2018红对勾高三一轮复习第九十章阶段检测试题高三数学
2018高三大一轮复习数学(文)课时规范训练第九章 平面解析几何 9.2 Word版含答案
课时规范训练(时间：分钟)．已知直线过点()且与点(－)，(，－)等距离，则直线的方程为( )．＋－＝．－－＝．－＋＝或＋＋＝．＋－＝或－－＝解析：选.依题意，设直线：－＝(－)，即－＋－＝，则有＝，因此－＋＝＋，或－＋＝－(＋)，解得＝－或＝，故直线的方程为＋－＝或－－＝.．光从点(－，)射到轴上的点后，被轴反射，这时反射光线恰好过点()，则光线所在直线的倾斜角为( )．．解析：选.点关于轴的对称点为′(－，－)，∵点′在直线上，∴直线的斜率＝＝＝.∴直线的倾斜角是.．直线－＋＝关于直线＝对称的直线方程是( )．＋－＝．＋－＝．＋－＝．＋－＝解析：选.由题意得直线－＋＝与直线＝的交点坐标为()．又直线－＋＝上的点(－)关于直线＝的对称点为()，所以由直线方程的两点式，得＝，即＋－＝.故选.．已知≠，直线＋(＋)＋＝与直线＋(－)－＝互相垂直，则的最大值等于( )．．．．解析：选.若＝，则两直线方程为＝－－和＝，此时两直线相交但不垂直．若＝－，则两直线方程为＝－和＝－，此时两直线相交但不垂直．所以当≠±时，两直线方程为＝－－和＝－＋，此时两直线的斜率分别为－，－，由－·＝－，得＋＝.因为＋＝≥，所以≤，即的最大值等于，当且仅当＝＝±时取等号，故选.．已知点()，(，)，(，)．若△为直角三角形，则必有( )．＝．＝＋．(－)＝．－＋＝解析：选.若以为直角顶点，则在轴上，则必为，此时，重合，不符合题意；若∠＝，则＝≠.若∠＝，根据垂直关系可知·＝－，所以(－)＝－，即－－＝.以上两种情况皆有可能，故只有满足条件．．已知＝，＝且∩＝∅，则＝.解析：由题意可知，集合表示过点()且斜率为的直线，但除去()点，而集合表示一条直线，该直线的斜率为－，且过(－)点，若∩＝∅，则有两种情况：①集合表示的直线与集合所表示的直线平行，即－＝，解得＝－；②集合表示的直线过()点，即＋×＋＝，解得＝－，综上，＝－或－.答案：－或－．设曲线＝在点()处的切线与曲线＝(>)上点处的切线垂直，则的坐标为．解析：设点的坐标为，>，曲线＝在点处的切线斜率＝－(>)．又∵曲线＝在点()处的切线斜率＝＝，＝－，∴＝，∴＝，∴点的坐标为()．答案：()．直线与直线交于一点，且的斜率为，的斜率为，直线，与轴围成一个等腰三角形，则正实数的所有可能的取值为．解析：设直线与直线的倾斜角分别为α，β，因为>，所以α，β均为锐角．由于直线，与轴围成一个等腰三角形，则有以下两种情况：()α＝β时，α＝β，即＝，因为>，解得＝；()β＝α时，β＝α，即＝，因为>，解得＝.答案：或．已知△的顶点()，边上的中线所在直线方程为－－＝，边上的高所在直线方程为－－＝，求直线的方程．解：依题意知：＝－，()，∴为＋－＝，联立、得(\\(＋－＝，－－＝，))∴()．设(，)，的中点为，代入－－＝，得－－＝，∴(\\(－－＝，－－＝，))∴(－，－)，∴＝，∴直线的方程为－＝(－)，。
2018版高考数学文理通用新课标一轮复习课时达标检测：
课时达标检测（四十七） 抛 物 线练基础小题——强化运算能力]1．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：选D 依题意，点P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹是抛物线．2．设抛物线y 2＝－12x 上一点P 到y 轴的距离是1，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．3B ．4C ．7D ．13解析：选B 依题意，点P 到该抛物线的焦点的距离等于点P 到其准线x ＝3的距离，即等于3＋1＝4.3．若抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为( )A.22B.24 C.12 D.14解析：选B 由题意知，抛物线的准线方程为x ＝－12.设M (a ，b )，由抛物线的定义可知，点M 到准线的距离为32，所以a ＝1，代入抛物线方程y 2＝2x ，解得b ＝±2，所以S △MFO ＝12×12×2＝24. 4．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA |＋|FB |＋|FC |的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|FA |＋|FB |＋|FC |＝⎝⎛⎭⎫x 1＋12＋⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 5．直线l 过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是6，AB 的中点到x 轴的距离是1，则此抛物线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2＋p ＝6，∴p ＝4.即抛物线方程为x 2＝8y .答案：x 2＝8y练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线截圆x 2＋y 2－2y －1＝0所得弦长为2，则p ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．6解析：选B 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，而圆化成标准方程为x 2＋(y －1)2＝2，圆心M (0,1)，半径r ＝2，圆心到准线的距离为p 2，所以⎝⎛⎭⎫p 22＋⎝⎛⎭⎫222＝(2)2，解得p ＝2.2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选A 由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，故选A.3．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP |＋1|FQ |＝( ) A.12B ．1C ．2D ．4解析：选A 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意可知直线y ＝k (x －2)过抛物线焦点(2,0)，所以|PF |＝x 1＋2，|QF |＝x 2＋2，则1|FP |＋1|FQ |＝1x 1＋2＋1x 2＋2＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4.联立直线与抛物线方程消去y ，得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，可知x 1x 2＝4，故1|FP |＋1|FQ |＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝x 1＋x 2＋42(x 1＋x 2)＋8＝12.4．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：选C 由已知得抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点A (0,2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF ＝⎝⎛⎭⎫p 2，－2，AM ＝⎝⎛⎭⎫y 22p ，y 0－2.由已知得，AF ·AM ＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝⎛⎭⎫8p ，4.由|MF |＝5得，8p ＋p2＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .5．(2017·长春模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( ) A.13 B.23 C.34D.43解析：选A 记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)与圆(x －a )2＋y 2＝r 2(a >0)有且只有一个公共点，则( ) A ．r ＝a ＝p B ．r ＝a ≤p C ．r <a ≤pD ．r <a ＝p解析：选B 当r <a 时，根据圆与抛物线的对称性可知，圆(x －a )2＋y 2＝r 2(a >0)与抛物线y 2＝2px (p >0)要么没有公共点，要么有两个或四个公共点，与题意不符；当r >a 时，易知圆与抛物线有两个公共点，与题意不符；当r ＝a 时，圆与抛物线交于原点，要使圆与抛物线有且只有一个公共点，必须使方程(x －a )2＋2px ＝r 2(x ≥0)有且仅有一个解x ＝0，可得a ≤p .二、填空题7．抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为________．解析：设抛物线的准线方程为x ＝－p 2(p >0)，则根据抛物线的性质有p2＋6＝10，解得p＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为8.答案：88．(2017·邢台模拟)已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为________．解析：由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过A 作AA 1⊥l 于A 1，过B 作BB 1⊥l 于B 1，设弦AB 的中点为M ，过M 作MM 1⊥l 于M 1.则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，则|AA 1|＋|BB 1|≥6，即2|MM 1|≥6，所以|MM 1|≥3，故M 到x 轴的最短距离为3－1＝2.答案：29．(2015·荆门质检)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B 是抛物线上两点，若△AFB是正三角形，则△AFB 的边长为________．