8-2角、角分线(1).讲义学生版

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2020年八年级数学下册第5讲角平分线(PPT 26张)

∴CD＝DE＝4cm． ∵AC＝BC，∠C＝90°，
（2）证明：在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，Βιβλιοθήκη ∴∠B＝45°．，
∴△DEB 为等腰直角三角形，
∴DC＝EB＝4cm．
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．
在 Rt△BDE 中，依据勾股定理可知 BD＝4 cm． ∴AC＝BC＝DC+DB＝（4+4 ）cm
考点四 ※ 角平分线的尺规作图在实际生活中的应用
例
有公路 l1 同侧、l2 异侧的两个城镇 A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇 A，B 的距离必须相等，到两条公路 l1，l2 的距离也必须相等，发射塔 C 应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点 C 的位置．
如图：一把直尺压住射线 OB，另一把直尺压住射线 OA 并且与第一把直尺交于点 P，小明说：“射线 OP 就是∠BOA 的角平分线．”他这样做的依据是（）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
A
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
练习已知，如图△ ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F，求证：点 F 在∠DAE 的平分线上．
【解答】证明：过点 F 分别作 AE、BC、AD 的垂线 FP、FM、FN，P、M、N 为垂足 ∵CF 是∠BCE 的平分线， ∴FP＝FM．同理：FM＝FN． ∴FP＝FN． ∴点 F 在∠DAE 的平分线上．
（保留作图痕迹，不要求写出画法）
l2
A B
l1
【解答】解：作图如下：C1，C2 就是所求的位置．

青岛版八年级数学上册《角的平分线》课件

规分别作出它的三条角平分线。
A
A
B
C
B
C
课堂小结角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。
角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等。
作业
习题1.3A组
▪不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月13日星期三2022/4/132022/4/132022/4/13 ▪书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/132022/4/132022/4/134/13/2022 ▪正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/132022/4/13April 13, 2022 ▪书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
在纸上任意画一个∠BAC，把它剪下来并对折后，使角的两边重合，然后把纸展开铺平，你有什么发现？
角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。
重要结论角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴
能用直尺和圆规作出角的平分线吗？
实验探究
作出∠AOB的平分线，在上面任取一点C，作出点C到 ∠AOB两边Байду номын сангаас垂线段CD与 CE，垂足分别为D和E，如果把∠AOB沿角平分线折叠，线段CD与CE重合吗？由此你得出什么结论？
角平分线的性质
角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等。
三条公路的交叉处
为一个三角形区域，现
在要在此区域内建一个
加油站，使得该加油站

