高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式》经典测试题及答案

数学《不等式》期末复习知识要点

一、选择题

1．在锐角ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222cos 3a ab C b +=，则

tan 6

tan tan tan A B C A

+?的最小值为（）

D ．

【答案】B 【解析】【分析】

根据余弦定理得到4cos c b A =，再根据正弦定理得到sin cos 3sin cos A B B A =，故

tan 3tan A B =，

3t 53tan 4an 6

ta 3ta tan tan n n B A B C A

B ??=

+ ??+?

?，计算得到答案. 【详解】

由余弦定理及222cos 3a ab C b +=可得222223a a b c b ++-=，

即22222a b b c -=+，得22222cos a b a bc A -=+，整理得22 2cos a b bc A =+.

2222cos a b c bc A =+-Q ，2222cos 2cos b bc A b c bc A ∴+=+-，得4cos c b A =.

由正弦定理得sin 4sin cos C B A =，又()sin sin C A B =+，()sin 4sin cos A B B A ∴+=，整理得sin cos 3sin cos A B B A =.

易知在锐角三角形ABC 中cos 0A ≠， cos 0B ≠，tan 3tan A B ∴=，且tan 0B >.

πA B C ++=Q ， ()tan tan C A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=-

-?24tan 3tan 1

B =-，

tan 6tan tan tan A B C A ∴+?()233tan 124tan tan B B B

-=+353tan 43tan B B ??=+ ??

?34≥?

当且仅当tan B 时等号成立. 故选：B . 【点睛】

本题考查了正余弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

2．设x ，y 满足约束条件21210

x y x y x y +≤??+≥-??-≤?

，若32z x y =-+的最大值为n

，则2n x ? ?的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60 B ．80

C ．90

D ．120

【答案】B

【解析】【分析】

画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案. 【详解】

如图所示：画出可行域和目标函数，

32z x y =-+，即322

y x =

+，故z 表示直线与y 截距的2倍，根据图像知：当1,1x y =-=时，32z x y =-+的最大值为5，故5n =.

52x x ?- ???展开式的通项为：()()35552155221r

r r r r r r r T C x C x

x ---+?=?-=??-? ???，取2r =得到2x 项的系数为：()2

5252180C -??-=.

故选：B .

【点睛】

本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

3．在下列函数中，最小值是2的函数是（） A ．()1

f x x x

=+ B ．1cos 0cos 2y x x x π??

<< ???

C ．()223

f x x =+D ．()4

f x e e =+

- 【答案】D 【解析】【分析】

根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案. 【详解】

A. ()1

f x x x

=+，()122f -=-<，A 错误； B. 1cos 0cos 2y x x x π??

=+<< ???

，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误；

C. ()2

f x =

=，故()f x ≥

，C 错误；

D. ()4222x

x f x e e =+-≥=，当4x

e e =，即ln 2x =时等号成立，D 正确. 故选：D . 【点睛】

本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.

4．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(1,3)- C ．(1,3) D ．(,1)(3,)-∞+∞U

【答案】A 【解析】【分析】

由0ax b ->的解集，可知0a >及

=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集. 【详解】

由0ax b ->的解集为()

1,+?

，可知0a >且

=，令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，

因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U ，故选：A. 【点睛】

本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.

5．已知函数())

log f x x =，若对任意的正数,a b ，满足

()()310f a f b +-=，则31

a b

+的最小值为（）

A ．6

B ．8

C ．12

D ．24

【答案】C

【解析】【分析】

先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得31a b +=，最后根据基本不等式求最值. 【详解】

0,x x x x ≥-=所以定义域为R ，

因为()

2log f x =，所以()f x 为减函数

因为()

log f x =，())

log f x x -=,所以

()()()f x f x f x =--，为奇函数，

因为()()310f a f b +-=，所以()()1313f a f b a b =-=-，，即31a b +=，所以

()3131936b a a b a b a b a b

??+=++=++ ???，

因为

96b a a b +≥=，所以

3112a b +≥（当且仅当12a =，1

6b =时，等号成立），选C. 【点睛】

本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.

6．已知集合{}

0lg 2lg3P x x =<<，2

12Q x x ?

?=>??-??

，则P Q I 为( )

A ．()0,2

B ．()1,9

C ．()1,4

D ．()1,2

【答案】D 【解析】【分析】

集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】

解：{}

19P x x =<<，{}

02Q x x =<<；

()1,2P Q ∴?=.

故选：D. 【点睛】

本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算

口诀：“越交越少，公共部分”. 简单对数不等式问题的求解策略：

(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．

(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．

分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.

7．若，

，则（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】【分析】【详解】

试题分析：用特殊值法，令

，

得

，选项A 错误，

，选项B 错误，

，选项D 错误，

因为

选

项C 正确，故选C ．【考点】

指数函数与对数函数的性质【名师点睛】

比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.

