，k∈Z），当x＝2n﹣1，f（x）＝f（x+2k﹣2n+1），∴m＝2k﹣2n+1（n，k∈Z），综上，m为奇数．23．（2020•上海）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上⼀定时间内通过的⻋辆数除以时间，⻋辆密度是该路段⼀定时间内通过的⻋辆数除以该路段的⻓度，现定义交通流量为v＝，x为道路密度，q为⻋辆密度．v＝f（x）＝．（1）若交通流量v＞95，求道路密度x的取值范围；（2）已知道路密度x＝80，交通流量v＝50，求⻋辆密度q的最⼤值．【解答】解：（1）∵v＝，∴v越⼤，x越⼩，∴v＝f（x）是单调递减函数，k＞0，当40≤x≤80时，v最⼤为85，于是只需令，解得x＞3，故道路密度x的取值范围为（3，40）．（2）把x＝80，v＝50代⼊v＝f（x）＝﹣k（x﹣40）+85中，得50＝﹣k•40+85，解得k＝．∴q＝vx＝，①当0＜x＜40时，令y＝，则y'＝，若0＜x＜＜1，则y'＞0，y单调递增，由于y＞0，所以q＝100x﹣135•＜100；若＜x＜40，则y'＜0，y单调递减，此时有q单调递增，所以q＜100×40﹣135×≈4000＞100．②当40≤x≤80时，q是关于x的⼆次函数，开⼝向下，对称轴为x＝，此时q有最⼤值，为＞4000．综上所述，⻋辆密度q的最⼤值为．24．（2020•上海）有⼀条⻓为120⽶的步⾏道OA，A是垃圾投放点ω1，若以O为原点，OA 为x轴正半轴建⽴直⻆坐标系，设点B（x，0），现要建设另⼀座垃圾投放点ω2（t，0），函数f t（x）表示与B点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若t＝60，求f60（10）、f60（80）、f60（95）的值，并写出f60（x）的函数解析式；（2）若可以通过f t（x）与坐标轴围成的⾯积来测算扔垃圾的便利程度，⾯积越⼩越便利．问：垃圾投放点ω2建在何处才能⽐建在中点时更加便利？【解答】解：（1）投放点ω1（120，0），ω2（60，0），f60（10）表示与B（10，0）距离最近的投放点（即ω2）的距离，所以f60（10）＝|60﹣10|＝50，同理分析，f60（80）＝|60﹣80|＝20，f60（95）＝|120﹣95|＝25，由题意得，f60（x）＝{|60﹣x|，|120﹣x|}min，则当|60﹣x|≤|120﹣x|，即x≤90时，f60（x）＝|60﹣x|；当|60﹣x|＞|120﹣x|，即x＞90时，f60（x）＝|120﹣x|；综上f60（x）＝；（2）由题意得f t（x）＝{|t﹣x|，|120﹣x|}min，所以f t（x）＝，则f t（x）与坐标轴围成的⾯积如阴影部分所示，所以S＝t2+＝t2﹣60t+3600，由题意，S＜S（60），即t2﹣60t+3600＜2700，解得20＜t＜60，即垃圾投放点ω2建在（20，0）与（60，0）之间时，⽐建在中点时更加便利．考点卡⽚1．函数的定义域及其求法【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的⾃变量的取值范围．求解函数定义域的常规⽅法：①分⺟不等于零；②根式（开偶次⽅）被开⽅式≥0；③对数的真数⼤于零，以及对数底数⼤于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题⽅法点拨】求函数定义域，⼀般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的⾃变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如⻓度、⾯积必须⼤于零、⼈数必须为⾃然数等）．（3）若⼀函数解析式是由⼏个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这⼏个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同⼀对应法则f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满⾜的范围是⼀样的；②函数g （x）中的⾃变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．【命题⽅向】⾼考会考中多以⼩题形式出现，也可以是⼤题中的⼀⼩题．2．函数的图象与图象的变换【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．解题⽅法点拨：⼀般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直⻆坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．命题⽅向：⼀般考试是以⼩题形式出现，或⼤题中的⼀问，常⻅考题是，常⻅函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．【图象的变换】1．利⽤描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．⾸先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最⼤值点、最⼩值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．2．利⽤图象变换法作函数的图象（1）平移变换：y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位） y＝f（x﹣a）；y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位） y＝f（x）+b．（2）伸缩变换：y＝f（x）y＝f（ωx）；y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍） y＝Af（x）．（3）对称变换：y＝f（x）关于x轴对称 y＝﹣f（x）；y＝f（x）关于y轴对称 y＝f（﹣x）；y＝f（x）关于原点对称 y＝﹣f（﹣x）．（4）翻折变换：y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边 y＝f（|x|）；y＝f（x）留下x轴上⽅图将x轴下⽅图翻折上去y＝|f（x）|．解题⽅法点拨1、画函数图象的⼀般⽅法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析⼏何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利⽤图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．（3）描点法：当上⾯两种⽅法都失效时，则可采⽤描点法．为了通过描少量点，就能得到⽐较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的⽅法（1）知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；③从图象的对称性⽅⾯，观察函数的奇偶性；④从图象的循环往复，观察函数的周期性．利⽤上述⽅法，排除错误选项，筛选正确的选项．（2）知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利⽤上述⽅法，排除错误选项，筛选正确选项．注意联系基本函数图象和模型，当选项⽆法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破⼝．3、（1）利有函数的图象研究函数的性质从图象的最⾼点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的⾛向趋势，分析函数的单调性、周期性等．（2）利⽤函数的图象研究⽅程根的个数有关⽅程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利⽤此法也可由解的个数求参数值．4、⽅法归纳：（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每⼀次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：①正确求出函数的定义域；②熟练掌握⼏种基本函数的图象，如⼆次函数、反⽐例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常⽤的⽅法技巧，来帮助我们简化作图过程．（3）3种⽅法﹣﹣识图的⽅法对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等⽅⾯来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常⽤⽅法有：①定性分析法，也就是通过对问题进⾏定性的分析，从⽽得出图象的上升（或下降）的趋势，利⽤这⼀特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利⽤这⼀函数模型来分析解决问题．3．