解析：由题意可知A ，B 两点一定关于x 轴对称，且AF ，BF 与x 轴夹角均为30°，由于y 2＝4x 的焦点为(1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33(x －1)，y 2＝4x ，化简得y 2－43y －4＝0，解得y ＝23＋4或y ＝23－4，所以△AFB 的边长为8＋43或8－4 3.答案：8＋43或8－4 310．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，如果A ，B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1，B 1，那么∠A 1FB 1为________．解析：由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AFA 1＝∠AA 1F .又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OFA 1＝∠AA 1F ，故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AFA 1＝∠OFA 1，所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2.答案：π2三、解答题11．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)由(1)知点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k FA ＝43.∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34.∴FA 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y ＝－34x ＋2，联立⎩⎨⎧y ＝43(x －1)，y ＝－34x ＋2，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.12.如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，焦点为F ，过点G (p,0)作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y1y2＝－8，求抛物线C的方程；(2)若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C 于另一点N.求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值．解：(1)设直线AM的方程为x＝my＋p，代入y2＝2px得y2－2mpy－2p2＝0，则y1y2＝－2p2＝－8，得p＝2.∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)证明：设B(x3，y3)，N(x4，y4)．由(1)可知y3y4＝－2p2，y1y3＝－p2.又直线AB的斜率k AB＝y3－y1x3－x1＝2py1＋y3，直线MN的斜率k MN＝y4－y2x4－x2＝2py2＋y4，∴k ABk MN＝y2＋y4y1＋y3＝－2p2y1＋－2p2y3y1＋y3＝－2p2y1y 3y1＋y 3y1＋y3＝2.故直线AB与直线MN斜率之比为定值．。
2018版高考数学(文理通用新课标)一轮复习课时达标检测：第九章 解析几何 (四十九) 直线与圆锥曲线 Word
课时达标检测（四十九） 直线与圆锥曲线练基础小题——强化运算能力]1．已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B ．(－3，3) C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D ．－3， 3 ]解析：选C 由题意知，右焦点为F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与双曲线的右支有且只有一个交点，数形结合可知该直线的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤－33，33，故选C. 2．已知经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－22，22 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ C ．(－2，2) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选B 由题意得，直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.故选B.3．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条解析：选B ∵通径2p ＝2，|AB |＝x 1＋x 2＋p ，∴|AB |＝3>2p ，故这样的直线有且只有两条．4．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋t消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝425·5－t 2，故当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝1练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则a b ＝( ) A.32B.233C.932D.2327解析：选A 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，结合题意，由点差法得，y 2－y 1x 2－x 1＝－a b ·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－a b ·x 0y 0＝－a b ·23＝－1，所以a b ＝32.2．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA ·OB 等于( ) A ．－3 B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：选B 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫43，13，∴OA ·OB ＝－13，同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA ·OB ＝－13. 3．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与椭圆16x 2＋25y 2＝400的左焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则点A 的横坐标为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选D 16x 2＋25y 2＝400可化为x 225＋y 216＝1，则椭圆的左焦点为F (－3,0)，又抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2， 所以p2＝－3，即p ＝－6，即y 2＝－12x ，K (3,0)．设A (x ，y )，则由|AK |＝2|AF |得(x －3)2＋y 2＝2(x ＋3)2＋y 2]，即x 2＋18x ＋9＋y 2＝0， 又y 2＝－12x ，所以x 2＋6x ＋9＝0，解得x ＝－3.4．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵两点在抛物线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ②①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)，又线段AB 的中点的纵坐标为2，∴y 1＋y 2＝4， 又直线的斜率为1，∴y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2p ＝4，p ＝2，∴抛物线的准线方程为x ＝－p2＝－1.5．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8解析：选C ∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，准线l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得A (3,23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.6．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 23＋y 22＝1C.x 25＋y 24＝1 D.x 28＋y 25＝1解析：选C 由题可设斜率存在的切线的方程为y －12＝k (x －1)(k 为切线的斜率)，即2kx－2y －2k ＋1＝0，由|－2k ＋1|4k 2＋4＝1，解得k ＝－34，所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线的方程为3x＋4y －5＝0，可求得切点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，45，易知另一切点的坐标为(1,0)，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2，令y ＝0得右焦点为(1,0)，令x ＝0得上顶点为(0,2)，故a 2＝b 2＋c 2＝5，所以所求椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.二、填空题7．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：c ＝5，设过点F 平行于一条渐近线的直线方程为y ＝43(x －5)，即4x －3y －20＝0，联立直线与双曲线方程，求得y B ＝－3215，则S ＝12×(5－3)×3215＝3215.