人教版八年级上册第十二章全等三角形辅助线系列之一---角平分线类辅助线作法大全

全等三角形辅助线系列之一与角平分线有关的辅助线作法大全一、角平分线类辅助线作法角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等．对于有角平分线的辅助线的作法，一般有以下四种．1、角分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题； 2、截取构全等利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形； 3、延长垂线段题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形； 4、做平行线：以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形．或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形．通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形．至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件．图四图三图二图一QPONMPONM BAAB MNOP PONM BA典型例题精讲【例1】如图所示，BN 平分∠ABC ，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，2AB BC BD =＋．求证：180BAP BCP ∠∠=︒＋．【解析】过点P 作PE ⊥AB 于点E ．∵PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，BN 平分∠ABC ，∴PE PD =．在Rt △PBE 和Rt △PBC 中， BP BPPE PD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △PBE ≌Rt △PBC （HL ），∴BE BD =．∵2AB BC BD +=，BC CD BD =+，AB BE AE =-，∴AE CD =． ∵PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，∴90PEB PDB ∠=∠=︒．在△P AE 和Rt △PCD 中， ∵PE PD PEB PDC AE DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△P AE ≌Rt △PCD ，∴PCB EAP ∠=∠．∵180BAP EAP ∠+∠=︒，∴180BAP BCP ∠+∠=︒．【答案】见解析．【例2】如图，已知：90A ∠=︒，AD ∥BC ，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC ，求证：CP 平分∠DCB ．【解析】因为已知PD 平分∠ADC ，所以我们过P 点作PE ⊥CD ，垂足为E ，则PA PE =，由P 是AB的中点，得PB PE =，即CP 平分∠DCB ．【答案】作PE ⊥CD ，垂足为E ，∴90PEC A ∠=∠=︒，∵PD 平分∠ADC ，∴PA PE =，又∵90B PEC ∠=∠=︒，∴PB PE =， ∴点P 在∠DCB 的平分线上， ∴CP 平分∠DCB ．【例3】已知：90AOB ∠=︒，OM 是∠AOB 的平分线，将三角板的直角顶点P 在射线OM 上滑动，两直角边分别与OA 、OB 交于C 、D ．（1）PC 和PD 有怎样的数量关系是__________．（2）请你证明（1）得出的结论．PDCBA A BCDPE【解析】（1）PC PD =．（2）过P 分别作PE ⊥OB 于E ，PF ⊥OA 于F ， ∴90CFP DEP ∠=∠=︒，∵OM 是∠AOB 的平分线，∴PE PF =，∵190FPD ∠+∠=︒，且90AOB ∠=︒，∴90FPE ∠=︒， ∴290FPD ∠+∠=︒，∴12∠=∠，在△CFP 和△DEP 中12CPF DEPPF PE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CFP ≌△DEP ，∴PC PD =．【答案】见解析．【例4】如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F ，请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系（不需证明）；（2）如图③，在△ABC 中，60B ∠=︒，请问，在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【解析】如图①所示；（1）FE FD =．（2）如图，过点F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥BC 于H ，作FK ⊥AC 于K ， ∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，∴FG FH FK ==，在四边形BGFH 中，36060902120GFH ∠=︒-︒-︒⨯=︒， ∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，60B ∠=︒， ∴()118060602FAC FCA ∠+∠=︒-︒=︒．在△AFC 中， ()180********AFC FAC FCA ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒， ∴120EFD AFC ∠=∠=︒，∴EFG DFH ∠=∠，在△EFG 和△DFH 中，EFG DFH EGF DHF FG FH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EFG ≌△DFH ，∴FE FD = 【答案】见解析．【例5】已知120MAN ∠=︒，AC 平分∠MAN ，点B 、D 分别在AN 、AM 上．（1）如图1，若90ABC ADC ∠=∠=︒，请你探索线段AD 、AB 、AC 之间的数量关系，并证明之；（2）如图2，若180ABC ADC ∠+∠=︒，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【解析】（1）得到30ACD ACB ∠=∠=︒后再可以证得12AD AB AC ==，从而，证得结论；（2）过点C 分别作AM 、AN 的垂线，垂足分别为E 、F ，证得△CED ≌△CFB后即可得到AD AB AE ED AF FB AE AF +=-++=+，从而证得结论．【答案】（1）关系是：AD AB AC +=．证明：∵AC 平分∠MAN ，120MAN ∠=︒ ∴60CAD CAB ∠=∠=︒ 又90ADC ABC ∠=∠=︒， ∴30ACD ACB ∠=∠=︒ 则12AD AB AC ==（直角三角形一锐角为30°，则它所对直角边为斜边一半） ∴AD AB AC +=；（2）仍成立．证明：过点C 分别作AM 、AN 的垂线，垂足分别为E 、F ∵AC 平分∠MAN∴CE CF =（角平分线上点到角两边距离相等） ∵180ABC ADC ∠+∠=︒，180ADC CDE ∠+∠=︒ ∴CDE ABC ∠=∠ 又90CED CFB ∠=∠=︒， ∴△CED ≌△CFB （AAS ） ∵ED FB =，∴AD AB AE ED AF FB AE AF +=-++=+ 由（1）知AE AF AC +=， ∴AD AB AC +=．【例6】如图，在△ABC 中，2C B ∠=∠，AD 平分∠BAC ，求证：AB AC CD -=．【解析】在AB 上截取点E ，使得AE AC =．∵AD 平分∠BAC ，∴EAD CAD ∠=∠，∴△ADE ≌△ADC （SAS ）．∴AED C ∠=∠，ED CD =． ∵2C B ∠=∠，∴=2AED B ∠∠．∵AED B EDB ∠=∠+∠，∴B EDB ∠=∠，∴BE DE =． ∴CD BE AB AE AB AC ==-=-．【答案】见解析．【例7】如图，△ABC 中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．【解析】在BC 上截取E 点使BE BA =，连结DE ．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠．在ABD ∆与EBD ∆中∵AB EB =，ABD EBD ∠=∠，BD BD = ∴ABD EBD ∆∆≌，∴A DEB ∠=∠∵AB AE =， ∴BAD BED ∠=∠，∴72DEC ∠=︒．又∵361854ADB ∠=︒+︒=︒，∴72CDE ∠=︒ABCDE DCBAAB CD∴CDE DEC ∠=∠，∴CD CE = ∵BC BE EC =+，∴BC AC CD =+【答案】见解析．【例8】已知ABC ∆中，60A ∠=︒，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【解析】在BC 上截取一点F 使得BF BE =，易证BOE BOF ∆∆≌，在根据120BOC ∠=︒推出60BOE COF ∠=∠=︒，再证明OCF OCD ∆∆≌即可．【答案】BC BE CD =+．【例9】如图：已知AD 为△ABC 的中线，且12∠=∠，34∠=∠，求证：BE CF EF +>．【解析】在DA 上截取DN DB =，连接NE ，NF ，则DN DC =，在△DBE 和△DNE 中：E DCB AOED CBAFOED CBA∵12DN DB ED ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DBE ≌△DNE （SAS ），∴BE NE = 同理可得：CF NF =在△EFN 中，EN FN EF +>（三角形两边之和大于第三边） ∴BE CF EF +>．