2019-2020学年新教材高中数学质量检测2一元二次函数方程和不等式

合集下载

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识集锦(带答案)

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识集锦单选题1、若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，则不等式a (x 2+1)+b(x −1)+c >2ax 的解集是（）A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0或x >3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |−1<x <3} 答案：A分析：由题知{ba =−1ca=−2，a <0，进而将不等式转化为x 2−3x <0，再解不等式即可. 解：由a (x 2+1)+b (x −1)+c >2ax ，整理得ax 2+(b −2a )x +(a +c −b )>0 ①．又不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，所以a <0，且{(−1)+2=−ba (−1)×2=c a ，即{ba =−1ca=−2②．将①两边同除以a 得：x 2+(b a −2)x +(1+ca −ba )<0③．将②代入③得：x 2−3x <0，解得0<x <3．故选：A2、不等式1+5x −6x 2>0的解集为（） A ．{x |x 〉1或x <−16}B ．{x |−16<x <1} C ．{x |x 〉1或x <−3}D ．{x |−3<x <2} 答案：B分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘−1，再利用十字相乘法，可得答案，法一：原不等式即为6x 2−5x −1<0，即(6x +1)(x −1)<0，解得−16<x <1，故原不等式的解集为{x |−16<x <1}．法二：当x =2时，不等式不成立，排除A ，C ；当x =1时，不等式不成立，排除D ．故选：B ．3、若不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则a +b =（） A ．−2B ．0C ．1D ．2 答案：D分析：根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组，可解出答案．不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则方程ax 2+bx −2=0根为−2、1，则{−ba =−2+1−2a =−2×1，解得a =1,b =1，∴a +b =2，故选：D4、若关于x 的不等式x 2−6x +11−a <0在区间(2,5)内有解，则实数a 的取值范围是（） A ．(−2,+∞)B ．(3,+∞)C ．(6,+∞)D ．(2,+∞) 答案：D分析：设f(x)=x 2−6x +11，由题意可得a >f(x)min ，从而可求出实数a 的取值范围设f(x)=x 2−6x +11，开口向上，对称轴为直线x =3，所以要使不等式x 2−6x +11−a <0在区间(2，5)内有解，只要a >f(x)min 即可，即a >f(3)=2，得a >2，所以实数a 的取值范围为(2,+∞)，故选：D5、若非零实数a ，b 满足a 2C ．1ab2<1a 2bD ．a 2+a 1，A 不成立；取a =−2,b =1，满足a b 2+b ，D 不成立．故选：C6、在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足的不等式为（） A ．4×x 0.5≥100B ．4×x 0.5≤100C ．4×x0.5>100D ．4×x0.5<100 答案：C分析：为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间. 导火索燃烧的时间x0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×x 0.5m ．由题意可得4×x0.5>100．故选：C. 7、不等式x−1x+2<0的解集为（）A ．{x|x >1}B ．{x|x <−2}C ．{x|−2<x <1}D ．{x|x >1或x <−2} 答案：C解析：由x−1x+2<0等价于(x −1)(x +2)<0，进而可求出不等式的解集. 由题意，x−1x+2<0等价于(x −1)(x +2)<0，解得−2<x <1，所以不等式x−1x+2<0的解集为{x|−2<x <1}.故选：C.小提示：本题考查分式不等式的解集，考查学生的计算能力，属于基础题. 8、下列说法正确的为（） A ．x +1x ≥2 B ．函数y =2√x 2+3的最小值为4C ．若x >0,则x(2−x)最大值为1D．已知时，a+4a−3≥2√a⋅4a−3，当且仅当a=4a−3即a=4时，a+4a−3取得最小值8答案：C分析：利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.对于选项A,只有当x>0时，才满足基本不等式的使用条件，则A不正确；对于选项B,y=2√x2+3=2√x2+3=2√x2+3√x2+3√x2+3=t(t≥√3)，即y=2t+2t (t≥√3)在[√3,+∞)上单调递增，则最小值为y min=2√3+√3=8√33,则B不正确；对于选项C,x(2−x)=−(x2−2x+1)+1=−(x−1)2+1≤1，则C正确；对于选项D,当时，a+4a−3=a−3+4a−3+3≥2√(a−3)⋅4a−3+3=7，当且仅当a−3=4a−3时，即a=5，等号成立，则D不正确.故选：C.多选题9、若a,b均为正数，且a+2b=1，则下列结论正确的是（）A．ab的最大值为18B．1a +2b的最小值为9C．a2−b2的最小值为−13D．a2+b2的最小值为15答案：ABD分析：对于A，B，利用均值不等式或“1”的妙用计算判断；对于C，D化成关于b的二次函数即可判断作答. 因a,b均为正数，且a+2b=1，则有ab=12⋅a⋅2b≤12⋅(a+2b2)2=18，当且仅当a=2b=12时取“=”，即ab的最大值为18，A正确；1 a +2b=(a+2b)(1a+2b)=5+(2ba+2ab)≥5+2√2ba⋅2ab=9，当且仅当a=b=13时取“=”，即1a+2b的最小值为9，B正确；3a>3a>显然00，b >0，则下列命题成立的有（） A ．若ab =1，则a 2+b 2≥2B ．若ab =1，则1a +1b ≥2 C ．若a +b =1，则a 2+b 2≤12D ．若a +b =1，则1a +1b ≥4 答案：ABD分析：利用基本不等式逐项判断.A.若ab =1，则a 2+b 2≥2ab =2，当且仅当a =b =1时，等号成立，故正确；B.若ab =1，则1a+1b ≥2√1ab=2当且仅当a =b =1时，等号成立，故正确；C.若a +b =1，则a 2+b 2≥12(a +b )2=12，当且仅当a =b =1时，等号成立，故错误； D.若a +b =1，则1a +1b =a+b ab=1ab ≥1(a+b 2)2=4，当且仅当a =b =1时，等号成立，故正确；故选：ABD11、（多选）已知a 、b 均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（） A ．a +b √ab ≥3B ．(a +b )(1a +1b)≥4 C ．22√ab≥a +b D ．√a+b≥√ab答案：AD分析：A 选项，利用基本不等式a +b ≥2√ab 和2√ab +√ab≥2√2√ab √ab可得出该不等式的正误；B 选项，将不等式左边展开，然后利用基本不等式可验证该选项中的不等式是否成立；C 选项，利用基本不等式a 2+b 2≥(a+b )22以及√ab ≤a+b 2可验证该选项中的不等式是否成立；D 选项，取特殊值验证该选项中的不等式是否成立.对于A ，a +b √ab≥2√ab +√ab≥2√2<3，当且仅当a =b =√22时等号同时成立；对于B ，(a +b )(1a +1b)=2+a b +b a ≥2+2√a b ⋅ba =4，当且仅当a =b 时取等号；对于C ，22√ab≥22√ab≥(a+b )2a+b=a +b ，当且仅当a =b 时取等号；对于D ，当a =12，b =13时，√a+b=13√6=√215，√ab =√16，√16>√215，所以√a+b<√ab .故选AD.小提示：本题考查利用基本不等式验证不等式是否成立，再利用基本不等式时要注意条件“一正、二定、三相等”的成立，考查推理能力，属于中等题. 12、下列命题不正确的（）A ．1a <1b <0⇒|a|>|b|B ．ac >bc ⇒a >bC ．a 3>b 3ab >0}⇒1a <1bD ．a 2>b 2ab >0}⇒1a <1b 答案：ABD分析：利用不等式的性质，结合特殊值法、比较法逐一判断即可.A ：∵1a <1b <0∴ab >0且−1a >−1b >0，因此−1a ⋅ab >−1b ⋅ab >0⋅ab ，即−b >−a >0⇒|−b |>|−a |>0⇒|b |>|a |，故本命题不正确； B ：因为4−2>8−2，显然4>8不成立，所以本命题不正确；C ：由a 3>b 3⇒a 3−b 3=(a −b)(a 2+ab +b 2)>0，而ab >0，所以有a >b ，而1a −1b =b−a ab<0⇒1a <1b ，故本命题正确；D ：若a =−2,b =−1，显然{a 2>b 2ab >0成立，但是1−2<1−1不成立，故本命题不正确，故选：ABD小提示：方法点睛：关于不等式是否成立问题，一般有直接运用不等式性质法、特殊值法、比较法. 13、已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（） A ．若a >b ，c >d ，则a -d >b -c B ．若a >b ，c >d 则ac >bd C ．若ab >0，bc -ad >0，则ca >db D ．若a >b ，c >d >0，则ad >bc答案：AC分析：根据不等式的性质和特殊值法逐项分析可求得答案. 解：由不等式性质逐项分析：A 选项：由c >d ，故−c <−d ，根据不等式同向相加的原则a −d >b −c ，故A 正确B 选项：若a >0>b ，0>c >d 则ac <bd ，故B 错误；C 选项：ab >0，bc −ad >0，则bc−ad ab>0，化简得c a−db>0，故C 正确；D 选项：a =−1，b =−2，c =2，d =1则ad =bc =−1，故D 错误. 故选：AC 填空题 14、函数f(x)=√ax 2+3ax+1的定义域是R ，则实数a 的取值范围为________．答案：[0,49)分析：由题知不等式ax 2+3ax +1>0恒成立，进而分a =0和a ≠0两种情况讨论求解即可. 解：因为函数f (x )的定义域是R . 所以不等式ax 2+3ax +1>0恒成立．所以，当a =0时，不等式等价于1>0，显然恒成立；当a ≠0时，则有{a >0Δ<0，即{a >09a 2−4a <0，解得0<a <49.综上，实数a 的取值范围为[0,49).故答案为: [0,49)15、方程x 2−(2−a )x +5−a =0的两根都大于2，则实数 a 的取值范围是_____．答案：−5<a ≤−4分析：根据一元二次方程根的分布即可求解.解：由题意，方程x 2－(2－a)x +5－a =0的两根都大于 2，令f (x )=x 2－(2－a)x +5－a ，可得{△≥0f(2)>02−a 2>2，即{a2≥16a+5>02−a>4，解得－5<a≤－4．所以答案是：−5<a≤−4.16、为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的取值范围为___________.答案：10≤V≤40分析：根据题意列出不等式，最后求解不等式即可.第一次操作后，利下的纯药液为V−10，第二次操作后，利下的纯药液为V−10−V−10V×8，由题意可知：V−10−V−10V×8≤V⋅60%⇒V2−45V+200≤0⇒5≤V≤40，因为V≥10，所以10≤V≤40，所以答案是：10≤V≤40解答题17、解关于x的不等式：x2−(3a−1)x+2a2−2a>0．答案：见解析分析：根据条件得[x−(a−1)](x−2a)>0，讨论a−1与2a的大小,求解即可.原不等式可化为[x−(a−1)](x−2a)>0，讨论a−1与2a的大小．（1）当a−1>2a，即a<−1时，不等式的解为{x|x〉a−1或x<2a}；（2）当a−1=2a，即a=−1时，不等式的解为{x∈R|x≠−2}；（3）当a−1<2a，即a>−1时，不等式的解为{x|x〉2a或x<a−1}.综上：当a<−1时，不等式的解为{x|x〉a−1或x<2a}；当a=−1时，不等式的解为{x∈R|x≠−2}；当a>−1时，不等式的解为{x|x〉2a或x<a−1}.18、已知关于x的不等式mx2+5x+m<0，m∈R．（1）若m =2，则求上述不等式的解集；（2）若上述不等式对一切x ∈R 恒成立，则求m 的取值范围．答案：（1）(−2,−12)；（2）m <−52．分析：（1）代入参数，解一元二次不等式求解集即可；（2）由不等式在x ∈R 上恒成立，讨论m =0、m ≠0，结合二次函数的性质求m 的范围．（1）将m =2代入不等式，得：2x 2+5x +2<0，即(2x +1)(x +2)<0，得−2<x <−12， ∴不等式的解集为(−2,−12)；（2）∀x ∈R,mx 2+5x +m <0恒成立，1）当m =0时，有5x <0，显然不恒成立，舍去；2）当m ≠0时，由二次函数的性质得：{m <0Δ=25−4m 2<0，解得m <−52； ∴综上，有m <−52.。