答案：32158．在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点C (0，c )任作一条直线，与抛物线y＝x 2相交于A ，B 两点，若OA ·OB ＝2，则c 的值为________． 解析：设过点C 的直线为y ＝kx ＋c (c >0)，代入y ＝x 2得x 2＝kx ＋c ，即x 2－kx －c ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－c ，OA ＝(x 1，y 1)，OB ＝(x 2，y 2)，因为OA ·OB ＝2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝2，即x 1x 2＋(kx 1＋c )(kx 2＋c )＝2，即x 1x 2＋k 2x 1x 2＋kc (x 1＋x 2)＋c 2＝2，所以－c －k 2c ＋kc ·k ＋c 2＝2，即c 2－c －2＝0，所以c ＝2或c ＝－1(舍去)．答案：29．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为________． 解析：由已知得c ＝52，设椭圆的方程为x 2a 2－50＋y 2a2＝1，联立得⎩⎨⎧x 2a 2－50＋y 2a2＝1，y ＝3x －2消去y 得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由根与系数关系得x 1＋x 2＝12(a 2－50)10a 2－450，由题意知x 1＋x 2＝1，即12(a 2－50)10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以该椭圆方程为y 275＋x 225＝1. 答案：y 275＋x 225＝110．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA ·MB ＝0，则k ＝________.解析：如图所示，设F 为焦点，易知F (2，0)，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA ·MB ＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，由|MP |＝|AP |，得∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM ＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1kMF＝2.答案：2 三、解答题11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2,0)，离心率为63.过点F 2的直线l (斜率不为0)与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当四边形MF 1NF 2为矩形时，求直线l 的方程．解：(1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，c a＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝6，b ＝ 2. 故椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在．设其方程为y ＝k (x －2)， 点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (－x 3，－y 3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝k (x －2)得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0， 所以x 1＋x 2＝12k 21＋3k2，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k1＋3k 2，所以AB 的中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 21＋3k 2，－2k 1＋3k 2， 因此直线OD 的方程为x ＋3ky ＝0(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3ky ＝0，x 26＋y 22＝1解得y 23＝21＋3k 2，x 3＝－3ky 3.因为四边形MF 1NF 2为矩形， 所以F 2M ―→·F 2N ―→＝0， 即(x 3－2，y 3)·(－x 3－2，－y 3)＝0，所以4－x 23－y 23＝0.所以4－2(9k 2＋1)1＋3k 2＝0.解得k ＝±33.故直线l 的方程为3x －3y －23＝0或3x ＋3y －23＝0.12．(2016·大连双基测试)已知过点(2,0)的直线l 1交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q .(1)设直线QA ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线l 2于M ，N 两点，OM ·ON ＝2，求抛物线C 的方程．解：(1)设直线l 1的方程为x ＝my ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －4p ＝0，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－4p . k 1＋k 2＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1＋4＋y 2my 2＋4＝2my 1y 2＋4(y 1＋y 2)(my 1＋4)(my 2＋4) ＝－8mp ＋8mp(my 1＋4)(my 2＋4)＝0.(2)设点P (x 0，y 0)，直线PA ：y －y 1＝y 1－y 0x 1－x 0(x －x 1)，当x ＝－2时，y M ＝－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0，同理y N＝－4p＋y2y0 y2＋y0.因为OM·ON＝2，所以4＋y N y M＝2，即－4p＋y2y0y2＋y0·－4p＋y1y0y1＋y0＝16p2－4py0(y2＋y1)＋y20y1y2 y2y1＋y0(y2＋y1)＋y20＝16p2－8p2my0－4py20－4p＋2pmy0＋y20＝－4p(－4p＋2pmy0＋y20)－4p＋2pmy0＋y20＝－2，故p＝12，所以抛物线C的方程为y2＝x.。
2018版高考数学(理)第一轮总复习习题：第九章解析几何课时达标检测(四十五)椭圆含答案
课时达标检测（四十五）椭圆1．已知椭圆错误!＋错误!＝1（m＞0）的左焦点为F1（－4，0），则m＝（）A．2 B．3 C．4 D．9解析:选B 由左焦点为F1（－4，0)知c＝4。
又a＝5，所以25－m2＝16，解得m＝3或－3。
又m＞0，故m＝3.2．在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F(－1,0)的距离与P到定直线x＝－4的距离的比值为错误!.则动点P的轨迹C的方程为（）A。
错误!＋错误!＝1 B。
错误!＋错误!＝1C.错误!＋错误!＝1D.错误!＋错误!＝1解析：选B 设点P(x,y)，由题意知错误!＝错误!，化简得3x2＋4y2＝12,所以动点P的轨迹C的方程为错误!＋错误!＝1，故选B。
3．已知椭圆C的中心为原点,焦点F1，F2在y轴上，离心率为错误!，过点F2的直线交椭圆C于M，N两点，且△MNF1的周长为8，则椭圆C的焦距为( ）A．4 B．2 C．2错误!D．2错误!解析：选C 由题意得|MF1|＋｜NF1|＋｜MN|＝|MF1|＋|NF1｜＋｜MF2｜＋｜NF2｜＝(｜MF1|＋|MF2|)＋(|NF1|＋｜NF2|）＝2a＋2a＝8，解得a＝2,又e＝错误!＝错误!,故c＝错误!，即椭圆C 的焦距为2错误!，故选C.4．如图，椭圆错误!＋错误!＝1的左、右焦点分别为F1，F2,点P在椭圆上,若｜PF1｜＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5解析：选B 由题可知b2＝2,则c＝错误!，故｜F1F2｜＝2错误!，又｜PF1|＝4,｜PF1|＋｜PF2｜＝2a，则｜PF2｜＝2a－4,由余弦定理得cos 120°＝错误!＝－错误!,化简得8a＝24，即a＝3，故选B。
5．椭圆错误!＋错误!＝1（a〉b>0）的离心率为错误!，短轴长为4，则椭圆的方程为________．解析：由题意可知e＝错误!＝错误!，2b＝4，得b＝2，∴错误!解得错误!∴椭圆的标准方程为x216＋错误!＝1。
2018高三大一轮复习数学(文)课时规范训练第九章 平面解析几何 9.6 Word版含答案
课时规范训练 (时间：分钟) ．设抛物线＝上一点到轴的距离是，则点到该抛物线准线的距离为( ) ． ． ． ． 解析：选.依题意得，抛物线＝的准线方程是＝－，因此点到该抛物线准线的距离为＋＝. ．若抛物线＝上一点到它的焦点的距离为，为坐标原点，则△的面积为( ) ． ． 解析：选.由题意知，抛物线准线方程为＝－. 设(，)，由抛物线的定义可知， 点到准线的距离为， 所以＝，代入抛物线方程＝， 解得＝±，所以△＝××＝. ．已知抛物线＝(>)的焦点弦的两端点坐标分别为(，)，(，)，则的值一定等于( ) ．－ ． ． ．－ 解析：选.①若焦点弦⊥轴， 则＝＝，∴＝； ∴＝，＝－，∴＝－， ∴＝－. ②若焦点弦不垂直于轴， 可设的直线方程为＝， 联立＝得－(＋)＋＝， 则＝.∴＝－.故＝－. ．已知抛物线＝与直线＝－相交于，两点，若中点的横坐标为，则此抛物线方程为( ) ．＝ ．＝ ．＝－ ．＝ 解析：选.设点(，)，(，)．由(\\(＝，＝－))消去，得－＋＝，所以＝＝，即＝，因此所求的抛物线方程是＝. ．已知抛物线＝的弦的中点的横坐标为，则的最大值为( ) ． ． ． ． 解析：选. 设(，)，(，)，则＋＝，利用抛物线的定义可知，＋＝＋＋＝，由图可知＋≥⇒≤，当且仅当直线过焦点时，取得最大值.