【答案】见解析．【例10】已知：在四边形ABCD 中，BC BA >，180A C ∠+∠=︒，且60C ∠=︒，BD 平分∠ABC ，求证：BC AB DC =+．【解析】在BC 上截取BE BA =，∵BD 平分∠ABC ，∴ABD EBD ∠=∠，在△BAD 和△BED 中， BA BE ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△BED ，∴AD DE =，A BED ∠=∠． ∵180BED DEC ∠+∠=︒，180A C ∠+∠=︒． ∴C DEC ∠=∠，∴DE DC =．∴DC AD =．∵60∠=︒，∴△CDE是等边三角形，C∴DE CD CE=+=+．==，∴BC BE CE AB CD【答案】见解析．【例11】观察、猜想、探究：在△ABC中，2∠=∠．ACB B（1）如图①，当90=+；C∠=︒，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB AC CD （2）如图②，当90∠≠︒，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量C关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【解析】（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，理由角平分线性质得到ED=CD，利用HL得到直角三角形AED与直角三角形ACD全等，由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AE AC=，A CB B∠=∠，利用等量代换及外角性质得到一对角相等，利用等角对等∠=∠，由2AED ACB边得到BE DE=+，等量代换即可得证；=，由AB AE EB（2）AB CD AC=+，理由为：在AB上截取AG AC=，如图2所示，由角平分线定义得到=，利用SAS得到三角形AGD与三角形ACD全等，接下来同（1）一对角相等，再由AD AD即可得证；（3）AB CD AC=，如图3所示，同（2）即可得证．=-，理由为：在AF上截取AG AC【答案】（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，如图1所示，∵AD为∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE DC=，在Rt △ACD 和Rt △AED 中，AD AD =，DE DC =， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），∴AC AE =，ACB AED ∠=∠， ∵2ACB B ∠=∠，∴2AED B ∠=∠，又∵AED B EDB ∠=∠+∠，∴B EDB ∠=∠， ∴BE DE DC ==，则AB BE AE CD AC =+=+；（2）AB CD AC =+，理由为：在AB 上截取AG AC =，如图2所示， ∵AD 为∠BAC 的平分线，∴GAD CAD ∠=∠， ∵在△ADG 和△ADC 中，AG ACGAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ADC （SAS ），∴CD CG =，AGD ACB ∠=∠， ∵2ACB B ∠=∠，∴2AGD B ∠=∠，又∵AGD B GDB ∠=∠+∠，∴B GDB ∠=∠， ∴BE DG DC ==，则AB BG AG CD AC =+=+；（3）AB CD AC =-，理由为：在AF 上截取AG AC =，如图3所示， ∵AD 为∠F AC 的平分线，∴GAD CAD ∠=∠， ∵在△ADG 和△ADC 中，AG AC GAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△ADC （SAS ）， ∴CD GD =，AGD ACD ∠=∠，即ACB FGD ∠=∠，∵2ACB B ∠=∠，∴2FGD B ∠=∠，又∵FGD B GDB ∠=∠+∠，∴B GDB ∠=∠， ∴BG DG DC ==，则AB BG AG CD AC =-=-．【例12】如图所示，在△ABC 中，3ABC C ∠=∠，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F ．求证：()12BE AC AB =-．【解析】延长BE 交AC 于点F ．则AD 为∠BAC 的对称轴，∵BE ⊥AD 于F ，∴点B 和点F 关于AD 对称， ∴12BE EF BF ==，AB AF =，ABF AFB ∠=∠． ∵3ABF FBC ABC C ∠∠=∠=∠＋，ABF AFB FBC C ∠=∠=∠∠＋， ∴3FBC C FBC C ∠∠∠=∠＋＋， ∴FBC C ∠=∠，∴FB FC =，∴()()111222BE FC AC AF AC AB ==-=-，∴()12BE AC AB =-．【答案】见解析．【例13】如图，已知：△ABC 中AD 垂直于∠C 的平分线于D ，DE ∥BC 交AB 于E ．求证：EA EB =．【解析】由AD 垂直于∠C 的平分线于D ，可以想到等腰三角形中的三线合一，于是延长AD 交BC 与点F ，得D 是AF 的中点，又因为DE ∥BC ，由三角形中位线定理得EA EB =．【答案】延长AD 交BC 与点F ，∵CD 平分∠ACF ，∴12∠=∠，又AD ⊥CD ， ∴ΔADC ≌ΔFDC ，∴AD FD =，又∵DE ∥BC ，∴EA EB =．【例14】已知：如图，在△ABC 中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE ⊥AE ．求证：2AC AB BE -=．【解析】延长BE 交AC 于M ，∵BE ⊥AE ，∴90AEB AEM ∠=∠=︒ 在△ABE 中，∵13180AEB ∠+∠+∠=︒， ∴3901∠=︒-∠ 同理，4902∠=︒-∠∵12∠=∠，∴34∠=∠，∴AB AM =∵BE ⊥AE ，∴2BM BE =， ∴AC AB AC AM CM -=-=， ∵∠4是△BCM 的外角，∴45C ∠=∠+∠ ∵3ABC C ∠=∠，∴3545ABC ∠=∠+∠=∠+∠ ∴34525C C ∠=∠+∠=∠+∠，∴5C ∠=∠ ∴CM BM =，∴2AC AB BM BE -==【答案】见解析．【例15】如图，已知AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ，求证：2BD CE =．【解析】延长CE ，交BA 的延长线于点F ．∵BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ， ∴△BEF ≌△BEC ，∴BC BF =，CE FE =． ∵90BAC ∠=︒，CE ⊥BE ，∴ABD ACF ∠=∠，又∵AB AC =，∴△ABD ≌△ACF ，∴BD CF =．∴2BD CE =．【答案】见解析．EDCBAFEDCBA课后复习【作业1】如图所示，在△ABC 中，BP 、CP 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：点P 在∠A 的平分线上．【解析】过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PG ⊥AC 于点G ，PF ⊥BC 于点F ．因为P 在∠EBC 的平分线上，PE ⊥AB ，PH ⊥BC ，所以PE PF =．同理可证PF PG =．所以PG PE =，又PE ⊥AB ，PG ⊥AC ，所以P 在∠A 的平分线上，【答案】见解析．【作业2】已知：如图，2AB AC =，BAD CAD ∠=∠，DA DB =，求证：DC ⊥AC ．PCBAPABCD【解析】在AB 上取中点E ，连接DE ，则12AE BE AB ==． ∵DA DB =，∴DE ⊥AB ，90AED ∠=︒．又∵2AB AC =，∴AE AC =．∵BAD CAD ∠=∠，∴△ADE ≌△ADC （SAS ）． ∴90AED ACD ∠=∠=︒，即DC ⊥AC ．【答案】见解析．【作业3】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．【解析】如图，在BC 上截取BE BD =，连接DE ，过D 作DF BC ∥，交AB 于F ，于是32∠=∠，ADF ECD ∠=∠．又∵12∠=∠，∴13∠=∠，故DF BF =．显然FBCD 是等腰梯形． ∴BF DC =，DF DC =．∵()111218010020222ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，()11802802BED BDE ∠=∠=︒-∠=︒， ∴180100DEC BED ∠=︒-∠=︒，∴100FAD DEC ∠=∠=︒，∴AFD EDC ∆∆≌，AD EC =．又∵BE BD =，∴BC BD EC BD AD =+=+．【答案】见解析．EDCBAABCD【作业4】如图，已知在△ABC 中，AD 、AE 分别为△ABC 的内、外角平分线，过顶点B 作BF ⊥AD ，交AD 的延长线于F ，连接FC 并延长交AE 于M ．求证：AM ME =．【解析】延长AC ，交BF 的延长线于点N ．∵AD 平分∠BAC ，BF ⊥AD ，∴△AFB ≌△AFN ，∴BF NF =． ∵AD 、AE 分别为△ABC 的内、外角平分线，∴EA ⊥F A ． ∵BF ⊥AF ，∴BF ∥AE ．∴::BF ME CF CM =，::FN AM CF CM =． ∵BF NF =，∴AM ME =．【答案】见解析．ECMF EDCBAN MFEDCBA。