新人教A版高中数学必修一第二章一元二次函数、方程和不等式拔高检测题 (2)

新人教A 版高中数学必修一第二章一元二次函数、方程和不等式拔高检测题 (2)一、单选题1．已知m ，n 是正实数，且1m n +=，则12m n+的最小值是（）. A．3 B．3+C ．92D ．52．已知正数a,b 满足ab ＝10,则a ＋b 的最小值是( ) A ．10B ．25C ．5D．3．设x ，y 均为负数，且1x y +=-，那么1xy xy+有（）. A ．最大值174-B ．最小值174-C ．最大值174D ．最小值1744．已知0a >，0b >，2a b A +=，B =2abC a b=+，则A ，B ，C 的大小关系为（）. A ．A B C ≤≤B ．AC B ≤≤C ．B C A ≤≤D ．C B A ≤≤5．若不等式a 2+b 2+2＞λ（a+b ）对任意正数a ，b 恒成立，实数λ的取值范围是（） A ．B ．（﹣∞，1）C ．（﹣∞，2）D ．（﹣∞，3）6．若,,a b c 为实数，则下列命题错误的是( ) A ．若22ac bc >，则a b > B ．若0a b <<，则22a b < C ．若0a b >>，则11a b< D ．若0a b <<,0c d >>，则ac bd <7．已知a b c >>，下列不等关系一定成立的是（） A ．2ac b ab bc +>+ B ．2ab bc b ac +>+ C ．2ac bc c ab +>+ D ．22a bc b ab +>+8．已知,αβ满足11123αβαβ-≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，，则3αβ+的取值范围是( )A ．137αβ≤+≤B ．313αβ+-5≤≤C ．37αβ+-5≤≤D ．1313αβ+≤≤ 9．若0x y <<，则下列不等式不成立的是（） A ．2211x y -<- B ．()22*nn xy n <∈NC ．()2121*n n xyn ++<∈ND ．11y x x>- 10．已知“1a >且1b >”，则与此判断等价的是（） A ．2a b +>且1ab > B ．2a >且0b > C ．0a >且0b >D ．10a ->且10b ->11．若不等式212x mx x m ++>+对满足2m <的所有实数m 恒成立，则实数x 的取值范围是（） A ．22x -<< B ．3x ≥C ．1x ≤D ．1x ≤-或3x ≥12．若关于x 的不等式23ax -＜的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a =（） A ．2- B ．2 C ．3D ．3-二、填空题13．如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角）．若15,25,30AB m AC m BCM ==∠=︒，则tan θ的最大值为_______．14．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 1＝b 1>0，a 3＝b 3>0，a 1≠a 3，则a 5与b 5的大小关系为________． 15．已知-13a b <+<，且24a b <-<，那么23a b +的取值范围是_________. 16．有下列四个命题：①若“1xy=,则,x y 互为倒数的逆命题；②面积相等的三角形全等的否命题；③“若m 1≥,则2x 2x m 0-+=有实数解”的逆否命题；④“若A B A =,则A B ⊆”的逆否命题.其中真命题为_____17．设,a b 为正实数，则下列结论：①若221a b -=，则1a b -<；②若111b a-=，则1a b -<；1=，则1a b -<；④若1,1a b ≤≤，则1a b ab -<-.其中正确的有______．18．设直线l ：a 2x ＋4y －a ＝0(a ＞0)，当此直线在x ，y 轴上的截距之和最小时，直线l 的方程为________．三、解答题19．设矩形ABCD （其中AB BC >）的周长为24，如图所示，把它沿对角线AC 对折后，AB 交DC 于点P .设AB x =，求ADP △的最大面积.20．设桌面上有一个由铁丝围成的封闭曲线，周长是2L .回答下面的问题：（1）当封闭曲线为平行四边形时，用直径为L 的圆形纸片是否能完全覆盖这个平行四边形？请说明理由.（2）求证：当封闭曲线是四边形时，正方形的面积最大. 21．关于x 的方程2(1)430m x x m -+--=. (1)求证:方程总有实根.(2)若方程的解集中只含有正整数,求整数m 的值.22．已知函数2*()2,(,)f x ax x c a c N =++∈满足①(1)5f =；②6(2)11f <<．(1)求函数()f x 的解析表达式；（2）若对任意[]1,2x ∈，都有()21f x mx -≥成立，求实数m 的取值范围．23．在一个限速40km /h 的弯道上，甲.乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m .又知甲，乙两种车型的刹车距离s m 与车速x km /h 之间分别有如下关系：20.10.01s x x =+甲，20.050.005s x x =+乙.问超速行驶谁应负主要责任?24．为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y （单位：件）与销售单价x （单位：元）之间的关系近似满足一次函数：10500y x =-+．（1）设他每月获得的利润为w （单位：元），写出他每月获得的利润w 与销售单价x 的函数关系．（2）相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果他想要每月获得的利润不少于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？25．已知命题p ：{}12x x x ∀∈<≤≤，2210x ax -+>恒成立；命题q ：x ∃∈R ，()2110x a x +-+<.（1）若p 是真命题，求a 的取值范围；（2）若p 、q 一真一假，求a 的取值范围. 26．关于x 的方程x 2－2x ＋a ＝0，求a 为何值时： (1)方程一根大于1，一根小于1；(2)方程一个根在(－1,1)内，另一个根在(2,3)内； (3)方程的两个根都大于零？参考答案1．B 【解析】【分析】由题意将所给的代数式进行恒等变形，然后结合均值不等式的结论即可求得最小值. 【详解】由题意可得：()12122333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当12m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩时等号成立.据此可得12m n+的最小值是3+故选：B . 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法，“1”的灵活巧妙应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．D 【解析】【分析】根据基本不等式求最值，即得结果. 【详解】a b +≥=a b ==D .【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．D 【解析】【分析】设a x =-，b y =-，由题意结合均值不等式可得ab 的取值范围，然后结合函数1y x x=+的图像即可确定1xy xy+的性质与最值.【详解】设a x =-，b y =-，则0a >，0b >.由1a b +=≥14ab ≤. 由函数1y x x =+的图像得，当104ab <≤时，1ab ab +在14ab =处取得最小值， 11117444xy ab xy ab ∴+=++=≥，当且仅当12x y ==-时取等号成立. 综上可得，1xy xy +有最小值174. 故选：D .【点睛】本题主要考查对勾函数的应用，基本不等式求最值的方法，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．D 【解析】【分析】由题意结合均值不等式可比较AB 的大小，然后结合不等式的性质比较BC 的大小即可. 【详解】由于0a >，0b >，故a b +≥，则2a b+≥，即A B ≥，结合02a b +<≤2a b≥+，两边乘以ab 2ab a b ≥+，即B C ≥.据此可得：C B A ≤≤. 故选：D . 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。

新教材高中数学人教版精品第二章一元二次函数、方程和不等式专题3 一元二次不等式恒成立问题

第二章一元二次函数、方程和不等式专题3 一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题是数学中常见的问题，在高考中频频出现，是高考的一个难点问题。

含参一元二次不等式恒成立问题设计二次函数的性质和图象，渗透着换元、划归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力。

【题型导图】类型一实数集R 上的不等式恒成立问题例1：若一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数 x 恒成立，则 k 的取值范围是（） A ．3,0 B ．(]3,0- C ．(,3]-∞- D ．(0,)+∞【变式1】“0a >”是“一元二次不等式20ax bx c ++>恒成立”的A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式2】设a 为实数，若关于x 的一元二次不等式20x x a ++>恒成立，则a 的取值范围是_____.【变式3】若不等式()270x mx m -++>在实数集R 上恒成立，求m 的取值范围. 类型二在给定区间上一元二次不等式恒成立问题例2.(]1,3x ∀∈，一元二次不等式2-(2)20x m x m +++≥恒成立．．．，则m 的取值范围是（） A ．()2,2- B ．52⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．[]22-,D ．(]2-∞，【变式1】（2021·全国高一课时练习）当[]13x ∈，时，一元二次不等式2280x x a -+-≤恒成立，求实数a 的取值范围.【变式2】（2021·吉林白城市·白城一中高一月考）已知二次函数222y x ax =++. 若15x ≤≤时，不等式3y ax >恒成立，求实数a 的取值范围.【变式3】若14x <≤时，不等式()2241x a x a -++≥--恒成立，求实数a 的取值范围.类型三已知参数范围的一元二次不等式恒成立问题例3.（2021·全国高一课时练习）关于x 的函数y =x 2-（a +1）x +2a 对于任意a ∈[-1，1]的值都有y >0，求实数x 的取值范围.【变式1】（2021·全国）已知不等式2210mx mx --<．（1）若对于所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；（2）设不等式对于满足||1m ≤的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．【变式2】当[]2,3a ∈时，不等式210ax x a -+-≤恒成立，求x 的取值范围．【变式3】设函数2()(1)2f x ax a x a =+-+-.（1）若关于x 的不等式()2f x ≥-有实数解，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()2f x ≥-对于实数[]1,1a ∈-时恒成立，求实数x 的取值范围；【限时训练】1．若关于x 的不等式210ax ax ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围是_________; 2．若2(1)(1)30m x m x +-++>对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是__________. 3．（2021·全国）命题“对任意实数x ，ax 2－2ax －3≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．4．（2021·江苏高一单元测试）设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立.若p 为真命题，则实数m 的取值范围是___________.5．（2021·江苏）设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立，命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则实数m 的取值范围是___________.6．（2021·全国高一）已知y ＝x 2＋ax ＋3－a ，若－2≤x ≤2，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，求a 的取值范围．7．若二次函数满足f （x ＋1）－f （x ）＝2x 且f （0）＝1.（1）求f （x ）的解析式；（2）若在区间[－1，1]上不等式f （x ）>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围.8．（2021·全国高一课时练习）设函数2y x mx n =++，已知不等式0y <的解集为{}|14x x <<.（1）求m 和n 的值；（2）若y ax ≥对任意0x >恒成立，求a 的取值范围.9．（2021·全国高一课时练习）已知函数2(1)2f x x x =++. （1）求关于x 的不等式2()(0)f x b b ≥≥的解集；（2）若不等式22[()]2()10f x mf x m -+-≥对于任意[32]x ∈-，都成立，求m 的取值范围.10．（2021·全国高一专题练习）已知函数()211f x x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭. （1）若不等式()0f x <解集为1{2}2x x <<时，求实数a 的值；（2）[]1,2a ∀∈时，()0f x ≥恒成立，求实数x 的取值范围.。