函数单调性的性质与判断【知识点的认识】⼀般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个⾃变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这⼀区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题⽅法点拨】证明函数的单调性⽤定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利⽤函数的导数证明函数单调性的步骤：第⼀步：求函数的定义域．若题设中有对数函数⼀定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第⼆步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利⽤f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从⼩到⼤顺次将定义域分成若⼲个⼩开区间，并列表．第四步：由f′（x）在⼩开区间内的正、负值判断f（x）在⼩开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成⽴问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题⽅向】从近三年的⾼考试题来看，函数单调性的判断和应⽤以及函数的最值问题是⾼考的热点，题型既有选择题、填空题，⼜有解答题，难度中等偏⾼；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应⽤，主观题在考查基本概念、重要⽅法的基础上，⼜注重考查函数⽅程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想⽅法．预测明年⾼考仍将以利⽤导数求函数的单调区间，研究单调性及利⽤单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能⼒．4．复合函数的单调性【知识点的认识】所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常⻅的⼀般以两个函数的为主．【解题⽅法点拨】求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．【命题⽅向】理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性．5．函数奇偶性的性质与判断【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意⼀个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意⼀个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题⽅法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运⽤f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运⽤f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内⼀般是⽤f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性⼀致，⽽偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．⾮奇⾮偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题⽅向】函数奇偶性的应⽤．本知识点是⾼考的⾼频率考点，⼤家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象⼀起分析，确保答题的正确率．6．奇偶性与单调性的综合【知识点的认识】对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，⼀般情况下也就是把它们并列在⼀起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各⾃的性质，在做题时能融会贯通，灵活运⽤．在重复⼀下它们的性质①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意⼀个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意⼀个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．【解题⽅法点拨】参照奇偶函数的性质那⼀考点，有：①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运⽤f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运⽤f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内⼀般是⽤f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性⼀致，⽽偶函数的单调性相反例题：如果f（x）＝为奇函数，那么a＝．解：由题意可知，f（x）的定义域为R，由奇函数的性质可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x） a＝1【命题⽅向】奇偶性与单调性的综合．不管出什么样的题，能理解运⽤奇偶函数的性质是⼀个基本前提，另外做题的时候多多总结，⼀定要重视这⼀个知识点．7．抽象函数及其应⽤【知识点的认识】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了⼀些体现函数特征的式⼦的⼀类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之⼀．【解题⽅法点拨】①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），它的原型就是y ＝kx ；②可通过赋特殊值法使问题得以解决例：f （xy ）＝f （x ）+f （y ），求证f （1）＝f （﹣1）＝0令x ＝y ＝1，则f （1）＝2f （1） f （1）＝0令x ＝y ＝﹣1，同理可推出f （﹣1）＝0③既然是函数，也可以运⽤相关的函数性质推断它的单调性；【命题⽅向】抽象函数及其应⽤．抽象函数是⼀个重点，也是⼀个难点，解题的主要⽅法也就是我上⾯提到的这两种．⾼考中⼀般以中档题和⼩题为主，要引起重视．8．指数函数的图象与性质【知识点的认识】1、指数函数y ＝a x （a ＞0，且a ≠1）的图象和性质：y ＝a xa ＞10＜a ＜1图象定义域R 值域（0，+∞）性质过定点（0，1）当x ＞0时，y ＞1；x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1在R上是增函数在R上是减函数2、底数对指数函数的影响：①在同⼀坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越⼤，函数图象在第⼀象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越⼩，函数图象在第⼀象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a＞0，且a≠l时，函数y＝a x与函数y＝的图象关于y轴对称．3、利⽤指数函数的性质⽐较⼤⼩：若底数相同⽽指数不同，⽤指数函数的单调性⽐较：若底数不同⽽指数相同，⽤作商法⽐较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．9．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①＝N；②log a a N＝N（a＞0且a≠1）．log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．10．对数值⼤⼩的⽐较【知识点归纳】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利⽤对数函数的单调性来⽐较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引⼊中间变量（1，﹣1，0）进⾏⽐较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利⽤函数图象或利⽤换底公式化为同底的再进⾏⽐较．（画图的⽅法：在第⼀象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增⼤）11．对数函数的图象与性质【知识点归纳】12．反函数【知识点归纳】【定义】⼀般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，⽤y 把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何⼀个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯⼀的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是⾃变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了⻆⾊（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是⼀⼀映射；（3）⼀个函数与它的反函数在相应区间上单调性⼀致；（4）⼤部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0}且f（x）＝C（其中C。