15.4 角的平分线第1课时角的平分线的作法课件 2024-2025学年沪科版数学八年级上册

画法二可以用量角器来画一个角的平分线.
方法三下面介绍用尺规作图的方法作出∠AOB的平分线.
(1)以O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA，OB于点M,N，如图(1).
1 (2)分别以点M,N为圆心，以大于 2 MN长为半径在角的内部画弧交于点
P，如图(2).
(3)作射线OP,则OP为所要求作的∠AOB的角平分线，如图(3).
2.当∠AOB的两边成一直线时，这个角的平分线就是直线AB的垂线,即这时角平分线与直线AB垂直.
二过一点作已知直线的垂线
通过上面作图，你能用尺规完成“经过一点作已知直线的垂线”吗?
由于这一点可能在直线上或直线外，这个作图要分为两种情况∶ 经过已知直线上的一点作这条折线的垂线. 经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
B P
M
C
课堂小结
作角的平分线
角平分线的作法与性质
过一点作已知直线的垂线
经过已知直线上的一点作这条折线的垂线. 经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
经过对折后，发现是轴对称图形. 2. 你能作出∠AOB 的对称轴吗？为什么？
B
对称轴是角平分线吗？
l O
A
新知学习
问题怎样作出角的平分线?
画法一通过折纸可以作出一个角的角平分线.在半透明纸上任画一个角, 请你用折叠的方法,找出角的平分线,如图.
B
B
D
D
A
C
A
C（B） A
C
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线：已知：直线AB和AB上一点C，求作：AB的垂线，使它经过点C. 作法：作平角ACB的平分线CF；直线CF就是所要求作的垂线．

2021年华师大版八年级数学上册《角平分线》优质课课件.ppt

——高尔基
9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/12/142020/12/14Monday, December 14, 2020
10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/142020/12/142020/12/1412/14/2020 2:57:09 PM 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/142020/12/142020/12/14Dec-2014-Dec-20 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/142020/12/142020/12/14Monday, December 14, 2020 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/142020/12/142020/12/142020/12/1412/14/2020
∴PK＝PM＝PH
即点P到三边AB、BC、AC的距
思
离相等
考分析
若求证点P在∠BAC的平分线上，又该如何证明呢？
随堂演练
1．如图，在直线l上找出一点P，使
得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离
提相示等．：作∠AOB的平分线，交直线l 于P就是所求的点
（第 1 题）
练习：如图,求作一点P,使PC=PD,
求证：点P在∠AOB的平分线上．结论 ∴ OC平分 ∠AOB
证明： ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO= ∠PEO=900
A D
在Rt △PDO 与Rt △PEO中
1
∵PD=PE（已知）
O
2
P C
OP=OP（公共边）
∴Rt△PDO≌ Rt △PEO(H.L.)