高一数学新教材A版一元二次函数、方程和不等式(综合测试卷)经典练习题

《一元二次函数、方程和不等式》综合测试卷一、单选题1．（2020·安徽蚌埠·高三其他（文））设集合{2,2,4,6}A =-，{}2120B x x x =+-<，则A B =（）A ．(2,2)-B ．{2,0,2}-C ．{2,4}D ．{2,2}-2．（2020·全国高一课时练习）若12,x x 是一元二次方程22630x x -+=的两个根，则12x x -的值为（）A ．3B C ．3D 3．（2020·陕西西安·高三二模（理））已知a ，b 为非零实数，且0a b <<，则下列命题成立的是（） A ．22a b ”是“12a a+≥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2020·全国高一课时练习）若方程()2250x m x m ++++=只有正根，则m 的取值范围是（） A ．4m ≤-或4m ≥ B ．54m -<≤- C ．54m -≤≤-D ．52m -<<-7．（2020·荆州市北门中学高一期末）若110a b<<，则下列不等式：①a b ab +<；②||||a b >；③a b <；④2b aa b+>中，正确的不等式是（） A ．①④B ．②③C ．①②D ．③④8．（2020·浙江高一课时练习）“关于x 的不等式2x 2ax a 0-+>的解集为R”的一个必要不充分条件是 ( ) A ．0a 1<9．（2020·全国高一课时练习）将一根铁丝切割成三段，做一个面积为22m ，形状为直角三角形的框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合理共用且浪费最少的是( ) A ．6.5mB ．6.8mC ．7mD ．7.2m10．（2020·浙江高一单元测试）已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（） A ．8 B ．6C ．4D ．2二、多选题11．（2020·南京市秦淮中学高二期末）已知命题1:11p x >-，则命题成立的一个必要不充分条件是（）A ．12x <>，则下列不等式中一定不成立的是（） A ．11b b a a +>+ B ．11a b a b+>+ C ．11a b b a+>+ D ．22a b aa b b+>+14．（2020·浙江高一单元测试）已知,a b R +∈且1a b +=，那么下列不等式中，恒成立的有（）．A ．14abB ．1174ab ab +C 2bD ．11222a b+ 三、填空题15．（2020·荆州市北门中学高一期末）不等式221x x -≥-的解集是________. 16．（2020·全国高一课时练习）设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ，那么23βα-的取值范围是________． 17．（2020·全国高一课时练习）设a >0，b >0，给出下列不等式： ①a 2＋1>a ；②114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；③(a ＋b )11a b ⎛⎫+⎪⎝⎭≥4；④a 2＋9>6a . 其中恒成立的是________.(填序号) 四、双空题18．（2020·浙江瓯海·温州中学高三一模）《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少．问人数、猪价各多少？”.设,x y 分别为人数、猪价，则x =___，y =___. 19．（2020·山东高三其他）已知正实数,a b 满足10ab b -+=，则14b a+的最小值是__________，此时b =_________.20．（2020·曲靖市第二中学（文））已知x >0，y >0，且x +2y =xy ，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则xy 的最小值为_____，实数m 的取值范围为_____.21．（2020·山东威海·高三一模）为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为22400m 的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为228m ，月租费为x 万元；每间肉食水产店面的建造面积为220m ，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为_________种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则x 的最大值为_________万元．五、解答题22．（2020·全国高一课时练习）（1）已知0x >，求4y x x=+的最小值．并求此时x 的值；（2）设302x <<，求函数4(32)y x x =-的最大值；（3）已知2x >，求42x x +-的最小值；（4）已知0x >，0y >，且191x y+=，求x y +的最小值； 23．（2020·全国高一课时练习）已知x ，y 都是正数.求证：()12y xx y+≥； ()2()()()2233338.x y x y x y x y +++≥24．（2020·全国高一课时练习）日常生活中，在一杯含有a 克糖的b 克糖水中，再加入m 克糖，则这杯糖水变甜了.请根据这一事实提炼出一道不等式，并加以证明.25．（2020·全国高一课时练习）如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）．26．（2020·浙江高一课时练习）已知关于x 的不等式2260(0)kx x k k -+<≠．（1）若不等式的解集是{|3x x <-或2}x >-，求k 的值．（2）若不等式的解集是1xx k ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭∣，求k 的值．（3）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围．（4）若不等式的解集是∅，求k 的取值范围．27．（2020·宁夏兴庆·银川一中高一期末）解关于x 的不等式()222ax x ax a R -≥-∈.《一元二次函数、方程和不等式》综合测试卷一、单选题1．（2020·安徽蚌埠·高三其他（文））设集合{2,2,4,6}A =-，{}2120B x x x =+-<，则A B =（）A ．(2,2)-B ．{2,0,2}-C ．{2,4}D ．{2,2}-【答案】D 【解析】{}2120{|43}B x x x x x =+-<=-<<，∴{2,2}A B =-．故选：D ．2．（2020·全国高一课时练习）若12,x x 是一元二次方程22630x x -+=的两个根，则12x x -的值为（）A B C ．3D 【答案】B 【解析】3624120∆=-=>，故方程必有两根，又根据二次方程根与系数的关系，可得1212332x x x x +==，，所以12x x -=== 故选：B .3．（2020·陕西西安·高三二模（理））已知a ，b 为非零实数，且0a b <<，则下列命题成立的是（） A ．22a b >,故C 不正确；对于选项D,令1a =-,1b =时,1b aa b =-=,故D 不正确；对于选项B,220a b ab >>,则22110ab a b<<故选：B4．（2020·全国高一课时练习）已知52x ，则()24524x x f x x -+=-有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1【答案】D 【解析】2245(2)1111()(2)2(1242(2)222x x x f x x x x x x -+-+⎡⎤===-+⨯=⎢⎥---⎣⎦当且仅当122x x -=-即3x =时取等号，故选：D ．5．（2019·宁波市第四中学高二期中）已知a R ∈，则“0a >”是“12a a+≥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当0a >时，112a a a a +=+≥=，当且仅当1a a =，即1a =时取等号，当12a a +≥时，可得12a a +≥或12a a+≤-，得0a >或0a <，所以“0a >”是“12a a+≥”的充分不必要条件，故选：A6．（2020·全国高一课时练习）若方程()2250x m x m ++++=只有正根，则m 的取值范围是（）A ．4m ≤-或4m ≥B ．54m -<≤-C ．54m -≤≤-D ．52m -<<-【答案】B 【解析】方程()2250x m x m ++++=只有正根，则1（）当()()22450m m ∆=+-+=，即4m =±时，当4m =-时，方程为()210x -=时，1x =，符合题意；当4m =时，方程为()230x +=时，3x =-不符合题意. 故4m =-成立；2（）当()()22450m m ∆=+-+>，解得4m <-或4m >，则()()()224502050m m m m ⎧∆=+-+>⎪-+>⎨⎪+>⎩，解得54m -<<-. 综上得54m -<≤-. 故选B.7．（2020·荆州市北门中学高一期末）若110a b<<，则下列不等式：①a b ab +<；②||||a b >；③a b <；④2b aa b+>中，正确的不等式是（） A ．①④ B ．②③C ．①②D ．③④【答案】A 【解析】由于110a b<<，所以0b a <<，由此可知： ①0a b ab +<<，所以①正确. ②b a >，所以②错误. ③错误.④由于0b a <<，所以1b a >，有基本不等式得2b a a b +>=，所以④正确. 综上所述，正确不等式的序号是①④. 故选：A8．（2020·浙江高一课时练习）“关于x 的不等式2x 2ax a 0-+>的解集为R”的一个必要不充分条件是 ( ) A ．0a 1<【答案】C 【解析】因为关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ，所以函数2()2f x x ax a =-+的图象始终落在x 轴的上方，即2440a a ∆=-<，解得01a <<，因为要找其必要不充分条件，从而得到(0,1)是对应集合的真子集，对比可得C 选项满足条件，故选C.9．（2020·全国高一课时练习）将一根铁丝切割成三段，做一个面积为22m ，形状为直角三角形的框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合理共用且浪费最少的是( ) A ．6.5m B ．6.8mC ．7mD ．7.2m【答案】C 【解析】设直角三角形的框架的两条直角边为x ，y （x ＞0，y ＞0）则xy ＝4，此时三角形框架的周长C 为：x +y x +y∵x +y ≥24∴C ＝x +y ≈6.83 故用7米的铁丝最合适．故选C ．10．（2020·浙江高一单元测试）已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】C 【解析】()11a ax yx y a x y y x⎛⎫++=+++⎪⎝⎭. 若0xy <，则0yx<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意；若0xy >，则0yx>，0x y >.①当0a <时，1ax ya y x+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥不恒成立；③当0a >时，())211111a ax y x y a a a x y y x⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当=y 时，等号成立.所以，)219≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.故选：C. 二、多选题11．（2020·南京市秦淮中学高二期末）已知命题1:11p x >-，则命题成立的一个必要不充分条件是（） A ．12x <⇔<⇔--<⇔<<--，选项A 为命题12x <<的充要条件，选项B 为12x <<的必要不充分条件，选项C 为12x <<的既不充分也不必要条件，选项D 为12x <<的必要不充分条件，故选：BD.12．（2019·山东莒县·高二期中）已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（）. A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】ABC 【解析】设26y x x a =-+，其图像为开口向上，对称轴是3x =的抛物线，如图所示.若关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为3x =,则2226201610a a ⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩ 解得58a <≤，.又a ∈Z ，故a 可以为6，7，8. 故选:ABC13．（2020·湖南高新技术产业园区·衡阳市一中高二期末）（多选）若0a b >>，则下列不等式中一定不成立的是（） A ．11b b a a +>+ B ．11a b a b+>+ C ．11a b b a+>+ D ．22a b aa b b+>+【答案】AD 【解析】 0a b >>，则()()()()1110111b a a b b b b a a a a a a a +-++--==<+++，11b b a a +∴>+一定不成立；()1111a b a b a b ab ⎛⎫+--=-- ⎪⎝⎭，当1ab >时，110a b a b +-->，故11a b a b +>+可能成立；()11110a b a b b a ab ⎛⎫+--=-+> ⎪⎝⎭，故11a b b a +>+恒成立；()222022a b a b a a b b b a b +--=<++，故22a b a a b b +>+一定不成立. 故选AD.14．（2020·浙江高一单元测试）已知,a b R +∈且1a b +=，那么下列不等式中，恒成立的有（）．A ．14abB ．1174ab ab +C 2bD ．11222a b+ 【答案】ABC【解析】,,1a b R a b +∈+=，2124a b ab +⎛⎫∴= ⎪⎝⎭(当且仅当12a b ==时取得等号)．所以选项A 正确由选项A 有14ab ≤，设1y x x =+，则1y x x =+在104⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递减. 所以1117444ab ab +≥+=，所以选项B 正确 2(2a b a b ab a b a b +=+++++=(当且仅当12a b ==时取得等号)，2b ．所以选项C 正确. 113332222222a b a b b a b a b a b a ba +++=+=+++=+222ab =时等号成立），所以选项D 不正确．故A ，B ，C 正确故选：ABC三、填空题 15．（2020·荆州市北门中学高一期末）不等式221x x -≥-的解集是________. 【答案】[0,1)【解析】原不等式可化为2201x x --≥-即01x x ≤-，所以()1010x x x ⎧-≤⎨-≠⎩，故01x ≤<，所以原不等式的解集为[0,1).故答案为：[0,1). 16．（2020·全国高一课时练习）设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ，那么23βα-的取值范围是________．【答案】,6ππ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ，所以()20,απ∈，,036βπ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴2,36βπαπ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭. 故答案为：,6ππ⎛⎫-⎪⎝⎭. 17．（2020·全国高一课时练习）设a >0，b >0，给出下列不等式：①a 2＋1>a ；②114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； ③(a ＋b )11a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥4；④a 2＋9>6a . 其中恒成立的是________.(填序号)【答案】①②③【解析】解析由于a 2＋1－a ＝213024a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，故①恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2， ∴114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，故②恒成立；由于a ＋b 11a b +≥ 故(a ＋b )11a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥4，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故③恒成立；当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不恒成立.综上，恒成立的是①②③.故答案为：①②③四、双空题18．（2020·浙江瓯海·温州中学高三一模）《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少．问人数、猪价各多少？”.设,x y 分别为人数、猪价，则x =___，y =___.【答案】10 900【解析】由题意可得100100900x y x y -=⎧⎨-=⎩，解得10y 900x ==，.故答案为10 90019．（2020·山东高三其他）已知正实数,a b 满足10ab b -+=，则14b a +的最小值是__________，此时b =_________.【答案】932 【解析】由10ab b -+=可得1b a b -=，由10b a b-=>，得1b >，所以11444(1)511b b b b a b b +=+=+-+--，因为14(1)41b b +--，所以149b a +，当且仅当13,32a b ==时等号成立. 故答案为：9；32. 20．（2020·曲靖市第二中学（文））已知x >0，y >0，且x +2y =xy ，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则xy 的最小值为_____，实数m 的取值范围为_____.【答案】8 (4,2)-【解析】∵x >0，y >0，x +2y =xy ， ∴21x y+=1，∴121x y =+≥ ∴xy ≥8，当且仅当x =4，y =2时取等号，∴x +2y =xy ≥8(当x =2y 时，等号成立)，∴m 2+2m <8，解得﹣4<m <2.故答案为：8；(﹣4，2)21．（2020·山东威海·高三一模）为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为22400m 的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为228m ，月租费为x 万元；每间肉食水产店面的建造面积为220m ，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为_________种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则x 的最大值为_________万元．【答案】16 1【解析】设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为,a b ,（1）由题意知，0.852********.82400a b ⨯≥+≥⨯，化简得：48075510a b ≤+≤，又+80a b =，所以48075(80)510a a ≤+-≤，解得：4055a ≤≤，40,41,,55a ∴=共16种；（2）由题意知0.80.980b ax x +≥， 0.8(80)72b b x x ∴+-≥，0.880.8[1]88b x b b ∴≤=+--， max 804040b =-=，850.8(1)0.81324x ∴≤+=⨯=，即x 的最大值为1万元，故答案为：16；1五、解答题22．（2020·全国高一课时练习）（1）已知0x >，求4y x x =+的最小值．并求此时x 的值；（2）设302x <<，求函数4(32)y x x =-的最大值；（3）已知2x >，求42x x +-的最小值；（4）已知0x >，0y >，且191x y+=，求x y +的最小值；【答案】（1）当2x =时，4y x x =+取得最小值4；（2）92；（3）6；（4）16 【解析】（1）因为0x >，所以44y x x =+≥=，当且仅当4x x =，即2x =时取等号；故当2x =时，4y x x=+取得最小值4；（2）302x <<，320x ∴->． []22(32)94(32)22(32)222x x y x x x x +-⎡⎤∴=-=-=⎢⎥⎣⎦．当且仅当232x x =-，即34x =时，等号成立． 33(0,)42∈， ∴函数34(32)(0)2y x x x =-<<的最大值为92．（3）2x >，20x ∴-> ()(4422222622x x x x x ∴+=-++-=--，当且仅当422x x -=-时取等号，即4x =时，42x x +-的最小值为6，（4）0x ，0y >，191x y +=，1999()1021016y x y x x y x y x y x yx y ⎛⎫∴+=++=++⋅= ⎪⎝⎭．当且仅当9y x x y =时，上式等号成立，又191x y +=，4x ∴=，12y =时，()16min x y +=．点睛：利用基本不等式求函数最值是高考考查的重点内容，对不符合基本不等式形式的应首先变形，然后必须满足三个条件：一正、二定、三相等．同时注意灵活运用“1”的代换．23．（2020·全国高一课时练习）已知x ，y 都是正数.求证：()12y x x y+≥； ()2()()()2233338.x y x y x y x y +++≥【答案】()1证明见解析；()2证明见解析.【解析】()1证明：由x ，y 都是正实数，可得2y x x y +≥=（当且仅当x y =时取得等号）；()2证明：由基本不等式可知()()()(()(22332x y x y x y xy +++≥⋅⋅ ()23388xy xy x y =⋅=，（当且仅当x y =时取得等号）. 24．（2020·全国高一课时练习）日常生活中，在一杯含有a 克糖的b 克糖水中，再加入m 克糖，则这杯糖水变甜了.请根据这一事实提炼出一道不等式，并加以证明. 【答案】a a mb b m+<+，0a b <<，0m >，证明见解析【解析】由题知：原来糖水的浓度为100%a b⨯，加入m 克糖后的浓度为100%+⨯+a m b m，0a b <<，0m >. 因为这杯糖水变甜了，所以100%100%+⨯<⨯+a a m b b m，整理得：a a m b b m +<+，0a b <<，0m >. 因为()()-++-=-=+++a b m a a m a a m b b m b b m b b m ，又因为0a b <<，0m >，所以0a b -<，()0-<m a b ，()0+>b b m ，所以()()0-<+a b m b b m ，即证a a m b b m+<+. 25．（2020·全国高一课时练习）如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）．【答案】a 2＋b 2≥2ab.【解析】如图，设大正方形四个角上的直角三角形的两个直角边分别为,a b ，则大正方形的面积为2()a b +，四个矩形的面积和为4ab ，显然，大正方形的面积大于等于四个矩形的面积和，所以2()4,a b ab +≥所以a 2＋b 2≥2ab.26．（2020·浙江高一课时练习）已知关于x 的不等式2260(0)kx x k k -+<≠．（1）若不等式的解集是{|3x x <-或2}x >-，求k 的值．（2）若不等式的解集是1xx k ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭∣，求k 的值．（3）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围．（4）若不等式的解集是∅，求k 的取值范围．【答案】（1）25k =-；（2）6k =-；（3）6k <-；（4）6k ≥．【解析】（1）由不等式的解集为{3xx <-∣或2}x >-可知k 0<，且3x =-与2x =-是方程2260kx x k -+=的两根，2(3)(2)k∴-+-=，解得25k =-．（2）由不等式的解集为1x x k ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭∣可知204240k k <⎧⎨∆=-=⎩，解得k =（3）依题意知20,4240,k k <⎧⎨∆=-<⎩解得6k <-．（4）依题意知20,4240,k k >⎧⎨∆=-≤⎩解得k ≥． 27．（2020·宁夏兴庆·银川一中高一期末）解关于x 的不等式()222ax x ax a R -≥-∈.【答案】当0a =时，不等式的解集为{}|1x x ≤-；当0a >时，不等式的解集为2{|x x a≥或1}x ≤-；当20a -<<时，不等式的解集为2{|1}x x a ≤≤-；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a-≤≤.【解析】原不等式可化为()2220ax a x +--≥，即()()210ax x -+≥， ①当0a =时，原不等式化为10x +≤，解得1x ≤-，②当0a >时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，解得2x a≥或1x ≤-， ③当0a <时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭. 当21a >-，即2a <-时，解得21x a-≤≤；当21a=-，即2a =-时，解得1x =-满足题意；当21a<-，即20a -<<时，解得21x a ≤≤-. 综上所述，当0a =时，不等式的解集为{}|1x x ≤-；当0a >时，不等式的解集为2{|x x a≥或1}x ≤-；当20a -<<时，不等式的解集为2{|1}x x a ≤≤-；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a-≤≤.。