8．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r

恒

成立，则实数t 的取值范围是（）.

A ．33,??-∞?+∞ ? ?????

B ．2323

,??-∞?+∞ ? ?????

C ．23?+∞????

D ．3?+∞????

【答案】B 【解析】

【分析】

根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0

因为ABC V 是边长为1的等边三角形，所以1

cos1202

AB BC ?=?=-

u u u r u u u r ，

由||1k AB tBC +>u u u r u u u r 两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +?+>u u u r u u u r u u u r u u u r

，

即2210k kt t -+->，构造函数2

()1f k k tk t =-+-，由题意，(

)

410t t ?--<=，解得23t <-或23

t >

. 故选：B. 【点睛】

本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.

9．在平面直角坐标系中，不等式组20

{200

x y x y y +-≤-+≥≥，表示的平面区域的面积是（）

A ．42

B ．4

C ．22

D ．2

【答案】B 【解析】

试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC 及其内部．可得，A （2，0），B （0，2），C （-2，0），显然三角形ABC 的面积为

．故选B ．

考点：求不等式组表示的平面区域的面积．

10．已知集合{}

230A x x x =-->，(){}

lg 11B x x =+≤，则()

R A B =I e（）

A ．{}13x x -≤<

B ．{}19x x -≤≤

C ．{}13x x -<≤

D ．{}19x x -<<

【答案】C 【解析】【分析】

解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()

R A B ?e. 【详解】

解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；

解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.

{}

13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤e，

因此，(){}

13R A B x x ?=-<≤e，故选：C. 【点睛】

本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.

11．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则26

n n S a ++的最小值为（）

A ．4

B ．3

．2

D ．2

【答案】D 【解析】【分析】

由题意得2

(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，

从而可得26

n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．

【详解】

解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，

2(12)112d d ∴+=+．得2d =或0d =（舍去），

21n a n ∴=-，

2(121)

n n n S n +-∴=

=， ∴()()2

221142626332211

2n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++．

令1t n =+

，则

2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴26

n n S a ++的最小值为2．

故选：D ．【点睛】

本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．

12．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（） A ．320千元 B ．360千元

C ．400千元

D ．440千元

【答案】B 【解析】

设生产甲、乙两种产品x 件,y 件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件：

2348069600,0,x y x y x y x N y N

+≤??+≤?

≥≥??∈∈?，原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2z x y =+的最大值. 绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点()150,60B 处取得最大值：max 2215060360z x y =+=?+=千元. 本题选择B 选项.

点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．

13．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有

()()

1212

0f x f x x x -<-，且函数

(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式

()()222323f s s f s s -+--+…，则s 的取值范围是（）

A ．13,2??--

????

B ．[3,2]--

C ．[2,3)-

D ．[3,2]-

【答案】D 【解析】【分析】

由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于

()()222323f s s f s s -+-+-…，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求

出s 的取值范围. 【详解】

解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有

()()

1212

0f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；

又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称，则(

)(

)

232323f s s f s s f s s -+--+=-+-…，所以

222323s s s s -+≥-+-，

整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】

本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.

14．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】C 【解析】【分析】

利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】

22x y +≥Q 且224x y

+≤ ，

422x y ∴≤≤?+≤ ，等号成立的条件是x y =，

又x y +≥Q ，0,0x y >>

21xy ∴≤?≤ ，等号成立的条件是x y =,

2241x y xy ∴+≤?≤，

反过来，当1

2,3

x y ==

时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件. 故选:C 【点睛】

本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.

15．若实数x ，y ，对任意实数m ，满足()()22

2122211x y m x y m x y m ?-≤-??

+≥+??-+-≤??

，则由不等式组确定的可行域的面积是( ) A ．

π B ．12

C ．π

D ．

π 【答案】A 【解析】

【分析】

画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积．【详解】

实数x ，y ，对任意实数m ，满足2221222(1)()1x y m x y m x y m --??

++??-+-?

………的可行域如图：

可行域是扇形，14

个圆，面积为：2

11144ππ??=．

故选：A ．

【点睛】

本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

16．在区间[]0,1内随机取两个数m ?n ，则关于x 的方程20x nx m +=有实数根的概率为（） A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A 【解析】【分析】

根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果. 【详解】

若方程20x nx m +=有实数根，则40n m ?=-≥.

如图，40

0101

n m m n -≥??

≤≤??≤≤?

表示的平面区域与正方形0101m n ≤≤??≤≤?的面积之比即为所求的概率，

即111

24118

S P S ??===?阴影正方形

故选：A . 【点睛】

本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.

17．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】【分析】

通过列举，和推理证明可以推出充要性. 【详解】

若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞；若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞；故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件，故选：B. 【点睛】

本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．

18．若实数x ，y 满足不等式组11y x

x y y ≤??

+≤??≥-?