沪科版八年级数学 15.4 角的平分线(学习、上课课件)

3. “画射线OC”不能叙述为“连接OC”，因为角平分线是射线而不是线段；
4. 依据作图可知△OMC≌△ONC，(SSS)所以OC平分∠AOB.
感悟新知
知1－练
例 1 如图15.4-2，已知∠AOB，求作：∠AOM，使 ∠AOM＝14∠AOB. 解题秘方：利用尺规作图作两次角平分线，可得原角的四分之一角.
③分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P； ④作直线AP交直线l于点新知
特别解读
知2－讲
1. 过一点作已知直线的垂线要分两种情况，点在直线上和点在直线外.
2. 经过直线上一点作这条直线的垂线，相当于作一个平角的平分线.
3. 大于12MN的长为半径画弧是为了保证两弧有交点. 4. 作直线AB，不能作线段或射线. 5. 过直线外一点作已知直线的垂线时，使K和A在直线l的两旁是为了
第15章轴对称图形与等腰三角形
15.4 角的平分线
学习目标
1 课时讲解作已知角的平分线
过一点作已知直线的垂线角平分线的性质角平分线性质定理的逆定理(角平
分线的判定)
2 课时流程三角形的角平分线的性质(拓展点)
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
感悟新知
知识点 1 作已知角的平分线
度. 两者缺一不可.
感悟新知
2. 几何语言如图15.4 - 6， ∵ OC平分∠AOB，P为OC上一点， PD⊥OA于点D， PE⊥OB于点E， ∴ PD＝PE.
知3－讲
感悟新知
知3－讲
特别提醒 ◆角平分线的性质是由两个条件(角平分线，垂线)得到
一个结论(线段相等). ◆利用角平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是