第二章一元二次函数、方程和不等式测试卷-2021-2022学年度高一数学必修一(人教A版2019)

第二章质量评估(B)(时间:120分钟分值:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知当x>1时,不等式x+1x-1≥a恒成立,则实数a的取值范围是()A.{a|a≤2}B.{a|a≥2}C.{a|a≥3}D.{a|a≤3}答案:D2.已知函数y=12(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0),当12≤x≤2时,y随x的增大而减少,则mn的最大值为()A.126B.18C.25D.812答案:B3.若m<n,p<q,且(p-m)(p-n)<0,(q-m)(q-n)<0,则m,n,p,q的大小顺序是()A.m<p<q<nB.p<m<q<nC.m<p<n<qD.p<m<n<q答案:A4.已知x≥52,则y=x2-4x+52x-4有()A.最大值52B.最小值54C.最大值1D.最小值1答案:D5.已知当|x|≤1时,函数y=ax+2a+1的值有正也有负,则实数a的取值范围是()A.a≥-13B.a≤-1C.-1<a<-13D.-1≤a≤-13答案:C6.已知当x∈R时,不等式kx2-kx+1>0恒成立,则k的取值范围是()A.{k|k>0}B.{k|k≥0}C.{k|0≤k<4}D.{k|0<k<4}答案:C7.若关于x的不等式ax2+bx-2>0的解集为{x|-2<x<-14},则a+b 等于()A.-18B.8C.-13D.1答案:C8.已知M=(a+2)(a-4),N=(a+1)(a-3),则 ()A.M>NB.M≥NC.M<ND.M≤N答案:C二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列说法不正确的是 ()A.某人月收入x元不高于2 000元可表示为“x<2 000”B.小明的身高为x cm,小华的身高为y cm,则小明比小华矮表示为“x>y”C.某变量x至少是a可表示为“x≥a”D.某变量y不超过a可表示为“y≥a”答案:ABD10.下列命题为假命题的是 ()A.若ac>bc,则a>bB.若a2>b2,则a>bC.若1a >1b,则a<bD.若√a<√b,则a<b答案:ABC11.已知2<x<3,2<y<3,则()A.6<2x+y<9B.2<2x-y<3C.-1<x-y<1D.4<xy<9答案:ACD12.不等式5x-2x2+3>0的充分不必要条件是()A.-12<x<3 B.-12<x<0C.1<x<2D.-1<x<6答案:BC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.不等式-x2-3x+4>0的解集为{x|-4<x<1}.14.设x>0,y>0,且x+2y=1,则1x +1y的最小值为3+2√2.15.若关于x的一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-1< x<13},则ab的值为6.16.建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,如果池底和池壁每平方米的造价分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为1 760元.四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)解关于x的不等式x2-(2m+1)x+m2+m<0.解:因为Δ=1>0,所以关于x的方程x2-(2m+1)x+m2+m=0的解为x1=m,x2=m+1,二次函数y=x2-(2m+1)x+m2+m的图象开口向上,且与x 轴有两个交点.又m<m+1,所以不等式的解集为{x|m<x<m+1}.18.(12分)求函数y=-2x 2+x-3x(x>0)的最大值,并求此时x的值.解:因为y=1-(2x+3x ),又x>0,所以2x+3x≥2√6,得-(2x+3x)≤-2√6.因此y≤1-2√6.当且仅当2x=3x ,即当x2=32时,等号成立.由于x>0,故当x=√62时,等号成立.因此y max=1-2√6,此时x=√62.19.(12分)若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3<x<1}.(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0;(2)b为何值时,ax2+bx+3≥0的解集为R?解:(1)由题意知1-a<0,且-3和1是方程(1-a)x2-4x+6=0的两根,所以{1-a<0,41-a=-2,61-a=-3,解得a=3.所以不等式2x2+(2-a)x-a>0即为2x2-x-3>0,解得x<-1或x>32.所以所求不等式的解集为{x|x<-1或x>32}.(2)由(1)知ax2+bx+3≥0即为3x2+bx+3≥0,若此不等式解集为R,则b2-4×3×3≤0,所以-6≤b≤6,故当b∈{b|-6≤b≤6}时,ax2+bx+3≥0的解集为R.20.(12分)已知x>0,y>0,且1x +4y=1,求x+y的最小值.解:因为1x +4y=1,所以x+y=(x+y)·(1x+4y)=5+yx+4xy,又x>0,y>0,所以y x +4xy≥2×√yx·4xy=4.当且仅当yx=4xy,即x=3,y=6时,等号成立.所以当x=3,y=6时,x+y取得最小值9.21.(12分)设a>0,b>0,对任意的实数x>1,有ax+xx-1>b恒成立,试比较√a+1和√b的大小.解:ax+xx-1=ax+1+1x-1=(a+1)+a(x-1)+1x-1,因为x>1,所以x-1>0,ax+1+1x-1≥(a+1)+2√a=(√a+1)2,当且仅当a(x-1)=1x-1(x>1),即x=1+√1a时,等号成立.又ax+xx-1>b恒成立,所以b<(√a+1)2.又a>0,b>0,所以√a+1>√b.22.(12分)某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1),则出厂价相应的提高比例为0.75x ,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的函数解析式;(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x 应在什么范围内?解:(1)依题意得y =[1.2×(1+0.75x )-1×(1+x )]×1 000×(1+0.6x )(0<x <1). 整理,得y =-60x 2+20x +200(0<x <1).故本年度年利润y 与投入成本增加的比例x 的函数解析式为y =-60x 2+20x +200(0<x <1).(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,当且仅当{y -(1.2-1)×1 000>0,0<x <1,即{-60x 2+20x >0,0<x <1, 解得0<x <13.。

