5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质

1 三角函数)sin(xAy的图象及其变换 【知识点梳理】 一、三角函数)sin(xAy五点作图法

设Xx，令0X、2、、32、2求出相应的x值，得到5个关键点的坐标，描点后画出图象． 二、三角函数BxAy)sin()0,0(A的伸缩平移 函数BxAy)sin(图象与函数xysin图象的关系： ①函数sinyx的图象的纵坐标不变，横坐标向左0或向右0平移个单位得sinyx的图象；（左加右减）

②函数sinyx的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1，得到函数sinyx的图象； ③函数sinyx的图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数sinyAx的图象；

④函数sinyAx的图象的横坐标不变，纵坐标向上)0(B或向下)0(B平移B个单位，得到函数BxAy)sin(的图象．（上加下减） 三、简谐运动)sin(xAy)0,0),,0[(Ax的相关概念 1、振幅：做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离A；

2、最小正周期：做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间2T；

3、频率：做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数21Tf； 4、x称为相位，0x时的相位称为初相． 四、)sin(xAy的性质及题型（整体思想）

1 .最小正周期：2T 2. 单调区间：把x看成一个整体代入到xysin的单调区间内求解 3.最值：注意自变量的取值范围。 4.奇偶性判断 五、)tan(xAy的性质及题型

1. 求最小周期T 2. 把x看成一个整体代入到xytan的单调区间内求解 3.奇偶性判断 2

题型一 三角函数)sin(xAy五点作图法 例题1：利用五点作图法画出函数sin21yx在区间0,上的图象．

题型二 三角函数BxAy)sin()0,0(A的伸缩平移 例题2：为得到函数2sin36xyxR的图象，只需把函数2sinyx,xR图象上所有的点（ ） A、向左平移6的单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）

B、向右平移6的单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变） C、向左平移6的单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D、向右平移6的单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） 例题3：将函数sin23yx的图象先向左平移6，然后将得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应函数解析式为（ ） A、xycos B、xy4sin C、6sinxy D、xysin 题型三 三角函数BxAy)sin()0,0(A的图象与性质 例题4：（1）下列函数,在[,2上是增函数的是（ ） A.cos2yx B.cosyx C.sin2yx D.sinyx （2）下列区间中,函数3sin()6yx的递减区间是（ ）

A.[,]22 B.2[,]33 C.22[,]33 D.[,0] （3）下列函数中是奇函数,且最小正周期是π的函数是（ ） 3

A.tan2yx B.sinyx C.πsin22yx D.3πcos22yx (4)函数y = sin(2x+25)的图象的一条对称轴方程是 （ ） A．x = －2 B．x =－4 C．x = 8 D．x =45 (5)函数)6(2sinxy的图象关于 （ ） A．点12(，0)对称 B．点6(，0)对称 C．直线3x对称 D．直线3x对称 例题5：已知函数()2sin(2)4fxx， （1）求函数的定义域； （2） 求函数的值域； （3） 求函数的周期； （4）求函数的最值及相应的x值集合； （5）求函数的单调区间；

（6）若3[0,]4x，求()fx的取值范围； （7）求函数()fx的对称轴与对称中心；

\ 4

例题6：求函数y=tan(2x－3)的单调增区间． 题型四 函数BxAy)sin()0,0(A的解析式的求法 例题7：已知函数fxsin0,0,2AxA的部分图象如图所示，求函数fx的解析式。

例题8：设xAysin),0,0(A的最高点D的坐标为2,2，由最高点运动到相邻的最低点时，曲线与x轴交点E的坐标为0,6． （1）求A、、的值； （2）求函数的单调增区间。 5

【方法与技巧总结】 1、“五点作图法”的步骤：

用“五点法”作图要找出五个关键点，即0zx、2、、32、2对应的五点．作图

时，先由0zx、2、、32、2，求出x的值和y的值再描点画图，一般五点作图包括三类点，即最高点、最低点和对称中心点．当题目中所给区间的端点不是关键点时，需要将端点和区间内四个关键点描出． 2、 图象变换的两种方法