人教版-数学-八年级上册-12.3 角的平分线的性质(1) 教案

12.3 角的平分线的性质一、教学目标（一）核心素养（二）学习目标会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；探索并证明角平分线的性质；能用角的平分线的性质解决简单问题.（三）学习重点角的平分线的性质的证明及应用.（四）学习难点角的平分线的性质的探究.二、教学设计(一)课前设计预习任务用尺规作图作一个角的平分线的方法，其依据是SSS .角的平分线上的点到角的两边的距离相等.预习检测一、填空题1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC＝8cm，BD＝5cm，则点D到AB的距离为.答案：3cm解析：根据题意画出图形，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，D点到AB的距离即为DE 的长.∵∠BCA=90°∴AC⊥BC∵AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠CAB∴CD=DE∵BC=8cm，BD=5cm，CD=DE，BC=CD+BD∴DE=3cm即D点到直线AB的距离是3cm.点拨：根据角平分线的性质添加辅助线作答2.∠AOB的平分线上一点P，P到OA的距离为2.5cm，则P到OB的距离为cm.答案：2.5解析：∵P是∠AOB平分线上一点，点P到OA的距离是2.5cm，∴P到OB的距离等于点P到OA的距离，为2.5cm.因此，本题正确答案是:2.5.点拨：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答.二、选择题3.如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A.PD＝PEB.OD＝OEC.∠DPO＝∠EPOD.PD＝OD答案：D解析：A项；由角分线性质，正确B项；由角分线性质知PD＝PE，由HL知Rt△OEP≌△ODP，则两三角形全等知OD＝OE，正确.C项；同B项，由两三角形全等知∠DPO＝∠EPOD项；错误点拨：由题设可知OP为∠AOB的角平分线，PE为P到OB的距离，PD为P到OA的距离，再由角的平分线性质判断即可.可由角分线的性质找出相应的结论.(二)课堂设计1.知识回顾（1）三角形的判断方法有哪些？SSS，SAS，AAS，ASA，HL（2）三角形中有哪些重要线段？三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．（3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离.2.问题探究探究一角的平分线的作法●活动①请同学们拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线，然后与大家交流分享.【设计意图】通过学生动手实践，寻找作已知角的平分线的方法，目的是为了引入尺规作图作已知角的平分线.12BD●活动②如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC.将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，画一条射线AE ，AE 就是∠DAB 的平分线. 你能说明它的道理吗？让同学们把推理过程写在课堂作业本上，老师巡查学生完成情况，对个别学生进行引导，最后教师把有典型错误的解答过程展示出来，让同学们去纠正错误.【设计意图】为如何用尺规作图作已知角的平分线作铺垫.●活动③老师提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展示：已知：∠MAN求作：∠MAN 的角平分线.作法：（1）以A 为圆心，适当长为半径画弧，交AM 于B ，交AN 于D.（2）分别以 B.D 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠MAN 的内部交于点C.（3）画射线AC.∴射线AC 即为所求.分组讨论： 1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12BD的长”B这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠MAN的内部吗？学生讨论结果总结：1．去掉“大于12BD的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以B.D为圆心，大于12BD的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠MAN的内部，也可能在∠MAN的外部，而我们要找的是∠MAN内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠MAN的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．练一练：任意画一角∠AOB，作它的平分线．【设计意图】设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯探究二角的平分线的性质●活动①如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，三条折痕分别表示什么？你能得出什么结论？学生回答后师生归纳：OC表示∠AOB的角平分线，PD和PE分别表示P到OA和OB的距离，P到角两边的距离相等（PD=PE）【设计意图】让学生感知角平分线的性质.●活动②学生活动：作已知∠AOB的平分线，过平分线上一点P，作两边的垂线段.投影出下面两个图形，让学生评一评.结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质？师生共同归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话？已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D.E为垂足．由已知事项推出的事项：PD=PE．【设计意图】进一步理解角平分线的题设和结论.●活动③以上结论成立吗？让同学们独立进行证明，然后展示学生的证明过程：证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB (已知)∴∠PDO = ∠PEO=90°(垂直的定义)在△PDO和△PEO中∠PDO = ∠PEO（已证）∠AOC = ∠BOC （已知）OP=OP （公共边）∴△PDO ≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）于是我们得角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．符号语言：∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D.E.（已知）∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）【设计意图】展示符号语言的目的在于规范学生的书写过程，培养学生严谨的推理能力.探究三用角的平分线的性质解决简单问题●活动①应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．例1(1) 下面四个图中，点P都在∠AOB的平分线上，则图形( )中PD＝PE.A B C D【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】利用角平分线的性质时，非常重要的条件是PD和PE是到角两边的距离.【解答过程】选项A中如果增加一个条件OD＝OE，就能得出PD＝PE；选项B和C中PD不是到OA的距离；选项D中P到OA和OB的距离为PD和PE.【答案】D(2)下图中，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D.E，则图中PD＝PE吗？【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】已知没有告诉OC为∠AOB的平分线，由此PD与PE不相等.【解答过程】PD与PE不相等，因为OC不是∠AOB的平分线.（3）如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝2cm，则点D到AB的距离为cm．【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】过D作AB的垂线段DE，垂足为E，由BD平分∠ABC，可得DC=DE=2.【解答过程】解：过D作AB的垂线段DE，垂足为E，∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴DC=DE∵CD＝2cm，∴DE=2cm，即点D到AB的距离为2cm【答案】2练习：如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AC=7cm，则AD+DE= cm.EDCBA【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】由BD平分∠ABC，可得DC=DE，AD+DE=AD+DC=AC.【解答过程】解：∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴DC=DE∴AD+DE=AD+DC=AC.∵AC=7cm，∴AD+DE=7cm.【答案】7【设计意图】通过练习，理解角平分线的性质.●活动②例2如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20 000）？【知识点】角平分线的性质【思路点拨】1．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．在纸上画图时，我们经常以厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了．1 m=100 cm，所以比例尺为1:20 000，其实就是图中1 cm表示实际距离200 m的意思．作图如下：【答案】第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．第二步：在射线OP上截取OC=2.5 cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．练习：在S区有一个贸易市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？【知识点】角平分线的性质【思路点拨】过P分别作公路和铁路的垂线段，这两条垂线段就是P点到公路和铁路的最短距离.【答案】过P点分别作铁路和公路的垂线段，它们的数量关系为相等.●活动3例3如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，F在BC上，AD=DF 求证：CF=EA【知识点】角平分线的性质和三角形的判定和性质S公路铁路P初中-数学-打印版【思路点拨】证CF和EA所在的两个三角形全等【解答过程】证明：∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，∴DC=DE又∵AD=DF∴△DCF≌△DEA（HL）∴CF=EA练习：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．【知识点】角平分线的性质和全等三角形的判定【思路点拨】利用角平分线的性质可得OD=OE，证明△BOD ≌△COE可得OB=OC 【答案】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC，∴OD=OE，∠BDO=∠CEO=90°．∵∠BOD=∠COE，∴△BOD ≌△COE．∴OB=OC．3. 课堂总结知识梳理（以课堂内容为根据，结合教学目标的几点要求，对涉及到的知识细致梳理）（1）会用尺规作一个角的平分线，知道作法的理论依据；（2）探索并证明角平分线的性质；（3）能用角的平分线的性质解决简单问题.重难点归纳（本节课的中心知识点在此进行回顾，对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨）（1）角的平分线的性质的探究.（2）角的平分线的性质的证明及应用.（3）证明线段相等通常证明线段所在的两个三角形全等.初中-数学-打印版。