新课程必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》检测题及答案解析

新课程必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》检测题及答案解析时间：120分钟，满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知a <0，－1ab >0C ．a >ab >ab 2D ．ab >a >ab 2解析： ∵a <0，－10，a <ab 2<0，故A ，C ，D 都不正确，正确答案为B. 故选B2．不等式14－5x －x 2<0的解集为( )A ．{x |－7<x <2}B ．{x |x <－7或x >2}C ．{x |x >2}D ．{x |x <－7}解析：选B.原不等式等价于x 2＋5x －14>0，所以(x ＋7)·(x －2)>0，即x <－7或x >2. 故选B.3．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则( )A ．M >NB ．M ≥NC ．M <ND ．M ≤N解析： ∵M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝(2a 2－4a )－(a 2－2a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0.∴M >N . 故选 A.4．若x >0，则y ＝12x ＋13x的最小值为( )A ．2B ．22C ．4D ．8解析：选C.因为x >0，所以y ＝12x ＋13x≥212x ·13x ＝4，当且仅当12x ＝13x，即x ＝16时等号成立.故选C. 5．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( ) A ．{x |x <－1或－1<x ≤2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x <－1或x ≥2}D ．{x |－1<x ≤2}解析：原不等式同解于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0(x －2)(x ＋1)≤0，解得－1<x ≤2.故选D.6．在R 上定义运算☆：a ☆b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ☆(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |－2<x <1}C ．{x |x <－2或x >1}D ．{x |－1<x <2}解析：根据定义得：x ☆(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2<0，解得－2<x <1，所以所求的实数x 的取值范围为{x |－2<x <1}．故选 B.7．若0<a <1，则不等式x 2－3(a ＋a 2)x ＋9a 3≤0的解集为( )A ．{x |3a 2≤x ≤3a } B ．{x |3a ≤x ≤3a 2} C ．{x |x ≤3a 2或x ≥3a } D ．{x |x ≤3a 或x ≥3a 2}解析：选A.因为0<a <1，所以0<3a 2<3a ，而方程x 2－3(a ＋a 2)x ＋9a 3＝0的两个根分别为3a 和3a 2，所以不等式的解集为{x |3a 2≤x ≤3a }．8．若不等式ax 2＋ax ＋1>0的解集为R ，则a 的取值范围是( )A ．{a |0≤a <4}B ．{a |0<a <4}C ．{a |a >4或a <0}D ．{a |a ≥4或a ≤0}解析：选A.当a ＝0时，原不等式等价于1>0，符合题意；当a ≠0时，若原不等式的解集为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，解得0<a <4.综上可知0≤a <4.故选A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．在△ABC 中，三边长分别为a ，b ，c ，且abc ＝4，则下列结论正确的是( )A ．a 2b <4＋ab 2B ．ab ＋a ＋b >4C ．a ＋b 2＋c 2>4D ．a ＋b ＋c <4解析：A 选项，因为a ，b ，c 为三角形三边，所以a －b <c ，则a 2b －ab 2<abc ＝4，即a 2b <4＋ab 2，故A 正确；B 选项，根据三角形的性质可得，a ＋b >c ，则ab ＋a ＋b >ab ＋c ≥2abc ＝4，当且仅当ab ＝c 时，等号成立，因此ab ＋a ＋b >4，故B 正确；C 选项，a ＋b 2＋c 2≥a ＋2bc ≥22abc ＝42>4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，a ＝2bc ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ＝42，a ＝2bc ＝22时，等号成立，此时b ＋c <a ，不满足三角形的性质，故等号不同时成立，a ＋b 2＋c 2>4，故C 正确；D 选项，若⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝c ＝2，则能构成三角形，且满足abc ＝4，但此时a ＋b ＋c ＝5>4，即D错误．故选A 、B 、C.10．下列结论中正确的是( )A ．若a ，b 为正实数，a ≠b ，则a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2B ．若a ，b ，m 为正实数，a ＜b ，则a ＋m b ＋m ＜abC ．若a c 2 ＞b c2 ，则a ＞bD ．当x ＞0时，x ＋2x的最小值为22解析：对于A ，因为a ，b 为正实数，a ≠b ，所以a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a －b )2(a ＋b )＞0，所以a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2正确；对于B ，若a ，b ，m 为正实数，a ＜b ，则a ＋m b ＋m －a b ＝m （b －a ）b （b ＋m ）＞0，所以a ＋mb ＋m ＞ab，故B 错误；对于C ，若a c2 ＞b c2 ，则a ＞b ，故C 正确；对于D ，当x ＞0时，x ＋2x的最小值为22 ，当且仅当x ＝2 时等号成立，故D 正确．故选ACD.11．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 ，则下列结论中正确的是( )A ．a ＞0B ．b ＞0C ．c ＞0D ．a ＋b ＋c ＞0解析：因为不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 ，故相应的二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，所以a ＜0，故A 错误；易知2和－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则有c a ＝－1＜0，－b a ＝32＞0.又a ＜0，故b ＞0，c ＞0，故B ，C 正确；由二次函数的图象可知f (1)＝a ＋b ＋c ＞0，故D 正确．故选BCD.12．下列函数中，最小值是2的是( )A ．y ＝m ＋4m ＋2(m >－2) B ．y ＝ x 2＋2＋1x 2＋2C ．y ＝x 2＋1x2D ．y ＝x 2＋2x解析：对于A ，因为m ＋2>0，所以y ＝m ＋4m ＋2＝m ＋2＋4m ＋2－2≥2m ＋2×4m ＋2－2＝2，当且仅当m ＋2＝4m ＋2，即m ＝0时，等号成立，所以该函数的最小值是2，故A 正确；对于B ，y ＝ x 2＋2＋1x 2＋2≥2x 2＋2×1x 2＋2＝2，当且仅当x 2＋2＝1x 2＋2，即x 2＝－1时，等号成立，显然x 2＝－1不可能成立，故B 不符合题意；对于C ，y ＝x 2＋1x2≥2x 2×1x 2＝2，当且仅当x 2＝1x2，即x ＝±1时，等号成立，所以该函数的最小值是2，故C 正确；对于D ，当x <0时，y ＝x 2＋2x<0，即该函数的最小值不是2，故D 不符合题意．故选AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．如果a ＞b ，ab ＞0，那么1a 与1b的大小关系是________．解析：因为a ＞b ，ab ＞0，所以a ab＞b ab，即1b＞1a.答案：1a ＜ 1b14．设点(m ，n )在一次函数y ＝－x ＋1位于第一象限内的图象上运动，则mn 的最大值是________．解析：∵点(m ，n )在一次函数y ＝－x ＋1位于第一象限内的图象上运动，∴m ＋n ＝1且m >0，n >0.∴mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14，当且仅当m ＝n 时等号成立．答案：1415．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－4,1)，则不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c >0的解集为（用区间表示）.解析：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－4,1)知a <0，－4和1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根．∴－4＋1＝－b a ，－4×1＝c a，即b ＝3a ，c ＝－4a .故所求解的不等式为3a (x 2－1)＋a (x ＋3)－4a >0，即3x 2＋x －4<0，解得－43<x <1.答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1 16．某公司有20名技术人员，计划开发A ，B 两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：万元．解析：设总产值为y 万元，应开发A 类电子器件x 件，则应开发B 类电子器件(50－x )件．根据题意，得x 2 ＋50－x3≤20，解得x ≤20.由题意，得y ＝7.5x ＋6×(50－x )＝300＋1.5x ≤330，当且仅当x ＝20时，y 取最大值330，所以欲使总产值最高，A 类电子器件应开发20件，最高产值为330万元．答案：20 330四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分))解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2<0.解：原不等式可化为(7x ＋a )(8x －a )<0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 7⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 8<0.①当－a 7<a 8，即a >0时，－a 7<x <a8；②当－a 7＝a8，即a ＝0时，原不等式解集为∅；③当－a 7>a 8，即a <0时，a 8<x <－a7.综上知，当a >0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－a 7<x <a 8 ；当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a 8<x <－a7 .18．(12分)设集合A ＝{x |4－x 2>0}，B ＝{x |－x 2－2x ＋3>0}．(1)求集合A ∩B ；(2)若不等式2x 2＋ax ＋b <0的解集为B ，求a ，b 的值．解：(1)A ＝{x |4－x 2>0}＝{x |－2<x <2}，B ＝{x |－x 2－2x ＋3>0}＝{x |－3<x <1}，故A ∩B ＝{x |－2<x <1}．(2)因为2x 2＋ax ＋b <0的解集为B ＝{x |－3<x <1}，所以－3和1为方程2x 2＋ax ＋b ＝0的两个根．所以有⎩⎪⎨⎪⎧2×（－3）2－3a ＋b ＝0，2×12＋a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－6.19．(12分)已知正数x ，y 满足1x ＋9y＝1.(1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．解：(1)由1＝1x ＋9y ≥21x ·9y得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时等号成立，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝19＋2y x ＋9x y≥19＋22y x ·9xy＝19＋62 ，当且仅当2y x ＝9x y，即9x 2＝2y 2时等号成立，故x ＋2y 的最小值为19＋62 .20．(12分)已知“∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意，知m ＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14.由－1<x <1，得－14≤m <2，故M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪－14≤m <2. (2)由x ∈N 是x ∈M 的必要条件，知M ⊆N .①当a >2－a ，即a >1时，N ＝{x |2－a <x <a }，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，a >1，解得a >94.②当a <2－a ，即a <1时，N ＝{x |a <x <2－a }，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.③当a ＝2－a ，即a ＝1时，N ＝∅，不满足M ⊆N .综上可得，实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <－14或a >94 .21．(12分)甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解：(1)根据题意，200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3000⇒5x －14－3x≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.(2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112，故x ＝6时，y max ＝457500元．22．( 12分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，(1)求a ，b 的值；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解：(1)由题意知，1和b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝1＋b2a ＝b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2.(2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即为x2－(c＋2)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.①当c>2时，2<x<c；②当c<2时，c<x<2；③当c＝2时，原不等式无解．综上知，当c>2时，原不等式的解集为{x|2<x<c}；当c<2时，原不等式的解集为{x|c<x<2}；当c＝2时，原不等式的解集为∅.。

高中数学必修一第二章一元二次函数、方程和不等式复习与测试(含答案)

