高中数学：概率模型的应用

高中数学：概率模型的应用

在求解概率问题时，当题意所表述的形式难于解决时，可将该问题转化成一个熟悉的“概率模型”，从而求解，常见的解法就是转化为摸球与放球问题，使问题得以解答。

袋中有N个白球、M个黑球，现有放回地从袋中摸球，求：

（1）在n次摸球中恰好摸到k（k=0，1，…，n）个黑球的概率；

（2）第k次才摸到黑球的概率；

（3）第r次摸到的黑球是在第k次摸球时实现的概率。

解：由于袋中有N+M个球且是有放回地摸球，故每次摸球都有N+M种等可能结果（此时设想球是编了号，可区别的）。

（1）设在n次摸球中恰好模型k（k=0，1，…，n）个黑球为事件A，考虑前n次有放回摸球，共有

（N+M）n种可能，对于事件A有种不同情况，而每种情况（如前k次均摸到黑球，后n－k次摸到白球）都有种可能，又因种情况是两两互斥事件，故A

有种结果，由等可能事件概率公式得

。

（2）设第k次才摸到黑球为事件B，前k次摸球有（N+M）k种等可能结果，事件B的发生表明前k－1次均摸到白球有种可能，第k次才摸到黑球有M种可能，故事件B有M种可能，由等可能事件概率公式得P（B）=。

（3）设第r次摸到黑球是在第k次摸球时实现的为事件C，前k次摸球有种等可能结果。第k次摸到黑球，有M种结果，前k－1次摸球有r－1次摸到黑球，有种可能，故C事件共有M种结果。由等可能事件概率公式得P（C）=。

可化为摸球问题举例：

例1 100件产品（各不相同）中有35件次品，随机不放回地抽取5件，求：

（1）“仅后两件是次品”的概率；

（2）“有两件是次品”的概率。

分析：此问题，可将“产品”换成“球”，“次品”换成“黑球”，“件”换成“个”，“抽”换成“摸”，就变成无放回摸球问题。

解：（1）设仅后两件是次品为事件A，球各不相同，总的抽法有。则对于事件A来说，前三次抽得正品、后两次抽得次品有种可能，由等可能事件概率公式得P（A）=。

（2）设有两件是次品为事件B，则P（B）

=。

例2 一副扑克牌（除了大小王）有4种花色，每种花色13张，共52张，从中有放回地任取4张，求有两张方块的概率。

分析：把“52张牌”看成“52个球”，“方块”看成“黑球”，相当于求从52个球中有放回地摸出4个球，其中有两个黑球的概率。

解：设有放回地摸出4个球，其中有两个黑球为事件A，则套用摸球问题第一问可得P（A）

=。

例3 某数学家有两盒火柴，每盒有n根火柴，每次用火柴时，他在两盒中任取一盒并从中任取出一根，求他发现用完一盒时，另一盒还有r根（1≤r≤n）的概率。

解：由题意知数学家共用了根火柴，其中n根取自一盒，n－r根取自另一盒。于是此问题可等价转化为“个不同的球，放入两个盒子，求甲盒放n个，乙盒放n－r个的概率“，记作事件A，因每个球放入两个盒子共有2种放法。

∴2n－r个球的所有等可能结果为，甲盒放入n个球的可能结果为。即P（A）=。

从以上求解可以看到，正确地求解概率问题，必须要具备一定的排列组合知识，能熟悉和掌握必要的“概率模型”，并会灵活运用分类与讨论、转化与化归等数学思想。

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