11.1.2 三角形的高、中线和角平分线初中数学人教版八年级上册教学课件

几何表达形式：如图，AD是△ABC的角平分线，或AD平分
∠BAC交BC于点D，或∠BAD=∠CAD= ∠1BAC. 2
三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线.
新知探究
知识点3 三角形的角平分线根据三角形角平分线的定义，任意画一个三角形，然后利用量角器画出这个三角形的三个角的角平分线，你发现了什么？
新知探究
知识点2 三角形的中线
定义：连接三角形的一个顶点和它所对的
边的中点，所得线段叫做三角形的这条边
A
上的中线.如图，AD就是△ABC的中线.
几何表达形式：如图，AD是△ABC的（边 B
D
C
BC上的）中线，或点D是边BC的中点，
则BD=CD= 1 BC. 2
新知探究
知识点2 三角形的中线根据三角形中线的定义，任意画一个三角形，然后利用刻度尺画出这个三角形的中线，你发现了什么？
B
01 23 4 5
01 23 4 5
A
D
C
新知探究
知识点1 三角形的高思考：三角形有几条高？一个三角形有三个顶点，应该有三条高.
你能用刚才学到的三角形画高的方法画出三角形的三条高吗？动手试一试吧！
新知探究
知识点1 三角形的高
思考：（1）这三种三角形
试一试分别画出锐角三角形、直角的三三角条形高、是钝在角三三角角形形的的内高部. 还是外部?（2）三条高之间
定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在
的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三
高
角形的这条边上的高，这条对边叫做三角形 B
┐
的底.如图，线段AD是边BC上的高.
D底
C
几何表达形式：如图，AD是△ABC（的边BC上）的高，或AD⊥BC 于点D，或∠BDA=∠CDA=90°.

安徽省八年级数学上册第15章角的平分线第1课时角平分线的画法pptx课件新版沪科版

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图，保留作图痕迹，不写作法).
解：如图， AG ， AH 即为所求.
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(2)线段
AG
的长度是点 A 到直线 BC 的距离；线段
＜
AG ， AH 的大小关系为 AG
AH (填“＞”“＜”
“＝”“≥”或“≤”).理由是在连接直线外一点
与直线上各点的线段中，垂线段最短
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6. [2024·襄阳月考]如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， BD 是
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ห้องสมุดไป่ตู้
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4. 如图，在△ ABC 中，∠ B ＝42°，∠ C ＝50°，通过尺
规作图，得到直线 DE 和射线 AF ，仔细观察作图痕迹，
则∠ EAF 的度数为
23°
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5. [2024·芜湖月考](1)如图，过点 A 画直线 BC 的垂线，垂足
为点 G ；过点 A 画直线 AB 的垂线，交 BC 于点 H (尺规作
第15章
轴对称图形与等腰三角形
15.4
第1课时
角的平分线
角平分线的画法
CONTENTS
目
录
01
核心必知
02
1星题
基础练
03
2星题
中档练
1. 作角平分线：如图，以点 O 为圆心，任意长为半径画弧分
别交 OA ， OB 于点 M ， N ，然后分别以点 M ， N 为

北师大版八年级数学下册垂直平分线与角平分线讲义word版

子击出，遭田子方于道，下车伏谒。

子方不为礼。

子击怒，谓子方曰：“富贵者骄人乎？贫贱者骄人乎？”子方曰：“亦贫贱者骄人耳！富贵者安敢骄人！国君而骄人，则失去国：大夫而骄人则失去家。

失其国者未闻有以国待之者也，失其家者未闻有以家待之者也。

垂直平分线与角平分线主讲教师:XX我们一起回顾1、垂直平分线2、角平分线重难点易错点解析垂直平分线ACADBCBD.则有（=）题-：=,ABCDCDAB分垂直平分BA・・MG?⑵少平分Z互相垂角平分线OPAOBPAOAPBOBAB.下列结论中不•定成立的丄，垂足分别为，题二：如图，平分Z丄，，是（）PAPBPOAPBOAOBABOP垂苴平分b D平分Z・C・A・==O金题精讲ABACAGfNABDACE.于于题•：如图，交，的垂直平分线交個8的度数；）若Z =40° ,求Z （1AEBCDABC的周长・，求2\, （）若=5的周长17初中生物教案.试陋试卷-1 -子击出•遭田子方于道.下车伏谒.子方不为礼。

子击怒.谓子方曰：“富贵者轿人乎？贫贱者骄人乎？"子方曰：“亦贫般者脐人耳！富贵者安敢廨人！国廿而骄人.则失去国：大夫而骄人则失去家。

失其国者未闻有以国待Z者也.失其BCPEABCACBPACABCAAB 于,Z 点，在 Rt △中，Z 的平分线交于=90° ,丄=3, =4, Z 题二：PEE的长.ACBCEFADABCADAB,题三：如图，为△的延长线于点的角平分线，于点的中垂线交、交妙于.交于点 ODBBODB +Z)求证：Z3=Z ； (2)连接=180° 求证：Z (1ABCDACACCBCADBAC. =90° ,二+题四：如图，厶是Z 二的角平分线.求证:家者未闻冇以家待z 者也,思维拓展伽勿他题-•：小倣做了 •个如图所示的“风筝”骨架，其中二，二.初中生物教案. 试题、试卷-2 -子击出•遭田子方于道.下车伏谒。

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内容基本要求略高要求较高要求角、角分线会识别角并会表示；认识角、分、秒，并会进行简单换算；会度量角的大小并进行简单计算；会比较两个角的大小；了解角平分线的概念并会表示会尺规作图：作一个角等于已知

角，做已知角的角平分线；会用角平分线的性质解决简单问题；会结合图形认识角与角之间的数量关系

板块一基本概念知识点角的定义定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边. 角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．

定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，

终止位置的那条射线叫做角的终边. (1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知：（1）角的组成部分为：两条边和一个顶点；（2）顶点是这两条边的交点；

例题精讲中考要求角（3）角的两条边是射线，是无限延伸的. （4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.