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(数列)汇编(附答案)
历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(数列)汇编【2023年真题】1. （2023·新课标I 卷 第7题） 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列：乙：{}n sn为等差数列，则( )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2. （2023·新课标II 卷 第8题） 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S = ( ) A. 120B. 85C. 85-D. 120-3. （2023·新课标I 卷 第20题）设等差数列{}n a 的公差为d ，且 1.d >令2n n n nb a +=，记n S ，n T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和.(1)若21333a a a =+，3321S T +=，求{}n a 的通项公式; (2)若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求.d4. （2023·新课标II 卷 第18题）已知为等差数列，，记n S ，n T 分别为数列，的前n 项和，432S =，316.T =(1)求的通项公式；(2)证明：当5n >时，n S .n T >【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷 第17题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式;(2)证明：121112.na a a +++< 6.（2022·新高考II 卷 第17题）已知{}n a 为等差数列，{}nb 为公比为2的等比数列，且223344.a b a b b a -=-=-(1)证明：11;a b =(2)求集合1{|,1500}k m k b a a m =+剟中元素个数.【2021年真题】7.（2021·新高考II 卷 第12题）（多选）设正整数010112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++ ，则( ) A.()()2n n ωω=B. ()()231n n ωω+=+C. ()()8543n n ωω+=+D. ()21nn ω-=8.（2021·新高考I 卷 第16题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为____________________；如果对折*()n n N ∈次，那么12n S S S ++= __________2dm . 9.（2021·新高考I 卷 第17题）已知数列{}n a 满足11a =，，记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式； 求{}n a 的前20项和.(1)(2)10.（2021·新高考II 卷 第17题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35a S =，244.a a S =(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)求使n n S a >成立的n 的最小值．【2020年真题】11.（2020·新高考I 卷 第14题、II 卷 第15题）将数列{21}n -与{32}n -的公共项从小到大排列得到数列{n a }，则{}n a 的前n 项和为__________.12.（2020·新高考I 卷 第18题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8.a a a +==(1)求{}n a 的通项公式；(2)记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m N ∈中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100.S13.（2020·新高考II 卷 第18题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38.a =(1)求{}n a 的通项公式；(2)求1223a a a a -+…11(1).n n n a a -++-参考答案1. （2023·新课标I 卷 第7题） 解：方法1:为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ， 则1(1)2n n n S na d -=+，111222n S n d d a d n a n -=+=+-，112n n S S dn n +-=+， 故{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件，， 反之，{}n Sn为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t 即1(1)n nna S t n n +-=+，故1(1)n n S na t n n +=-⋅+故1(1)(1)n n S n a t n n -=--⋅-，2n …两式相减有：11(1)22n n n n n a na n a tn a a t ++=---⇒-=，对1n =也成立，故{}n a 为等差数列， 则甲是乙的必要条件， 故甲是乙的充要条件，故选.C 方法2:因为甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为.d 即1(1)2n n n S na d -=+， 则11(1)222n S n d d a d n a n -=+=+-，故{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件．反之，乙：{}n S n为等差数列.即11n n S S D n n +-=+，1(1).n SS n D n =+-即1(1).n S nS n n D =+-当2n …时，11(1)(1)(2).n S n S n n D -=-+-- 上两式相减得：112(1)n n n a S S S n D -=-=+-， 所以12(1).n a a n D =+-当1n =时，上式成立．又1112(2(1))2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数.所以{}n a 为等差数列． 则甲是乙的必要条件， 故甲是乙的充要条件，故选C . 2. （2023·新课标II 卷 第8题）解：2S ，42S S -，64S S -，86S S -成等比数列，242224264264262(1)55(21)521S S q S q S S S q S S q S S S⎧-=⎧+=-⎪-==+⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎩从而计算可得24681,5,21,85S S S S =-=-=-=- 故选.C3. （2023·新课标I 卷 第20题）解：因为21333a a a =+，故3132d a a d ==+，即1a d =，故n a nd =，所以21n n n n b nd d++==，(1)2n n n d S +=，(3)2n n n T d +=，又3321S T +=，即34362122d d ⨯⨯+=，即22730d d -+=，故3d =或1(2d =舍)， 故{}n a 的通项公式为：3.n a n =(2)方法一：(基本量法)若{}n b 为等差数列，则2132b b b =+，即11123123422a d a a d⨯⨯⨯⨯=+++，即2211320a a d d -+=，所以1a d =或12;a d =当1a d =时，n a nd =，1n n b d +=，故(1)2n n n d S +=，(3)2n n n T d+=，又999999S T -=， 即99100991029922d d ⋅⋅-=，即250510d d --=，所以5150d =或1(d =-舍); 当12a d =时，(1)n a n d =+，n n b d=，故(3)2n n n d S +=，(1)2n n n T d +=，又999999S T -=，即99102991009922d d ⋅⋅-=，即251500d d --=，所以50(51d =-舍)或1(d =舍); 综上：51.50d = 方法二：因为{}n a 为等差数列且公差为d ，所以可得1n a dn a d =+-，则211(1)n n n n nb dn a d dn a d++⋅==+-+- 解法一：因为{}n b 