高中数学必修一第二章一、单选题1．已知a≥0，b≥0，且a+b=2，则（）A．ab≤12B．ab≥12C．a2+b2≥2D．a2+b2≤32．已知正数x，y满足x+1y=1，则1x+4y的最小值为（）A．9B．10C．6D．83．在实数集上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（0，2）C．(―12，32)D．(―32，12)4．已知1≤a+b≤5，―1≤a―b≤3，则3a―2b的取值范围是（）A．[―6，14]B．[―2，14]C．[―2，10]D．[―6，10] 5．若关于x的不等式x2―4x―2―a>0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是（）A．a<―2B．a>―2C．a>―6D．a<―6 6．若x=5―2，y=2―3，则x，y满足（）A．x＞y B．x≥y C．x＜y D．x=y7．正数a,b满足9a +1b=2，若a+b≥x2+2x对任意正数a,b恒成立，则实数x的取值范围是（）A．[―4,2]B．[―2,4]C．(―∞,―4]∪[2,+∞)D．(―∞,―2]∪[4,+∞)8．设正数a，b满足b―a<2，若关于x的不等式(a2―4)x2+4bx―b2<0的解集中的整数解恰有4个，则a的取值范围是（）A．(2，3)B．(3，4)C．(2，4)D．(4，5)二、多选题9．下列函数最小值为2的是（）A．y=x2+1x2B．y=x2+3+1x2+3C．y=2x+12x D．y=x2+1x，x>010．已知a>0，b>0.若4a+b=1，则（）A．14a +1b的最小值为9B．1a+1b的最小值为9C．(4a+1)(b+1)的最大值为94D．(a+1)(b+1)的最大值为9411．已知a>0，b>0，则下列式子一定成立的有（）A．2aba+b ≤ab B．a2+b22≤a+b2C．1a +1b≤4a+bD．a2+b22≤a2+b2a+b12．已知正数a，b满足a(a+b)=1，下列结论中正确的是（）A．a2+b2的最小值为22―2B．2a+b的最小值为2C．1a +1b的最小值为332D．a―b的最大值为1三、填空题13．设一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|―1<x<13}，则ab的值是．14．已知x,y为正实数，且x+4y=1x+1y=m，则m的最小值为 .15．已知实数a,b满足ab>0，则aa+b―aa+2b的最大值为 16．已知实数x，y，z满足：{x+y+z=3x2+y2+z2=36，则|x|+|y|+|z|的最大值为 .四、解答题17．已知集合A={x|―2<x<5}，B={x|m+1≤x≤2m―1}．（1）当m=3时，求（∁R A）∩B；（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．18．求证下列问题：（1）已知a，b，c均为正数，求证：bca +acb+abc≥a+b+c.（2）已知xy>0，求证：1x>1y的充要条件是x<y.19．已知不等式组{―x<2，x2+7x―8<0的解集为A，集合B={x|a―5<x<3a―5}．（1）求A；（2）若A∪B=B，求a的取值范围．20．已知函数g(x)=k2x+k，ℎ(x)=x2―2(k2―k+1)x+4．（1）当k=1时，求函数y=ℎ(x)g(x)，x∈(―∞,―1)的最大值；（2）令f(x)={g(x),x>0ℎ(x),x<0，求证：对任意给定的非零实数x1，存在惟一的实数x2(x1≠x2)使得f(x1)=f(x2)成立的充要条件是k=4．21．若函数f(x)=a x2―(2a+1)x+2.（1）讨论f(x)>0的解集；（2）若a=1时，总∃x∈[13，1]，对∀m∈[1，4]，使得f(1x)+3―2mx≤b2―2b―2恒成立，求实数b的取值范围.22．已知函数f(x)=2|x+1|―|x―a|(a∈R)．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f(x)⩾x+2的解集；（Ⅱ）设函数g(x)=f(x)+3|x―a|，当a=1时，函数g(x)的最小值为t，且2m +12n=t(m>0,n>0)，求m+n的最小值．答案解析部分1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】C 9．【答案】A,C 10．【答案】B,C 11．【答案】A,D 13．【答案】614．【答案】315．【答案】3―2216．【答案】1+22217．【答案】（1）解：∵集合A ={x|―2<x <5}，B ={x|m +1≤x ≤2m ―1}．∴∁R A ={x|x ≤―2或x ≥5}，m =3时，B ={x|4≤x ≤5}，∴（∁R A ）∩B ={5}（2）解：若A ∪B =A ，则B ⊆A ，当B =∅时，m +1>2m ―1，解得m <2，成立；当B ≠∅时，{m +1≤2m ―1m +1>―22m ―1<5，解得2≤m <3，综上实数m 的取值范围为（―∞，3）18．【答案】（1）证明：bc a +ac b +ab c =2bc a +2ac b +2ab c 2=bc a +ac b +bc a +ab c +ac b +ab c 2≥2bc a ⋅ac b+2bc a ⋅ab c+2ac b ⋅ab c=a +b +c ，当且仅当bc a =ac b ，bc a=ab c ，acb =abc ，即a =b =c 时等号成立.（2）证明：依题意xy >0，则{x >0y >0或{x <0y <0，所以：1x >1y ⇔1x ―1y =y ―x xy >0⇔y ―x >0⇔x <y ，所以：1x>1y 的充要条件是x <y .19．【答案】（1）解：由{―x <2x 2+7x ―8<0，得{x >―2―8<x <1，得―2<x <1，所以A ={x |―2<x <1}．（2）解：由A ∪B =B ，得A ⊆B ，所以{a ―5≤―23a ―5≥1，得2≤a ≤3，故a 的取值范围为[2，3]．20．【答案】（1）解：当 k =1 时，函数 y =x 2―2x +4x +1， x ∈(―∞,―1) ，令 t =x +1<0 ，则 y =t +7t―4 ，此时 ―t >0 ，由 (―t )+(―7t )≥2(―t )×7―t =27 ，即 t +7t≤―27 ，当且仅当 t =―7 ，即 x =―7―1 时取等号，综上，当 x =―7―1 时， y 最大值是 ―27―4 ．（2）解：充分性：当 k =4 时， f (x )={16x +4,x >0x 2―26x +4,x <0 ，当 x >0 时， y =16x +4 在 (0,+∞) 单调递增，且 y >4 ，当 x <0 时， y =x 2―26x +4 在 (―∞,0) 单调递减，且 y >4 ，若 x 1>0 ，则存在惟一的 x 2<0 ，使得 f (x 1)=f (x 2) ，同理 x 1<0 时也成立，必要性：当 x >0 时， y =k 2x +k ，当 k =0 时， f (x ) 在 (0,+∞) 上的值域为 {0} ，显然不符合题意，因此 k ≠0 ，当 x >0 时， f (x ) 在 f (x ) 的取值集合 A =(k ,+∞) ，x <0 ， f (x )=x 2―2(k 2―k +1)x +4 的对称轴 x =k 2―k +1>0 ， f (x ) 在 (―∞,0) 上递减， f (x )>f (0)=4 ，所以 f (x ) 的取值集合 B =(4,+∞) ，①若 x 1>0 ， f (x ) 且在 (0,+∞) 上单调递增，要使 f (x 1)=f (x 2) ，则 x 2<0 ，且 A ⊆B ，有 k ≥4 ．②若 x 1<0 ， f (x ) 且在 (―∞,0) 上单调递减，要使 f (x 1)=f (x 2) ，则 x 2>0 ，且 B ⊆A ，有 k ≤4 ．综上： k =4 ．21．【答案】（1）已知f (x )=a x 2―(2a +1)x +2，①当a =0时，f (x )=―x +2>0时，即x <2；②当a ≠0时，f (x )=a (x ―1a )(x ―2)，若a <0，f (x )>0，解得 1a <x <2，若0<a <12，f (x )>0，解得x <2或x >1a ，若a =12，f (x )>0，解得x ≠2，若a >12时，f (x )>0，解得x <1a 或x >2，综上所述：当a <0时，f (x )>0的解集为(1a ，2)；当a =0时，f (x )>0的解集为(―∞，2)；当0<a <12时，f (x )>0的解集为(―∞，2)∪(1a ，+∞)；当a =12时，f (x )>0的解集为(―∞，2)∪(2，+∞)；当a >12时，f (x )>0的解集为(―∞，1a )∪(2，+∞).（2）若a =1，则f (x )=x 2―3x +2，∴f (1x )+3―2m x =1x 2―2m x +2，令t =1x ，原题等价于∃t ∈[1，3]，对∀m ∈[1，4]使得t 2―2mt +2≤b 2―2b ―2恒成立，令g (m )=―2tm +t 2+2，∴g (m )是关于m 的减函数，∴对∀m ∈[1，4]，g (m )≤b 2―2b ―2恒成立，即b 2―2b ―2≥g (m )max =g (1)=t 2―2t +2，又∃t ∈[1，3]，b 2―2b ―2≥t 2―2t +2，即b 2―2b ―2≥(t 2―2t +2)min =12―2×1+2=1，故b 2―2b ―3=(b ―3)(b +1)≥0，解得b ≤―1或b ≥3.22．【答案】解：（Ⅰ）当 a =2 时， f (x )⩾x +2 化为 2|x +1|―|x ―2|≥x +2 ，当 x⩽―1 时，不等式化为 ―x ―4⩾x +2 ，解得 x⩽―3 ；当 ―1<x <2 时，不等式化为 3x⩾x +2 ，解得 1⩽x <2 ；当 x⩾2 时，不等式化为 x +4⩾x +2 ，解得 x⩾2 ，综上不等式 f (x )⩾x +2 的解集是 {x |x⩽―3或x⩾1}（Ⅱ）当 a =1 时， g (x )=2|x +1|+2|x ―1|⩾2|x +1+1―x |=4 ，当且仅当 (x +1)(x ―1)⩽0 ，即 ―1⩽x⩽1 时，等号成立．所以，函数 g (x ) 的最小值 t =4 ，所以 2m +12n =4 ， 12m +18n=1 ．m +n =(m +n )(12m +18n )=n 2m +m 8n +58⩾2n 2m ⋅m 8n +58=98 ，当且仅当 {12m +18n =1，n 2m =m 8n 即 {m =34，n =38时等号成立，所以 m +n 的最小值为 98．。

新教材2023年高中数学第2章一元二次函数、方程和不等式 2

x≥5}．
题型三
解含有参数的一元二次不等式(对判别式的讨论)
典例3 解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0. [分析] 二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．
[解析] 对于方程 2x2＋ax＋2＝0，其判别式 Δ＝a2－16＝(a＋4)(a－
[归纳提升] 注意已知条件的含义和根与系数关系的应用： (1)一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根． (2)由一元二次方程根与系数的关系列方程组求参数．
【对点练习】 ❷ 若不等式 ax2 ＋ bx ＋ c≤0 的解集为 {x|x≤ － 3 或
x≥4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集．
y＝ax2＋bx＋ c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝ 0(a>0)的根
ax2＋bx＋ c>0(a>0)的解集
ax2＋bx＋ c<0(a>0)的解集
有两个不相等的实数根 x1，x2(x1<x2) {x|x>x2 或 x<x1}
{x|x1<x<x2}
有两个相等的实数根 x1＝x2＝－2ba x|x≠－2ba
(3)令x2＋6x＋10＝0，则方程无解，又由y＝x2＋6x＋10图象的开口方向朝上，故无论x为何值，函数值均大于0.
(4)令－3x2＋12x－12＝0，则x＝2，又由y＝－3x2＋12x－12图象的开口方向朝下，故x＝2时，函数的值等于0，当x≠2时，函数值小于0.
核心素养数学抽象直观想象数学抽象数学运算逻辑推理数学运算
第1课时二次函数与一元二次方程、不等式

高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版(带答案)