知识点角的表示方法 ① 利用三个大写字母来表示，如图1.1．

AOB图1.1O

A 注意顶点一定要写在中间．也可记为BOA，但不能写成BAO或ABO等． ② 利用一个大写字母来表示，如图1.2．

A图1.2A

注意用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个． ③ 用数字来表示角，如图2.1．

1图2.11

④ 用希腊字母来表示角，如图2.2． α图2.2α

【例1】角是由有的两条射线组成的图形，两条射线的是这个角的顶点，角也可以看成是由一条射线．【巩固】下列语句正确的是（） ①角的大小与边的长短无关。 ②如果一个角能用一个大写字母A表示，那么以A为顶点的角只有一个 ③如果一个角能表示为1，那么以1顶点为顶点的角只有一个。 ④两条射线组成的图形叫做角 A ①、② B ①、③ C ①、④ D ②、③

【例2】如图，角的顶点是，边是，用三种方法表示该角分别为．

B

【巩固】下列图中角的表示方法正确的个数有（）

AOB是平角

直线是平角

CAB

ABC

BOABABACCB

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【巩固】在右图中，角的表示方法正确的是（） A．A B．B C．C D．D

BCDEO

【巩固】如图，以B为顶点的角共有几个?请把它们写出来，以D为顶点的角呢?

【例3】下图中，以A为顶点的角是_________。有一边与射线FD在同一条直线上的角有__________个。 HGF

EDCB

【例4】判断（）一条射线绕它的端点旋转一周所成的角是平角．（）用2倍的放大镜看30的角，这个角就变成了60．（）由两条射线组成的图形叫做角．（）延长一个角的两边．（）平角就是一条直线；周角就是一条射线．

板块二角度运算（一）角度换算知识点单位换算 1度＝60分(160) 1分=60秒(160)

【例5】（1）32.43__________ （2）654312_____

【例6】（1）2020'4______。（2）4437'3______ 【巩固】（1）77423445______；（2） 108185623____；（3） 180(34542133)_______；（4）23295837______；（5）513932532______；（6） 13533157435______ （7）57.32_________；（8） 122342_______

【例7】在小于平角的范围内，用一对普通的三角板能画出确定度数的角有（）个 A．4个 B．7个 C．11个 D．16个

（二）角度求解知识点角的度量（1）度量角的工具常用量角器用量角器注意：对中（顶点对中心）、重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）、读数（读出角的另一边所在线的度数）（2）角的度量单位及其换算角的度量单位是度、分、秒．把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1．把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1．角度之间的关系 1周角=360 1平角＝180 1直角＝90

1周角＝2平角 1平角＝2直角

角的分类：锐角（090），直角（90），钝角（90180）．

知识点两角的和、差、倍、分（1）两角的和、差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分. （2）从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线. （3）角平分线的画法：①用量角器②用折叠法在一张透明纸上画一个角，记为∠PQR，折线使射线QR与射线QP重合，把纸展开，以Q 为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是∠PQR的平分线.说说为什么这条线平分∠PQR？

用尺规做已知角的平分线方法作法：（1）以O点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于AB、两点；（2）分别以A、B两点为圆心，以大于12AB长为半径画弧，画弧交于C点；（3）过C点作射线OC。所以，射线OC就是所求作的。

OCBA 【例8】如图所示，90AOBCOD，160AOD，求BOC度数．

ABC

DO 【巩固】如图，直线AB，CD相交于点O，作DOEBOD，OF平分AOE，若28AOC，求EOF．

DEFO 【巩固】如图所示，将一副三角尺的直角顶点重合在一起．（1）DOB与DOA的比是211∶，求BOC的度数．（2）叠合所成的BOCn°(090n)，则AOD的补角的度数与BOC的度数之比是多少？

ODCBA

【例9】如图所示，80AOB，OC是AOB内部的任意一条射线，若OD平分BOC，OE平分AOC，试求DOE的度数．

EDC

AO 【巩固】如图1，OM平分AOB，ON平分COD，若50MON，10BOC，求AOD的小．

NMABC

图1

【例10】已知：如图，OC是AOB外的一条射线，OE平分AOC．OF平分BOC． ①若100AOC，40BOC，问：?EOF ②若AOBn，求EOF的度数并说明理由．

OCF

【例11】 BOC为AOC外的一个锐角，射线OM、ON分别平分AOC、BOC．（1）90AOB°，30BOC°，求MON的度数；（2）AOB，30BOC°，求MON的度数；（3）90AOB°，BOC，还能否求出MON的度数吗？若能，求出其值，若不能，说明理由．（4）从前三问的结果你发现了什么规律？ CNBMAO 【巩固】如图：OE是直角AOB的角平分线，OD是BOC的角平分线，若70EOD，求BOC的度数．

BCD

【巩固】如图，AOC是直角，21.5COD，且OBOD，分别是AOC、BOE的平分线，求AOE的大小.

ODC

A 【例12】已知：OA、OB、OC是从点O引出的三条射线85AOB，4136'BOC，求AOC.

【巩固】已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB与OC，使60AOB，20BOC，求AOC的度数.

【例13】已知，都是钝角，计算16，正确的结果只可能是（） A．26 B．40 C．72 D．90