为等差数列，根据等差数列通项公式可知n b 与n 的关系满足一次函数，所以上式中的分母“1dn a d +-”需满足10a d -=或者11da d=-，即1a d =或者12;a d = 解法二：由211(1)n n n n nb dn a d dn a d ++⋅==+-+-可得，112b a =，216b a d =+，31122b a d =+，因为{}n b 为等差数列，所以满足1322b b b +=，即111212622a a d a d+=⋅++，两边同乘111()(2)a a d a d ++化简得2211320a a d d -+=，解得1a d =或者12;a d =因为{}n a ，{}n b 均为等差数列，所以995099S a =，995099T b =，则999999S T -=等价于50501a b -=， ①当1a d =时，n a dn =，1(1)n b n d =+，则505051501a b d d-=-=，得 250510(5051)(1)0d d d d --=⇒-+=，解得5150d =或者1d =-，因为1d >，所以51;50d =②当12a d =时，(1)n a d n =+，1n b n d =，则505050511a b d d-=-=，化简得 251500(5150)(1)0d d d d --=⇒+-=，解得5051d =-或者1d =，因为1d >，所以均不取; 综上所述，51.50d =4. （2023·新课标II 卷 第18题） 解：(1)设数列的公差为d ，由题意知：，即，解得52(1)2 3.n a n n ∴=+-=+(2)由(1)知23n a n =+，，212121n n b b n -+=+，当n 为偶数时，当n 为奇数时，22113735(1)(1)4(1)652222n n n T T b n n n n n ++=-=+++-+-=+-， ∴当n 为偶数且5n >时，即6n …时，22371(4)(1)022222n n n nT S n n n n n n -=+-+=-=->， 当n 为奇数且5n >时，即7n …时， 22351315(4)5(2)(5)0.22222n n T S n n n n n n n n -=+--+=--=+-> ∴当5n >时，n S .n T >5.（2022·新高考I 卷 第17题）解：1112(1)(1)33n n S S n n a a +=+-=，则23n n n S a +=①，1133n n n S a +++∴=②; 由②-①得：111322;33n n n n n a n n n a a a a n ++++++=-⇒=∴当2n …且*n N ∈时，13211221n n n n n a a a a aa a a a a ---=⋅⋅ 1543(1)(1)1232122n n n n n n n a n n +++=⋅⋅⋅=⇒=-- ， 又11a =也符合上式，因此*(1)();2n n n a n N +=∈ 1211(2)2((1)1n a n n n n ==-++， 1211111111112(2(12122311n a a a n n n ∴+++=-+-++-=-<++ ， 即原不等式成立.6.（2022·新高考II 卷 第17题） 解：(1)设等差数列{}n a 公差为d由2233a b a b -=-，知1111224a d b a d b +-=+-，故12d b = 由2244a b b a -=-，知111128(3)a d b b a d +-=-+，故11124(3);a d b d a d +-=-+故1112a d b d a +-=-，整理得11a b =，得证.(2)由(1)知1122d b a ==，由1k m b a a =+知：11112(1)k b a m d a -⋅=+-⋅+即111112(1)2k b b m b b -⋅=+-⋅+，即122k m -=，因为1500m 剟，故1221000k -剟，解得210k 剟， 故集合1{|,1500}k m k b a a m =+剟中元素的个数为9个. 7.（2021·新高考II 卷 第12题）（多选）解：对于A 选项，010112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，， 则12101122222kk k k n a a a a +-=⋅+⋅++⋅+⋅ ，，A 选项正确；对于B 选项，取2n =，012237121212n +==⋅+⋅+⋅，，而0120212=⋅+⋅，则，即，B 选项错误；对于C 选项，34302340101852225121222k k n a a a a a ++=⋅+⋅++⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅+ 32k k a ++⋅，所以，，23201230101432223121222k k n a a a a a ++=⋅+⋅++⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅+ 22k k a ++⋅，所以，，因此，，C 选项正确；对于D 选项，01121222n n --=+++ ，故，D 选项正确.故选.ACD8.（2021·新高考I 卷 第16题）解：对折3次时，可以得到2.512dm dm ⨯，56dm dm ⨯，103dm dm ⨯，20 1.5dm dm ⨯四种规格的图形. 对折4次时，可以得到2.56dm dm ⨯，1.2512dm dm ⨯，53dm dm ⨯，10 1.5dm dm ⨯，200.75dm dm ⨯五种规格的图形.对折3次时面积之和23120S dm =，对折4次时面积之和2475S dm =，即12402120S ==⨯，2180360S ==⨯，3120430S ==⨯，475515S ==⨯，……得折叠次数每增加1，图形的规格数增加1，且()*12401,2nn S n n N ⎛⎫=+⨯∈ ⎪⎝⎭，121111240[234(1)]2482n n S S S n ∴++=⨯⨯+⨯+⨯++⋅+记231242n n n T +=+++ ，则112312482n n n T ++=+++ ， 11111111(224822n n n n n n T T T ++-==++++-113113322222n n n n n ++++=--=-， 得332n nn T +=-，123240(3)2n n n S S S +∴++=⨯-， 故答案为5；3240(3).2n n +⨯-9.（2021·新高考I 卷 第17题）解：⑴12b a =，且21+1=2a a =，则1=2b ， 24b a =，且4321215a a a =+=++=，则25b =；1222121213n n n n n b a a a b +++==+=++=+，可得13n n b b +-=，故{}n b 是以2为首项，3为公差的等差数列； 故()21331n b n n =+-⨯=-.数列{}n a 的前20项中偶数项的和为2418201210109=102+3=1552a a a ab b b ⨯++++=+++⨯⨯ ， 又由题中条件有211a a =+，431a a =+， ，20191a a =+， 故可得n a 的前20项的和10.（2021·新高考II 卷 第17题）解：(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则3335,0a a a =∴=， 设等差数列的公差为d ，从而有22433()()a a a d a d d =-+=-，412343333(2)()()2S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-+++=-，从而22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =， 数列的通项公式为：*3(3)26().n a a n d n n N =+-=-∈(2)由数列的通项公式可得1264a =-=-，则2(1)(4)252n n n S n n n -=⨯-+⨯=-， 则不等式n n S a >即2526n n n ->-，整理可得(1)(6)0n n -->， 解得1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.(2)11.（2020·新高考I 卷 第14题、II 卷 第15题）解：数列 的首项是1，公差为2的等差数列； 数列 的首项是1，公差为3的等差数列； 公共项构成首项为1 ，公差为6的等差数列; 故 的前n 项和S n 为： .故答案为232.n n -12.（2020·新高考I 卷 第18题）解：(1)设等比数列的公比为q ，且1q >，2420a a += ，38a =，，解得舍)或，∴数列{}n a 的通项公式为2;n n a =(2)由(1)知12a =，24a =，38a =，416a =，532a =，664a =，7128a =，则当1m =时，10b =，当2m =时，21b =， 以此类推，31b =，45672b b b b ====，815...3b b ===，1631...4b b ===， 3263...5b b ===，64100...6b b ===， 10012100...S b b b ∴=+++0122438416532637480.=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=13.（2020·新高考II 卷 第18题）解：(1)设等比数列{}n a 的公比为(1)q q >，则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎨==⎩， {21}n -{32}n -{}n a1q > ，122a q =⎧∴⎨=⎩， 1222.n n n a -∴=⋅=1223(2)a a a a -+…11(1)n n n a a -++- 35792222=-+-+…121(1)2n n -++-⋅，322322[1(2)]82(1).1(2)55n n n +--==----。