高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版单选题1、已知x,y,z都是正实数，若xyz=1，则(x+y)(y+z)(z+x)的最小值为（）A．2B．4C．6D．8答案：D分析：均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立.由x>0,y>0,z>0可知x+y≥2√xy>0（当且仅当x=y时等号成立）y+z≥2√yz>0（当且仅当y=z时等号成立）x+z≥2√xz>0（当且仅当x=z时等号成立）以上三个不等式两边同时相乘，可得(x+y)(y+z)(z+x)≥8√x2y2z2=8（当且仅当x=y=z=1时等号成立）故选：D2、已知2<a<3，−2<b<−1，则2a−b的范围是（）A．(6,7)B．(5,8)C．(2,5)D．(6,8)答案：B分析：由不等式的性质求解即可.2<a<3,−2<b<−1，故4<2a<6，1<−b<2，得5<2a−b<8故选：B3、下列命题中，是真命题的是（）A．如果a>b，那么ac>bc B．如果a>b，那么ac2>bc2C．如果a>b，那么ac >bcD．如果a>b，c<d，那么a−c>b−d答案：D分析：根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案.对于A ，如果c =0，那么ac =bc ，故错误；对于B ，如果c =0，那么ac 2=bc 2，故错误；对于C ，如果c <0，那么ac <bc ，故错误；对于D ，如果c <d ，那么−c >−d ，由a >b ，则a −c >b −d ，故正确. 故选：D.4、y =x +4x (x ≥1)的最小值为（） A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C分析：利用均值不等式求解即可.因为y =x +4x(x ≥1)，所以x +4x≥2√x ×4x=4，当且仅当x =4x即x =2时等号成立.所以当x =2时，函数y =x +4x 有最小值4. 故选：C.5、已知使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则实数a 的取值范围为（）A ．(−∞,−13)B ．(−∞,−13] C ．[−13,+∞)D ．(−13,+∞) 答案：C分析：使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解.解：由3x −1≤0得x ≤13，因为使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0 则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，又由x 2+(a +1)x +a ≤0得(x +a )(x +1)≤0，当a =1，x ∈{−1}⊆(−∞,13]，符合；当a <1，x ∈[−1,−a ]⊆(−∞,13]，则−a ≤13，∴1>a ≥−13，当a >1，x ∈[−a,−1]⊆(−∞,13]，符合，故实数a 的取值范围为[−13,+∞). 故选：C.6、已知x ∈R ，则“(x −2)(x −3)≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的（）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要答案：C分析：先证充分性，由（x −2）(x −3）≤0 求出x 的取值范围，再根据x 的取值范围化简|x −2|+|x −3|即可，再证必要性，若|x −2|+|x −3|=1，即|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|，再根据绝对值的性质可知（x −2）(x −3）≤0．充分性：若（x −2）(x −3）≤0，则2≤x ≤3， ∴|x −2|+|x −3|=x −2+3−x =1，必要性：若|x −2|+|x −3|=1，又∵|（x −2）−（x −3）|=1， ∴|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|，由绝对值的性质：若ab ≤0，则|a |+|b |=|a −b|， ∴（x −2）(x −3）≤0，所以“（x −2）(x −3）≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的充要条件，故选：C ．7、若非零实数a ，b 满足a 2C ．1ab 2<1a 2b D ．a 2+a 1，A不成立；取a=−2,b=1，满足a<b，而ba +ab=−12+(−2)=−52<2，B不成立；因1ab2−1a2b=a−ba2b2<0，即有1ab2<1a2b，C成立；取a=−2,b=−1，满足a<b，而a2+a=2,b2+b=0，即a2+a>b2+b，D不成立．故选：C8、若a，b，c为实数，且a<b，c>0，则下列不等关系一定成立的是（）A．a+c<b+c B．1a <1bC．ac>bc D．b−a>c答案：A分析：由不等式的基本性质和特值法即可求解.对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a<b⇒a+c<b+c，A选项正确；对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若a=−2，b=−1，则1a >1b，B选项错误；对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，c>0，0<a<b⇒ac<bc，C选项错误；对于D选项，因为a<b⇒b−a>0，c>0，所以无法判断b−a与c大小，D选项错误.多选题9、若−1<a<b<0，则（）A．a2+b2>2ab B．1a <1bC．a+b>2√ab D．a+1a>b+1b答案：AD分析：应用作差法判断B、D，根据重要不等式判断A，由不等式性质判断C.A：由重要不等式知：a2+b2≥2ab，而−1<a<b<0，故a2+b2>2ab，正确；B：由−1<a<b<0，则1a −1b=b−aab>0，故1a>1b，错误；C：由−1<a<b<0，则a+b<0<2√ab，错误；D ：(a +1a )−(b +1b )=a −b +1a −1b =a −b +b−a ab=(a −b)(ab−1ab)>0，故a +1a >b +1b ，正确.故选：AD10、设a >0，b >0，给出下列不等式恒成立的是（） A ．a 2+1>a B ．a 2+9>6aC ．(a +b )(1a +1b )≥4D ．(a +1a )(b +1b )≥4 答案：ACD分析：选项A ，B 可用作差法比较大小；选项C ，D 可用基本不等式求范围. 由(a 2+1)−a =(a −12)2+34>0可得a 2+1>a ，故A 正确；由(a 2+9)−6a =(a −3)2≥0可得a 2+9≥6a ，故B 错误；由(a +b )(1a +1b )=2+ab +ba ≥2+2√ab ⋅ba =4，当且仅当a =b 时取等号，故C 正确；由(a +1a )(b +1b )=(ab +1ab )+(ab +ba )≥2√ab ⋅1ab +2√ab ⋅ba =4，当且仅当{ab =1ab a b =b a ，即a =b =1时取等号，故D 正确. 故选：ACD.11、十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a 、b 、c ∈R ，则下列命题正确的是（）A ．若a >b >0，则ac 2>bc 2B ．若a 0，b >0，则b 2a +a 2b≥a +b答案：BCD解析：取c =0可判断A 选项的正误；利用作差法可判断BCD 选项的正误. 对于A 选项，当c =0时，则ac 2=bc 2，A 选项错误；对于B 选项， (a +1b )−(b +1a )=(a −b )+(1b −1a )=(a −b )+a−b ab=(a −b )(1+1ab )，∵a 0，∴1+1ab >0，则(a +1b )−(b +1a )<0，B 选项正确；对于C 选项，ba −b+ca+c =b (a+c )−a (b+c )a (a+c )=c (b−a )a (a+c )，∵a 0，a +c <0，则ba −b+ca+c <0，C 选项正确；对于D 选项，(b 2a +a 2b)−(a +b )=b 2−a 2a+a 2−b 2b=(b 2−a 2)(1a −1b )=(b 2−a 2)(b−a )ab=(b+a )(b−a )2ab，∵a >0，b >0，则(b 2a +a 2b)−(a +b )=(b+a )(b−a )2ab≥0，D 选项正确.故选：BCD.小提示：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便．填空题 12、不等式x 2+2x−3x+1≥0的解集为__________．答案：[−3,−1)∪[1,+∞) 分析：将x 2+2x−3x+1≥0等价转化为{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0，解不等式组可得答案.原不等式等价于{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0，解得x ≥1 或−3≤x <−1 ，所以答案是：[−3,−1)∪[1,+∞)13、x −y ≤0，x +y −1≥0，则z =x +2y 的最小值是___________. 答案：32##1.5分析：分析可得x +2y =32(x +y )−12(x −y )，利用不等式的基本性质可求得z =x +2y 的最小值. 设x +2y =m (x +y )+n (x −y )=(m +n )x +(m −n )y ，则{m +n =1m −n =2 ，解得{m =32n =−12，所以，z =x +2y =32(x +y )−12(x −y )≥32，因此，z =x +2y 的最小值是32.所以答案是：32.14、已知集合A={x|−5<−2x+3<7},B={x|x2−(3a−1)x+2a2−a<0} ,若B⊆A，则实数a的取值范围为______．答案：[−12,5 2 ]分析：分类讨论解不等式，再利用集合的包含关系列式求解作答.依题意，B={x|(x−a)(x−2a+1)<0}，当a<2a−1，即a>1时，B=(a,2a−1)，当a=2a−1，即a=1时，B=∅，当a>2a−1，即a<1时，B=(2a−1,a)，又A=(−2,4)，B⊆A，于是得{a>12a−1≤4，解得1<a≤52，或{a<12a−1≥−2，解得−12≤a<1，而∅⊆A，则a=1，综上得：−12≤a≤52，所以实数a的取值范围为[−12,52 ]．所以答案是：[−12,5 2 ]解答题15、实数a、b满足-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4.(1)求实数a、b的取值范围；(2)求3a-2b的取值范围．答案：(1)a∈[-2,3]，b∈[-72,3 2 ](2)[-4,11]分析：（1）由a=12[(a+b)+(a-b)]，b=12[(a+b)-(a-b)]根据不等式的性质计算可得；（2）求出3a-2b=12(a+b)+52(a-b)，再利用不等式的性质得解.（1）解：由-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4，则a=12[(a+b)+(a-b)]，所以-4≤(a+b)+(a-b)≤6，所以-2≤12[(a+b)+(a-b)]≤3，即-2≤a≤3，即实数a的取值范围为[-2,3]．因为b=12[(a+b)-(a-b)]，由-1≤a-b≤4，所以-4≤b -a ≤1，所以-7≤(a +b )-(a -b)≤3，所以-72≤12[(a +b )-(a -b)]≤32，∴-72≤b ≤32，即实数b 的取值范围为[-72,32]．（2）解：设3a -2b =m (a +b )+n(a -b)=(m +n )a +(m -n)b ，则{m +n =3m -n =-2 ，解得{m =12n =52 ，∴3a -2b =12(a +b )+52(a -b )， ∵-3≤a +b ≤2，-1≤a -b ≤4． ∴-32≤12(a +b )≤1，-52≤52(a -b )≤10， ∴-4≤3a -2b ≤11，即3a -2b 的取值范围为[-4,11]．。

(2019)新版高中数学必修一第二章一元二次函数、方程和不等式等式与不等式性质

（2019新版）高中数学人教A 版必修一第二章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式与不等式性质不等式的概念我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．考点一：列不等式例1：完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500无，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则工人满足的关系式是( ) A ．5x ＋4y ＜200 B ．5x ＋4y ≥200 C ．5x ＋4y ＝200D ．5x ＋4y ≤200解析：选D 据题意知，500x ＋400y ≤20 000，即5x ＋4y ≤200，故选D.练习：某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式(组)表示就是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y ≥380z >45 B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95y >380z ≥45 C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95y >380z >45D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >45解析：选D 由题中x 不低于95即x ≥95，y 高于380即y >380，z 超过45即z >45. 作业：1．用不等式(组)表示下列问题中的不等关系： (1)限速80 km/h 的路标； (2)桥头上限重10 吨的标志；(3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不多于2.5%，蛋白质的含量p 不少于2.3%.解：(1)设汽车行驶的速度为v km/h ，则v ≤80. (2)设汽车的重量为ω吨，则ω≤10.(3)⎩⎨⎧f ≤2.5%，p ≥2.3%.问题1：怎样判断两个实数a、b的大小？提示：若a－b是正数，则a＞b；若a－b是负数，则a<b；若a－b是零，则a＝b. 问题2：你能否由问题1得出两个实数比较大小的方法？提示：能．通过两个实数作差，判断差的正负比较大小．比较两个实数a、b大小的依据考点二：比较两数(式)的大小例2：比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x2＋3与2x；(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．x－12＋2≥2＞0，∴x2＋3＞2x.解：(1)(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3＝()(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，∵a＞0，b＞0，且a≠b，∴(a－b)2＞0，a＋b＞0.∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，即a3＋b3＞a2b＋ab2.练习：（1）若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是() A．M＞－5 B．M＜－5C．M≥－5 D．M≤－5解析：选A M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2，∵x≠－2，y≠1，∴(x＋2)2＞0，(y－1)2＞0，因此(x＋2)2＋(y－1)2＞0.故M＞－5. （2）比较x3＋6x与x2＋6的大小．解：(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)∵x2＋6＞0.∴当x＞1时，(x－1)(x2＋6)＞0，即x3＋6x＞x2＋6.当x＝1时，(x－1)(x2＋6)＝0，即x3＋6x＝x2＋6.当x＜1时，(x－1)(x2＋6)＜0，即x3＋6x＜x2＋6.作业：2．（1）如果a ＞b ，那么c －2a 与c －2b 中较大的是________．解析：c －2a －(c －2b)＝2b －2a ＝2(b －a)＜0. 答案：c －2b（2）已知a ＝x 3+y 3，b ＝x 2y+xy 2，其中x ，y 均为正数，则a ，b 的大小关系为．解：a ＝x 3+y 3，b ＝x 2y+xy 2，则a ﹣b ＝x 3+y 3﹣x 2y ﹣xy 2＝x 2（x ﹣y ）﹣y 2（x ﹣y ）＝（x ﹣y ）（x 2﹣y 2）＝（x ﹣y ）2（x+y ），x ，y 均为正数，所以（x ﹣y ）2≥0，x+y ＞0，所以（x ﹣y ）2（x+y ）≥0，即a ﹣b ≥0，所以a ≥b ．故答案为：a ≥b ．例3：已知：﹣1＜b ＜0，a ＜0，那么下列不等式成立的是（） A ．a ＞ab ＞ab 2B ．ab 2＞ab ＞aC ．ab ＞a ＞ab 2D ．ab ＞ab 2＞a解：∵﹣1＜b ＜0，a ＜0，∴ab ＞0，b ＜0＜1．b 2＜1．∴ab ﹣ab 2＝ab （1﹣b ）＞0，ab 2﹣a ＝a （b 2﹣1）＞0．∴ab ＞ab 2＞a ．故选：D ．练习：已知实数a 、x 满足x ＜a ＜0，则a 2、x 2、ax 中的最大数为．解：已知实数a 、x 满足x ＜a ＜0，由不等式的性质可得：x 2＞a 2＞0，ax ＞a 2＞0，x 2＞ax ＞0，所以x 2＞ax ＞a 2＞0，则a 2、x 2、ax 中的最大数为x 2，故答案为：x 2．作业：3. 若－1＜a ＜b ＜0，试比较1a ，1b ，a 2，b 2的大小．解：∵－1＜a ＜b ＜0，取11,,23a b =-=-则2211112,3,,.49a b a b =-=-== ∴a 2＞b 2＞1a ＞1b .考点三：不等式的性质 (1)对称性：a>b ⇔b<a ； (2)传递性：a>b ，b>c ⇒a>c ； (3)可加性：a>b ⇒a ＋c>b ＋c. (4)可乘性：⎭⎬⎫a>b c>0⇒ac>bc ；⎭⎬⎫a>b c<0⇒ac<bc ； (5)同向可加性：⎭⎬⎫a>b c>d ⇒a ＋c>b ＋d ；(6)同向同正可乘性：⎭⎬⎫a>b>0c>d>0⇒ac>bd ； (7)正数乘方性：a>b>0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2).例4：用不等号“＞”或“＜”填空：（1）如果a＞b，c＜d，那么a﹣c b﹣d；（2）如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac bd；（3）如果a＞b＞0，那么；（4）如果a＞b＞c＞0．那么．解：（1））如果a＞b，c＜d，那么a﹣c＞b﹣d；（2）如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac＜bd；（3）如果a＞b＞0，那么＜；（4）如果a＞b＞c＞0．那么＜．故答案为：＞，＜，＜，＜．练习：若a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（）A．ac＞bc B．（a﹣b）c2＞0 C．D．﹣2a＜﹣2b 解：∵a，b，c∈R且a＞b，∴取c＝0，可排除A，B；取a＝1，b＝﹣1可排除C．由不等式的性质知当a＞b时，﹣2a＜﹣2b，故D正确．故选：D．作业：4.已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是()A．若a＞b，c＞b，则a＞cB．若a＞－b，则c－a＜c＋bC．若a＞b，c＜d，则ac＞bdD．若a2＞b2，则－a＜－b解析：选B选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立，选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以．否则如a＝－1，b ＝0时不成立，故选B.例5：（多选）对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（）A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+dC．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若a＞b，则＞解：若ac2＞bc2，则a＞b，A对，由不等式同向可加性，若a ＞b ，c ＞d ，则a +c ＞b +d ，B 对，当令a ＝2，b ＝1，c ＝﹣1，d ＝﹣2，则ac ＝bd ，C 错，令a ＝﹣1，b ＝﹣2，则，D 错．故选：AB ．练习：（多选）若b ＜a ＜0列结论正确的是（） A ．a 2＜b 2 B ．ab ＜b 2 C ．（）b ＜（）aD ．+＞2解：A ．∵b ＜a ＜0，∴﹣b ＞﹣a ＞0，∴b 2＞a 2，正确； B ．∵b ＜a ＜0，∴b 2＞ab ，正确； C ．∵，b ＜a ，∴，因此C 不正确；D ．∵b ＜a ＜0，∴，，∴，正确．故选：ABD ．作业：5. （多选）若a ＞0，b ＞0，a +b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 都成立的是（） A ．ab ≤1B ．+C ．a 2+b 2≥2D ．a 3+b 3≥3解：根据a ＞0，b ＞0，a +b ＝2，取a ＝b ＝1，则BD 不成立，再取31,,22a b ==验证，故AC 正确．故选：AC ．考点四：利用不等式的性质求范围例6：已知2＜a ＜3．﹣2＜b ＜﹣1，求2a+b 的取值范围．解：∵2＜a ＜3．﹣2＜b ＜﹣1，∴4＜2a ＜6，∴2＜2a+b ＜5．练习：设-1＜a ＜1，﹣3＜b ＜2，求23ba -的取值范围. 解析： -2＜2a ＜2， 21,33b -<<21,33b -<-<82 3.33ba -<-< 作业：6.已知1＜a ＜4,2＜b ＜8.试求2a ＋3b 与a －b 的取值范围．解：∵1＜a ＜4,2＜b ＜8，∴2＜2a ＜8,6＜3b ＜24∴8＜2a ＋3b ＜32.∵2＜b ＜8，∴－8＜－b ＜－2.又∵1＜a ＜4，∴1＋(－8)＜a ＋(－b)＜4＋(－2)，即－7＜a －b ＜2.故2a ＋3b 的取值范围是8＜2a ＋3b ＜32，a －b 的取值范围是－7＜a －b ＜2考点五：利用不等式的性质证明例7：已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：e a －c ＞eb －d.证明： ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，又∵a ＞b ＞0，∴a ＋(－c)＞b ＋(－d)＞0，即a －c ＞b －d ＞0，∴0＜1a －c ＜1b －d ，又∵e ＜0，∴e a －c ＞eb －d .练习：已知a ＞b ，m ＞n ，p ＞0，求证：n －ap ＜m －bp.证明：∵a ＞b ，又p ＞0，∴ap ＞bp.∴－ap ＜－bp ，又m ＞n ，即n ＜m. ∴n －ap ＜m －bp. 作业：7．(1)a ＜b ＜0，求证：b a ＜ab ；(2)已知a ＞b ，1a ＜1b，求证：ab ＞0.证明：(1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝(b ＋a )(b －a )ab，∵a ＜b ＜0，∴b ＋a ＜0，b －a ＞0，ab ＞0，∴(b ＋a )(b －a )ab ＜0，故b a ＜ab.(2)∵1a ＜1b ，∴1a －1b ＜0，即b －a ab＜0，而a ＞b ，∴b －a ＜0，∴ab ＞0.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