，则2x y +的最小值是( )

A ．3

B ．

C ．0

D ．3-

【答案】D 【解析】【分析】

根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再由目标函数2z x y =+可得

2y x z =-+，此时Z 为直线在y 轴上的截距，根据条件可求Z 的最小值．

【详解】

解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示得阴影部分的ABC ?，由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距把直线:2l y x =-向上平移到A 时，z 最小，此时由1y x

y =??=-?

可得(1,1)A -- 此时3z =-，故选：D ．

【点睛】

本题考查用图解法解决线性规划问题，分析题目的已知条件，找出目标函数中的z 的意义是关键，属于中档题．

19．若函数()sin 2x x f x e e x -=-+，则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为（） A ．1

(1,)2

- B ．1(,1)(,)2

-∞-+∞U C ．1(,1)2-

D ．1(,)(1,)2

-∞-?+∞

【答案】B 【解析】【分析】

判断函数()f x 为定义域R 上的奇函数，且为增函数，再把()

()2

210f x f x -+>化为

221x x ->-，求出解集即可．

【详解】

解：函数()sin2x

f x e e

x -=-+，定义域为R ，

且满足()()sin 2x

x f x e

e x --=-+- ()()sin2x x e e x

f x -=--+=-，

∴()f x 为R 上的奇函数；

又()'2cos222cos20x

f x e e

x x x -=++≥+≥恒成立，

∴()f x 为R 上的单调增函数；

又()

()2210f x f x -+>，

得()()()2

21f x

f x f x ->-=-，

∴221x x ->-，即2210x x +->，解得1x <-或12

x >

，所以x 的取值范围是()1,1,2??-∞-?+∞ ???

．故选B ．【点睛】

本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题．

20．以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A 为顶点，以面BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（） A ．2 B ．4

C ．6

D ．7

【答案】B 【解析】【分析】

根据题意补全几何图形为长方体，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值. 【详解】

将以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：

长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径，

设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，因为三棱锥外接球的表面积为8π，则284R π=π，

解得R =

，所以体对角线为，

所以2

8x y z ++=，

111222

S yz xy xz =

++侧面积由于()()()()

240x y z

S x y y x x z ++-=-+-+-≥，

所以416S ≤，故4S ≤，

即三棱锥的侧面积之和的最大值为4，故选：B. 【点睛】

本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.

高考数学中的放缩技巧

高考数学中的放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i

全国统一高考数学试卷(理科)(全国一卷)

绝密★启用前全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是

A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入

天一高考数学原创试题(理科)

天一原创试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合{}2log 2A x x =≤，{}1B x x =>-则A B =（） A ．{14}x x -<≤ B ．{14}x x -<< C ．{04}x x <≤ D ．{4}x x ≤ 【答案】D 【解析】根据题意可得{}{}2log 204x A x x x ≤<=≤=，因为A B ={04}x x <≤，故选 C ． 2．以下四个命题中，真命题的个数是 ① 存在正实数,M N ,使得log log log M N MN a a a +=; ② 若函数满足(2018)(2019)0f f ?<，则()f x 在（2018,2019）上有零点的逆命题； ③ 函数(21)()log x a f x -=(0a >≠且a 1)的图像过定点（1,0） ④ “x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】根据对数运算法则知①正确；函数()f x 在（2018,2019）上有零点时，函数()f x 在x =2018和x =2019处的函数值不一定异号，故逆命题错误，故②错误；因为无论a 取何值(1)0f =,所以函数()f x 的图像过定点（1,0），故③正确；当x ＝－1时，x 2－5x －6＝0；x 2－5x －6＝0时，x ＝－1或x ＝6，所以是充分不必要条件，故④错误；故选B 3．若,,,a b c R a b ∈>，则下列不等式成立的是 A ．22ac bc > B ．a c b c > C.1 1()()22a b > D.2211 a b c c >++ 【答案】D 【解析】对于A ，当c=0，显然不成立；对于B ，令a ＝1，b ＝－2，c ＝0，错误；对于C ，根据指数函数的单调性应为11()()22a b <；对于D ，∵a>b ，c 2＋1>0，∴2211 a b c c >++，故选D. 4．已知函数,0()(),0 x e x f x g x x ?≥=???

高一数学单元测试题附答案

高一数学单元测试题一、选择题 1．已知{}2),(=+=y x y x M ，{} 4),(=-=y x y x N ，则N M ?=（） A ．1,3-==y x B ．)1,3(- C ．{}1,3- D ．{})1,3(- 2．已知全集U =N ，集合P ={ }，6，4，3，2，1Q={}1,2,3,5,9则() P C Q =U I ( ) A ．{ }3,2,1 B ．{}9,5 C ．{}6,4 D {}6,4,3,2,1 3．若集合{} 21|21|3,0,3x A x x B x x ?+? =-<=