．已知抛物线＝(>)的焦点为，其准线与双曲线－＝相交于、两点，若△为等边三角形，则＝. 解析：由题意知，代入方程－＝得＝. 答案： .如图，过抛物线＝(>)的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若＝，且＝，则此抛物线的方程为．
解析：如图，分别过、作⊥于，⊥于，由抛物线的定义知：＝，＝，∵＝， ∴＝，∴∠＝°， ∴∠＝°，连接，则△为等边三角形，过作⊥于，则为的中点，设交轴于，则＝＝＝，则＝，∴抛物线方程为＝. 答案：＝ ．已知一条过点()的直线与抛物线＝交于，两点，且是弦的中点，则直线的方程为． 解析：依题意，设点(，)，(，)，则有＝，＝，两式相减得－＝(－)，即＝＝，直线的斜率为，直线的方程是－＝－，即－－＝. 答案：－－＝ ．已知抛物线＝(>)的焦点为，(，)，(，)是过的直线与抛物线的两个交点，求证： ()＝－，＝；
2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.6 双曲线真题演练集训 理 新人教a版
2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.6 双曲线真题演练集训 理 新人教A 版1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)答案：A解析：由题意，得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.2．[2016·天津卷]已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b ＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案：D解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，故选D.3．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3 D ．2答案：A解析：设F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入双曲线方程，得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2a2，所以y ＝±b 2a.因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 2a2c＝b 22ac ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e 2－12e ＝24， 所以e 2－22e －1＝0，所以e ＝ 2.故选A. 4．[2016·浙江卷]已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1答案：A解析：由于m 2－1＝c 2，n 2＋1＝c 2，则m 2－n 2＝2，故m >n ，又(e 1e 2)2＝m 2－1m 2·n 2＋1n2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2>1，所以e 1e 2>1.故选A. 5．[2016·北京卷]双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a ＝________. 答案：2解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得ba＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.6．[2016·山东卷]已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．答案：2解析： 如图，由题意不妨设|AB |＝3，则|BC |＝2.设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则在Rt △BMN 中，|MN |＝2c ＝2， 故|BN |＝|BM |2＋|MN |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52. 由双曲线的定义可得2a ＝|BN |－|BM |＝52－32＝1，而2c ＝|MN |＝2，所以双曲线的离心率e ＝2c2a＝2.课外拓展阅读 求双曲线离心率的易错点[典例] [2016·天津模拟]已知双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn >0)的一条渐近线方程为y ＝±43x ，则该双曲线的离心率为________．[易错分析] (1)未考虑m ，n 的取值，易漏掉焦点在另一坐标轴上的情况； (2)易将ba弄错，从而导致失分． [解析] 当m >0，n >0时， 则有n m ＝43，所以n m ＝169， e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋169＝53；当m <0，n <0时， 则有m n ＝43，所以m n ＝169， e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋916＝54， 综上可知，该双曲线的离心率为53或54.[答案] 53或54温馨提醒(1)对于方程x 2m －y 2n＝1表示的曲线一定要视m ，n 的不同取值进行讨论，m ，n 的取值不同表示的曲线就不同．(2)对于双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn >0)的焦点位置不同，则ba的值就不一样，一定要注意区分．。
【K12教育学习资料】2018版高考数学一轮复习第九章解析几何课时跟踪检测52理新人教A版
课时跟踪检测(五十二)[高考基础题型得分练]1．双曲线x 2－my 2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m ＝( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4答案：D解析：双曲线的方程可化为x 2－y 21m＝1，∴实轴长为2，虚轴长为21m，∴2＝2×21m，解得m ＝4.2．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，且经过点(2,2)，则C 的方程为( ) A.x 23－y 212＝1 B.x 212－y 23＝1C.y 23－x 212＝1 D.y 212－x 23＝1 答案：A解析：由题意，设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线C 过点(2,2)，则224－22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C 的方程为y 24－x 2＝－3，即x 23－y 212＝1.3．[2017·吉林长春模拟]已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的一个交点是P ，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )A. 2B. 3 C ．2 D ．5答案：D解析：不妨设点P 位于第一象限，F 1为左焦点，|PF 2|＝m －d ，|PF 1|＝m ，|F 1F 2|＝m ＋d ，其中m ＞d ＞0，则有(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，解得m ＝4d ，故双曲线的离心率 e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝5.4．若双曲线x 2＋y 2m ＝1的一条渐近线的倾斜角α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，则m 的取值范围是( )A ．(－3,0)B ．(－3，0)C ．(0,3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0 答案：A解析：由题意可知m <0，双曲线的标准方程为x 2－y 2－m＝1，经过第一、三象限的渐近线方程为y ＝－mx ，因为其倾斜角α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，所以－m ＝tan α∈(0，3)，故m ∈(－3,0)．5．[2017·河南郑州模拟]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作斜率为－1的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为a 2＋b 28，则该双曲线的离心率为( ) A.53 B.73 C.103D.153答案：C解析：如图所示，由 k PF ＝－1，得∠PFO ＝π4，由 k OP ＝tan ∠POF ＝b a，得 sin ∠POF ＝b a 2＋b 2＝b c ， cos ∠POF ＝a a 2＋b2＝a c， 所以sin ∠OPF ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠POF ＋π4＝b c ×22＋a c ×22＝a ＋b 2c.又∵S △OPF ＝12c ·|PF |·22＝a 2＋b 28＝c28，得|PF |＝c22，由正弦定理，得a ＋b 2c c ＝bcc22，整理得a ＝3b ，又a 2＋b 2＝c 2，故e ＝103. 6．[2015·新课标全国卷Ⅰ]已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C的两个焦点．若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233答案：A解析：由题意知，a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴ F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴ MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵ MF 1→·MF 2→＜0，∴ (－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0， 即x 20－3＋y 20＜0.