如果是“先平移后伸缩”，是先平移个单位后再将横坐标变为原来的1；如果是“先伸缩后平

移”，是先将横坐标变为原来的1，再平移个单位． 3、根据图象求解析式的方法 利用函数sinyAxb求A、b、、的值或求确定函数解析式时，一般先求A和b，

其中maxmin2yyA，maxmin2yyb；求0时，一般根据公式2T（其中T是对应函数的最小正周期），确定函数的最小正周期一般是将函数的最小正周期分为四等份（由函数在一个周期内的五个关键点确定），根据图中的两个关键点确定函数的最小正周期；在求初相，一般根据根据关键

点而确定，一般认为最高点对应的相位值为2，最低点的相位值为32，对称中心点的相位值为0（附近图象为单调递增）与（附近图象为单调递减），将对应的横坐标代入即可求解． 4、“局部——整体”思想 （1）求函数的单调区间：由x的取值范围确定x的取值范围（整体到局部）； （2）已知x的取值范围求值域：由x的取值范围确定x的取值范围（局部到整体）．

【课后练习】 1．用五点作图法作函数sin2yx在一个周期内的图象，所选择的五个关键点的横坐标分别为（ ）．

A、0、2、、32、2 B、0、4、2、34、

C、0、8、4、38、2 D、0、、2、3、4 2．简谐运动45sin3xy的相位和初相分别是（ ）． A、3，5 B、45x，4 C、3，4 D、4，45x 3．把函数sinyxxR的图象上所有点向左平移6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到图象所表达的解析式是（ ）． 6

图3yxO111π12π

6

A、 32sinxy，Rx B、32sinxy，Rx C、621sinxy，Rx D、621sinxy，Rx 4．为了得到函数sin2yx的图象，可将函数sin26yx的图象（ ）． A、向右平移6个单位 B、向左平移6个单位 C、向右平移12个单位 D、向左平移12个单位 5．函数sinfxAx（0A，0，2）的部分图象如图所示，则、的值分别为（ ）． A、2，3 B、21，6 C、2，3 D、2，6

6. 已知xxf3sin的图象的一个对称中心是0,127，则可取（ ）． （1）4 B、 4 C、127 D、127 7．已知函数)(22cosRxxxf，下面结论错误的是（ ）． A、函数xf的最小正周期为 B、函数xf是奇函数 C、函数xf的图象关于直线4x对称 D、函数xf在区间2,0上是减函数

8．把函数32sin3xy的图象向右平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度，则得到的函数的解析式是 ． 9．函数xAysin),0,0(A的图象如图所示，则函数解析式为y＝ ．

10．已知函数142sinxy． （1）用“五点法”画出函数的草图； （2）函数图象可由xysin的图象怎样变换得到？

11．已知函数xAysin),0,0(A在一个周期内的图象如图： （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间． 7

12．已知函数xAysin)0,0,0(A，图象最低点的纵坐标是3，相邻的两个对称中心是0,3和0,65． （1）求xf的解析式； （2）求xf的值域； （3）求xf的对称轴．

课后练习答案： 1．选B． 2．选B． 3．选C． 4．选C． 5．选D．

6．选B．由于0127f，则047sin，∴04sin，验证各选项可知仅当4



时满足04sin． 7．选D．xxxf2sin22cos，所以最小正周期为，所以选项A正确； xfxxxf2sin2sin，所以函数xf是奇函数，所以选项B正确；

由于142sin4f，则当4x时，函数xf取最小值－1，所以函数xf的图象

关于直线4x对称，所以选项C正确； 对于区间2,0内的4和2，24，但是14f，022sin2f，则

24ff，所以函数xf在区间

2,0



上不是减函数，所以选项D错误．

8.12sin3xy 9．332sin5x．由图知，5A，由23252T，知3T，

∴322T，则xy32sin5，