高考数学试题分类汇编三角函数
高考数学试题分类汇编——三角函数一、选择题：1、(2007福建 理科)已知函数f(x)＝sin()()的最小正周期为，则该函数的图象A 关于点（，0）对称B 关于直线x ＝对称C 关于点（，0）对称D 关于直线x ＝对称 答案：2、(2007山东 理科) 函数sin(2)cos(2)63y x x ππ=+++的最小正周期和最大值分别为（A ）,1π （B ） π （C ）2,1π （D ） 2π答案：B3、(2007安徽 理科)函数)3π2sin(3)(--x x f 的图象为C ①图象C 关于直线π1211=x 对称; ②函灶)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数;③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C .（A ）0（B ）1（C ）2 （D ）3答案：Ｃ4、 (2007广东 理科)若函数21()sin (),()2f x x x R f x =-∈则是 A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π的偶函数答案：D5、(2007湖北 理科)将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭答案：Ａ6、(2007江西 理科)若πtan 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cot α等于（ ） Ａ．2-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．2答案：A7、(2007江西 理科)若π02x <<，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x >Ｃ．224sin πx x <Ｄ．224sin πx x >答案：D8、(2007全国1 理科)α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．15B ．15-C ．513D ．513-答案：9、(2007全国1 理科)函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（ ） A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，答案：10、(2007全国2 理科)sin 210=（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-答案：D11、(2007全国2 理科)函数sin y x =的一个单调增区间是（ ） A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 答案：C12、 (2007陕西 理科)已知sin α=55，则sin 4α-cos 4α的值为 （A ）-51(B)-53 (C)51 (D)53 答案：A13、(2007天津 理科) “2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的（ ）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：A14、(2007浙江 理科)若函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，（其中0,||2πωϕ><）的最小正周期是π，且(0)f =（A ）1,26πωϕ== （B ）1,23πωϕ== （C ）2,6πωϕ== （D ）2,3πωϕ== 答案：D15、(2007江苏 理科)下列函数中，周期为2π的是（D ） A ．sin2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x = 16、(2007江苏 理科)函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是（B ） A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ--C ．[,0]3π-D ．[,0]6π- 18、 (2007浙江 文科)已知cos()2πϕ+=，且||2πϕ<，则tan ϕ＝ (A)－3(B) 3 (C)(D)答案：C二、填空题：1、(2007湖南 理科)在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b，c =π3C =，则B = ． 答案：5π62、(2007上海 理科)函数⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πs i n3πs i nx x y 的最小正周期=T ．答案：π3、 (2007四川 理科)下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ-=x y 其中真命题的序号是 （写出所言 ） 答案：① ④4、(2007江苏 理科)若13cos(),cos()55αβαβ+=-=，.则tan tan αβ= 1/2 . (12) (2007浙江 文科)若sin θ＋cos θ＝15，则sin 2θ的值是________．答案：[0，1)5、(2007安徽 文科)函数)32s in (3)(π-=x x f 的图象为C ,如下结论中正确的是(写出所有正确结论的编号). ①图象C 关于直线π1211=x 对称; ②图象C 关于点)0,32(π对称; ③函数125,12()(ππ-在区间x f )内是增函数;④由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C. 答案：①②③三、计算题：1、 (2007浙江 文科) (本题14分)已知△ABC＋1，且sinA ＋sin Bsin C(I)求边AB 的长；(Ⅱ)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．答案：本题主要考查利用正弦定理、余弦定理来确定三角形边、角关系等基础知识和基本运算能力．满分14分．解：(I)由题意及正弦定理，得AB+BC+AC1． BC+ACAB ，两式相减，得 AB ＝1．(Ⅱ)由△ABC 的面积＝12BC ·ACsinC ＝16sin C ，得 BC ·AC ＝13，由余弦定理，得2221cos 22AC BC AB C AC BC +-==⋅ 所以C ＝600．2、(2007福建 文科)（12分）在ABC ∆中，13tan ,tan 45A B ==。
集合-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(解析版)
【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第2题
6．(2021年新高考Ⅰ卷·第1题)设集合 ， ，则 ()
A． B． C． D．
【答案】B
解析:由题设有 ，故选B．
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第1题
7．(2020年新高考I卷(山东卷)·第1题)设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=()
【解析】 或 ， ，
故 ，故选A．
【点评】本题主要考查一元二次不等式，一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题．
本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第1题
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第1题
11．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第2题)设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=()
A．–4B．–2C．2D．4
【答案】B
【解析】求解二次不等式 可得： ，
求解一次不等式 可得： ．
A．{−2，3}B．{−2，2，3}C．{−2，−1，0，3}D．{−2，−1，0，2，3}
【答案】A
解析：由题意可得： ，则 ．
故选：A
【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题．
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第1题