∵ 点M (x 0，y 0)在双曲线上， ∴ x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，∴ 2＋2y 20－3＋y 20＜0， ∴ －33＜y 0＜33.故选A. 7．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．答案：44解析：由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.∴|PQ |＝4b ＝16>2a . 又∵A (5,0)在线段PQ 上， ∴P ，Q 在双曲线的右支上， 且PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知，⎩⎪⎨⎪⎧|PF |－|PA |＝2a ＝6，|QF |－|QA |＝2a ＝6，∴|PF |＋|QF |＝28.∴△PQF 的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.8．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是________．答案：3＋1解析：因为MF 1的中点P 在双曲线上，|PF 2|－|PF 1|＝2a ，△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ，所以e ＝c a＝23－1＝3＋1. 9．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．答案：2＋ 3解析：如图，F 1，F 2为双曲线C 的左，右焦点，将点P 的横坐标2a 代入x 2a 2－y 2b2＝1中，得y 2＝3b 2，不妨令点P 的坐标为(2a ，－3b )， 此时kPF 2＝3b c －2a ＝ba，得到c ＝(2＋3)a ，即双曲线C 的离心率e ＝ca＝2＋ 3.10．[2017·江南十校联考]已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0. (1)解：∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：证法一：由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23. ∵点M (3，m )在双曲线上， ∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故kMF 1·kMF 2＝－1， ∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.证法二：由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M (3,0)在双曲线上， ∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.[冲刺名校能力提升练]1．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案：D解析：|F 1F 2|＝2 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a . 在Rt △F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°， ∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2， 即(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2， ∴a ＝2，∴e ＝c a＝32＝62.故选D. 2.[2017·广西柳州、北海、钦州三市联考]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与抛物线y2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．x ±3y ＝0 D.3x ±y ＝0答案：D解析：抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为直线x ＝－2，∵双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，则双曲线的半焦距c ＝2，∴a 2＋b 2＝4，①又∵|PF |＝5，∴点P 的横坐标为3，代入抛物线y 2＝8x 得y ＝±26，则P (3，±26)， ∵点P 在双曲线上，则有9a 2－24b2＝1，②联立①②，解得a ＝1，b ＝3，∴双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±3x .3．[2017·山西太原二模]已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ，若|AB |＝|AF 2|，∠F 1AF 2＝90°，则双曲线的离心率为( )A.6＋32 B.6＋ 3C.5＋222D.5＋2 2答案：B解析：∵|AB |＝|AF 2|，∠F 1AF 2＝90°， ∴|BF 2|＝2|AF 2|.又由双曲线的定义知，|BF 1|－|BF 2|＝2a ， ∴|AF 1|＋|AB |－2|AF 2|＝2a ， 即|AF 1|＋(1－2)·|AF 2|＝2a . 又|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 2|＝2(2＋2)a ，|AF 1|＝2(1＋2)a . 在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2， 即[2(2＋2)a ]2＋[2(1＋2)a ]2＝(2c )2，∴c 2a2＝9＋62，∴e ＝9＋62＝6＋ 3.故选B. 4．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．答案：52解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝bax ，得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫am3b －a ，bm3b －a ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝－b a x ，得点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ，则AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2，而k AB ＝13，由|PA |＝|PB |，可得AB 的中点C 与点P 连线的斜率为－3，即k CP ＝3b 2m 9b 2－a2a 2m 9b 2－a2－m ＝－3，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝14，所以双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋14＝52. 5．[2017·甘肃兰州诊断]已知曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的方程为y＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为32.(1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B ，D 两点，已知A (1,0)，若DF →·BF →＝1，证明：过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切．(1)解：依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32，∵a 2＋b 2＝c 2，∴c ＝2a ，∴a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m ＞0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，得2x 2－2mx －m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32，又DF →·BF →＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1，∴m ＝0(舍去)或m ＝2， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72，点M 的横坐标为x 1＋x 22＝1，∵DA →·BA →＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2) ＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0， ∴AD ⊥AB ，∴过A ，B ，D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径， ∵点M 的横坐标为1， ∴MA ⊥ x 轴．∴过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切．6．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知，得a ＝3，c ＝2， 再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝－k 2>0，x A ＋x B ＝62k 1－3k 2<0，x A x B ＝－91－3k 2>0，解得33<k <1. 此时，l 与双曲线左支有两个交点．故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫33，1. (3)由(2)，得x A ＋x B ＝62k1－3k 2，∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2.∴AB 的中点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32k 1－3k 2，21－3k 2. 设直线l 0的方程为y ＝－1kx ＋m ，将点P 的坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2.∵33<k <1，∴－2<1－3k 2<0. ∴m <－2 2.∴m 的取值范围为(－∞，－22)．。