质量检测(二) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．已知a<0，－1A．－aab>0 C．a>ab>ab2 D．ab>a>ab2 [解析] ∵a<0，－10，a[答案] B 2．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则( ) A．M>N B．M≥N C．M[解析] ∵M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0. ∴M>N. [答案] A

3．不等式x－2x＋1≤0的解集是( ) A．{x|x<－1或－1B．{x|－1≤x≤2} C．{x|x<－1或x≥2} D．{x|－1

[解析] 原不等式同解于 x＋1≠0x－2x＋1≤0，解得－1[答案] D 4．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式成立的是( )

A.1a<1b B．a2>b2

C.ac2＋1>bc2＋1 D．a|c|>b|c| [解析] 根据不等式的性质，知C正确；若a>0>b，则1a>1b，则A不正确；若a＝1，b＝－2，则B不正确；若c＝0，则D不正确．故选C. [答案] C 5．不等式1x<12的解集是( ) A．{x|x<2} B．{x|x>2} C．{x|02}

[解析] 由1x<12，得1x－12＝2－x2x<0，即x(2－x)<0，解得x>2或x<0，故选D. [答案] D 6．在R上定义运算☆：a☆b＝ab＋2a＋b，则满足x☆(x－2)<0的实数x的取值范围为( ) A．{x|0B．{x|－2C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－1[解析] 根据定义得：x☆(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2<0，解得－2所以所求的实数x的取值范围为{x|－2[答案] B 7．若关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是( ) A．{x|x≤－2或x≥2} B．{x|－2≤x≤2} C．{x|x<－2或x>2} D．{x|－2[解析] 因为不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，所以Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2. [答案] B

8．已知x>1，则x＋1x－1＋5的最小值为( ) A．－8 B．8 C．16 D．－16 [解析] ∵x>1，∴x－1>0，x＋1x－1＋5＝x－1＋1x－1＋6≥2＋6＝8，当且仅当x＝2时等号成立．故选B. [答案] B 9．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－4,1)，则不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c>0的解集为( )

A.－43，1 B．(－∞，1)∪43，＋∞ C．(－1,4) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) [解析] 由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－4,1)知a<0，－4和1是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．∴－4＋1＝－ba，－4×1＝ca，即b＝3a，c＝－4a.故所求解的不等式为3a(x2

－1)＋a(x＋3)－4a>0，即3x2＋x－4<0，解得－43[答案] A 10．设函数y＝2x＋1x－1(x<0)，则y( ) A．有最大值 B．有最小值 C．无最大值 D．既有最大值又有最小值 [解析] ∵x<0，∴－x>0，

∴－2x＋1－x≥2 2－x×1－x＝22. ∴2x＋1x≤－22. ∴y＝2x＋1x－1≤－22－1. 当且仅当2x＝1x即x＝－22时取等号． [答案] A 11．设a>0，b>0，且不等式1a＋1b＋ka＋b≥0恒成立，则实数k的最小值等于( ) A．0 B．4 C．－4 D．－2 [解析] 由1a＋1b＋ka＋b≥0得k≥－a＋b2ab，而a＋b2ab＝ba＋ab＋2≥4(a＝b时取等号)，

所以－a＋b2ab≤－4，因此要使k≥－a＋b2ab恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4. [答案] C 12.某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示)，若要使其营运的年平均利润最大，则每辆客车需营运( ) A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 [解析] 设二次函数为y＝a(x－6)2＋11.又图象过点(4,7)，代入得7＝a(4－6)2＋11，解得a＝－1， ∴y＝－x2＋12x－25.

设年平均利润为m，则m＝yx＝－x－25x＋12≤2，

当且仅当x＝25x，即x＝5时取等号． [答案] C 第Ⅱ卷(非选择题共90分) 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示) [解析] 不等式可化为x2＋3x－4<0，即(x－1)(x＋4)<0，解得－4[答案] {x|－414．设点(m，n)在一次函数y＝－x＋1位于第一象限内的图象上运动，则mn的最大值是________． [解析] ∵点(m，n)在一次函数y＝－x＋1位于第一象限内的图象上运动，∴m＋n＝1

且m>0，n>0.∴mn≤m＋n22＝14，当且仅当m＝n时等号成立．

[答案] 14 15．若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________． [解析] ∵x2＋y2＋xy＝1， ∴(x＋y)2＝xy＋1，

又∵xy≤x＋y22，

∴(x＋y)2≤x＋y22＋1，变形得34(x＋y)2≤1， ∴(x＋y)2≤43， ∴－233≤x＋y≤233， ∴x＋y的最大值为233. [答案] 233 16．不等式ax2＋4x＋a>1－2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________． [解析] 不等式ax2＋4x＋a>1－2x2对一切x∈R恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋a－1>0对一切x∈R恒成立．若a＋2＝0，显然不成立；若a＋2≠0，则

 a＋2>016－4a＋2a－1<0⇔ a>－2，16－4a＋2a－1<0⇔ a>－2

a<－3或a>2

⇔a>2.

[答案] a>2 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知a>0，试比较a与1a的大小．

[解] a－1a＝a2－1a＝a－1a＋1a. 因为a>0，所以当a>1时，a－1a＋1a>0，有a>1a；

当a＝1时，a－1a＋1a＝0，有a＝1a；当0综上，当a>1时，a>1a；当a＝1时，a＝1a；当018．(本小题满分12分)已知a，b，c为不等正数，且abc＝1，求证：a＋b＋c<1a

＋1b＋1c. [证明] 证法一：∵a，b，c为不等正数，且abc＝1， ∴a＋b＋c＝1bc＋1ca＋1ab<1b＋1c2＋1c＋1a2 ＋1a＋1b2＝1a＋1b＋1c. 故原不等式成立．证法二：∵a，b，c为不等正数，且abc＝1，

∴1a＋1b＋1c＝bc＋ca＋ab＝bc＋ca2＋ca＋ab2＋ab＋bc2> abc2＋ a2bc＋ ab2c＝a＋b＋c.

故原不等式成立． 19．(本小题满分12分)若关于x的不等式x2－ax－6a<0的解集的区间长度不超过5个单位，求实数a的取值范围． [解] ∵x2－ax－6a<0有解， ∴方程x2－ax－6a＝0的判别式Δ＝a2＋24a>0， ∴a>0或a<－24. 解集的区间长度就是方程x2－ax－6a＝0的两个根x1，x2的距离，由x1＋x2＝a，x1x2＝－6a，得 (x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝a2＋24a. ∵|x1－x2|≤5，∴(x1－x2)2≤25， ∴a2＋24a≤25，∴－25≤a≤1. 综上可得－25≤a<－24或0即a的取值范围是－25≤a<－24或020．(本小题满分12分)已知正实数a，b满足a＋b＝1，求

a＋1a2＋b＋

b2的最小值．

[解] a＋1a2＋b＋1b2＝a2＋b2＋1a2＋1b2＋4 ＝(a2＋b2)1＋1a2b2＋4 ＝[(a＋b)2－2ab]1＋1a2b2＋4 ＝(1－2ab)·1＋1a2b2＋4，

2019-2020学年新教材高中数学质量检测2一元二次函数方程和不等式

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识集锦(带答案)

新人教A版高中数学必修一 第二章一元二次函数、方程和不等式 拔高检测题 (2)

新教材高中数学人教版精品 第二章 一元二次函数、方程和不等式 专题3 一元二次不等式恒成立问题

高一数学新教材A版 一元二次函数、方程和不等式(综合测试卷)经典练习题