13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第1题)已知集合 ， ，则 中元素的个数为()
高考数学试题分类大汇编16框图、选修系列试题
卜人入州八九几市潮王学校各地2021年高考数学最新联考试题分类大汇编〔16〕框图、选修系列一、选择题：7．(、等八2021年3月高三联考理科)阅读如以下图的程序框图，运行相应的程序，那么输出的结果是A ．32B ．3C ．32-D ．3- 7.B 【解析】 9．(2021年3月高三调研理科)右面是“二分法〞解方程的流程图。
在①~④处应填写上的内容分别是〔B 〕A ．()()0,f a f m a m <=，是，否B ．()()0,f b f m b m <=，是，否C ．()()0,f b f m m b <=，是，否D ．()()0,f b f m b m <=，否，是开场 s =0，n =1 n ≤2021s =s +sin 3n π n =n +1输出s完毕 否 是 第7题图4．(2021届高中毕业班质量检查Ⅱ文科〕如以下图，是把二进制数(2)1111化成十进制数的一个程序框图，判断框内可以填人的条件是(C)A ．4i >B ．3i ≤C ．3i >D ．4i ≤5．(局部重点2021届高三第一次联考理科)在右边程序框图中，假设输出的结果(400,4000)P ∈，那么输入的正整数N 应为〔A 〕A ．6B ．8C ．5D ．7 二、填空题：16．(2021年3月高三调研文科)阅读如以下图的程序框，假设输入的n 是100，那么输出的变量S 的值是5049。
15.(、等八2021年3月高三联考理科)〔2〕(坐标系与参数方程选讲选做题).直线的极坐标方程为2sin()42πρθ+=，那么7(2,)4A π到这条直线的间隔为▲． 152(2)2【解析】直线方程为10x y +-=,点(2,2)A -，所以2212.22d -+== 14.(2021年3月高三调研理科)A ．〔坐标系与参数方程选做题〕极坐标系中，。
浙江省磐安县第二中学高考数学试题分类专题汇编--圆锥曲线
高考数学试题分类汇编圆锥曲线一． 选择题：1.（福建卷11)又曲线22221x y ab==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为BA.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （41，－1） B. （41，1） C. （1，2） D. （1，－2）3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22c a .其中正确式子的序号是BA. ①③B. ②③C. ①④D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B )A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120M F M F ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1(0,]2 C．(0,2D．26.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A．2B ．3 CD ．927.（全国二9）设1a >，则双曲线22221(1)x yaa -=+的离心率e 的取值范围是（ B ） A．2)B．C ．(25)，D．(28.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为135，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为A （A ）1342222=-y x (B)15132222=-y x(C)1432222=-y x (D)112132222=-y x9.（陕西卷8）双曲线22221x y ab-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30 的直线交双曲线右支于M 点，若2M F 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ） ABCD3AB-CD-10.（四川卷12）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，则AFK ∆的面积为( B )（Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）32 11.（天津卷（7）设椭圆22221x y mn+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x=的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为B（A ）2211216xy+= （B ）2211612xy+= （C ）2214864xy+= （D ）2216448xy+=12.（浙江卷7）若双曲线12222=-by ax 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是D（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）513.（浙江卷10）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是B（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线 14.（重庆卷(8)已知双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e =,则双曲线方程为C （A ）22x a －224ya=1 (B)222215x yaa -=(C)222214xy bb-= (D)222215xy bb-=二． 填空题：1.（海南卷14）过双曲线221916xy-=的右顶点为A ，右焦点为F 。
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(三角函数)汇编(附答案)
历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(三角函数)汇编【2023年真题】1. （2023ꞏ新课标I 卷 第8题）已知1sin()3αβ-=，1cos sin 6αβ=，则cos(22)αβ+=( ) A.79B.19C. 19-D. 79-2. （2023ꞏ新课标II 卷 第7题） 已知α为锐角，1cos 4α+=，则sin 2α=( )A. 38B. 18-C. 34D. 14-+3. （2023ꞏ新课标I 卷 第15题）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是__________.4. （2023ꞏ新课标II 卷 第16题）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若||6AB π=，则()f π= .【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷 第6题）记函数()sin()(0)4f x x b πωω=++>的最小正周期为.T 若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，则(2f π=( ) A. 1B.32C.52D. 36.（2022·新高考II 卷 第6题）若sin()cos()4παβαβαβ+++=+，则( )A. tan()1αβ+=-B. tan()1αβ+=C. tan()1αβ-=-D. tan()1αβ-=7.（2022·新高考II 卷 第9题）（多选）已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象关于点2(,0)3π对称，则( ) A. ()f x 在5(0,)12π单调递减 B. ()f x 在11(,)1212ππ-有两个极值点 C. 直线76x π=是曲线()y f x =的一条对称轴D. 直线2y x =-是曲线()y f x =的一条切线【2021年真题】8.（2021·新高考I 卷 第4题）下列区间中，函数()7sin ()6f x x π=-单调递增的区间是( )A.0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭9.（2021·新高考I 卷 第6题）若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+( )A. 65-B. 25-C.25 D.65【2020年真题】10.（2020·新高考I 卷 第10题 、II 卷 第11题）（多选）如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则()sin x ωϕ+( )A. sin ()3x π+B. sin (2)3x π- C. cos (2)6x π+D. 5cos (2)6x π- 11.