【K12教育学习资料】2018版高考数学一轮复习第九章解析几何课时跟踪检测55理新人教A版
课时跟踪检测(五十五)[高考基础题型得分练]1．已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 3答案：B解析：根据已知条件得c ＝16－m 2，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫16－m 2，2216－m 2在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m >0)上，∴16－m 216＋16－m22m2＝1，可得m ＝2 2.2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8答案：C解析：∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，l ：x ＝－1， 过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)， 与y 2＝4x 联立，解得A (3,23)， ∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.3．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线y ＝2x 2上的两点，直线 l 是AB 的垂直平分线．当直线 l 的斜率为12时，直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1)答案：A解析：设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝12x ＋b ，过点A ，B 的直线可设为y ＝－2x ＋m ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－2x ＋m ，得2x 2＋2x －m ＝0，从而有x 1＋x 2＝－1，Δ＝4＋8m ＞0，m ＞－12，①又AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，m ＋1在直线l 上， 即m ＋1＝－14＋b ，得m ＝b －54，将m ＝b －54代入①，得b ＞34，所以直线 l 在y 轴上的截距的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞.4．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O为坐标原点，则OA →·OB →＝( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13答案：B解析：依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时， 其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1， 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13， 所以OA →·OB →＝－13，同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.5．[2017·云南昆明高三摸底]已知斜率为2的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)交于A ，B 两点，若点P (2,1)是AB 的中点，则C 的离心率等于( )A ．2 2B ．2 C. 3 D. 2答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入双曲线方程，得x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1，两式相减，得x1＋x 2x 1－x 2a2＝y 1＋y 2y 1－y 2b2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2， ∴2＝b 2a 2×21，∴a ＝b ，故双曲线是等轴双曲线，则离心率为 2.6．[2017·贵州安顺月考]在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．答案：(－2,4)，(1,1)解析：设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝x 2中， 整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0，∴b >－14.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12＋b 在直线y ＝x ＋3上，得 12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1.7．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________.答案：2解析：如图所示，设F 为焦点，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA →·MB →＝0知，MA ⊥MB ， 则|MP |＝12|AB |＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线， 所以MP ∥AG ∥BH ，所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ， 又|AG |＝|AF |，AM 为公共边， 所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM ＝90°，则MF ⊥AB ， 所以k ＝－1k MF＝2.8．[2017·辽宁大连名校联考]已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．答案：553解析：由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1,0)， 直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －，x 25＋y24＝1消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0.则|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝错误!＝错误!.9．[2017·辽宁鞍山检测]设A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的公共顶点，P ，M 分别为双曲线和椭圆上异于A ，B 的两动点，且满足AP →＋BP →＝λ(AM →＋BM →)，其中λ∈R ，|λ|＞1，设直线AP ，BP ，AM ，BM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4且k 1＋k 2＝5，则k 3＋k 4＝________.答案：－5 解析：如图所示，∵满足AP →＋BP →＝λ(AM →＋BM →)，其中λ∈R ，|λ|＞1， ∴－2PO →＝λ(－2MO →)， ∴O ，M ，P 三点共线． 设P (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)，y 1x 1＝y 2x 2＝k ≠0， 则x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， ∴x 21－a 2a 2＝y 21b 2，x 22－a 2a 2＝－y 22b2，∵k 1＋k 2＝5，∴5＝y 1x 1＋a ＋y 1x 1－a ＝2x 1y 1x 21－a 2＝2x 1y 1a 2y 21b 2＝2b 2a 2·1k.∴k 3＋k 4＝y 2x 2＋a ＋y 2x 2－a ＝2x 2y 2x 22－a 2＝－2b 2a 2·1k＝－5.10．[2017·广东揭阳一中期末]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，右焦点为F (1,0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ⊥ON ，求直线l 的方程．解：(1)依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝22，a 2＝b 2＋1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝1，不符合题意； ②当MN 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k x －，消去y ，整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1·x 2＝k 2－1＋2k 2. 所以y 1·y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k21＋2k2.因为OM ⊥ON ，所以OM →·ON →＝0，所以x 1·x 2＋y 1·y 2＝k 2－21＋2k2＝0，所以k ＝±2，即直线l 的方程为y ＝±2(x －1)．[冲刺名校能力提升练]1．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为( ) A.2x 275＋2y225＝1 B.x 275＋y 225＝1C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y275＝1 答案：C解析：由已知得c ＝52，设椭圆的方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a2＝1，y ＝3x －2，消去y ，得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0， 设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由根与系数关系，得x 1＋x 2＝a 2－10a 2－450， 由题意知，x 1＋x 2＝1，所以a 2－10a 2－450＝1， 解得a 2＝75，所以该椭圆方程为x 225＋y 275＝1.2．[2017·陕西西安中学模拟]如图，过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2＋(y －1)2＝1交于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·DC →＝________.答案：－1解析：不妨设直线AB 的方程为y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝14x 2，解得x ＝±2，则A (－2,1)，D (2,1)，因为B (－1,1)，C (1,1)， 所以AB →＝(1,0)，DC →＝(－1,0)，所以AB →·DC →＝－1.3.[2017·贵州联考]已知中心在原点O ，左焦点为F 1(－1,0)的椭圆C 的左顶点为A ，上顶点为B ，F 1到直线AB 的距离为77|OB |.(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 1的方程为：x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)，椭圆C 2的方程为：x 2m 2＋y 2n2＝λ(λ>0，且λ≠1)，则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相似椭圆．如图，已知C 2是椭圆C 的3倍相似椭圆，若椭圆C 的任意一条切线l 交椭圆C 2于两点M ，N ，试求弦长|MN |的取值范围．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∴直线AB 的方程为x －a ＋yb＝1，∴F 1(－1,0)到直线AB 的距离d ＝|b －ab |a 2＋b 2＝77b ，a 2＋b 2＝7(a －1)2， 又b 2＝a 2－1，解得a ＝2，b ＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)椭圆C 的3倍相似椭圆C 2的方程为x 212＋y 29＝1，①若切线l 垂直于x 轴，则其方程为x ＝±2，易求得|MN |＝2 6. ②若切线l 不垂直于x 轴，可设其方程为y ＝kx ＋b ， 将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 的方程，得 (3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0， ∴Δ＝(8kb )2－4(3＋4k 2)(4b 2－12) ＝48(4k 2＋3－b 2)＝0， 即b 2＝4k 2＋3，(*)设M ，N 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 2的方程，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－36＝0， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－8kb3＋4k2， x 1x 2＝4b 2－363＋4k 2，|x 1－x 2|＝4k 2＋9－b 23＋4k2， ∴|MN |＝1＋k 2×4k 2＋9－b 23＋4k2＝461＋k23＋4k2＝261＋13＋4k2. ∵3＋4k 2≥3，∴1<1＋13＋4k 2≤43，即26<26·1＋13＋4k2≤4 2. 综合①②得，弦长|MN |的取值范围为[26，4 2 ]．4．[2017·江西赣南五校3月联考]已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x ＋y ＋1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆C 上的一点，若过点M (2,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ，满足OS →＋OT →＝tOP →(O 为坐标原点)，求实数t 的取值范围．解：(1)由题意知，以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x －c )2＋y 2＝a 2，∴圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|c ＋1|2＝a ，(*)∵椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， ∴b ＝c ，a ＝2b ＝2c ， 代入(*)式，得b ＝c ＝1， ∴a ＝2b ＝2，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知，直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，将直线l 的方程代入椭圆方程，得 (1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，∴Δ＝64k 4－4(1＋2k 2)(8k 2－2)＝－16k 2＋8>0，∴k 2<12.设P (x 0，y 0)，S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，对于OS →＋OT →＝tOP →，当t ＝0时，直线l 为x 轴，点P 在椭圆上任意位置均符合题意．当t ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧tx 0＝x 1＋x 2＝8k 21＋2k2，ty 0＝y 1＋y 2＝kx 1＋x 2－＝－4k 1＋2k2，∴x 0＝1t ·8k 21＋2k 2，y 0＝1t ·－4k 1＋2k 2， ∵点P 在椭圆上， ∴32k4t 21＋2k22＋16k2t 21＋2k22＝1，整理得t 2＝16k21＋2k2，由k 2<12知，0<t 2<4，∴t ∈(－2,0)∪(0,2)，综上可得，t 的取值范围为(－2,2)．。
2018高三大一轮复习数学(文)课时规范训练第九章 平面解析几何 9.8-第2课时 Word版含答案
课时规范训练(时间：分钟)．已知椭圆的焦点在轴上，离心率等于，且过点.()求椭圆的标准方程；()过椭圆的右焦点作直线交椭圆于，两点，交轴于点，若＝λ，＝λ，求证：λ＋λ为定值．解：()设椭圆的方程为＋＝(>>)，∴错误!∴＝，＝，∴椭圆的标准方程为＋＝.()证明：设点，，的坐标分别为(，)，(，)，(，)，又易知点的坐标为()．显然直线存在斜率，设直线的斜率为，则直线的方程是＝(－)，将直线的方程代入到椭圆的方程中，消去并整理得(＋)－＋－＝，∴＋＝，＝，又∵＝λ，＝λ，∴(\\(，－＝λ－，－，,，－＝λ－，－，))解得λ＝，λ＝，∴λ＋λ＝＋＝＝＝－.即λ＋λ为定值．．已知椭圆的一个顶点为(，－)，焦点在轴上，中心在原点．若右焦点到直线－＋＝的距离为.()求椭圆的标准方程；()设直线＝＋(≠)与椭圆相交于不同的两点，.当＝时，求的取值范围．解：()依题意可设椭圆方程为＋＝，则右焦点(，)，由题设＝，解得＝.∴所求椭圆的方程为＋＝.()设(，)，(，)，(，)，为弦的中点，由(\\(＝＋，,()＋＝))得(＋)＋＋(－)＝，∵直线与椭圆相交，∴Δ＝()－(＋)×(－)>⇒<＋.①∴＝＝－，从而＝＋＝，∴＝＝－，又∵＝，∴⊥，则－＝－，即＝＋.②把②代入①，得<，解得<<；由②，得＝>，解得>.综上求得的取值范围是<<..如图，已知抛物线：＝，过点()任作一直线与相交于，两点，过点作轴的平行线与直线相交于点(为坐标原点)．()证明：动点在定直线上；()作的任意一条切线(不含轴)，与直线＝相交于点，与()中的定直线相交于点.证明：－为定值，并求此定值．证明：()依题意可设直线的方程为＝＋，代入＝，得＝(＋)，即－－＝.设(，)，(，)，则有＝－，直线的方程为＝，直线的方程为＝.解得交点的坐标为，注意到＝－及＝，则有＝＝＝－.因此点在定直线＝－上(≠)．()依题意知，切线的斜率存在且不等于，设切线的方程为＝＋(≠)，代入＝得＝(＋)，即－－＝，由Δ＝得()＋＝，化简整理得＝－.故切线的方程可写为＝－.分别令＝，＝－得、的坐标为，，则－＝＋－＝，即－为定值.．已知椭圆＋＝(>>)的左、右焦点为，，其离心率为＝，点为椭圆上的一个动点，△内切圆面积的最大值为.。
2018高三大一轮复习数学(文)课时规范训练第九章 平面解析几何 9.4 Word版含答案
课时规范训练(时间：分钟)．过点(－)的直线与圆＋＋－＝相交于，两点，则取得最小值时的方程为( )．－＋＝．＋－＝．－－＝．＋＋＝解析：选.由题意得圆的标准方程为(＋)＋(－)＝，则圆心(－)．过圆心与点(－)的直线的斜率为＝＝－.当直线与垂直时，取得最小值，故直线的斜率为，所以直线的方程为－＝－(－)，即－＋＝.．若直线＋＝(>，>)始终平分圆＋－－－＝的周长，则的取值范围是( )．．(] ．，对于点()，存在上的点和上的点使得＋＝，说明是的中点，的横坐标＝，∴＝∈．答案：．在平面直角坐标系中，已知圆，圆均与轴相切且圆心，与原点共线，，两点的横坐标之积为，设圆与圆相交于，两点，直线：－－＝，则点与直线上任意一点之间的距离的最小值为．解析：设(，)，(，)，(，)，则圆的方程为(－)＋(－)＝()，圆的方程为(－)＋(－)＝()，将点(，)的坐标代入可得(－)＋(－)＝()，①(－)＋(－)＝()，②①－②得＋＝＋.③由①得＋＝＋－.④将③代入④得＋＝(＋)－＝＝.故点在圆＋＝上．又因为圆心到直线－－＝的距离为，所以点与直线上任意一点之间的距离的最小值为－＝－.答案：－．已知以点(∈，≠)为圆心的圆与轴交于点，，与轴交于点，，其中为原点．()求证：△的面积为定值；()设直线＝－＋与圆交于点，，若＝，求圆的方程．解：()证明：∵圆过原点，且＝＋.∴圆的方程是(－)＋＝＋，令＝，得＝，＝；令＝，得＝，＝，∴△＝·＝××＝，即△的面积为定值．()∵＝，＝，∴垂直平分线段.∵＝－，∴＝.∴＝，解得＝或＝－.当＝时，圆心的坐标为()，＝，此时到直线＝－＋的距离＝<，圆与直线＝－＋相交于两点．当＝－时，圆心的坐标为(－，－)，＝，此时到直线＝－＋的距离＝>.圆与直线＝－＋不相交，∴＝－不符合题意，舍去．∴圆的方程为(－)＋(－)＝.．已知方程＋－－＋＝.()若此方程表示圆，求实数的取值范围；()若()中的圆与直线＋－＝相交于，两点，且⊥(为坐标原点)，求的值；()在()的条件下，求以为直径的圆的方程．解：()由＋－>得(－)＋(－)－>，解得<.()设(，)，(，)，由＋－＝得＝－.将＝－代入＋－－＋＝得－＋＋＝，∴＋＝，＝.∵⊥，∴·＝－，即＋＝.∵＝(－)(－)＝－(＋)＋，∴＋＝－(＋)＋＝，即(＋)－×＋＝，解得＝.()设圆心的坐标为(，)，则＝(＋)＝，＝(＋)＝，半径＝＝，∴所求圆的方程为＋＝.(时间：分钟)．已知圆：＋＋＋－＝和圆：＋－＋－＝只有一条公切线，若，∈且≠，则＋的最小值为( )．．．．解析：选.圆的标准方程为(＋)＋＝，其圆心为(－)，半径为；圆的标准方程为＋(－)＝，其圆心为(，)，半径为.因为圆和圆只有一条公切线，所以圆与圆相内切，所以＝－，得＋＝，所以＋＝(＋)＝＋＋≥＋＝，当且仅当＝，且＋＝，即＝，＝时等号成立．所以＋的最小值为.．过点(，)引直线与曲线＝相交于、两点，为坐标原点，当△的面积取最大值时，直线。