（2020·新高考I 卷 第15题、II 卷 第16题）)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，3tan 5ODC ∠=，//BH DG ，12EF cm =，2DE cm =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为__________2.cm参考答案1. （2023ꞏ新课标I 卷 第8题）解：因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，则1sin cos .2αβ=故112sin()sin cos cos sin .263αβαβαβ+=+=+= 即2221cos(22)12sin ()12().39αβαβ+=-+=-⨯=故选B.2. （2023ꞏ新课标II 卷 第7题）解：22111cos 36114sin ()sin 222816424ααα+-----=====⇒=故选：.D3. （2023ꞏ新课标I 卷 第15题）解：令()cos 10f x x ω=-=，得cos 1x ω=，又[0,2]x π∈，则[0,2]x ωωπ∈，所以426πωππ<…，得2 3.ω<… 故答案为：[2,3).4. （2023ꞏ新课标II 卷 第16题）解： 设相邻的两个交点A ，B 的横坐标为1 t ，2 t ，则21 - 6t t π=又1sin()2x ωϕ+=，522,.0,66x k k k Z k ππωϕππ+=++∈=或当时 16t πωϕ+=，256t πωϕ+=，212( - )3t t πω=，故 4.ω=函数图象过点2(,0)3π，8sin ()03πϕ+=，故8 ,.3k k Z πϕπ=-∈ 2k =时满足图片条件，故2.3πϕ=-2()sin(4.32f πππ=-=- 5.（2022·新高考I 卷 第6题）解：由题可知：22(,)3T πππω=∈，所以(2,3).ω∈ 又因为()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，所以2b =，且33()sin() 2.224f b πππω=⨯++= 所以21(34k ω=-，k Z ∈，所以5.2ω=所以5()sin() 2.24f x x π=++所以() 1.2f π=6.（2022·新高考II 卷 第6题）解：解法一：设0β=则sin cos 0αα+=，取34απ=，排除B ，D 再取0α=则sin cos 2sin βββ+=，取4πβ=，排除;A 选.C解法二：由sin()cos())]44ππαβαβαβαβ+++=++=++)cos 44ππαβαβ=++，cos )sin 44ππαβαβ+=+ 故sin()cos cos(044ππαβαβ+-+=，即sin()04παβ+-=，故sin(sin()cos()0422παβαβαβ-+=-+-=， 故sin()cos()αβαβ-=--，故tan() 1.αβ-=- 7.（2022·新高考II 卷 第9题）（多选） 解：由题意得：24(sin()033f ππϕ=+=， 所以43k πϕπ+=，即43k πϕπ=-+，k Z ∈， 又0ϕπ<<，所以2k =时，23πϕ=，故2()sin(2).3f x x π=+ 选项5:(0,)12A x π∈时，2232(,)332x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在5(0,)12π单调递减; 选项11:(,1212B x ππ∈-时，252(,)322x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在11(,1212ππ-有1个极值点; 选项:C 由于，故直线76x π=不是()f x 的对称轴;选项:D 令，得21cos(232x π+=-， 解得222233x k πππ+=+或242233x k πππ+=+，k Z ∈，从而得x k π=或3x k ππ=+，k Z ∈，令0k =，则是斜率为1-的直线与曲线的切点，从而切线方程为(0)2y x -=--，即.2y x =- 8.（2021·新高考I 卷 第4题） 解：由22262k x k πππππ-+-+剟，得222,33k x k k Z ππππ-++∈剟， 所以()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦， 当0k =时，一个单调递增区间为2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知20,,233πππ⎛⎫⎡⎤⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故选：.A9.（2021·新高考I 卷 第6题）解：原式22sin (sin cos 2sin cos )sin cos θθθθθθθ++=+ 22sin (sin cos )sin sin cos sin cos θθθθθθθθ+==++22222sin sin cos tan tan 422sin cos tan 1415θθθθθθθθ++-====+++， 故选：.C10.（2020·新高考I 卷 第10题 、II 卷 第11题）（多选） 解：由图象可知222()||36T ππππω==-=，故A 错误; 解得2ω=±， 点5(,1)12π-在函数图象上， 当2ω=时，522,k Z 122k ππϕπ⨯+=-+∈， 解得42,k Z 3k πϕπ=-+∈，故44sin 2sin 2sin 2333y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2ω=-时，522,k Z 122k ππϕπ-⨯+=-+∈ 解得2,k Z 3k πϕπ=+∈，故函数解析式为sin 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又cos 2sin 2sin 26263x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选.BC11.（2020·新高考I 卷 第15题、II 卷 第16题） 解：设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，记扇形OAB 的面积为S 扇形，由题中的长度关系易知45AGD ︒∠=，所以45AHO ︒∠=， 又90OAH ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，可得2OJ AJ x ==，52OL JK x ==-， 72DL DK LK DK OJ x=-=-=-，3tan 5OL ODC DL ∠==， 5352x-=，解得x =，12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形222131154()24222cm πππ=⨯⨯+⨯-=+，故答案为54.2π+。
五年(2018-22)全国高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷卷等)专题9 不等式(解析版)
【答案】【答案】A
【思路分析】本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果．
【解析】由题意，可知： ， ， ，所以 ．故选A．
【归纳与总结】本题主要考查对数式与指数式的大小比较，可利用整数作为中间量进行比较．本题属基础题．
【题目栏目】不等式\不等式的性质及其应用\比较实数或代数式的大小
【题目来源】2019年高考天津文·第5题9．(2019年高考天津文·第2题)设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为( )
A．2B．3C．5D．6
【答案】【答案】C
【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解析】由约束条件 作出可行域如图
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，
联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ，据此可知目标函数的最小值为：
且目标函数没有最大值．故目标函数的取值范围是 ．故选：B
【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题
【题目来源】2020年浙江省高考数学试卷·第3题
7．(2019年高考浙江文理·第3题)若实数 ， 满足约束条件 则 的最大值是( )
二、多选题
12．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第11题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则( )
A． B．
C． D．
【答案】ABD
解析：对于A， ，
当且仅当 时，等号成立，故A正确；对于B， ，所以 ，故B正确；
对于C， ，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确； 故选：ABD
6．(2020年浙江省高考数学试卷·第3题)若实数x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的取值范围是( )
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高考数学试题分类汇编