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第九、十章阶段检测试题 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．(2017·荆门调研)将参加数学竞赛决赛的500名学生编号为001,002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第三考点被抽中的人数为( ) A．14 B．15 C．16 D．21
解析：系统抽样的样本间隔为50050＝10，第一个号码为003，按照系统抽样的规则，抽到的号码依次为003,013,023,033,043,053，…，493，第三考点抽到的第一个号码为363，最后一个号码为493，由等差数列的通项公式得493＝363＋(n－1)×10，解得n＝14，故选A. 答案：A 2．(2017·新疆一检)如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在某次模拟测试中的物理成绩，其中一个数字被污损，若甲同学的平均成绩不超过乙同学的平均成绩，则被污损数字可能为( ) A．7,8,9 B．6,7,8 C．5,6,7 D．4,5,6
解析：因为x甲＝88＋89＋91＋924＝90，设被污损数字为y，则x
乙＝83＋85＋90＋y＋954≥90，解得y≥7，所以被污损数字可能为7,8,9，故选A. 答案：A 3．(2017·湖南十三校二联)为了了解长沙市居民月用电量，抽查了该市100户居民月用电量(单位：千瓦时)，得到频率分布直方图如图所示，根据频率分布直方图可得这100户居民月用电量在[150,300]的用户数是( )
A．70 B．64 C．48 D．30 解析：由频率分布直方图得100户居民中，月用电量在[150,300]的用户数为100×50×(0.006＋0.004 4＋0.002 4)＝64，故选B. 答案：B 4．(2017·昆明检测)从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选的2名选手恰好是1男1女的概率是( ) A.15 B．25 C.35 D．45 解析：记3名男生为1,2,3,2名女生为a，b，则从中任意推选2名选手的基本事件有；(1,2)，(1,3)，(1，a)，(1，b)，(2,3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)，共10个，记“推选的2名选手恰好是1男1女”为事件A，事件A包含的基本事件是(1，a)，(1，b)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，共6个，则推选的2名选手恰好是1男1女的概率是P(A)＝610＝35. 答案：C 5．从数字1,2,3,4,5中任取2个，组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数大于30的概率是( )
A.15 B．25 C.35 D．45 解析：基本事件有：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54，共20个，记“这个两位数大于30”为事件A，有：31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54，共12个，则P(A)＝1220＝35. 答案：C 6．(2017·深圳二调)将一颗骰子掷两次，则第二次出现的点数是第一次出现的点数的3倍的概率为( ) A.118 B．112 C.16 D．13 解析：一颗骰子掷两次，共有36种情况，满足条件的情况有(1,3)，(2,6)，共2种，所以所求的概率P＝236＝118，故选A. 答案：A 7．在中秋节前，小雨的妈妈买来5种水果，4种肉类做月饼．要求每种馅只能用2种食材，且水果和肉类不能混合在一起做馅，则小雨妈妈做出水果馅月饼的概率是( )
A.13 B．58 C.23 D．79 解析：设5种水果分别为A1，A2，A3，A4，A5,4种肉类分别为B1，B2，B3，B4，用2种食材，且水果和肉类不能混合在一起做馅的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A4，A5)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共16种，用水果做馅的共10种，所以做出水果馅月饼的概率是58. 答案：B 8．(2017·豫南九校一联)某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图(如图所示)．据此估计此次考试成绩的众数是( ) A．100 B．110 C．115 D．120 解析：众数是一组数据出现次数最多的数，结合题中频率分布折线图可以看出，数据“115”对应的纵坐标最大，所以相应的频率最大，频数最大，据此估计此次考试成绩的众数是115. 答案：C
9．(2017·云南二检)甲、乙两名学生在5次数学考试中的成绩统计如茎叶图所示，若x甲、x乙分别表示甲、乙两人的平均成绩，则下列结论正确的是( ) A.x甲>x乙，乙比甲稳定 B.x甲>x乙，甲比乙稳定 C.x甲D.x甲解析：因为x甲＝15×(74＋82＋88＋91＋95)＝86，x乙＝15×(77＋77＋78＋86＋92)＝82，所以x甲>x乙.因为s2甲＝15×[(－12)2＋(－4)2＋22＋52＋92]＝54，s2乙＝15×[(－5)2＋(－5)2＋(－4)2＋42＋102]＝36.4，所以s2甲>s2乙，故乙比甲稳定．故选A. 答案：A 10．(2017·青岛质检)已知数据x1，x2，x3，…，x50,500(单位：公斤)，其中x1，x2，x3，…，x50是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x，中位数为y，则x1，x2，x3，…，x50,500这51个数据的平均数、中位数分别与x，y比较，下列说法正确的是( ) A．平均数增大，中位数一定变大 B．平均数增大，中位数可能不变 C．平均数可能不变，中位数可能不变 D．平均数可能不变，中位数可能变小 解析：由题意，显然该班50个学生体重的平均数x<500，所以这
51个数据的平均数x＝50x＋50051>50x＋x51＝x，而中位数可能不变． 答案：B 11．某饮料店某5天的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：℃)之间的数据如下表： x －2 －1 0 1 2 y 5 4 2 2 1 甲、乙、丙、丁四位同学对上述数据进行了研究，分别得到了x与y之间的四个线性回归方程：①y^＝－x＋3，②y^＝－x＋2.8，③y^＝－x＋2.6，④y^＝－x＋2.4，其中正确的方程是( ) A．① B．② C．③ D．④
解析：由数据可得x＝15×(－2－1＋0＋1＋2)＝0，y＝15×(5＋4
＋2＋2＋1)＝2.8，又回归直线经过点(0,2.8)，代入验证可知直线y^＝－x＋2.8成立，故选B. 答案：B 12．(2017·东北三省四市一模)“吸烟有害健康，吸烟会对身体造成伤害”，哈尔滨市于2012年5月31日规定室内场所禁止吸烟．美国癌症协会研究表明，开始吸烟年龄X分别为16岁、18岁、20岁和22岁者，其得肺癌的相对危险度Y依次为15.10、12.81、9.72、3.21；每天吸烟支数U分别为10、20、30者，其得肺癌的相对危险度V分别为7.5、9.5和16.6.用r1表示变量X与Y之间的线性相关系数，用r2表示变量U与V之间的线性相关系数，则下列说法正确的是( ) A．r1＝r2 B．r1>r2>0 C．0解析：分析题意可知，X和Y呈负相关的关系，U与V呈正相关的关系，∴r1<0答案：D 二、填空题(每小题5分，共20分) 13．(2016·江苏卷)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________． 解析：这组数据的平均数 x＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1， 则方差s2＝ 4.7－5.12＋4.8－5.12＋5.1－5.125＋5.4－5.12＋5.5－5.125
＝0.16＋0.09＋0＋0.09＋0.165＝0.1. 答案：0.1 14．(2017·云南一检)工厂生产的A、B、C三种不同型号的产品数量之比依次为235，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A、B、C三种产品中抽出样本容量为n的样本，若样本中A型产品有16件，则n的值为________．
解析：由已知得n×22＋3＋5＝16，解得n＝80.
答案：80 15．(2017·南昌摸底)在边长为2的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积．若在正方形ABCD中随机产生了10 000个点，落在不规则图形M内的点数恰有2 000个，则在这次模拟中，不规则图形M的面积的估计值为________．
解析：由几何概型的概率计算公式可知SMS正方形ABCD＝2 00010 000＝15，正
方形的面积S正方形ABCD＝2×2＝4，故SM＝45.