排列、组合、二项式
1．（全国Ⅰ卷理科第10题）21()nxx的展开式中，常数项为15，则n= （ D ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（全国Ⅰ卷文科第5题）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、
丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ C ）
A．36种 B．48种 C．96种 D．192种
3．（全国Ⅱ卷理科第10题）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公
益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派
方法共有（ B ）
A．40种 B．60种 C．100种 D．120种
4．（全国Ⅱ卷文科第10题）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一
个小组，则不同的报名方法共有（ D ）
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
5．（北京理科第5题）记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2
位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ B ）
Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种
6．（北京文科第5题）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4
个数字互不相同的牌照号码共有（ A ）
Ａ．2142610CA个 Ｂ．242610AA个 Ｃ．2142610C个 Ｄ．242610A个
7．（重庆理科第4题）若nxx)1(展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B ）
A10 B.20 C.30 D.120
8．（重庆文科第4题）221x展开式中2x的系数为（ B ）
（A）15 （B）60 （C）120 （D）240
9．（四川理科第10题）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比xx0大的
五位偶数共有（ B ）
（A）288个 （B）240个 （C）144个 （D）126个
10．（四川文科第9题）用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比xx0大的五
位偶数共有（ B ）
A.48个 B.36个 C.24个 D.18个
11．（湖北理科第1题）如果2323nxx的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值
为（ B ）
Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10
12．（湖北文科第3题）如果2323nxx的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值
为（ C ）
Ａ．10 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．3
13．(浙江文科第6题)91()xx展开式中的常数项是（ C ）
(A) －36 (B)36 (C) －84 (D) 84
14．（江西理科第4题）已知33nxx展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和
之比为64，则n等于（ C ）
Ａ．4 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．7
15．（江西文科第5题）设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)xxaaxaxaxL，
则01211aaaaL的值为（ A ）
Ａ．2 Ｂ．1 Ｃ．1 Ｄ．2
16．（福建文科第12题）某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从
“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四
位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ C ）
Ａ．2000 Ｂ．4096 Ｃ．5904 Ｄ．8320
17．（广东理科第7题、文科第10题）图3是某汽车维修公司的维修
点环形分布图．公司在年初分配给A、 B、C、D四个维修点某种
配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D 四个维修点的这批
配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之
间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(n件配件从一个
维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为（ C ）
A．18 B．17 C．16 D．15
18．（辽宁文科地第12题）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为i(i126)aL，，，，
若11a，33a，55a，135aaa，则不同的排列方法种数为（ B ）
A．18 B．30 C．36 D．48
二、填空题
1．（全国Ⅰ卷理科第13题）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱
委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有___36__种。（用
数字作答）
2．（全国Ⅱ卷理科第13题）821(12)xxx的展开式中常数项为 42 ．（用数
字作答）
3．（全国Ⅱ卷文科第16题）821(12)1xx的展开式中常数项为 57 ．（用数字
作答）
4．（天津理科第11题）若621xax的二项展开式中2x的系数为52，则a 2 （用数
字作答）．
5．（天津文科第12题）921xx的二项展开式中常数项是 84 （用数字作答）．
6．（重庆理科第15题）某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲乙两门课程不能
都选，则不同的选课方案有_____25______种。（以数字作答）
7．（重庆文科第15题）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各
一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 288
。（以数字作答）
8．（陕西理科第16题）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配
方案共有 210 种.（用数字作答）
9．（陕西文科第13题）5)21(x的展开式中2x项的系数．．是 40 .（用数字作
答）
10．（陕西文科第15题）安排3名支教教师去4所学校任教，每校至多2人，则不同的分配
方案共有 60 种.（用数字作答）
11．(浙江文科第16题)某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10
元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是______266____(用
数字作答)．
12．(安徽理科第12题)若313nxx的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于
7
13．(安徽文科第12题)已知55433221024)1(xaxaxaxaxaax,
则())(531420aaaaaa 的值等于 256 .
14．（福建文科第13题）621xx的展开式中常数项是___15__．（用数字作答）
15．（江苏第12题）某校开设9门课程供学生选修，其中,,ABC三门由于上课时间相同，
至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 75 种不同选修方案。（用数值作答）
16．（辽宁理科第16题）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为i(i126)aL，，，，
若11a，33a，55a，135aaa，则不同的排列方法有 30 种（用数字作
答）．
17．（辽宁文科第14题）41()xxx展开式中含x的整数次幂的项的系数之和为 72
（用数字作答）．
18．（宁夏理科第16题）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每
个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 240 种．（用数字作答）